得荣县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

得荣县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设函数f （x ）=，f （﹣2）+f （log 210）=（ ）
A ．11
B ．8
C ．5
D ．2
2． 已知M N 、为抛物线24y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，
||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为（ ）
A ．240x y +-=
B ．240x y --=
C ．20x y +-=
D ．20x y --=
3． 如图，长方形ABCD 中，AB=2，BC=1，半圆的直径为AB ．在长方形ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）
A ．
B ．1﹣
C ．
D ．1﹣
4． 从单词“equation ”选取5个不同的字母排成一排，含有“qu ”（其中“qu ”相连且顺序不变）的不同排列共有（ ） A ．120个
B ．480个
C ．720个
D ．840个
5． 若当R x ∈时，函数|
|)(x a x f =（0>a 且1≠a ）始终满足1)(≥x f ，则函数3
|
|log x x y a =
的图象大致是 （ ）
【命题意图】本题考查了利用函数的基本性质来判断图象，对识图能力及逻辑推理能力有较高要求，难度中等． 6． 命题“∃x ∈R ，使得x 2＜1”的否定是（ ）
A ．∀x ∈R ，都有x 2＜1
B ．∃x ∈R ，使得x 2＞1
C ．∃x ∈R ，使得x 2≥1
D ．∀x ∈R ，都有x ≤﹣1或x ≥1
7． （文科）要得到()2log 2g x x =的图象，只需将函数()2log f x x =的图象（ ）
A ．向左平移1个单位
B ．向右平移1个单位
C ．向上平移1个单位
D ．向下平移1个单位 8． 设集合3|01x A x x -⎧⎫
=<⎨⎬+⎩⎭
,集合(){}2|220B x x a x a =+++>,若 A B ⊆,则的取值范围 （ ）
A ．1a ≥
B ．12a ≤≤ C.a 2≥ D ．12a ≤< 9． 函数f （x ）=ax 2+2（a ﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．0＜a ≤ B ．0≤a ≤
C ．0＜a ＜
D ．a ＞
10．若函数f （x ）=﹣a （x ﹣x 3）的递减区间为（，），则a 的取值范围是（ ）
A ．a ＞0
B ．﹣1＜a ＜0
C ．a ＞1
D ．0＜a ＜1
11．下列计算正确的是（ ）
A 、213
3
x x x ÷= B 、4554
()x x = C 、455
4
x x x = D 、445
5
0x x -=
12．已知两条直线ax+y ﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，则实数a 等于（ ）
A ．1或﹣3
B ．﹣1或3
C ．1或3
D ．﹣1或﹣3
二、填空题
13．如图，是一回形图，其回形通道的宽和OB 1的长均为1，回形线与射线OA 交于A 1，A 2，A 3，…，若从点O 到点A 3的回形线为第1圈（长为7），从点A 3到点A 2的回形线为第2圈，从点A 2到点A 3的回形线为第3圈…依此类推，第8圈的长为 ．
14．在ABC ∆中，有等式：①sin sin a A b B =；②sin sin a B b A =；③cos cos a B b A =；④
sin sin sin a b c
A B C
+=+.其中恒成立的等式序号为_________. 15．设集合A={﹣3，0，1}，B={t 2﹣t+1}．若A ∪B=A ，则t= ．
16．设全集U=R ，集合M={x|2a ﹣1＜x ＜4a ，a ∈R}，N={x|1＜x ＜2}，若N ⊆M ，则实数a 的取值范围是 ．
17．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，点D 在棱BB 1上，且BD=1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则sin α的值是 ．
18．一组数据2，x ，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是 ．
三、解答题
19．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】已知函数()2
ln f x ax x =+，
()21145ln 639f x x x x =
++，()221
22
f x x ax =+，a R ∈ （1）求证：函数()f x 在点()(),e f e 处的切线恒过定点，并求出定点的坐标； （2）若()()2f x f x <在区间()1,+∞上恒成立，求a 的取值范围； （3）当2
3
a =
时，求证：在区间()0,+∞上，满足()()()12f x g x f x <<恒成立的函数()g x 有无穷多个．（记ln5 1.61,6 1.79ln ==）
20．已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==． （1）求()f x 的解析式；
（2）若()f x 在区间[]2,1a a +上不单调，求实数的取值范围； （3）在区间[]1,1-上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方，试确定实数m 的取值范围．
21．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧==α
αsin cos 2y x （α为参数），过点)0,1(P 的直线交曲线C 于B A 、两点.
（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程； （2）求||||PB PA ⋅的最值.
22．已知函数f （x ）=|x ﹣a|．
（Ⅰ）若不等式f （x ）≤2的解集为[0，4]，求实数a 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若∃x 0∈R ，使得f （x 0）+f （x 0+5）﹣m 2
＜4m ，求实数m 的取值范围．
23． 定圆22:(16,M x y +=动圆N 过点0)F 且与圆M 相切,记圆心N 的轨迹为.E （Ⅰ）求轨迹E 的方程；
（Ⅱ）设点,,A B C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且AC BC =,当ABC ∆的面积最小时，求直线AB 的方程.
24．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．
得荣县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B 【解析】解：∵f （x ）=，
∴f （﹣2）=1+log 24=1+2=3，
=5，
∴f （﹣2）+f （log 210）=3+5=8． 故选：B ．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
2． 【答案】D
【解析】解析：本题考查抛物线的焦半径公式的应用与“中点弦”问题的解法．
设1122(,)(,)M x y N x y 、，那么12||||210MF NF x x +=++=，128x x +=，∴线段MN 的中点坐标为(4,2).
由2114y x =，2224y x =两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，
而1222y y +=，∴12
12
1y y x x -=-，∴直线MN 的方程为24y x -=-，即20x y --=，选D ． 3． 【答案】B
【解析】解：由题意，长方形的面积为2×1=2，半圆面积为，所以阴影部分的面积为2﹣，由几何概型
公式可得该点取自阴影部分的概率是；
故选：B ．
【点评】本题考查了几何概型公式的运用，关键是明确几何测度，利用面积比求之．
4． 【答案】B
【解析】解：要选取5个字母时首先从其它6个字母中选3个有C 63
种结果，
再与“qu “组成的一个元素进行全排列共有C 63A 44
=480，
故选B ．
5． 【答案】C
【解析】由|
|)(x a x f =始终满足1)(≥x f 可知1>a ．由函数3
|
|log x x y a =
是奇函数，排除B ；当)1,0(∈x 时，
|
|
log<
x
a ，此时0
|
|
log
3
<
=
x
x
y a，排除A；当+∞
→
x时，0
→
y，排除D，因此选C．
6．【答案】D
【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥1，
故选：D．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
7．【答案】C
【解析】
试题分析：()2222
log2log2log1log
g x x x x
==+=+，故向上平移个单位.
考点：图象平移．
8．【答案】A
【解析】
考点：集合的包含关系的判断与应用.
【方法点晴】本题主要考查了集合的包含关系的判定与应用，其中解答中涉及到分式不等式的求解，一元二次不等式的解法，集合的子集的相关的运算等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想、分类讨论思想的应用，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中正确求解每个不等式的解集是解答的关键. 9．【答案】B
【解析】解：当a=0时，f（x）=﹣2x+2，符合题意
当a≠0时，要使函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数
∴⇒0＜a≤
综上所述0≤a≤
故选B
【点评】本题主要考查了已知函数再某区间上的单调性求参数a的范围的问题，以及分类讨论的数学思想，属于基础题．
10．【答案】A
【解析】解：∵函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，）
∴f′（x）≤0，x∈（，）恒成立
即：﹣a（1﹣3x2）≤0，，x∈（，）恒成立
∵1﹣3x2≥0成立
∴a＞0
故选A
【点评】本题主要考查函数单调性的应用，一般来讲已知单调性，则往往转化为恒成立问题去解决．
11．【答案】B
【解析】
试题分析：根据()a aβααβ⋅=可知，B正确。

考点：指数运算。

12．【答案】A
【解析】解：两条直线ax+y﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，
所以=≠，
解得a=﹣3，或a=1．
故选：A．
二、填空题
13．【答案】63．
【解析】解：∵第一圈长为：1+1+2+2+1=7
第二圈长为：2+3+4+4+2=15
第三圈长为：3+5+6+6+3=23
…
第n 圈长为：n+（2n ﹣1）+2n+2n+n=8n ﹣1 故n=8时，第8圈的长为63， 故答案为：63．
【点评】本题主要考查了归纳推理，解答的一般步骤是：先通过观察第1，2，3，…圈的长的情况发现某些相同性质，再从相同性质中推出一个明确表达的一般性结论，最后将一般性结论再用于特殊情形．
14．【答案】②④ 【解析】
试题分析：对于①中，由正弦定理可知sin sin a A b B =，推出A B =或2
A B π
+=
，所以三角形为等腰三角
形或直角三角形，所以不正确；对于②中，sin sin a B b A =，即sin sin sin sin A B B A =恒成立，所以是正
确的；对于③中，cos cos a B b A =，可得sin()0B A -=，不满足一般三角形，所以不正确；对于④中，由正弦定理以及合分比定理可知
sin sin sin a b c
A B C
+=+是正确，故选选②④．1 考点：正弦定理；三角恒等变换．
15．【答案】 0或1 ．
【解析】解：由A ∪B=A 知B ⊆A ，∴t 2﹣t+1=﹣3①t 2
﹣t+4=0，①无解
或t 2﹣t+1=0②，②无解
或t 2
﹣t+1=1，t 2
﹣t=0，解得 t=0或t=1．
故答案为0或1．
【点评】本题考查集合运算及基本关系，掌握好概念是基础．正确的转化和计算是关键．
16．【答案】 [，1] ．
【解析】解：∵全集U=R ，集合M={x|2a ﹣1＜x ＜4a ，a ∈R}，N={x|1＜x ＜2}，N ⊆M ，
∴2a ﹣1≤1 且4a ≥2，解得 2≥a ≥，故实数a 的取值范围是[，1]，
故答案为[，1]．
17．【答案】
．
【解析】解：如图所示，
分别取AC ，A 1C 1的中点O ，O 1，连接OO 1，取OE=1，连接DE ，B 1O 1，AE ．
∴BO⊥AC，
∵侧棱AA1⊥底面ABC，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是直棱柱．
由直棱柱的性质可得：BO⊥侧面ACC1A1．
∴四边形BODE是矩形．
∴DE⊥侧面ACC1A1．
∴∠DAE是AD与平面AA1C1C所成的角，为α，
∴DE==OB．
AD==．
在Rt△ADE中，sinα==．
故答案为：．
【点评】本题考查了直棱柱的性质、空间角、空间位置关系、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．【答案】2．
【解析】解：∵一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，
∴2+x+4+6+10=5×5，
解得x=3，
∴此组数据的方差[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=8，
∴此组数据的标准差S==2．
故答案为：2．
【点评】本题考查一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的平均数和方差公式的求法．
三、解答题
19．【答案】（1）切线恒过定点1,22e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
．（2） a 的范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （3） 在区间()1,+∞上，满足 ()()()12f x g x f x <<恒成立函数()g x 有无穷多个
【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义求得切线方程为11222e y ae x e ⎛⎫⎛⎫-
=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故过定点1,22e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；
试题解析： （1）因为()12f x ax x '=+
，所以()f x 在点()(),e f e 处的切线的斜率为12k ae e
=+， 所以()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为()2121y ae x e ae e ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭， 整理得11222e y ae x e ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以切线恒过定点1,22e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
． （2）令()()()2p x f x f x =-=212ln 02a x ax x ⎛⎫--+< ⎪⎝
⎭，对()1,x ∈+∞恒成立， 因为()()1212p x a x a x =--+'()22121a x ax x --+=()()()1211*x a x x
⎡⎤---⎣⎦= 令()0p x '=，得极值点11x =，2121
x a =-， ①当112a <<时，有211x x >=，即112
a <<时，在()2,x +∞上有()0p x '>， 此时()p x 在区间()2,x +∞上是增函数，并且在该区间上有()()()2,p x p x ∈+∞，不合题意； ②当1a ≥时，有211x x <=，同理可知，()p x 在区间()1,+∞上，有()()()
1,p x p ∈+∞，也不合题意； ③当12
a ≤时，有210a -≤，此时在区间()1,+∞上恒有()0p x '<， 从而()p x 在区间()1,+∞上是减函数； 要使()0p x <在此区间上恒成立，只须满足()111022p a a =--
≤⇒≥-， 所以1122
a -≤≤． 综上可知a 的范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦． （利用参数分离得正确答案扣2分）
（3）当23a =
时，()21145ln 639f x x x x =++，()221423
f x x x =+ 记()()22115ln 39
y f x f x x x =-=-，()1,x ∈+∞． 因为22565399x x y x x
='-=-，
令0y '=，得x =
所以()()21y f x f x =-在⎛ ⎝为减函数，在⎫+∞⎪⎪⎭上为增函数，
所以当x =时，min 59180y = 设()()()15901180
R x f x λλ=+<<，则()()()12f x R x f x <<， 所以在区间()1,+∞上，满足()()()12f x g x f x <<恒成立函数()g x 有无穷多个
20．【答案】（1）2()243f x x x =-+；（2）102a <<；（3）1m <-.
试
题解析：
（1）由已知，设2
()(1)1f x a x =-+，
由(0)3f =，得2a =，故2()243f x x x =-+． （2）要使函数不单调，则211a a <<+，则102
a <<
． （3）由已知，即2243221x x x m -+>++，化简得2310x x m -+->， 设2
()31g x x x m =-+-，则只要min ()0g x >，
而min ()(1)1g x g m ==--，得1m <-．
考点：二次函数图象与性质．
【方法点晴】利用待定系数法求二次函数解析式的过程中注意选择合适的表达式，这是解题的关键所在；另外要注意在做题过程中体会：数形结合思想，方程思想，函数思想的应用．二次函数的解析式（1）一般式：()()20f x ax bx c a =++≠；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为(),h k ，则其解析式为
()()()2
0f x a x h k a =-+≠；（3）两根式：若相应一元二次方程的两根为()12,x x ，则其解析式为()()()()120f x a x x x x a =--≠.
21．【答案】（1）12
22
=+y x .（2）||||PB PA ⋅的最大值为，最小值为21. 【解析】
试
题解析：解：（1）曲线C 的参数方程为⎩
⎨⎧==ααsin cos 2y x （α为参数），消去参数α 得曲线C 的普通方程为12
22
=+y x （3分） （2）由题意知，直线的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1t y t x （为参数），将⎩⎨⎧=+=θ
θsin cos 1t y t x 代入1222
=+y x 得01cos 2)sin 2(cos 222=-++θθθt t （6分）
设B A ,对应的参数分别为21,t t ，则]1,2
1[sin 11sin 2cos 1||||||22221∈+=+==⋅θθθt t PB PA . ∴||||PB PA ⋅的最大值为，最小值为2
1. （10分） 考点：参数方程化成普通方程．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵|x ﹣a|≤2，∴a ﹣2≤x ≤a+2，
∵f （x ）≤2的解集为[0，4]
，∴，∴a=2．
（Ⅱ）∵f （x ）+f （x+5）=|x ﹣2|+|x+3|≥|（x ﹣2）﹣（x+3）|=5， ∵∃x 0∈R
，使得
，
即成立， ∴4m+m 2＞[f （x ）+f （x+5）]min ，即4m+m 2＞5，解得m ＜﹣5，或m ＞1， ∴实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）．
23．【答案】
【解析】（Ⅰ）(3,0)F
在圆22:(16M x y +=内，∴圆N 内切于圆.M NM NF +∴轨迹E 的方程为4(11OA OC =2(14)(14k k ++≤当且仅当182,5>∴∆24．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，
∴平面AEC⊥平面PDB．
（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∴O，E分别为DB、PB的中点，
∴OE∥PD，，
又∵PD⊥底面ABCD，
∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，
在Rt△AOE中，，
∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．。