2020-2021学年北京市海淀区高二下学期期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年北京市海淀区高二下学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共13小题，共58.0分） 1.
已知等差数列{a n }，满足a 2=3，a 3=2，则公差d =( )
A. −1
B. 1
C. −2
D. 2
2.
若函数f(x)=2x +cosx 的导函数是f′(x)，则f′(π
6)=( )
A. 3
2
B. 5
2
C. 2−√32
D. 2+√32
3.
四棱锥是正四棱锥的一个充分但不必要条件是( )
A. 各侧面都是正三角形
B. 底面是正方形，各侧面都是等腰三角形
C. 各侧面是全等的等腰三角形
D. 底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形
4.
函数f(x)=
√x 23
e x
在x ∈[−2,2]上的极值点的位置有( )
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
5.
已知定义在R 上的函数f(x)，g(x)满足f(x)
g(x)=a x ，且f′(x)g(x)>f(x)g′(x),f(1)
g(1)+f(−1)
g(−1)=5
2，若有穷数列{f(n)
g(n)}(n ∈N ∗)的前n 项和等于126，则n 等于( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
6.
用数学归纳法证明“1+a +a 2+⋯+a 2n+1=1−a 2n+21−a
，(a ≠1)”，在验证n =1时，左端计算
所得项为( )
A. 1+a +a 2+a 3+a 4
B. 1+a
C. 1+a +a 2
D. 1+a +a 2+a 3
7.
下列图象中，可以表示函数y =f(x)的图象的是( )
A.
B.
C. D.
8.已知{a n}满足对一切正整数n均有a n+1>a n且a n=n2+λn恒成立，则实数λ的范围是()
A. λ>0
B. λ<0
C. λ>−1
D. λ>−3
9.已知a>0，那么a−2+4
a
的最小值是()
A. 1
B. 2
C. 4
D. 5
10.观察此数列1，3，6，10，x，21，28，…，项之间的关系并推测出x的值是()
A. 12
B. 15
C. 17
D. 18
11.函数f(x)对任意的x∈R都有f(x)=f(2−x)，且当x≠1时，其导函数f′(x)满足xf′(x)>f′(x)，
若1<a<2，则()
A. f(2a)<f(2)<f(log2a)
B. f(2)<f(log2a)<f(2a)
C. f(log2a)<f(2a)<f(2)
D. f(log2a)<f(2)<f(2a)
12.(滚动单独考查)若函数f(x)=lnx+(x−b)2(b∈R)在区间上存在单调递增区间，则实
数b的取值范围是()
A. B. C. (−∞,3) D. (−∞,)
13.已知直线y=x+1与曲线y=alnx相切，若a∈(n,n+1)(n∈N∗)，则n=()(参考数据：ln2≈
0.7，ln3≈1.1)
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
二、单空题（本大题共7小题，共34.0分）
14.在点(1,1)处的切线方程。

15.已知数列{a n}是等差数列，且a2+a6+a7+2a10=15，数列{a n}的前n项和为S n，则S13=______．
16.已知数列{a n}的前n项和为S n，若2S n=3a n−2(n∈N∗)，则a5=______ ．
17.函数y=x2在点(n,n2)(n∈N+)处的切线记为l n，直线l n，l n+1及x轴围成的三角形的面积记为S n，
则1
S1+1
S2
+1
S3
+⋯+1
S n
=______．
18.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如表．
每户每月用水量
水价 不超过12m 3的部分
3元/m 3 超过12m 3但不超过18m 3的部分 6元/m 3 超过18m 3的部分
9元/m 3
已知某户10月份用水量超过20m 3，则该户该月应缴纳的水费y(元)关于用水量x(m 3)的函数关系式是y =______．
19. 已知f(x)=ax 2+bx 是定义在[a −1,3a]上的偶函数，那么a +b = ______ ． 20. 已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2+4y −96=0，有下列结论： ①x +y 的最小值为−2−10√2；
②对任意实数m ，方程(m −2)x −(2m +1)y +16m +8=0(m ∈R)与题中方程必有两组不同的实
数解；
③过点M(0,18)向题中方程所表示曲线作切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为y =3； ④若x ，y ∈N ∗，则xy 的值为36或32． 以上结论正确的有______ (用序号表示) 三、多空题（本大题共1小题，共4.0分）
21. 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .若a 1=1，a 4=64，则q = ，S 3= ． 四、解答题（本大题共5小题，共54.0分）
22. 已知无穷数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =Aa n 2+Ba n +C ，其中A 、B 、C 是常数．
(1)若A =0，B =3，C =−2，求数列{a n }的通项公式；
(2)若A =1，B =1
2，C =1
16，且a n >0，求数列{a n }的前n 项和S n ； (3)试探究A 、B 、C 满足什么条件时，数列{a n }是公比不为−1的等比数列．
23. 某品牌的汽车4S 店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示：
付款方式 分1期
分2期
分3期
分4期
分5期
频数
40
20
10
已知分3期付款的频率为0.2，4S 店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元;分2期或3期付款，其利润为1.5万元;分4期或5期付款，其利润为2万元.用表示经销一辆汽车
的利润．
(1)求上表中的值；
(2)若以频率作为概率，求事件:“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”
的概率；(3)求的分布列及数学期望．
24. 已知函数f(x)=x2−2x+2+alnx(a∈R)．
(1)若a=1，求函数f(x)在A(1,1)处的切线方程；
(2)若函数y=f(x)有两个极值点x1，x2，且x1<x2，证明：f(x2)>5−2ln2
．
4
25. 已知公差不等于0的等差数列{a n}中，a2=5，a1，a3，a11成等比数列．
(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；
}的前n项和为T n，求证∀n∈N∗，都有6T n<1．
(Ⅱ)设数列{1
a n a n+1
x3−(1+a)x2+4ax+24a，其中常数a>1．
26. 设函数f(x)=1
3
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．
参考答案及解析
1.答案：A
解析：解：∵等差数列{a n }，满足a 2=3，a 3=2， ∴公差d =a 3−a 2=2−3=−1． 故选：A ．
利用等差数列的通项公式求解．
本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的公差的合理运用．
2.答案：A
解析：解：函数的导数f′(x)=2−sinx ， 则f′(π
6)=2−sin π
6=2−1
2=3
2， 故选：A ．
求函数的导数，利用代入法进行求解即可．
本题主要考查函数的导数的计算，根据函数的导数公式进行计算是解决本题的关键．比较基础．
3.答案：A
解析：解：各侧面都是等边三角形四棱锥是正棱锥，但是正四棱锥侧面的三角形腰和底边不一定相等，
故各侧面都是正三角形是四棱锥是正四棱锥的一个充分但不必要条件， 故选：A
根据正四棱锥的定义以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
4.答案：B
解析：解：f′(x)=2
3x 13
−x
2
3e x
=
23−x x 13e x
；
∴−2≤x <0时，f′(x)<0，0<x <2
3时，f′(x)>0，2
3<x ≤2时，f′(x)<0； ∴x =2
3是f(x)唯一的极值点． 故选B ． 求导数得出f′(x)=23−x x 13e x
，这样根据导数在区间[−2,2]上的符号便可得出f(x)的极值点，从而找出正
确选项．
考查商的导数的计算公式，函数极值点的定义及求法．
5.答案：C
解析：试题分析：首先由已知条件结合导数大于0判断出a x 为实数集上的增函数，由此得到a >1，再由f(1)
g(1)+f(−1)
g(−1)=a +1
a =5
2求出a 的值，然后利用等比数列的前n 项和公式求解n 的值． 由[f(x)
g(x)]′=
f ′(x)g(x)−f(x)
g ′(x)
g 2(x)
，
而f′(x)g(x)>f(x)g′(x)，所以[f(x)
g(x)]′>0， 即函数f(x)
g(x)=a x 为实数集上的增函数， 则a >1．
又f(1)
g(1)+f(−1)
g(−1)=a +1
a =5
2，解得a =2． 则数列{f(n)
g(n)}(n ∈N ∗)为数列{2n }，
此数列是以2为首项，以2为公比的等比数列， 由前n 项和等于126，得126=2(1−2n )1−2
=2n+1−2，解得n =6．
故选C ．
6.答案：D
解析：解：
∵等式“1+a +a 2
+⋯+a 2n+1
=
1−a 2n+21−a
，
(a ≠1)”左端和式中a 的次数由0次依次递增，当n =k 时，最高次数为(2k +1)次，
∴用数学归纳法证明“1+a +a 2+⋯+a 2n+1=1−a 2n+21−a
，(a ≠1)”，在验证n =1时，左端计算所
得项为1+a +a 2+a 3， 故选：D ．
当n =1时，左端的a 的次数由0次依次递增，最高次数为(2n +1)次，从而可知n =1时，左端计算所得项．
本题考查数学归纳法，考查观察、分析与推理能力，属于中档题．
7.答案：C
解析：解：因为函数的一个自变量只能对应唯一的一个函数值； 故只有答案C 符合； 故选：C ．
根据函数的定义即可求解
本题考查函数的定义，属于基础题
8.答案：D
解析：
本题考查了数列的单调性、一次函数的单调性，属于基础题．
由{a n}满足对一切正整数n均有a n+1>a n，即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn恒成立，化为λ>−2n−1，解出即可．
解：∵{a n}满足对一切正整数n均有a n+1>a n且a n=n2+λn恒成立，
∴(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn恒成立，
化为λ>−2n−1，
∴λ>−3，
故选：D．
9.答案：B
解析：
本题考查基本不等式的性质以及应用，注意基本不等式的形式，属于基础题．
根据题意，将a−2+4
a 变形为a+4
a
−2，由基本不等式的性质分析即可得答案．
解：根据题意，a−2+4
a =a+4
a
−2，
又由a>0，则a−2+4
a =a+4
a
−2≥2√a·4
a
−2=2，当且仅当a=2时等号成立，
即a−2+4
a
的最小值是2；
故选：B．
10.答案：B
解析：解：由数列1，3，6，10，x，21，28，…，可得：3−1=2，
6−3=3，
10−6=4，
∴x−10=5，解得x=15．
21−15=6，
28−21=7，
….
因此x=15．
故选：B．
由数列1，3，6，10，x，21，28，…，可得：3−1=2，6−3=3，10−6=4，可得x−10=5，解得x．
本题考查了数列的通项公式之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.答案：D
解析：解：函数f(x)对任意的x∈R都有f(x)=f(2−x)，则函数f(x)关于直线x=1对称．
当x≠1时，其导函数f′(x)满足xf′(x)>f′(x)，则(x−1)f′(x)>0，
x>1时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增；x<1时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减．
若1<a<2，则0<log2a<1<2<2a，f(log2a)=f(2−log2a)，2−log2a∈(1,2)，
∴f(log2a)=f(2−log2a)<f(2)<f(2a)，
故选：D．
函数f(x)对任意的x∈R都有f(x)=f(2−x)，则函数f(x)关于直线x=1对称．当x≠1时，其导函数f′(x)满足xf′(x)>f′(x)，可得(x−1)f′(x)>0，进而得到单调性．若1<a<2，则0<log2a< 1<2<2a，f(log2a)=f(2−log2a)，2−log2a∈(1,2)，即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、分类讨论方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12.答案：B
解析：试题分析：因为函数f(x)在区间上存在单调递增区间，所以函数f(x)在区间上存在子区间使得不等式f′(x)>0成立，f′(x)=+2(x−b)=，设ℎ(x)=2x2−2bx+1，则ℎ(2)>0或ℎ>0，即8−4b+1>0或−b+1>0，得b<．
13.答案：B
解析：解：∵f(x)=alnx，
∴f′(x)=a
，
x
=1，可得x=a，故切点为(a,a+1)，
令a
x
代入y=alnx，可得a+1=alna．
构造f(x)=x+1−xlnx，则f(3)=4−3ln3<0，f(4)=5−5ln5>0，
∴x∈(3,4)，
∴a∈(3,4)，
故选：B．
求导数，确定切点的坐标，再构造函数，即可得出结论．
本题考查导数知识的运用，考查函数零点存在定理，属于中档题．
14.答案：x+y−2=0
解析：
15.答案：39
解析：解：∵数列{a n}是等差数列，且a2+a6+a7+2a10=15，
∴a1+d+a1+5d+a1+6d+2(a1+9d)=15，
整理得a1+6d=3，
数列{a n}的前n项和为S n，
(a1+a13)=13(a1+6d)=13×3=39．
则S13=13
2
故答案为：39．
利用等差数列通项公式推导出a1+6d=3，由此能求出S13．
本题考查等差数列的前13项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.答案：162
解析：解：∵2S n=3a n−2，
∴2S n−1=3a n−1−2(n≥2)，
两式相减得：2a n=3a n−3a n−1，
=3(n≥2)，
∴a n
a n−1
又2a1=3a1−2，
∴a1=2，
∴数列{a n}是以2为首项，3为公比的等比数列，
∴a 5=2×34=162． 故答案为：162．
由2S n =3a n −2可得2S n−1=3a n−1−2(n ≥2)，两式相减，可判断数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，从而可得a 5的值．
本题考查数列的求和及等比关系的确定，求得数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列是关键，考查推理运算能力，属于中档题．
17.答案：4n
n+1
解析：解：y′=2x ，
∴函数y =x 2在点(n,n 2)(n ∈N +)处的切线l n 为：y −n 2=2n(x −n)，化为：y =2nx −n 2，与x 轴的交点P n (n
2,0)，
直线l n+1的方程为：y =2(n +1)x −(n +1)2，与x 轴的交点P n+1(n+12
,0)，
联立{y =2nx −n 2y =2(n +1)x −(n +1)2，解得交点Q(2n+12,n 2
+n)， ∴直线l n ，l n+1及x 轴围成的三角形的面积S n =1
2×(
n+12
−n 2
)×(n +1)n =
n(n+1)4
，
∴
1S n =4(1n −
1
n+1
)，
则1
S 1
+1
S 2
+1
S 3
+⋯+1
S n
=4(1−1
2+1
2−1
3+⋯+1
n −1
n+1)=4(1−1
n+1)=4n
n+1，
故答案为：4n
n+1．
y′=2x ，利用点斜式可得：函数y =x 2在点(n,n 2)(n ∈N +)处的切线l n 方程：l n+1的方程，分别求出与x 轴的交点P n ，P n+1，联立{y =2nx −n 2
y =2(n +1)x −(n +1)2，解得交点Q ，即可直线l n ，l n+1及x 轴围成的
三角形的面积S n ，利用裂项求和方法即可得出1S 1
+1S 2
+1S 3
+⋯+1
S n
．
本题考查了利用导数研究函数的切线方程、三角形面积计算公式、方程的解法、裂项求和方法，考查了了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.答案：9x −90
解析：解：∵某户10月份用水量超过20m 3，
∴该户该月应缴纳的水费y(元)关于用水量x(m 3)的函数关系式为y =3×12+6×(18−12)+(x −18)×9=9x −90． 故答案为：9x −90．
由题意可得，某户10月份用水量超过20m3，则执行第三档的收费，再结合表格中的数据，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握分段函数的思想是解本题的关键，属于基础题．
19.答案：1
4
解析：解：∵f(x)=ax2+bx是定义在[a−1,3a]上的偶函数，
∴f(−x)=f(x)，∴b=0，
又a−1=−3a，
∴a=1
，
4
∴a+b=1
．
4
．
故答案为1
4
依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f(−x)=f(x)，且定义域关于原点对称，a−1=−3a．本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f(−x)=f(x)；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间2个端点互为相反数．
20.答案：①③④
解析：解：方程x2+y2+4y−96=0即x2+(y+2)2=100，表示以(0,−2)为圆心，以10为半径的圆．
令x=10cosθ，y=−2+10sinθ，有x+y=−2+10√2sin(θ+45°)≥−2−10√2，故①正确；方程(m−2)x−(2m+1)y+16m+8=0(m∈R)即m(x−2y+16)−(2x+y−8)=0，
表示过x−2y+16=0与2x+y−8=0交点(0,8)的直线系，而点(0,8)在圆上，
故有的直线和圆有两个交点，有的直线和圆有一个交点，故②不正确；
过点M(0,18)向题中方程所表示曲线作切线，切点分别为A，B，由圆的对称性、切线的对称性知，A，B关于y轴对称．而切线MA=√202−102=10√3，MA与y轴的夹角为30°，
点M到AB的距离为MA⋅cos30°=15，故AB的方程为y=18−15=3，故③正确；
圆x2+(y+2)2=100上的坐标为正整数点有(6,6)，(8,4)，若x，y∈N∗，则xy的值为36或32，故④正确．
综上，①③④正确，
故答案为：①③④．
根据圆的标准方程得到圆的参数方程，由x+y=−2+10√2sin(θ+45°)≥−2−10√2，判断①正确；方程(m−2)x−(2m+1)y+16m+8=0表示过点(0,8)的直线系，而点程(m−2)x−(2m+
1)y +16m +8=0表示过点(0,8)的直线系，而点(0,8)在圆上，故直线和圆可能相切、相交，判断②不正确；由圆的对称性、切线的对称性知，A ，B 关于y 轴对称，求出点M 到AB 的距离为15，故AB 的方程为y =18−15=3，判断③正确；利用圆x 2+(y +2)2=100上的坐标为正整数点有(6,6)，(8,4)，从而得到x ，y ∈N ∗时xy 的值，判断④正确．
本题考查圆的标准方程，参数方程，直线系方程，切线长的计算方法，判断②不正确是解题的难点，是中档题．
21.答案：4
21
解析：
本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式的应用，属于基础题．
由已知利用等比数列的通项公式可求q 的值，利用等比数列的求和公式即可求解S 3的值． 解：因为a 1=1，a 4=64，
根据a 4=a 1q 3，可得64=q 3，解得q =4，
可得S 3= a 1(1−q 3)1−q =1×(1−43)1−4=21．
故答案为：4；21．
22.答案：解：(1)∵S n =Aa n
2+Ba n +C ，A =0，B =3，C =−2， ∴S n =3a n −2，
∴当n =1时，a 1=3a 1−2，解得a 1=1；
当n ≥2时，a n =S n −S n−1=3a n −3a n−1，
整理，得2a n =3a n−1，
∴a n
a n−1=32
， ∴a n =(32)n−1．
(2)∵S n =Aa n 2+Ba n +C ，A =1，B =12，C =116，
∴S n =a n 2+12a n +116，
∴当n =1时，a 1=a 1
2+12a 1+116，解得a 1=14， 当n ≥2时，a n =S n −S n−1=a n 2−a n−12+12a n −12a n−1
整理，得(a n +a n−1)(a n −a n−1−12)=0， ∵a n >0，∴a n −a n−1=12，
∴{a n }是首项为14，公差为12的等差数列，
∴S n =n 4+n(n−1)4=n 2
4．
(3)若数列{a n }是公比为q 的等比数列，
①当q =1时，a n =a 1，S n =na 1
由S n =Aa n 2+Ba n +C ，得na 1=Aa 12+Ba 1+C 恒成立
∴a 1=0，与数列{a n }是等比数列矛盾；
②当q ≠±1，q ≠0时，a n =a 1q n−1，S n =a 1q−1q n −a
1q−1， 由S n =Aa n 2+Ba n +C 恒成立，
得A ×a 12q 2×q 2n +(B ×
a 1q −a 1q−1)×q n +C +a 1q−1=0对于一切正整数n 都成立 ∴A =0，B =q q−1≠1或12或0，C ≠0，
事实上，当A =0，B ≠1或12或0，C ≠0时，
S n =Ba n +Ca 1=C
1−B ≠0，
n ≥2时，a n =S n −S n−1=Ba n −Ba n−1，
得a n
a n−1=B B−1≠0或−1
∴数列{a n }是以C 1−B 为首项，以B B−1为公比的等比数列．
解析：(1)利用公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1 ,n ≥2
，结合等比数列的性质能求出数列{a n }的通项公式． (2)利用公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1 ,n ≥2
，结合题设条件进行因式分解，得到{a n }是等差数列，由此能求出数列{a n }的前n 项和S n ．
(3)设数列{a n }是公比为q 的等比数列，分别讨论当q =1，q ≠±1，q ≠0时的情况，由此入手能够求出结果．
本题考查数列的通项公式和数列的前n 项和的求法，探究A 、B 、C 满足什么条件时，数列{a n }是公比不为−1的等比数列，对数学思维能力要求较高，解题时要注意分类讨论思想的合理运用． 23.答案：(1)，；(2)0.896；(3)分布列见解析，．
解析：试题分析：(1)由条件“分3期付款的频率为0.2”与“100位”即可分别求出和；(2)由题意可知分3期付款的概率为0.2，事件:“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”即分为全部未采用3期付款和只有1位采用3期付款这两种情况，即得；(3)先将所有可能取值所对应的相应概率计算出来，然后即可列出分布列，再由期望的定义根据分布列的情况即可得出本题的解．
试题解析：(1)由得，因为，所以，2分
(2)“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率：
6分
(3)记分期付款的期数为，依题意得
10分
因为的可能取值为1，1.5，2(单位万元)，并且
所以的分布列为
1 1.52
0.40.40.2
所以的数学期望为(万元)12分
考点：1.频率；2.随机事件的概率；3.分布列与期望．
24.答案：解：(1)当a=1时，f(x)=x2−2x+2+lnx，f′(x)=2x−2+1
x
，f′(1)=1，
所以函数在A(1,1)处的切线方程为y−1=f′(1)(x−1)，化简可得x−y=0．
(2)证明：函数定义域为(0,+∞)，则f′(x)=2x−2+a
x =2x2−2x+a
x
，
则x1，x2是2x2−2x+a=0的两个根，
所以x1+x2=1，
又x1<x2，所以1
2
<x2<1，a=2x2−2x22，
所以f(x 2)=x 22−2x 2+2+(2x 2−2x 22)lnx 2，
令g(t)=t 2−2t +2+(2t −2t 2)lnt ，12<t <1，
则g′(t )=2t −2+(2−4t)lnt +2−2t =(2−4t)lnt ，12<t <1，
所以g′(t )>0，则 g(t) 在 t ∈(12,1)上为增函数，
所以，g(t)>g(12)=
5−2ln24， 所以f(x 2)>5−2ln24．
解析：(1)求出函数的导数，求出斜率然后求解切线方程．
(2)函数定义域为 (0,+∞)，求出导函数，说明x 1，x 2 是 2x 2−2x +a =0的两个根，可得x 1+x 2=1，
又x 1<x 2，所以12<x 2<1，a =2x 2−2x 22，f(x 2)=x 22−2x 2+2+(2x 2−2x 22)lnx 2，令g(t)=t 2−2t +2+(2t −2t 2)lnt ，12<t <1，利用函数的导数，判断单调性，转化证明f(x 2)>5−2ln24．
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
25.答案：解：(Ⅰ)设公差d 不等于0的等差数列{a n }中，a 2=5，即a 1+d =5，
a 1，a 3，a 11成等比数列，即有a 32=a 1a 11，即(a 1+2d)2=a 1(a 1+10d)，
解得a 1=2，d =3，
则a n =2+3(n −1)=3n −1；
(Ⅱ)证明：1a n a n+1=1(3n−1)(3n+2)=13(13n−1−13n+2)，
可得T n =13(12−15+15−18+⋯+13n−1−13n+2)=13(12−13n+2)=16−19n+6，
由n ∈N ∗，16−19n+6<16，
可得∀n ∈N ∗，都有6T n <1．
解析：(Ⅰ)设公差为d ，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
(Ⅱ)求得1a n a n+1=1(3n−1)(3n+2)=13(13n−1−13n+2)，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和，由不等式的性质即可得证．
本题考查等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
26.答案：解：(1)f′(x)=x2−2(1+a)x+4a=(x−2)(x−2a)，
由a>1知，当x<2时，f′(x)>0，故f(x)在区间(−∞,2)是增函数；
当2<x<2a时，f′(x)<0，故f(x)在区间(2,2a)是减函数；
当x>2a时，f′(x)>0，故f(x)在区间(2a,+∞)是增函数．
综上，当a>1时，f(x)在区间(−∞,2)和(2a,+∞)是增函数，在区间(2,2a)是减函数．
(2)由(1)知，当x≥0时，f(x)在x=2a或x=0处取得最小值．f(2a)=1
3
(2a)3−(1+a)(2a)2+4a⋅
2a+24a=−4
3
a3+4a2+24a，f(0)=24a，
由假设知{a>1
f(2a)≥0
f(0)≥0
，即{
a>1
−4
3
a(a+3)(a−6)≥0
24a≥0
，解得1<a≤6，
故a的取值范围是(1,6]．
解析：(1)f′(x)=x2−2(1+a)x+4a=(x−2)(x−2a)，即可得出单调性．
(2)由(1)知，当x≥0时，f(x)在x=2a或x=0处取得最小值．进而得出．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。