9-2二重积分的计算 共37页

y
1y
则 原 式 dyf(x)f(y)d.x 00
o
x
1
x
f(x)dxf(y)d,y
0
0
故 2I1f(x)dx 1f(y)dy1f(x)dxxf(y)dy
0
x
0
0
1
x1
f(x )d[x ( )f(y)d]y
0
0
x
1f(x)dx 1f(y)d yA 2.
薄片的质量 .
四、求由曲面z x2 2y2及z 6 2x2 y2,所围成的
立体的体积 .
一、填空题:
练习题2
1 、 将 f ( x , y )dxdy ,D 为 x 2 y 2 2 x , 表 示 为 极 坐
D
标 形 式 的 二 次 积 分 ,为 _____________________.
例 3改 变 积 分 0 2adx2 2a a x xx2f(x,y)dy(a0)
的 次 序 .
解
2a
y 2ax
a
y 2axx2 xaa2y2
a 2a
= 原式
a
a a2y2
0 dy y2
f (x, y)dx
2a a 2a
dy 0 aa2y2
D
1[x2( xx2)1(xx4)d ]x33 .
0
2
140
例 5、 求 x2ey2dx， d其 y 中 D是 以 (0,0)(,1,1),
D
(0,1)为 顶 点 的 三 角 形 .
解 e y 2 d 无 法 用 y 初 等 函 数 表 示
积 分 时 必 须 考 虑 次 序
y1(x)
a
b
其中函数1(x)、2(x) 在区间 [a,b]上连续.
f(x,y)d的值等D于 为以 底，以 z曲面
D
f(x,y)为曲顶柱体的体积．
zf(x,y)
z
应用计算“平行截
面面积为已知的立 体求体积”的方法, y
A(x0 )
y2(x)
x
b
x0 a
得
f(x ,y)db dx 2(x)f(x ,y)d.y y1(x)
D
点 分 别 为 (0,0) ， ( ,0)，( , ) 的 三 角 形 闭 区 域 .
3 、 将 二 重 积 分 f ( x , y )d ,其 中 D 是 由x 轴 及 半 圆 周
D
x 2 y2 r 2( y 0)所 围成 的闭 区域,化 为先 对 y 后 对 x 的 二 次 积 分 ,应 为 _____________________.
0
0
一 、填 空题:
练习题1
1 、 ( x 3 3 x 2 y y 3 )d ________________. 其 中
D
D : 0 x 1,0 y 1.
2 、 x cos( x y )d _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ __ . 其 中 D 是 顶
4、将二重积分f(x, y)d,其中D是由直线
D
yx,x2及双曲线y1(x0)所围成的闭区 x
域,化为先对x后对y 的二次积分,应为
__________________________.
5、将二次积分2dx 2xx2 f(x, y)dy改换积分次序,
1
2x
应为_________________________.
先 改 变 积 分 次 序 .
yx
1
xy
原式I dx exdy
1 2
x2
1x(eex)dx 3e1 e.
1 2
计算
i1 2 (ri ri)2i 1 2 ri2i
1 2(2ri ri)rii
6、将二次积分
sinx
dx x
f(x,
y)dy改换积分次序,
0
sin
2
应为_________________________.
7、 将 二 次 积 分 1dy 2 f(x,y)dx e2 ln y
12 2
dy
f(x,y)d改 x换 积 分 次 序 ,
1
(y1)2

x
3、 f ( x, y)d 2 dx
cos y
0
0
dy 。
D
( x)(x y)
2
4、 yx2dx,其 d 中 D y:1x1,0y2.
D
三、设平面薄片所占的闭区域D 由直线x y 2, y x
和x 轴所围成,它的面密度(x, y) x2 y2 ,求该

.
0
2
例10- 计算(x2 y2)dxdy，其D为由圆
D
x2 y2 2y，x2 y2 4y及直线x 3y 0，
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
解
y
3x02

3
x2y24y r 4 sin
x
3y01

6
x2y22y r2sin
A
f(rco,srsin)rdrd
D
d ()f(rc o ,rs s i)n rd . r 0
二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征如图
D
02, 0r(). o
r()
A
f(rco,srsin)rdrd
D 2 ()
2 、 将 f ( x , y )dxdy ,D 为 0 y 1 x , 0 x 1 , 表
rri ri r ri
ri (ri2ri)rii
D
i i
i
ri ri i,
o
i
A
f(x ,y )dx d f(r y c o ,rs s i)n rd .rd
D
D
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
r1()
(x2y2)dxdy

3d
4sinr2rdr15(
3).
D
6
2sin
2
三、小结
二重积分在直角坐标下的计算公式
f(x ,y)db dx 2(x)f(x ,y)d.y ［X－型］ a 1(x)
D
f(x ,y)ddd y 2(y)f(x ,y)d［.x Y－型］
x2ey2dxdy 1dyyx2ey2dx 00
D

e1 y2

y3 dy

e 1 y2 y2dy2 1(1 2).
0
3
0
6
6e
例6
计算积分I
1
2dy
yy
exdx
1
dy
yy
exdx.
1
1
4
2
1 2
y
y
解 exd不 x 能 用 初 等 函 数 表 示
应 为 __________________________.
二、画出积分区域,并计算下列二重积分:
1、 e x yd ,其中D 是由 x y 1 所确定的闭区域.
D
2、 ( x2 y2 x)d 其中D 是由直线
D
y 2, y x及y 2x所围成的闭区域.
D 2 {x ,( y )|x 2 y 2 2 R 2 } DSD1 2
S { x , y ) ( | 0 x R , 0 y R } R 2R
{x0,y0} 显 然 有 D 1 S D 2
ex2y2 0,
ex2y2dxdy ex2y2dxdy ex2y2dxd.y
0
0
（在积分中注意使用对称性）
思考题
设f(x)在 [0,1]上 连 续 ， 并 设1f(x)dxA， 0
求1dx1f(x)f(y)d.y 0x
思考题解答
1f(y)d不 y能 直 接 积 出 , 改 变 积 分 次 序 . x
11
令I dx f(x)f(y)dy, 0x
D
c 1(y)
（在积分中要正确选择积分次序）
二重积分在极坐标下的计算公式
f(rco,srsin)rdrd
D

d
2()f(rco,rs si)n rd . r
1()
()
2 d d0()ff(( rr c co o ,r ,r s s s sii)n r )n rd .d . rr
I1II2,
( 1 e R 2 ) (R e x 2 d ) 2 x ( 1 e 2 R 2 );
4
0
4
当 R 时 , I1

4
,
I2

4
,
故 当 R 时 ,I ,
4
即( ex2dx)2 ,
0
4
所 求 广 义 积 分ex2dx
r r
cos sin
x2 y2 1
所 以 圆 方 程 为 r 1 ,
直 线 方 程 为 r 1 , xy1
sin cos
f(x, y)dxd y 2d1 1 f(rco ,rssin )rd . r
D
0 sin co s
例 8 计 算ex2y2dx， d其 y中 D是 由 中 心 在
D
原 点 ， 半 径 为 a的 圆 周 所 围 成 的 闭 区 域 .
解 在 极 坐 标 系 下
D ： 0 r a ， 0 2 .
ex2y2dxdy
2
d
aer2rdr
D
0
0
(1ea2).
例9 求 广 义 积 分ex2dx. 0
解 D 1 {x ,( y )|x 2 y 2 R 2 } D 2 S
f(x,y)dx
2a 2a
a dyy2 f(x,y)dx.
2a
例 4求 (x2y)dx， d 其 中 yD 是 由 抛 物 线
D
yx2和 xy2所 围 平 面 闭 区 域 .
x y2
解 两 曲 线 的 交 点
yx2 xy2(0,0) ,(1,1),
y x2
(x2 y)dxdy01dxx2x(x2y)dy
D1
S
D2
又 Ie x 2 y 2 dxdy
S
Rex2dxRey2dy( Rex2dx)2;
0
0
0
I 1 e x 2 y 2 dxdy D 1


2d
Rer2rdr(1eR2
);
00
4
同 理 I2 D 2e x 2 y 2 dx 4(d 1ey 2R2 );
D
a 1(x)
如果积分区域为：cyd, 1 (y ) x 2 (y ).
［Y－型］
d
x1(y) c
D x2(y)
d
x1(y) D
c
x2(y)
f(x ,y)ddd y 2(y)f(x ,y)d.x
D
c 1(y)
例 1 改 变 积 分1 dx 1xf(x,y)d的 y次 序 . 00
第二节 二重积分的计算
• 一、利用直角坐标计算二重积分 • 二、利用极坐标计算二重积分 • 三、小结 练习题
一、利用直角坐标系计算二重积分
1、直角坐标系下二重积分的计算
如果积分区域为：axb, 1 (x )y2 (x ).
［X－型］
y2(x)
D
y1(x)
a
b
y2(x)
D
解 积分区域如图
y1x
原 式
1 1y
dy
f(x,y)dx.
00
例 2 改变积分
1
dx
2 x x2
f ( x, y)dy
2
dx
2x f ( x, y)dy的次序.
0
0
1
0
解 积分区域如图
y2x y 2xx2
原 式 0 1d1 2 y y 1 y2f(x ,y)d.x
d f(rco ,rs si)n rd . r
0
0
极坐标系下区域的面积 rdrd. D
例7 写 出 积 分 f(x,y)dx的 d极 y坐 标 二 次 积 分
D
形 式 ， 其 中 积 分 区 域
D{(x,y)| 1xy 1x2,0x1}.
解
在 极 坐 标 系 下 xy
,
D
1 () r 2 ().

o
f(rco,srsin)rdrd
D

d
2()f(rco,rs si)n rd . r
1()
r2()
A
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图
r()
,
D
0r().

o