数学-高二-湖南省衡阳市第二十六中学高二上学期期中考试数学(理)试题

衡阳市26中2016年下期高二期中考试
数学（理）
一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分） 1．在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于
A.11
B.12
C.13
D.14
2． 数列}{n a 满足111,21n n a a a +==+（N n +∈）, 那么4a 的值为( ) A. 4 B. 8 C. 15 D. 31 3.已知,,a b c R ∈,则下列推证中正确的是 ( )
A.22a b am bm >⇒>
B.
a b
a b c c
>⇒> C.3311,0a b ab a b >>⇒< D.2211
,0a b ab a b
>>⇒<
4．在等差数列{}n a 中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n 项之和是100，则项数n 为（ ）
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12 5.在△ABC 中，已知8=a ，B=060，C=075，则b 等于 ( )
A.64
B.54
C.34
D.
3
22
6.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若A=60，b=1，c=2，则a =（ ）
A 1 B
3 C 2 D 7
7.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是 ( )
A. 75︒
B. 90︒
C. 135︒
D. 120︒
8.在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒
===,则此三角形解的情况是 （ ） A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解
9.等差{}n a 的前n 项和n S ，若1,m >且2
1210,38,m m m a a S ++-==，则m
等于（ ）
A ．38
B ．20
C ．10
D ．9
10. 若x , y 是正数，且
11
1x y
+= ，则xy 有 （ ）
A ．最小值16
B ．最小值
116 C ．最大值16 D ．最大值116
11.设ABC ∆的三内角A 、B 、C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形
状是 ( )
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形 12.设,x y 满足约束条件360x y --≤，20x y -+≥，0,0x y ≥≥，若目标函数
(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12则
23
a b
+的最小值为（ ） A.
256 B.256
C.6
D. 5 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

13、在ABC ∆中，若1
5,,sin ,43
b B A π
==
= 则 a = 14、已知点(,)x y 在如图所示的阴影部分内运动，则2z x y =+的最大值是______ 15、在数列{}n a 中，已知1221-=+++n
n a a a ，则n a =
16.给出命题：①x R ∈，使31x <； ②x Q ∃∈，使22x =； ③x N ∀∈，有32
x x >；
④x R ∀∈，有210x +>．其中的真命题是：___________。

三、解答题
17.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.
(1)解关于a 的不等式f (1)>0；
(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．
18. (1) n S 为等差数列{a n }的前n 项和，62S S =,14=a ，求5a . (2)在等比数列{a n }中，若422324,6,a a a a -=+=求首项1a 和公比q .
19.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝5，cos B ＝3
5
.
(1)求b 的值； (2)求sin C 的值．
20.（12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且cos cos B C b
a c
=-
+2. （1）求角B 的大小；
（2）若b a c =+=134，，求ABC ∆的面积
21（本小题满分12分）
如图，某动物园要建造两间完全相同的矩形熊猫居室，其总面积为24平方米，设熊猫居室的一面墙AD 长为x 米(26≤≤x )． ⑴用x 表示墙AB 的长；
⑵假设所建熊猫居室的墙壁造价(在墙壁高度一定的前提下)为每米1000元，请将墙壁的总造价
y (元)表示为x (米)的函数；
⑶当x 为何值时，墙壁的总造价最低？
22.（12分） 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项的和，已知7S =7，15S =75，n T 为数列{||n
S n
}的前n 项的和，求n T .
参考答案
一、选择题：
题号 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C
C
C
B
A
B
D
B
C
A
C
B
二、填空题 13.
523
14.4 15. 1
2n - 16. ①④ 三、解答题
17.解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可化为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋2 3.
∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．
(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， 等价于⎩⎪⎨
⎪⎧
－1＋3＝a (6－a )
3，－1×3＝－6－b
3，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝3±3，
b ＝－3.
18. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，
由题意，得1112615,31,a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩即11
270,
31,a d a d +=⎧⎨+=⎩ ………………3分
解得，12,7.d a =-=所以，51474(2) 1.a a d =+=+⨯-=- ……………5分 (2)设等比数列{a n }的公比为q ，
由题意，得211(1)24,
(1)6,
a q q a q q ⎧-=⎨+=⎩ ………………………………8分
解得，11
5,.5
q a == ………………………………………10分
19.解：(1)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋25－2×2×5×3
5
＝17，所以b ＝17.
(2)因为cos B ＝35，所以sin B ＝4
5，
由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得1745＝5
sin C
，
所以sin C ＝417
17.
20.解：(1)由
cos cos sin cos 2cos 2sin sin B b B B
C a c C A C
=-⇒=-
++ 2sin cos cos sin sin cos A B B C B C ⇒+=- 2sin cos sin cos cos sin A B B C B C ⇒=--
2sin cos sin()2sin cos sin A B B C A B A ∴=-+⇒=-
12cos ,0,23
B B B ππ⇒=-<<∴=又
（2）由222222cos ()22cos
3
b a
c ac B a c ac ac π
=+-=+--
113163sin 24
ABC ac ac S ac B ∆=-∴=∴=
=
21..（Ⅰ）∵矩形熊猫居室的总面积=AB*AD=24平方米，设AD=x 米 ∴AB=
x
24
米（2≦x ≦6） （Ⅱ）由题意得：墙壁的总造价函数y=)6
(3000)2423(1000x
x x x +=⨯+
⨯ 其中2≦x ≦6
（Ⅲ）由y=)6
(3000x x +≧x
x 16
23000•
⨯=24000 当且仅当x
x 16
=
，即x=4时取等号； ∴x=4时，y 有最小值24000；所以，当x=4时，墙壁的总造价最低
22．设数列{}n a 的公差为d ，则11
72171510575a d a d +=⎧⎨+=⎩，解之得：121a d =-⎧⎨=⎩，所以(5)
2n n n S -=；
设5
2n n S n b n -==
，则{}n b 是等差数列，设49'221n n b b b S n n -=+++= 。

令5
02
n n b -=
≥，解得：5n ≥，所以1234,,,b b b b 小于0，50b =，6n ≥时，0n b >；所以 当5n ≤时，4
9||||||2
21n n b b b T n n -=+++= ；
当6n ≥时，||||||||||6521n n b b b b b T ++++++=
4
409)''(')(2556521+-=
-+-=++++++-=n n S S S b b b b b n n
所以2
2954
94064
n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩。