【全程复习方略】(浙江专用)2013版高考数学 单元评估检测(四)课时体能训练 文 新人教A版

单元评估检测（四）
（第四章）
（120分钟 150分）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.给出下列命题：
①向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相反或者相同；
②△ABC 中，必有AB BC CA ++=0;
③四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB DC =;
④若非零向量a 与b 方向相同或相反，则a ＋b 与a 、b 之一方向相同．
其中正确的命题为( )
(A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①④
2.已知（x+i ）（1-i ）=y ，则实数x ，y 分别为( )
(A)x=-1，y=1 (B)x=-1，y=2
(C)x=1，y=1 (D)x=1，y=2
3.已知向量m ,n 满足m =(2,0)，n =(3,22
).在△ABC 中，AB =2m +2n ,AC =2m -6n ，D 为BC 边的中点，则|AD |等于( )
（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8
4.（2012·某某模拟）若复数222x 5x 2x x 2i x 2
-++---（）（x ∈R ）为纯虚数，则x 的值为( ) （A ）2 （B ）-1 （C ）-12 （D ）12
5.（2012·某某模拟）若ω=-12+2
i,则ω4+ω2+1等于( )
（A ）1 （B ）0 （C ）3+
（D ）1-+ 6.（预测题）若△ABC 的三个内角A ，B ，C 度数成等差数列，且()
AB AC BC 0+⋅=，则△ABC 一定是( )
（A ）等腰直角三角形
（B ）非等腰直角三角形 （C ）等边三角形
（D ）钝角三角形 7.已知a =(1,-2),b =(1,λ),a 、b 的夹角θ为锐角，则实数λ的取值X 围是( )
（A ）(-∞,-2)∪(-2,12) （B ）［12
,+∞) （C ）(-2,23)∪(23,+∞) （D ）(-∞,12) 8.已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC CB +=0，则OC 等于( )
（A ）2OA OB - （B ）OA 2OB -+
（C ）21OA OB 33-（D ）12OA OB 33
-+ 9.已知a ,b 是不共线的向量，AB =λa +b ,AC =a +μb (λ,μ∈R )，
那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( ) （A ）λ+μ=2 （B ）λ-μ=1
（C ）λμ=-1 （D ）λμ=1
10.如图，△ABC 中，AD=DB ，AE=EC ，CD 与BE 交于F ，设AB =a ,AC =b ,AF =x a +
y b ，则(x,y)为( )
（A ）(
12,12) （B ）(23,23
) （C ）(13,13) （D ）(23,12) 二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分.请把正确答案填在题中横线上)
11.（2012·某某模拟）已知m =(1,1),n =(0,
15
),设向量OA =(cos α,sin α)(α∈［0,π］)且m ⊥(OA -n ),则tan α=______.
12.（2012·某某模拟）已知复数z 满足（1+2i)z=4+3i,则z=______.
13.（2011·某某高考改编）已知向量a =（1,2），b =（1,0），c =（3,4）.若λ为实数，(a +λb )∥c ，则λ=______.
14.i 是虚数单位,(1i 1i
+-)4等于______. 15.已知平面上有三点A(1,-a),B(2,a 2),C(3,a 3)共线，则实数a=______.
16.（2012·某某模拟）已知a ，b 均为单位向量，且它们的夹角为60°，当|a -λb |(λ∈R )取最小值时，λ=______.
17.（2012·某某模拟）在平行四边形ABCD 中，已知AB=2，AD=1，∠
BAD=60°，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=______.
三、解答题(本大题共5小题，共72分.解答时应写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤)
18.(14分)设存在复数z 同时满足下列条件：
（1）复数z 在复平面内的对应点位于第二象限;
（2）z ·z +2iz=8+ai(a ∈R ).
试求a 的取值X 围.
19.（14分）已知向量a =(3,-2),b =(-2,1),c =(7,-4)，是否能以 a ，b 作为平面内所有向量的一组基底？若能，试将向量c 用这一组基底表示出来；若不能，请说明理由.
20.（14分）已知点A(1,0),B(0,1),C(2sin θ,cos θ).
（1）若AC BC =，求tan θ的值;
（2）若()
OA 2OB OC +⋅=1，其中O 为坐标原点，求sin θ·cos θ的值.
21.（15分）已知点P(-3,0)， 点A 在y 轴上， 点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足3PA AM 0,AM MQ.2
⋅==-当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程. 22.(15分）（探究题）已知O 为坐标原点，向量OA =(sin α,1)，OB =(cos α,0),OC =(-sin α,2),点P 满足AB BP =.
（1）记函数f(α)=PB CA,(,)82
ππ⋅α∈-，讨论函数f(α)的单调性; （2）若O ，P ，C 三点共线，求|OA OB +|的值.
答案解析
1.【解析】选C.①中未注意零向量，所以①错误，在④中a ＋b 有可能为零向量，只有②③正确．
2.【解析】选D.由已知得(x-i 2
)+(1-x)i=y ，根据复数相等的充要条件得 x=1,y=2. 3.【解题指南】由D 为BC 边的中点可得1AD (AB AC)2
=+，再用m 、n 表示AD 即可. 【解析】选A.∵D 为BC 边的中点,∴1AD (AB AC)2=+)=12(2m +2n +2m -6n )=2m -2n =2(2,0)-2(32
), ∴|AD |=2.
4.【解析】选D.由题意知，
22222x 5x 202x 5x 201x 20,x .x 22x x 20x x 20⎧-+=⎧-+=⎪⎪-≠∴=-⎨⎨⎪⎪--≠--≠⎩⎩
，即 5.【解析】选
B.221(2ω=-+
24224213i 442
122
113i i 2244
21i,22
111i 10.2222
=+-=--ω=--=++=-+∴ω+ω+=-+--+=，（） 6.【解析】选C.∵()AB AC BC 0+⋅=，
∴()
AB AC (AC AB)0+⋅-=, 22
AC AB 0,AC AB ∴-==即，
又A 、B 、C 度数成等差数列，
∴B=60°,从而C=60°，A=60°,
∴△ABC 为等边三角形.
7.【解题指南】由θ为锐角，可得0＜cos θ＜1，进而可求出λ的取值X 围.
【解析】选A.∵|a
b
a ·
b =1-2λ,
∴cos θ
又∵θ为锐角，
∴0＜cos θ＜1,
解得λ＜-2或-2＜λ＜12
. 【误区警示】θ为锐角⇒0＜cos θ＜1，易忽略cos θ＜1而误选D.
8.【解析】选A.()OC OB BC OB 2AC OB 2OC OA ,OC 2OA OB.=+=+=+-∴=-
9.【解析】选D.由题意得必存在m(m ≠0)使AB m AC =⋅,即λa +b =m(a +μb )，得λ=m,1=m μ, ∴λμ=1.
10.【解题指南】利用B 、F 、E 三点共线，D 、F 、C 三点共线是解答本题的关键，而用两种形式表示向量AF 是求x,y 的桥梁.
【解析】选C.AB =a ,AC =b ，得1BE 2=b -a ,DC =b -12
a .因为B ，F ，E 三点共线，令BF t BE =,则()AF AB t BE 1t =+=-a +12t
b .因为D ，F ，C 三点共线，令DF s DC =,则AF AD sDC =+=12
(1-s)a +s b .根据平面向量基本定理得
111t s 22,1s t 2
⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得t=23,s=13,得x=13,y=13,即(x,y)为(13,13)，故选C. 11.【解析】由题意1OA (cos ,sin ),5-=αα-n
∵m ⊥(OA -n ),∴cos α+sin α-
15=0, ∴cos α+sin α=15
,
21(cos sin ),2512sin cos ,25α+α=
∴αα=- ∵α∈［0,π］,
∴sin α>0,cos α<0, 可求得434sin ,cos ,tan .553α=
α=-∴α=- 答案：43
- 12.【解析】∵(1+2i)z=4+3i, ∴()()()()2
43i 12i 43i 48i 3i 6i z 12i 12i 12i 5
+-+-+-===++- 105i 2i.5
-==- 答案：2-i 13.【解析】a +λb =(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),由(a +λb )∥c 得，4(1+λ)-3×2=0，解得λ=
12. 答案：12
14.【解题指南】注意应用i n (n ∈N *)的周期性.
【解析】(1i 1i +-)4=［()2
1i 2
+］4=i 4=1. 答案：1
15.【解析】∵232AB (1,a a),BC (1,a a )=+=-, 又∵A 、B 、C 三点共线，
∴AB ∥BC ,
∴1×(a 3-a 2)-(a 2+a)×1=0，即a 3-2a 2-a=0,
∴a=0或a=1
答案：0或1
16.【解析】由于|a -λb |2=1+λ2-λ=(λ-12)2+34,故当λ=12
时，|a -λb |取得最小值.
答案：12
17.【解析】1AE AD DE AD AB,2=+=+ ()22BD AD AB,111AE BD (AD AB)AD AB AD AB AD AB 222=-∴⋅=+⋅-=-⋅- =1-
12×1×2×cos60°-12
×4 =1-12-2=-32
. 答案：-32 18.【解析】设z=x+yi(x,y ∈R )，由(1)得x ＜0,y ＞0.
由(2)得x 2+y 2
+2i(x+yi)=8+ai,
即x 2+y 2-2y+2xi=8+ai. 由复数相等，得22x y 2y 8 2x a ⎧+-=⎨=⎩
①② 由①得x 2=-(y-1)2
+9,
又y ＞0,
∴x 2≤9,又x ＜0,
∴-3≤x ＜0,
∴-6≤a ＜0.
即a 的取值X 围为［-6,0).
19.【解析】∵a =(3,-2),b =(-2,1),
3×1-(-2)× (-2)=-1≠0,
∴a 与b 不共线，故一定能以a ,b 作为平面内所有向量的一组基底.
设c =λa +μb ，即
(7,-4)=(3λ,-2λ)+(-2μ,μ)=(3λ-2μ，-2λ+μ), 32724λ-μ=⎧∴⎨-λ+μ=-⎩，解得1,2λ=⎧⎨μ=-⎩
∴c =a -2b .
20.【解析】∵A(1,0)，B （0,1），C （2sin θ,cos θ）,
∴AC =(2sin θ-1,cos θ),BC =(2sin θ,cos θ-1).
(1)∵AC BC =,
=化简得2sin θ=cos θ,
因为cos θ≠0(若cos θ=0，则sin θ=±1，上式不成立)， 所以tan θ=12
. （2）()OA 1,0OB 0,1,OC (2sin ,cos ),===θθ（）， ∴OA 2OB +=(1,2),
∵(OA 2OB)OC 1+⋅=,∴2sin θ+2cos θ=1,
∴213(sin cos ),sin cos .48
θ+θ=
∴θ⋅θ=-
21.【解析】设点M(x,y)为轨迹上的任意一点，且设A(0,b),Q(a,0)(a ＞0),
则()AM x,y b ,MQ a x,y .=-=--（） ∵3AM MQ,2=-
∴(x,y-b)=-32
(a-x,-y). ∴x y a ,b 32==-,即A(0,-y 2),Q(x 3,0). PA =(3,-y 2),AM =(x,3y 2
). 23PA AM 0,3x y 04⋅=∴-=，即y 2=4x. ∵a ＞0,∴x=3a ＞0.
所以，所求M 的轨迹方程为y 2
=4x(x ＞0).
【方法技巧】求动点轨迹方程的技巧和方法：
（1）直接法：若动点的运动规律是简单的等量关系，可根据已知（或可求）的等量关系直接列出方程.
（2）待定系数法：如果由已知条件可知曲线的种类及方程的具体形式，一般可用待定系数法.
（3）代入法（或称相关点法）：有时动点P 所满足的几何条件不易求出，但它随另一动点P ′的运动而运动，称之为相关点，若相关点P ′满足的条件简单、明确（或P ′的轨迹方程已知），就可以用动点P 的坐标表示出相关点P ′的坐标，再用条件把相关点满足的轨迹方程表示出来（或将相关点坐标代入已知轨迹方程）就可得所求动点的轨迹方程的方法.
（4）几何法：利用平面几何的有关知识找出所求动点满足的几何条件，并写出其方程.
（5）参数法：有时很难直接找出动点的横、纵坐标间的关系，可选择一个（有时已给出）与所求动点的坐标x,y 都相关的参数，并用这个参数把x,y 表示出来，然后再消去参数的方法.
22.【解析】（1）AB OB OA =-=(cos α-sin α,-1),
设OP =(x,y),
则BP OP OB =-=(x-cos α,y).
由AB BP =得x=2cos α-sin α，y=-1,
故OP =(2cos α-sin α,-1).
PB OB OP =-=(sin α-cos α,1),
CA OA OC =-=(2sin α,-1),
f(α)=PB CA ⋅=(sin α-cos α,1)·(2sin α,-1)
=2sin 2α-2sin αcos α-1=-(sin2α+cos2α)
sin(2α+
4π), 又α∈(-8π,2π),故0＜2α+4π＜54
π, 当0＜2α+4π≤2π,即-8π＜α≤8
π时，f(α)单调递减; 当2π＜2α+4π＜54π，即8π＜α＜2
π时，f(α)单调递增, 故函数f(α)的单调递增区间为(8π,2
π), 单调递减区间为(-8π,8
π］. (2)OP 2cos sin ,1,OC (sin ,2),=
α-α-=-α（） 由O ，P ，C 三点共线可得 (-1)×(-sin α)=2×(2cos α-sin α)，得tan α=43
. 2222sin cos 2tan 24sin2.sin cos tan 125
OA OB (sin 5αααα===α+αα+∴+===。