2021-2022学年新高一数学暑期衔接讲义-第2讲 方程的进阶——根的分布定理(解析版)

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1、设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程的两根，
则p 、q 的值分别等于 ．
2、方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则
)
1)(1(21++x x p
的值是 ．．
3、如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是 ．
4、已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 ．
5、已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x ． （1）当k 为何值时，此方程有实数根；
（2） 若此方程的两个实数根1x 、2x 满足：312=+x x ，求k 的值． 解：1、-1，-3；2、21-；3、143
≤<m ；4、5；5、(1)512
k ≤；(2) 0．
课堂导入
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数形结合
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。

中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。

作为一种
数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，
0∆>⎧0
∆>⎧
大致图象（
<a ）
得出的结论
()00200b a f ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪<⎪⎩ ()0
0200
b a f ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f
综
合（不讨论
a
）
()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨
⎪⋅>⎪⎩ ()0
0200
b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨
⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a
【例题精讲】
例1. 已知方程()2
210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围．
【解析】由()()0102200m f ∆>⎧⎪
-+⎪->⎨⎪>⎪⎩
⇒ ()2
18010m m m m ⎧+->⎪>-⎨⎪>⎩ ⇒ 322322
0m m m ⎧<->+⎪⎨>⎪⎩或 ⇒ 0322m <<-或322m >+即为所求的范围．
例2. 若方程05)2(2
=-+-+m x m x 的根满足下列条件，分别求出实数m 的取值范围．
（1）方程两实根均为正数；（2）方程有一正根一负根．
【解析】讨论二次方程根的分布，应在二次方程存在实根的条件下进行．代数方法与图象法是研究二次方程根的分布问题的主要方法． 解1 （1）由题意，得
.
452
44050
)2(0)5(4)2(00022
121-≤⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧<<≥-≤⇒⎪⎩⎪
⎨⎧>->--≥---⇒⎪⎩⎪
⎨⎧>>+≥∆m m m m m m m m m x x x x 或
所以，当4-≤m 时，原方程两实根均为正数；
（2）由题意，得.50500
2
1>⇒<-⇒⎩⎨⎧<≥∆m m x x
所以，当5>m 时，原方程有一正根一负根．
解2 二次函数m x m x y -+-+=5)2(2
的图象是开口向上的抛物线．
（1）如图，由题意，得4052)2(4
)2(022
050)2(020
)0(2
2-≤⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-+--->-->-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧
≤->->m m m m m m a b f a b f 。

所以，当4-≤m 时，原方程两实根均为正数； （2）如图，由题意，得5050
)0(>⇒<-⇒<m m f ．
所以，当5>m 时，原方程有一正根一负根． 评注 解2（1）中，条件02>-
a b 是必要的．若将此条件改为02<-a
b
，得到的二次函数的图象与原图象关于y 轴对称，此时得到的m 的值是两根均为负数的解．
【巩固练习】
已知二次方程()()2
21210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围．
【解析】由()()2100m f +<即()()2110m m +-<，从而得1
12
m -
<<即为所求的范围．
k k k
)()10
m+<
21
f<即)()
-
+a的一个根比(2=
)1
2
a
B
1
1
<C
()0
⎧>
f m
3. 关于x 的实系数方程220x ax b -+=的一根在区间101≤≤x 上，另一根在区间211≤≤x 上， 则23a b +的最大值为 ． 【答案】9
知识点四、综合
【知识梳理】
根的分布还有一种情况：两根12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是
（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0
f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩
【例题精讲】
例1.当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围： （1）方程x 2-ax+a-7=0的两个根一个大于2，另一个小于2； （2）方程ax 2+3x+4=0的根都小于1；
（3）方程x 2-2(a+4)x+2a 2+5a +3=0的两个根都在31-≤≤x 内；
（4）方程7x 2-（a+13）x+2a -1=0的一个根在10<<x 内，另一个根在21<<x 内． 【答案】（1）a >-3；(2)<a <7；(3)；(4)或a <-7．
121343a -≤≤-9
016
a ≤≤
温故知新
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课后巩固
1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；
2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。

预习思考
同学们，我们在初中学习了二次函数和一元一次不等式，那我们是否能够借助二次函数的图像来解一元二次不等式x2－x－6＜0呢？。