各高校量子力学考研试题汇总情况要点

习题1
一、填空题
1．玻尔的量子化条件为。

2．德布罗意关系为。

3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。

4．波函数的统计解释：_____________________________________
__________________________________________________________
5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率
为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率为。

6．波函数的标准条件
为。

7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。

8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子
___________守恒。

9．力学量算符应满足的两个性质
是。

10．厄密算符的本征函数具
有。

11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为
_______________________________________________。

12.______;_______;_________。

28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。

13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。

14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。

15．隧道效应是指__________________________________________。

16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。

17．为氢原子的波函数，的取值范围分别
为。

18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。

19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__________。

20．力学量算符在态下的平均值可写为的条件为____________________________。

21．量子力学中的态是希尔伯特空间的____________；算符是希尔伯特空间的____________。

21．设粒子处于态，为归一化波函数，为球谐函数，则系数c的取值为，的可能值为
，本征值为出现的几率为。

22．原子跃迁的选择定则
为。

23．自旋角动量与自旋磁矩的关系
为。

24．为泡利算符，则，，。

25．为自旋算符，则，，。

26．乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是 ________________________，
_______________________________。

27．轨道磁矩与轨道角动量的关系是______________;自旋磁矩与自旋角动量的关系是
______________。

27．费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有______________,
玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有_________。

27．考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为（已归一化），则在态
下，自旋算符对自旋的平均可表示为_______________；对坐标和自旋同时求平均的结果可表示为______________________。

27．考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为（已归一化），则
的意义为_____________________；
_________________。

二、计算题
1．在和的共同表象中，算符和的矩阵分别为
，。

求它们的本征值和归一化本征函数，并将矩阵和对角化。

2．一维运动粒子的状态是
其中，求
（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子的平均动量。

（利用公式）
3．设在表象中，的矩阵表示为
其中，试用微扰论求能级二级修正。

（10分）
4．在自旋态中，求。

（10分）
5．各是厄密算符。

试证明，也是厄密算符的条件是对易。

6．在动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。

7．求自旋角动量在方向的投影
的本征值和所属的本征函数。

8．转动惯量为，电偶极矩为的空间转子处在均匀电场
中，如果电场很小，用微扰论求转子基态能量的二级修正。

（10分）
（基态波函数，利用公式
）
9．证明下列关系式：
1．， 2.
3. ,
4.
(其中为角动量算符，，为泡利算符，为动量算符)
10．设时，粒子的状态为，求此时粒子的平均动量和平均动能。

11．为厄密算符，（为单位算符），。

（1）求算符的本征值；（2）在A表象下求算符的矩阵表示。

12．已知体系的哈密顿量，试求出（1）体系能量本征值及相应的归一化本征矢量。

（2）将H对角化，并给出对角化的么正变换矩阵。

13．一质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，
， b为小量，用微扰法求粒子的能级（近似到一级）。

14．证明下列算符的对易关系。

1．；
2. ()
3.设算符与它们的对易式对易，即：
，证明：
15．设有两个电子，自旋态分别
，，证明两个电子处于自旋单态（）及三重态
（）的几率分别为：（20分）。

16．求自旋角动量在方向的投影
的本征值和所属的本征函数（20分）。

17．由任意一对已归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符。

试证明（1）
是厄密算符；（2）有；（3）的本征值为0和1（20分）。

18．设在表象中，的矩阵表示为，其中，试用微扰论求能级二级修正（14分）。

19．证明下列算符的对易关系（24分）：
1．
2. ()
3.设算符与它们的对易式对易，即：，
证明：
20．一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。

玻色子只有
两个可能的单粒子态。

问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？
21．求证在的共同本征态下，角动量沿与z轴成角的方向的分量的平均值为。

22．证明如算符有共同的本征函数完备集，则对易。

23．求及的本征值和所属的本征函数。

三问答题
1．电子在均匀电场中运动，哈密顿量为，试判断
各量中哪些是守恒量，为什么？
2．经典的波和量子力学中的几率波有什么本质区别？
3．量子力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力学量算符在自身表象中的矩阵是什
么形式？
4．什么是全同性原理和泡利不相容原理，二者是什么关系？
5．表明电子有自旋的实验事实有哪些？自旋有什么特征？
6．乌伦贝克关于自旋的的基本假设是什么？
7．什么是塞曼效应，对简单塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？8．什么是光谱的精细结构？产生精细结构的原因是什么？考虑精细结构后能级的简并度
是多少？9．
什么是斯塔克效应？
10．不同表象之间的变换是一种什么变换？在不同表象中不变的量有哪些？
11．量子力学中如何判断一个力学量是否是守恒量，量子力学中的守恒量和经典力学的守恒量定义有什么不同？
12．什么是定态？定态有什么性质？
13．量子力学中的守恒量是如何定义的？守恒量有什么性质？14．简述力学量与力学量算符的关系？
15．轨道角动量和自旋角动量有什么区别和联系？16．简述量子力学的五个基本假设。

17．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？18．什么是光电效应？光电效应有什么规律？
19．什么是光电效应？爱因斯坦是如何解释光电效应的。

20．简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的。

21．简述波函数的统计解释，为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。

22．能量的本征态的叠加还是能量本征态吗？为什么？
23．原子的轨道半径在量子力学中是如何解释的？
习题2
1.1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量
p 的自由粒子，满足德布洛意关系：
_____________________________
2. 假设电子由静止被150
伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长：
_____________________________ 3.
计算1K 时，
60C 团簇（由
60个C 原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长
_____________________________ 4. 计算对易式)](,?[x f p x 和)]?(,[x p f x ，其中x p ?为动量算符的
x 分量，)(x f 为坐标的x 函
数.
5. 如果算符
??、满足关系式
1?
???，求证
(1)
?
2?
???
22(2)
2
33
?3
?
???6. 设波函数
x x sin )(，求?
]
[]
[(2
2
dx
d x
x dx
d 7. 求角动量能量算符
i
L
z
?的本证值和本征态
8. 试求算符dx
d ie
F
ix
?的本征函数
9. 证明一维束缚定态方程的能量E 是非简并的
10. 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U ，证明粒子的定态波函数具
有确定的宇称
11. 一粒子在一维势场
a
x
a
x x
x U ，，，000)
(中运动，求粒子的能级和对应的波函数12. 设t=0时，粒子的状态为
]
cos [sin )
(2
1
2
kx kx
A x 求此时粒子的动量期望值和动能期望值13. 一维运动粒子的状态是
,
00,)
(x
x
Axe x x
当当其中0，求：
(1)粒子动量的几率分布函数； (2)
粒子的动量期望值。

14. 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为
a
，如果粒子的状态由波函数
)()(x a Ax x 描写，A 为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的期望值
.
15.设粒子处于范围在
],0[a 的一维无限深势阱中状态用函数
a
x a
x a
x 2
cos
sin 4)(，求
粒子能量的可能测量值及相应的几率16. 设氢原子处在
30
1)
,,(a r
e
a
r 的态（
0a 为第一玻尔轨道半径）
，求
(1)
r 的平均值；(2)势能
r
e
2
的平均值
17.质量为
m 的一个粒子在边长为
a 的立方盒子中运动，粒子所受势能
(,,)V x y z 由下式给
出：
0,0,;0,;0,(,,)
,x
a y
a z
a
V x y z others
；试写出定态薛定谔方程，并求系
统能量本征值和归一化波函数；18. 氢原子处于态
4331411041111
2
2
,,
333
r R Y R Y R Y 中，问（1）
,,
r 是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。

若不是，说明理由；
（2）在
,,
r 中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少
19. 在一维谐振子能量表象中写出坐标x 和动量p 的矩阵表示
20. 在t=0时，自由粒子波函数为
b
2x
b 2x bx
sin 2b 0
,x (1)
给出在该态中粒子动量的可能测得值及相应的几率振幅；
[
22
2
1)(22sin
)2()
(4
1x
x
p
b b
b p i b ]
(2) 求出几率最大的动量值；
b
p x
(3) 求出发现粒子在
x dp b b
区间中的几率；
[
x x
2
dp b
1dp )b (]
21. 设一体系未受微扰作用时有两个能级：
0201E E 及，现在受到微扰
H
?的作用，微扰矩阵元为
b H H a H H 22
11
2112，；b a 、都是实数。

用微扰公式求能量至二级修正值
22. 一维无限深势阱
)0
(a x
中的粒子受到微扰
)
2
()
1(2)
2
0(2
)
(a x
a a x a x a
x x H 作用，试求基态能级的一级修正。

)
2
2
1(
2
23. 具有电荷为q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁。

设入射光的能量为
)(I 。

其波长较长，求：
①原来处于基态的离子，单位时间内跃迁到第一激发态的几率。

2
1②讨论跃迁
的选择定则。

1
m 24. 电荷
e 的谐振子，在
0t
时处于基态，
0t
时处于弱电场
/
t e
之中(为常
数)，试求谐振子处于第一激发态的几率。

25.质量为m 的粒子处于位势
其他
和a
z 0a y 0,a x 00z
,y ,x V 中。

假设它又经受微扰bxy H
?，试求第一激发态能量的一级修正。

26. 用试探波函数
a
/x )
x (e
，
估计一维谐振子基态能量和波函数
27.设粒子在一维空间中运动，其哈密顿量为
H ，它在H 0表象中的表示为
0E E
E E H
?，
A.求
H 的本征值和本征态；
E E E 0，1
1
21
u
E E E
, 1
12
1u
B.若
t =0时，粒子处于
1
，它在
0H
?表象中的表示为0
1。

试求出t > 0时的粒子波
函数；
Et
sin i Et cos e
t
iE 028. 一个电荷为的一维谐振子受到弱电场的作用，利用微扰理论求能量至二级修正值并与其精确结果比较
28. 若S
?是电子的自旋算符，求(1)
x S
?z S ?x S ?y S ?x S ?=? (2)
?S ?S
?29. 二个自旋
2
1的粒子组成的系统由等效哈密顿算符
2
121)(?S S B S S A H
z z 描述，其中
2
1,S S 是二个自旋，
z z S S 21,是他们的分量，B A,为常数，求系统的所有能级
30. 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。

玻色子只有两个可能的单粒子态。

问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？31.一量子体系的哈密顿算符
???,H H H
在0?H 表象中
40?0
200
1
H
，
00?000
k H
k 其中常数
1k
，
（1）用微扰法求体系的能级，精确到二级近似；（2）求出体系能量的精确解，并与（
1）式结果比较
南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学
(一) 20分有半壁无限高势垒的一维阱
a
x
a x
x
V x V 0000
在
0V E 的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至
少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？
（二）20分一个取向用角坐标
和
确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：
2
cos ??2
2
B
L
A H ，式中A 和
B 均为常数，且B A
，2?L 是角动量平方
算符，试用一级微扰论计算系统的p 能级（1l ）的分裂，并标出微扰后的零级近似波
函数。

（三）20分求在一维无限深势阱中，处于
x
n
态时的粒子的动量分布几率
2
p
n。

（四）20分试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果：（1）
i j
x i p j
x i p
e
e
e
2
1
????????？式中
i ?和j ?分别是x 和y 方向的单位矢量。

（2）
)
(????,?'
x f p i
p x f p p
x x x x ？式中
x
i
p
x ?，
（3）系统的哈密顿算符为
r
V p H
2
??2
，设
r
n
是归一化的束缚态波函数，则
有：
n
n
n
n
r
V r p 2
1
2?2
？
（五）20分碱金属原子处在
z 方向的外磁场
B 中，微扰哈密顿为
B ls H
H H
???1
，其中
S
L dr
dV r c
H
ls 12
1?2
2
，
Z
Z B
S L c
eB H 22，
当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函
数，能使微扰计算比较简单，为什么？
注：
im
m l
lm
e
m l
m l l Y P
cos
!
!4
12x x
P 01
；2
/121
11
x
x
P ；
x
x
x
P
2
/1212
1
32
22
13x
x P
南京大学1999年硕士研究生考试试题——量子力学专业: 理论物理、粒子物理与原子核物理
(20分)一、 t ＝0时，粒子的状态为
][sin )(2
kx A x ，求此时动量的可能测值和相应的
几率，并计算动量的平均值。

二、粒子被约束在半径为 r 的圆周上运动
(20分) (a)
设立“路障”进一步限制粒子在
的一段圆弧上运动：
)
2(
)
0(0)
(0
V 求解粒子的能量本征值和本征函数。

(10分) (b)
设粒子处在情形
(a)的基态，求突然撤去“路障”后，粒子仍然处于最
低能量态的几率是多少
?
(20分)三、边长为 a 的刚性立方势箱中的电子，具有能量
2
2
23
ma
，如微扰哈密顿
bxy H 1
，试求对能量的一级修正
(式中
b 为常数)。

(15分) 四、对自旋为1／2的粒子，S y 和 S z 是自旋角动量算符，求
AS y +BS z 的本征函数和本
征值(A 和B 是实常数)。

(15分)
五、已知t=0时，一维自由粒子波函数在坐标表象和动量表象的表示分别是
)/exp()exp()(02
h x ip x Nx x ；
]
)(exp[)()(2
00p p b p p
c p 式中
b c N 、、、和0p 都是已知实常数．试求
t=0和t>0时粒子坐标和动量的平均
值,
??
t t p
x
，（
A
?表示力学量算符
A
?的平均值）。

*
a
a
dx
e
x ax
41
2
2南京大学2000年硕士研究生入学考试试题——
量子力学专业:理论物理,凝聚态物理,光学等
一.一维谐振子处在
2
22
12
/1)
(x
e
x 状态, m
, 求:
(1) 势能的平均值 (7分) (2) 动能的几率分布函数
(7
分) (3) 动能的平均值 (7
分)
提示:
dx
e
i x 2
)(二.质量为m 的粒子在一维势场
0)(V x V a
x
a x x
00中运动
,求,
(1) 决定束缚态能级的方程式 (15分) (2) 至少存在一个束缚态的条件
(5
分)
三.质量为m 的粒子在一维势场
cx
x V )
(a
x
a
x x 0
,0中运动,其中
c 是小
的实常数，试用微扰论求准到c 一次方的基态能量
. (20
分)
四.
两个自旋
2
1的非全同粒子系的哈密顿量
)]
2(?)1(?
[?S S J H s
J 求
s H
?的能量本征值和相应的简并度. (20
分)
五．(1) 设氢原子处于沿z 方向的均匀静磁场
B 中, 不考虑自旋,在弱磁场情形下求
n=2能级
的分裂情况. (10分)
(2) 如果沿
z 方向不仅有均匀静磁场
B ,还有均匀静电场E , 再用微扰论求
n=2能级的
分裂情况. (9
分)
提示: a
z 3210200南京大学2001年硕士研究生入学考试试题———量子力学
专业：理论物理、、凝聚态物理、
光学等一、有一质量为
的粒子处于长度为
a 的一维无限深势阱中
a
x
a
x x x
V 0
,0;0,，在t=0
时刻，粒子的状态由波函数
a
x
x a
Ax a x x x
),(;0,0描述。

求：
（20分）
1.归一化常数
A;
2.粒子能量的平均值；
3.t=0时刻，粒子能量的几率分布；
4.
人艺t>0时刻的波函数的级数表达式。

提示：
96
14
5
,3,14
n n
二、考虑势能为
,00,0x
x V x V 的一维系统，其中
V 为正常数。

若一能量为E 的粒子从
x
处入射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑
E 的所有可能值。

（20分）
三、有一质量为
的粒子，在一维谐振子势场
2
2
2
1x x
V 中运动。

在动能
2
2
p T
的非
相对论极限下，基态能
2
10
E ，基态波函数为
2
4
1
2
exp
x
x。

考虑T 与p 的关系的相对论修正，计算基态能级的移动
E 至
2
1c
阶。

（c 为光速）（20分）
四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。

可将这些电子看成束缚在一个尺度为晶格常数的三维无限深势阱中。

晶体处于室温，试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁波的最长的波长。

（20分）
提示：电子质量
fm MeV c MeV mc
197,511.02
，晶格常数0
1A
a
五、考虑自旋
2
1S
的系统，
1．求算符
z y
S
B S A T
???的本征值和归一化本征波函数；（A 、B 为实常数）
2．若此时系统正处在
T
?的某一个本征态上，求此时测量y S
?结果为2
的几率。

（20
分）
南京大学2002年硕士研究生入学考试试题———量子力学
一、一维自由粒子的状态由波函数
kx kx
x cos 2
1sin 2
描述。

求粒子的动量平均值和
动能平均值。

（20分）二、粒子被约束在半径为
r 的圆周上运动
1）设立“路障”进一步限制粒子在
的一段圆弧上运动，即
2
,
0,00
V
，求解粒子的能量本征值和本征函数；
2）设粒子处在上述情形的基态，现突然撤去“路障”
，问撤去“路障”后，粒子仍然处在最低能量态的几率是多少？（20
分）提示：在柱坐标系下
2
2
2
2
2
2
1
1z
u
u
u u
三、设算符
???N
a
a 且??,1a a ，证明：如果
是
N
?的本征函数，对应的本征值为，那么，波函数
a
?1
也是
N
?的本征函数，对应的本征值为
1，而波函数
a
?2
也是
N
?的本征函数，对应的本征值为1。

（20分）
四、一个粒子在二维无限深势阱
elsewhere
a
y x x
V ,,0,0中运动，设加上微扰
xy
H 1
a
y x,0，求基态和第一激发态的一阶能量修正（20分）
五、若电子处于
z S ?的本征态，试证在此态中，y
S ?取值为
2
或
2
的几率各为
2
1。

（20
分）
南京大学2003年硕士研究生入学考试试题——量子力学专
业:
理论物理,凝聚态物理
一、一个质量为
的粒子处于一维谐振子势
2
2
12
V x
x 中运动，
为谐振子的本征振动
频率。

如果
0t 时，该粒子处于态
2
1,0
3
x x c
x
，其中
x
和
2
x
分别为一维谐振子的基态和第二激发态的能量本征波函数，
c 为待定常数且
0c。

1）根据归一化条件，求待定常数c ；
（5分）2）求t 时刻粒子所处的状态
,x t
；（5分）
3）求测量粒子的能量所能得到的可能值和测到这些值的几率；（10分）
4）
求粒子能量的平均值；
（5分）
5）若在
t
时刻，粒子所处的势场突然变为
'
2
2
13
V
x
x ，求粒子在
时刻处于
新的势场
'
V x
的第一激发态的几率。

（5分）
二、一根长为l 的无质量的绳子一端固定，另一端系质点
m 。

在重力作用下，质点在竖直平面
内摆动，
1）写出质点运动的哈密顿量；（10分）2）在小角近似下求系统的能级；（10分）
3）求由于小角近似的误差而产生的基态能量的最低阶修正。

（10分）
提示：质量为
m
，本征频率为
的一维谐振子的基态波函数为
2
2
1exp
2
x C x
，其中
C 是归一化常数，
m
；
2
exp
x dx。

三、质量为
的粒子从左向右作一维运动，穿越了一个宽度为
a ，高度为0
V 的一维势垒
0 ||/2||/2
x a V x
V x a 。

设粒子的能量
E V 。

试求发生共振透射（即透射系数为
1）的条件。

（30分）
四、两个自旋为1/2的粒子组成的系统由哈密顿量
1212z z H
A S S BS S 描述，其中1
S 和分别是两个粒子的自旋，而1z S 和2z S 则分别是这两个粒子自旋的
z 分量，A 和B 是实
常数。

求该哈密顿量的所有能级。

（30分）
五、一个质量为
，带电荷为q 的粒子，束缚在宽度为
a
的一维无限深势阱
0 ||/2
||/2
x a V x
x a 中运动。

如果在入射光的照射下，该粒子能在不同能级间发生
偶极辐射跃迁，求跃迁的选择规则。

（30分）
六、两个粒子被束缚在一个边长为
a b c 的长方体盒子中运动，粒子间的相互作用势能为
12
12
,V x x A
x x 可以作为微扰，其中
1x 和2x 分别为两个粒子的坐标，
A 为实常
数。

分别就以下两种情形求体系的最低能量态的能量，要求准至A 的一次方。

1）两个粒子为自旋为零的全同玻色子；（15分）
2）两个粒子为自旋为
1/2的全同费米子，且这两个粒子的自旋平行
(即总自旋为
1)。

（15
分）
南京大学2004年硕士研究生入学考试试题——
量子力学
一、已知电子质量为
，电子电量为(-e)，回答以下问题：
1)一个电子被限制在宽度为
a 的一维无限深势阱中运动，请写出该体系的能级公式；（5
分）
2)五个电子被限制在宽度为
a 的一维无限深势阱中运动，不考虑电子和电子之间的库仑
相互作用，请写出该体系的基态和第一激发态的能级公式。

（10分）
3)一个电子处于一维谐振子势场
2
2
2
1x 中运动，其中
是谐振子的本征园频率，
x 是
电子的坐标，请写出该体系的能级公式。

（5分）
4)如果电子在上题中的一维谐振子势场中运动，并且假定电子恰好处在某个能量本征态
上，求电子的坐标和动量的平均值，这些平均值随时间变化么？（10分）
5)请写出氢原子体系的能级公式和电子的基态波函数，这里假定原子核是不动的；
（10
分）
6)假定氢原子处于基态，求电子势能
r
e
2
的平均值，其中r 是电子的径向坐标。

（10
分）
二、假定电子的波函数在球坐标体系下写为：
)()cos sin
()
,,(r g e r i ，其中
)(r g 仅是径向坐标
r 的函数。

1）求角动量平方
2
?L 的可能测量值和相应的几率；
（10分）
2）求角动量的
z 分量z
L ?的可能测量值和平均值。

（10分）三、
S 代表电子的自旋算符，)
cos ,sin sin ,cos (sin n 为从原点指向单位球面上
),(方向上的单位向量，其中
是纬度，
是经度。

1)
在),(2
z S S
表象下求自旋S 在n 方向上的投影S n S n
的本征值和相应的本征波函
数。

（10分）2)
假定电子处于
n S 的某个本征态，那么测量
z S 会得到哪些数值，相应的几率是多少，
测量
z S 的平均值又是多少？（
10分）
四、一个质量为m ，无电荷但自旋为
1/2，磁矩为
s 0
2
的粒子在一维无限深势阱
L
x L x x V ;
;
0)
(中运动，其中
和L 是正常数，x 是粒子的坐标，s 是粒子的自旋
算符。

现在考虑在0x
的半空间中有一沿
z 方向的均匀磁场，其大小为
B ，而在
0x
的半空
间有一同样大小但沿x 方向的均匀磁场。

在弱磁场极限下用微扰论找出体系基态的能级和波函
数，并指出
B 能作为弱磁场处理的具体条件。

（微扰只须计算到最低阶，自选空间的波函数在
Pauli 表象下写出。

）（30分）五、一个质量为m 的无自旋的粒子在三维情形下与一个球对称势
)()(a r C r V 作用，其
中C ，
a 为正常数，
r 是径向坐标，为了保证该体系至少有一个束缚态存在，试问
C 的值最小可
以取多少？（30分）
六、一个质量为m 的无自旋的粒子受到中心势
)/(cosh 1
)
(2
2
2
a r ma r V 的散射，其中
a 是
常数。

已知方程0cosh 22
2
2
2
y
x
y
k dx
y d 有解)(tanh ik x e
y
ikx
，在低能极限下，求
粒子能量为E 时，s 分波的散射截面及其角分布。

（30分）
南京大学2005年硕士研究生入学考试试题——
量子力学
一、问答题
1、试述量子态的叠加原理。

（5分）
讨论自由粒子的波函数是否一定是平面波？问什么？（5分）
2、为什么波函数
),(t x 必定是复数？（
5分）
一维定态薛定谔方程的解
)(x 是否也必定是复数？（
5分）
3、以下的波函数是否代表同一个量子态，并说明为什么：（1）、
),(t x 和),(t x e
i
，其中
是实常数；（5分）
（2）、
),(t x 和),()
(t x e
z i ，其中
)(x 是实函数。

（5分）
4、为什么力学量算符
A
?应是线性厄米算符？（10分）
5
、为什么全同粒子的波函数对于粒子的交换应是对称或反对称的？（
10分）
二、质量为的粒子在一维无穷深势阱中运动，
a
x
a x x V ;
1;0)
(其中
a 是正实数，求解定态薛定谔方程。

（20分）
三、质量为
的粒子在一维势场中运动，势能为：
x
;0 x ;2
1
)
(2
2
x x V ，
其中x>0区)(x V 为谐振子势能，求解基态的能量和归一化的波函数。

（20分）
四、设质子是半径为
R 的薄球壳，其电荷
e 均匀分布在球壳表面上。

对于氢原子，以电子所受
势能偏离质子为点粒子模型时的值为微扰，求氢原子第一激发态能量的一级修正)
1(2E
（积
分公式列出后不必计算）。

（20分）
五、中子有内禀磁矩：
S Mc
e g M
?
?，其中g=1.9，M 为中子质量。

当自旋在z 方向向上极
化的中子束，沿x 轴作一维运动时，在x<0区没有磁场而在
x>0区域存在恒定磁场
B ，其
方向沿z 方向。

若能量
Mc
B e g
E 2，求解中子的一维散射运动。

（20分）
六、求两个关在一维无穷深势阱
a
x
a x x V 0, x ;0;0)(（
a 为正常数）
中，并以接触势
)1()()
,(21
21d
x x d x x U 相互作用的全同中子系统的零级近似
归一化波函数（考虑自旋态），并以接触势为微扰，求准到一次方的基态能量。

（20分）
南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学
(一) 20分有半壁无限高势垒的一维阱
a
x
a x
x
V x V 0000
在
0V E
的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至
少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？
（二）20分一个取向用角坐标
和
确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：
2
cos ??2
2
B
L
A H ，式中A 和
B 均为常数，且B A
，2?L 是角动量平方
算符，试用一级微扰论计算系统的p 能级（1l ）的分裂，并标出微扰后的零级近似波
函数。

（三）20分求在一维无限深势阱中，处于
x
n
态时的粒子的动量分布几率
2
p
n。

（四）20分试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果：
（1）
i j
x i p j
x i p
e
e
e
2
1
????????？式中
i ?和j ?分别是x 和y 方向的单位矢量。

（2）
)(????,?'
x f p
i
p x f p p
x x x x ？式中
x
i
p
x ?，
（3）系统的哈密顿算符为
r
V p H
2
??2
，设
r
n
是归一化的束缚态波函数，则
有：
n
n
n
n
r
V r p 2
1
2?2？
（五）20分碱金属原子处在
z 方向的外磁场
B 中，微扰哈密顿为
B ls H
H H
???1
，其中
S
L dr
dV r c
H
ls 12
1?2
2
，
Z
Z B
S L c
eB H 22，
当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函
数，能使微扰计算比较简单，为什么？
注：
im
m l
lm
e
m l
m l
l Y P
cos
!
!412x x
P 01
；
2
/1211
1
x
x
P
；
x
x
x
P
2
/1212
1
32
22
13x
x P
南京大学1999年硕士研究生考试试题——量子力学专业: 理论物理、粒子物理与原子核物理
(20分)一、 t ＝0时，粒子的状态为
][sin )(2
kx A x ，求此时动量的可能测值和相应的
几率，并计算动量的平均值。

二、粒子被约束在半径为 r 的圆周上运动
(20分) (a)
设立“路障”进一步限制粒子在
的一段圆弧上运动：
)
2(
)
0(0)
(0
V 求解粒子的能量本征值和本征函数。

(10分) (b)
设粒子处在情形
(a)的基态，求突然撤去“路障”后，粒子仍然处于最
低能量态的几率是多少
?
(20分)三、边长为 a 的刚性立方势箱中的电子，具有能量
2
2
23
ma
，如微扰哈密顿
bxy H 1
，试求对能量的一级修正
(式中
b 为常数)。

(15分) 四、对自旋为1／2的粒子，S y 和 S z 是自旋角动量算符，求
AS y +BS z 的本征函数和本。