课件4：6.4 数列求和

若干项． ❖ (4)倒序相加法 ❖ 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的
推导过程的推广． ❖ (5)错位相减法 ❖ 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数
列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．
❖ (6)并项求和法
❖ 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求 和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
活学活用 2 (2015·黑龙江哈尔滨三模)已知数列{an}的各
项均为正数，前 n 项和为 Sn，且 Sn＝ana2n＋1，n∈N＋.
(1)求证：数列{an}是等差数列；
(2)设 bn＝21Sn，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求 Tn.
(1)证明：∵2Sn＝a2n＋an.
①
当 n＝1 时，2a1＝a21＋a1，∵a1＞0，∴a1＝1.
第六章 数 列
6.4 数列求和
考纲要求
❖ 1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式． ❖ 2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法． ❖ 3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并
能用相关知识解决相应的问题．
[要点梳理] 1．求数列的前 n 项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前 n 项和公式 Sn＝na12＋an＝na1＋nn2－1d.
即(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0.
∵an＋an－1＞0，∴an－an－1＝3(n≥2)．
❖ 当a1＝2时，a2＝5，a6＝17，此时a1，a2，a6不成等比数列， ∴a1≠2；
❖ 当a1＝1时，a2＝4，a6＝16，此时a1，a2，a6成等比数列， ❖ ∴a1＝1. ❖ ∴an＝3n－2，bn＝4n－1. ❖ (2)由(1)得 ❖ Tn＝1×4n－1＋4×4n－2＋…＋(3n－5)×41＋(3n－2)×40，③ ❖ ∴4Tn＝1×4n＋4×4n－1＋7×4n－2＋…＋(3n－2)×41. ④ ❖ 由④－③，得
②等比数列的前 n 项和公式 (Ⅰ)当 q＝1 时，Sn＝na1； (Ⅱ)当 q≠1 时，Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq. (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、 等比数列，再求解．
❖ (3)裂项相消法 ❖ 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消___剩__下__首____尾
3Tn＝4n＋3×(4n－1＋4n－2＋…＋41)－(3n－2) ＝4n＋12×1－1－4n4－1－(3n－2) ＝2×4n－(3n＋1)－1＝2bn＋1－an＋1－1， ∴3Tn＋1＝2bn＋1－an＋1(n∈N*)．
❖ 拓展提高 (1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等 比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求 和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差 求解．
❖ 思路点拨 求出an后，bn可看作两个数列{an}与{2an}对应项 之和，故Sn＝Sn′＋Tn.
❖ [解] (1)设等差数列的公差为d，d＞0.由题意得， ❖ (2＋d)2＝2＋3d＋8，d2＋d－0＝(d＋3)(d－2)＝0， ❖ 得d＝2. ❖ 故an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)·2＝2n， ❖ 得an＝2n.
[解] (1)设{an}的公差为 d， 则 Sn＝na1＋nn－2 1d，
即 Sn＝
d2n2＋a1－d2n，
a1－d2＝0
由 Sn是等差数列得到：
Sn＝
d2·n
，
则 d＝ d2且 d＝2a1＞0，所以 d＝12， 所以 a1＝d2＝14， an＝14＋(n－1)·12＝2n－ 4 1. (2)由 b1＝a1＝14，b2＝a2＝34，b3＝a5＝94，得等比数列{bn} 的公比 q＝3，
❖ 审题视角 利用Sn－Sn－1＝an确定{an}的性质可求an与bn，用
错位相减法求Tn，再寻找与bn＋1和an＋1的关系．
[解] (1)∵6Sn＝a2n＋3an＋2，
①
∴6a1＝a21＋3a1＋2，解得 a1＝1 或 a1＝2.
又 6Sn－1＝a2n－1＋3an－1＋2(n≥2)，
②
由①－②，得 6an＝(a2n－a2n－1)＋3(an－an－1)，
(2)bn＝an＋2an＝2n＋22n. Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n＋22n) ＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(22＋24＋…＋22n) ＝2＋22n·n＋4·11－－44n ＝n(n＋1)＋4n＋31－4.
拓展提高 (1)分组转化求和的通法 数列求和应从通项入手， 所以 cn＝log33n·l1og33n＋1＝nn1＋1＝1n－n＋1 1， Tn＝1－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1＝1－n＋1 1＝n＋n 1.
❖ 拓展提高 ❖ 利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第
一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再 就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂 开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．
当 n≥2 时，2Sn－1＝a2n－1＋an－1.
②
①－②得，2an＝a2n－a2n－1＋an－an－1， ∴(an－an－1)(an＋an－1)－(an＋an－1)＝0. ∵an＞0，∴an－an－1＝1，∴d＝1. ∴an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)解：∵bn＝21Sn＝ana1n＋1＝a1n－an＋1 1 ＝1n－n＋1 1， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝(11－12)＋(12－13)＋…＋(1n－n＋1 1) ＝1－n＋1 1＝n＋n 1.
❖ 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋ (98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
2. 常见的裂项公式
(1)nn1＋1＝1n－n＋1 1；
(2)nn1＋k＝1k(1n－n＋1 k)；
(3)2n－112n＋1＝12(2n1－1－2n1＋1)；
(4)nn＋11n＋2＝12[nn1＋1－n＋11n＋2]；
❖ [答案] 5 031
考向二 裂项相消法求和 例 2 (2015·南昌市模拟)设正项数列{an}的前 n 项和是 Sn， 若{an}和{ Sn}都是等差数列，且公差相等． (1)求{an}的通项公式； (2)若 a1，a2，a5 恰为等比数列{bn}的前三项，记数列 cn＝ log34bn＋11·log34bn＋2，数列{cn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn. 思路点拨 利用{ Sn}为等差数列，求出 a1 与 d 的关系， 确定 an，从而可求 bn 和 cn，用裂项法求 Tn.
❖ 活学活用1 (2015·合肥市质检)已知数列{an}满足anan＋1an＋ 2an＋3＝24，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 013＝________.
❖ [解析] 由anan＋1an＋2an＋3＝24可知，an＋1an＋2an＋3an＋4＝24， 得an＋4＝an，所以数列{an}是周期为4的数列，再令n＝1，求 得a4＝4，每四个一组可得(a1＋a2＋a3＋a4)＋…＋(a2 009＋a2 010＋a2 011＋a2 012)＋a2 013＝10×503＋1＝5 031.
(5)
1 n＋
n＋k＝1k(
n＋k－
n)．
(6)设等差数列{an}的公差为 d，则ana1n＋1＝1d(a1n－an1＋1)．
考向一 分组转化求和 例 1 (2015·温州市调研)已知{an}是递增的等差数列，a1 ＝2，a22＝a4＋8. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 bn＝an＋2an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前 n 项和的数列求和．
(2)an＝bn±cn 或 an＝cbnn
n为奇数， n为偶数， 数列{bn}，{cn}是等比
数列或等差数列，采用分组求和法求{an}的前 n 项和．
❖ (3)若数列有周期性，先求出一个周期内的和，再转化其它 数列(常数列)求和．
考向三 错位相减法求和 例 3 (2015·武汉市高三调研)已知正项数列{an}，其前 n 项 和 Sn 满足 6Sn＝a2n＋3an＋2，且 a1，a2，a6 是等比数列{bn}的前 三项． (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)记 Tn＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1，n∈N*，证明：3Tn＋1 ＝2bn＋1－an＋1(n∈N*)．
❖ 【失误与防范】
1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当 等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．
2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号． 3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称 性，即前剩多少项则后剩多少项．
本节内容结束
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❖ (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错 项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
❖ 【方法与技巧】
❖ [思维升华]
非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想： (1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数 列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成； (2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消 法、错位相减法、倒序相加法等来求和．