第三章：“三角恒等变换”教材分析与教学建议.

第三章：“三角恒等变换”教材分析与教学建议
房山教师进修学校中学数学教研室张吉
一、作用与地位
变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一。

三角恒等变换在数学及应用科学中有很多的应用，同时有利于发展学生的推理能力和计算能力。

通过三角恒等变形揭示一些问题的数学本质。

二、学习目标
（1）了解用向疑方法推导两角余弦公式的过程，掌握用向量证明问题的方法，进一步体会向量法的作用；
（2）能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系：
（3）能正确使用各公式进行简单的三角恒等变换，进行求值、化简、证明，解决比较简单的有关应用问题。

三、内容编排与课时分配
1.主要内容
本章的主要内容是，和角公式、倍角公式和半角公式、三角函数的积化和差与和差化积公式。

分三大节编写：
第一大节，首先利用向疑的方法证明了两角差的余弦公式，接着导出两角和的余弦公式，再利用诱导公式推出两角和、差的正弦公式，又利用同角三角函数关系式推岀两角和、差的正切公式；
第二大节，推导出倍角公式和半角公式。

第三大节，推导出积化和差与和差化积公式，并通过例题讲解以上各公式的应用。

2.教学安排
本章教学时间约8课时，具体分配如下，仅供参考。

1.本章的重点：掌握和角公式的推导过程；
2.难点：理解和角公式的几何意义。

五、本章编写的指导思想
1.用向量证明和角公式，引导学生用向量研究和差化积公式。

2.教学的重点为和角公式.和角公式与旋转变换公式。

3.引导学生种用正弦的和角公式找出求正弦函数值的算法。

4.引导学生独立的由和角公式推导出倍角公式与和差化枳、积化和差公式。

5.和角公式在三角恒等变换及三角形计算中的应用。

六、本章编写时关注的几个问题
1.如何让学生理解和角公式与旋转公式之间的关系。

2.如何让学生了解向量的数量积与和角公式的内在联系。

3.如何让学生直观了解和角公式。

4.如何培养学生三角恒等变形的能力。

5.如何编制计算机课件，使得课堂教学更直观、更生动有趣，加深学生的理解和记忆。

如何配备“计算机上的练习”让有条件的学生选用，鼓励学生使用计算机、计算器进行探索和发现。

七、分切分析
（一）3. 1和角公式（4课时）
3. 1. 1两角和与差的余弦（2课时）
1.教学要求
（1）理解用向量的数量积证明两角和的余弦公式的过程，掌握用向量运算证明问题的方法，进一步体会向量方法的作用：
（2）熟练掌握两角和与差的余弦公式，体会向量的数疑积与和角公式及旋转公式间的内在联系。

2.内容分析
（1）两角和与差的余弦公式内容：
cos （« + B ）=cos a cos B —sina sin 3 （C（ « + B ））
cos （ a — B ）=cos u cos B +sin a sin P （C（a —B））
（2）公式说明：①上述公式对a、0取任意角都成立.
②公式特点：公式中右边有两项，中间符号与左边角间符号相反，两项排列顺序是：cos a cos 0 . sin sin
B .
③和（差）角公式可看成诱导公式的推广，诱导公式可看成和（差）角公式的特例.
3.本节重点、难点
（1）重点：应用两角和与差的余弦公式求值和证明。

（2）难点：两角和余弦公式的推导。

4.教学建议
（1）在证明和角公式前，复习两个向量数量积的左义及其坐标运算，复习单位向量的三角表
OP = (cos sin. ct)、OQ = (cos ?5,sin 历「
利用两个单位向量的数量积，即可得出两角差的余弦公式
（探一P） = 0
由任意两个向量数量积坐标的表达式，同样推岀两角差的余弦公式
OP-0Q _ ©站十匕血
\OP\\OQ\ = \OP\-\OQ\
=co saxos 為十sin a sin J30
从中可更清楚地看到两角和的余弦公式与向量数量积坐标表达式间的关系。

（2）引导学生自己推导两角和的余弦公式。

(3)引导学生自己完成3个例题.
(4)牢记公式并能熟练进行左、右互化.
(5)探索与研究，主要探索用正投影的性质证明和角公式，显示和角公式的直观含义。

加深对和角公式的理解。

探索与研究的解答如下：cos(a + 0)= OM = ON — MN = cosflcosa - sin p sin a
5.例题分析(课本例题)
3. 1.2两角和与差的正弦(1课时)
1.教学要求
理解公式的推导过程：
能用公式求值、化简，进行简单的恒等变形，会根据已知点的坐标，求岀旋转后点的坐标: 理解和角公式与旋转公式之间的关系；
要求学生能熟练地掌握函数尸“cosx+bsinx的相关性质和物理意义。

内容分析
(1)两角和与差的正弦公式内容:
sin( u + B )=sin a cos B +cos a sin P (S( a + B )) sin( a — B )=sina cos 3 —cos a sin P (S( a — B ))
(2)公式说明：①上述公式对a、0取任意角都成立.
②公式特点：右边有两项，中间的符号与左边角间符号一致，两项顺序为：sin a cos P. cos « sin B.
③两角和与差的三角函数是诱导公式的推广，诱导公式是它的特例，当a、B中有一个角为90°的整数倍时，用诱导公式较为简便.
3.本节重点、难点
(1)重点：两角和与差的正弦公式的应用与旋转变换公式。

(2)难点：利用两角和的正弦公式变«sina + /?cosa为一个角的三角函数形式。

4.教学建议
(1)复习彳的诱导公式，引导学生自己推导两角和与差的正弦公式。

(2)引导学生自己推证旋转公式。

分析和角公式与旋转公式间的关系。

(3)重点讲解例4。

分析变形的几何意义。

(4)通过例5介绍一下变形的物理意义：周期相同、相位不同的正弦波叠加，其周期不变。

(5)牢记公式并能熟练进行左、右互化.
（6）把asina + hcosa 为一个角的三角函数形式，要讲淸思路和过程，不能让学生死背结果。

5.例是分析（课本例题）
3. 1. 3两角和与差的正切（1课时）
1.教学要求 （1） 掌握两角和与差的正切公式，要求学生自己推导公式; （2） 能用公式求值、化简、简单的恒等变形。

2. 内容分析
（1）两角和与差的正切公式内容: tan(a+ 戸)=（2）公式说明:
① T*卩中：B 、o + P 都不取+ - （kGZ ）时，公式才适用；
2
② 「7中：o.P. 0-3都不取k^ + - （kGZ ）时，公式才适用.
2
③ 公式特征：右边分子为两项：tan « . tanB,中间符号与右边角间符号一致；右边分母为两项:
b tan a tan P ,中间符号与左边角间符号相反.
④ ,如求值:
3・本节重点、难点 （1） 重点：两角和与差的正切公式的应用。

（2） 难点：公式的变形运用。

4. 教学建议
（1）引导学生推导两角和与差的正切公式。

引导和启发学生利用同角三角函数的关系 = tan （a + 0）及正弦、余弦的和角公式，推导正切的和角公式：在和角公式中，利用代
换法，令0 = -0,推导正切的差角公式;
（2） 注意左、右互化，变形运用；如~ an
＞可将式子化为:
l + tan75° tan45°-tan75° = 一 巧。

）=边（_为。

）=-2^.
l + t an45°-tan75° 3
（3） 引导学生分析正弦、余弦.正切和角、差角之间的关系：
（匕S ）
tan® - ff)=
tan ar- tan^ 1 + tanatan 0
sin(a + 0) cos(a + 0)
5.例题分析（课本例题）
（二）3. 2倍角公式和半角公式（2课时）
3. 2.1倍角公式
1.教学要求
（1）熟练地掌握倍角公式；
（2）能用公式求值、化简、简单的恒等变形。

2.内容分析
（1）倍角公式的内容：
sin 2a = 2 sin a cos a
cos2a =cos2 a-sin2a = 2 cos2a-\ = l-2sin2a
（2）倍角公式的变形：降（升）幕公式：
1 a 1 +cos a . a 1 - cos a
cos ~ — = --------- ； sin -—= ------------
2 2 2 2
3.本节重点、难点
（1）重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式及余弦公式的变形（降（升）幕公式）及应用。

（2）难点：倍角公式及苴与同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差角公式，综合运用。

4.教学建议
（1）引导学生自己推导倍角公式和半角公式。

（2）有条件的学校，可以引导学生进行本节的探索与研究。

可使用Scilab编程或用电子表格中公式功能。

（3）引导学生理解二倍角的正弦、余弦、正切公式的结构特点。

（4）二倍•角公式与和角公式的关系：在和角公S W + B）、C«. + P>. T（..+ K）中，使u二0,就得到二倍角的三角函数公式S=。

、G“、T=u,后者是前者的特殊情形。

（5）公式成立的条件：公式汕、5中，u没有限制条件，可取全体实数，但在公G冲，只有
a吟+彳,且心畑+ ?心时，公式才成立。

Osina cosp=- 2
② cosasinp=丄 2
③ cosa cosp= y ④ sina sin0=-g
[sin (a+p) -I-sin (a —p) i [sin (a+0) —sin (a — [cos (a+0) +cos (a —p)] [cos (a+卩)一cos (a —p) j
⑹对二倍角的理解:二倍角公式不仅限于2㈣的形式，其它形式,如。

与分4W
3。

与「等形式都适用，要灵活掌握这样的角的倍数关系，灵活运用公式：余弦的二倍角公cos2 2 a 的公式有三种形式，要灵活运用。

逆用此公式时，要注意结构形式。

（7）应用：常与同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差角公式，综合运用。

①求值：②化
简；③证明。

5.例题分析（课本例题）
3. 2. 2半角的正弦、余弦和正切 1. 教学要求
（1） 了解半角的正弦、余弦和正切公式：
（2） 能用半角的正弦、余弦和正切公式，求值、化简、简单的恒等变形。

2. 内容分析
（1）半角公式内容：
（3） 倍角公式的变形（半角公式）
a , |14-cosa . a , jl-cosa a , il -cosa 1 - cos ez sin a cos — = h i --- , sin — = * , tnn — = H 、I 二
------------------------------- 二 --------------------------------
2 V 2 2 v 2 2 V1 + cosa sin a 1 + cos a
（根号前的正负号，由上所在象限决左）
2
3. 本节重点、难点
（1） 重点：半角的正弦、余弦和正切公式。

（2） 难点：半角公式与倍角公式这间的内在联系以及运用公式时前面正负号的选择。

4. 教学建议
（1） 引导学生利用倍角公式推导半角公式，并理解半角公式与倍角公式之间的内在联系，它是
倍角公式的推论。

（2） 讲淸公式前正负号的确定方法。

（3） 半角公式中，正弦、余弦前而的符号是必须的，但正切可以没有正负号。

5. 例题分析（课本例题）
（三）3. 3三角函数的积化和差与和差化积（1课时）
1. 教学要求
（1） 理解推导公式的过程，掌握推导的变形的代数技巧；
（2） 能正确使用各公式进行简单的三角■恒等变换，进行求值、化简、证明，解决比较简单的有
关应用问题。

2. 内容分析
（1）积化和差公式：
（2）公式的特征：
① 同名异名和积都能化成各差:
②把左边积化成右边和差后，左边角为70,右边为Q + 0、a_p ； ③ 关于正余弦的异名积化成正弦的和差：同名积化成余弦的化差: ④ 右边的系数均为］（正弦的同需积系为-］），
2 2
（3）三角函数的和差化积公式
a + B a _ P
① sina+sinp=2sin —-—・cos —-— a + 0 . a _ P
② sina-sinp=2cos ----------- ・sm -------
2 2
— t ca a + 6 a _ P
③ cosa+cosp=2cos --------- -・ cos ---- —
2 2
（4）公式特征：
① 只有同需的和差才能化成积: ② 正弦的和差化成异名的积：
③ 余弦的和差化成同名的枳: ④左边角沁0,右边为字、¥
3.本节重点、难点
（1） 重点：公式的推导与应用。

（2） 难点：公式的灵活应用。

4. 教学建议
（1）引导学生推导两组公式。

积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得到的。

和差 化积公式是积化和差公式通过变形、换元而得到的。

（2） 让学生明白积化和差公式的推导应用了 “解方程组”的思想。

（3） 让学生明白和差化积公式的推导应用了 “换元”的思想。

（4） 向学生说明只有系数绝对值相同的冋名函数的和、差，才能直接应用公式化成积的形式。

（5） 类比因式分解，向学生说明：三角函数中的和差化积，就相当于代数中的因式分解，因 此.因
式分解在代数中所起的作用，就是和差化积公式在三角中所起的作用。

（6）通例题讲解，让学生理解积化和差与和差化积关系密切，解题过程中要注意它们的交替 应用。

（7）探索与研究（和差化积的几何证明），可在课外活动小组中进行。

证明不使用向量计算，用中 点公式和投影计算两种方法讣算点N 的坐标，通过比较就可得到和化积公式。

目的是培养学生综合 运
用代数、三角和解析几何知识的能力。

5. 例题分析（课本例题）
（四）小结与复习
1.本章知识结构如下:
④ cosa-cosp=-2sin
a + 0
2
2 •总结如下内容：
(1)总结和角、差角、倍角、降升幕、积化和差、和差化积分式的内容是什么？
(2)把67sin a +/?cos a为一个角的三角函数形式的方法是什么？。