2022高考数学立体几何外接球专题(含解析)

知识梳理
模型一、圆柱外接球
结论：4
2
2
h r R +=
（R：外接球半径 h：圆柱高 r：圆柱底面半径）
推导：
模型一推广：
（1）直棱柱
4
2
2
h r R += （h:圆柱的高 r:直棱柱底面外接圆半径 ）
学 科 数学 教师姓名 教材版本 人教版新教材
学生姓名
所在年级
上课时间
课题名称
外接球问题
教学目标 1、圆柱和圆锥的外接球模型
2、有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥外接球
3、利用模型解决相关棱柱和棱锥外接球问题
教学重点 教学难点
（2）侧面为三角形，底面为矩形，侧面和底面垂直的四棱锥
（3）侧棱垂直于底面的棱锥
【2017深二模】
已知三棱锥S-ABC，△ABC是直角三角形，其斜边AB=8，SC⊥平面ABC，SC=6，则三棱锥的外接球的表面积为( )
（A）64π（B）68π（C）72π（D）100π
模型二、圆锥外接球
结论：h
h r R 22
2+=
（R：外接球半径 h：圆锥高 r：圆锥底面半径）
推导：
模型二推广：
（1）棱锥（上顶点在底面外心正上方）外接球
h
h r R 222+= （h:棱锥的高 r:棱锥底面外接圆半径 ）
【2018深一模】
如图，网格纸上小正方形的边长为1，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（）A．B．C．16πD．25π
【2017全国一卷文 16】
已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，
三棱锥S−ABC的体积为9，则球O的表面积为______________．
【2019 全国一卷理 12】
已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A．B．C．D
模型一、二总结
题型：求几何体的外接球
模型一： 4
2
2
h r R += （圆柱模型） 模型二： h h r R 222+=
（圆锥模型）
适用于： 适用于：
1、所有的圆柱、直棱柱 上顶点在底面外心正上方的棱锥
2、侧棱垂直于底面的棱锥
3、侧面为任意三角形，底面为矩形， 且侧面垂直于底面的四棱锥
模型三、有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥 ，球心在公共斜边的中点处
如下图，∠ABC=∠ADC=90°，则O 为外接球球心
1、在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为
A. π12125
B.π9125
C.π6125
D.π3
125
2.三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O
的球面上，且SA AC SB BC ====4SC =，则该球的体积为
A 2563π
B 32
3
π C 16π D 64π
专题练习
类型一 构造法（补形法）
【例1】已知是球上的点， , ， ,则球的表面积等于________________．
【例2】【辽宁省鞍山一中2019届高三三模】刘徽《九章算术•商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．3π
D ．4π
,,,S A B C O SA ABC ⊥平面AB BC ⊥1SA AB =
=BC =
O
【举一反三】
1、【山东省济宁市2019届高三一模】已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为A．B．C．D．
2、【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】在三棱锥S−ABC中，
，则三棱锥S−ABC外接球的表面积为（）A．25ΠB．C．50ΠD．
3、【河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（五)】某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（）
A．7πB．8π
C．9πD．10π
类型二 正棱锥与球的外接
【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A ． B ． C ． D ．
【举一反三】
1、球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S-ABC 的体积的最大值为( )
A .3
3 B . 3 C ．2 3 D ．4
2. 【四川省德阳市2018届高三二诊】正四面体ABCD 的体积为，则正四面体ABCD 的外
接球的体积为______．
814π16π9π274
π
3、【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次检查】正三棱锥P −ABC 中，√2PA =AB =4√2，点E 在棱PA 上，且PE =3EA .正三棱锥P −ABC 的外接球为球O ，过E 点作球O 的截面α，α截球O 所得截面面积的最小值为__________．
类型三 直棱柱的外接球
【例4】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,， 则此球的表面积等于 .
【举一反三】
1、【云南省2019年高三第二次统一检测】已知直三棱柱
的顶点都在球O 的球面
上，AB =AC =2，BC =2√2，若球O 的表面积为72Π，则这个直三棱柱的体积是（ ） A ．16 B ．15
C ．
D ．
2、已知三棱柱的6个顶点都在球
的球面上,,,,则球的半径为（
）
A B ． C
．
D ．
3、 正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最
111ABC A B C -12AB AC AA ===120BAC ∠=︒111ABC A B C -O 34AB AC ==，AB AC ⊥112AA =O 132
1111ABCD A B C D -R
值，为 .
答案与解析
类型一 构造法（补形法）
【例1】已知是球上的点， , ， ,则球的表面积等于________________． 【答案】 【解析】
由已知S,A,B,C 是球O 表面上的点，所以 ，又，
，所以四面体的外接球半径等于以长宽高分别以SA,AB,BC 三边长为长方体的外接球的半径，因为， ,
所以，所以球的表面
积.
【指点迷津】当一三棱锥的三侧棱两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为长方体（正方体）来解.长方体的外接球即为该三棱锥的外接球.
【例2】【辽宁省鞍山一中2019届高三三模】刘徽《九章算术•商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．3π
D ．4π
,,,S A B C O SA ABC ⊥平面AB BC ⊥1SA AB ==BC =O 4πOA OB OC OS ===SA ABC ⊥平面AB BC ⊥S ABC -1SA AB ==BC =22,1R R ==O 2
44S R ππ==
【答案】B
【解析】
由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球，
由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为1，
∴长方体的一个顶点处的三条棱长分别为1，1，1，
∴长方体的对角线为，∴外接球的半径为，
∴外接球的体积为.
故选：B．
【指点迷津】当一四面体或三棱锥的棱长相等时，可以构造正方体，在正方体中构造三棱锥或四面体，利用三棱锥或四面体与正方体的外接球相同来解即可.
【举一反三】
1、【山东省济宁市2019届高三一模】已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
如图所示，将直三棱柱补充为长方体，
则该长方体的体对角线为，
设长方体的外接球的半径为R，则2R=4，R=2,
所以该长方体的外接球的体积，
故选C.
2、【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】在三棱锥S−ABC中，
，则三棱锥S−ABC外接球的表面积为（）
A．25蟺B．C．50蟺D．
【答案】C
【解析】
解：如图，
把三棱锥S−ABC补形为长方体，设长方体的长、宽、高分别为，
则，
∴三棱锥外接球的半径
∴三棱锥S−ABC外接球的表面积为．
故选：C．
3、【河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（五)】某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（）
A ．7π
B ．8π
C ．9π
D ．10π 【答案】C 【解析】
由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，此三棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，易得其外接球的直径为
，从而外接球的表面积为9π.
故答案为：C.
类型二 正棱锥与球的外接
【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A ．
814π16π9π274
π
【指点迷津】求正棱锥外接球的表面积或体积，应先求其半径，在棱锥的高上取一点作为外接球的球心，构造直角三角形，利用勾股定理求半径. 【举一反三】
1、球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S-ABC 的体积的最大值为( )
A .3
3 B . 3 C ．2 3 D ．
4 【答案】A
【解析】 (1)由于平面SAB ⊥平面ABC ，所以点S 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上，根据球的对称性可知，当S 在“最高点”，即H 为AB 的中点时，SH 最大，此时棱锥S -ABC 的体
积最大．学科*网
因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以球的半径r ＝OC ＝23CH ＝23×32×2＝23
3.
在Rt △SHO 中，OH ＝12OC ＝3
3，
所以SH ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫2332－⎝ ⎛⎭
⎪⎫332＝1， 故所求体积的最大值为13×34×22×1＝3
3.
2. 【四川省德阳市2018届高三二诊】正四面体ABCD 的体积为，则正四面体ABCD 的外接球的体积为______． 【答案】
【解析】 解：如图，
设正四面体ABCD 的棱长为x ，过A 作AD ⊥BC ， 设等边三角形ABC 的中心为O ，则AO =2
3AD =
√3
3
x ，
，
，即x=√2a．
再设正四面体ABCD的外接球球心为G，连接GA，
则，即．
∴正四面体ABCD的外接球的体积为.
故答案为：．
3、【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次检查】正三棱锥P−ABC中，√2PA=AB=4√2，
点E在棱PA上，且PE=3EA.正三棱锥P−ABC的外接球为球O，过E点作球O的截面α，α截球O所得截面面积的最小值为__________．
【答案】3π
【解析】
因为PA=PC=PB=4,AB=AC=BC=4√2，所以PA2+PC2=AC2，
所以∠CPA=π
2，同理∠CPB=∠BPA=π
2
，
故可把正三棱锥补成正方体（如图所示），其外接球即为球O，直径为正方体的体对角线，故2R=4√3，设PA的中点为F，连接OF，
则OF=2√2且OF⊥PA，所以OE=√8+1=3，
当OE⊥平面α时，平面α截球O的截面面积最小，
此时截面为圆面，其半径为√(2√3)2−32=√3，故截面的面积为3π．填3π．
类型三 直棱柱的外接球 【例4】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,， 则此球的表面积等于 . 【答案】
【解析】在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积
为.
【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上，确定球心，用球心、一底面的外接圆的圆心，一顶点构成一个直角三角形，用勾股定理得关于外接球半径的关系式，可球的半径. 【举一反三】
1、【云南省2019年高三第二次统一检测】已知直三棱柱
的顶点都在球O 的球面
上，AB =AC =2，BC =2
√2，若球O 的表面积为72蟺，则这个直三棱柱的体积是（ ） A ．16 B ．15 C ．
D ．
【答案】A 【解析】 由题，
，
因为AB =AC =2，BC =2√2，易知三角形ABC 为等腰直角三角形， 故三棱柱的高
故体积V =1
2脳2脳2脳8=16 故选A
111ABC A B C -12AB AC AA ===120BAC ∠=︒ABC ∆2AB AC ==120BAC ∠=︒BC =ABC ∆O 'O RT OBO '∆R =2
420R ππ=
2、已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,,则球的半径为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】由球心作面ABC 的垂线，则垂足为BC 中点M.计算AM=
，由垂径定理，OM=6，所以半径
,选C.
3、 正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最
值，为 . 【答案】大
111ABC A B C -O 34AB AC ==，AB AC ⊥112AA =O 2
132
5
2
132
=1111ABCD A B C D -R。