22微分学模型经济学模型经济数学建模西安交通大学戴雪峰)PPT课件

t2应 满 足t2t1xb （ t2t1为 灭 火 时 间 ， 而 在 这 段 时 间 内 ， 火 势 蔓 延 速
度 从b按 x速 率 减 为0， (x)(t2t1)b）
B(t2)s1s2 12bt12(bx2)
（s1是t1为底的三角形面积， s2 12b(t2t1)是t2t1 为底
的三角形面积）
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由 假 设 1 ） 、 4 ） ， 森 林 损 失 费 为 C 1 B (t2)， 救 援 费 用 为
C 2x(t2 t1 ) C 3 x
救 火 总 费 用C(x)1 2C1bt12(C x1b2)C x2 bxC3x
问 题 就 归 纳 为 求 x使 得 C(x)达 到 最 小 。
令dC d(xx)0， 得 x C1b22C 32C 22b
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三、血管分支
血液在动物血管中一刻不停地流动，为 了维持血液的循环，动物肌体要向血管 提供能量，其中一部分用于供给血管壁 以营养，另一部分用来克服血液流动受 到的阻力，消耗的总量显然与血管系统 的几何形状有关。现在研究血管分支处 粗细血管半径的比例和分岔的角度，在 能量消耗最小原则下应取什么样的数值。
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(3)血液对血管壁提供营养的能量随管壁内表面积 与管壁的体积的增加而增加。管壁所占体积又取决 于管壁厚度，而厚度近似与血管半径成正比（这是 一条生理上的假设） 。 根 据 假 设 （ 1 ） ， 血 管 示 意 图 如 下
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设粗血管半径为r， 在C点分叉形成对称几何形状，
两条半径r1 的细血管，粗细血管夹角为θ，粗血 管长l，细血管长l1 ，又设血液在粗血管中单位时
员 的 平 均 灭 火 速 度 ，从 图 上 可 看 出 ，只 有 当 x
（即
x ）
时 ， 斜 率 为 x 的 直 线 与 x 轴 才 会 有 交 点 t2。 ② 派 出 队 员
的另一部分，即在最低限度以上的人数，与问题的各个参数
有 关 ： 当 和 C3 增 加 时 ， 队 员 人 数 减 少 ； 当 ,b （ 开 始 救 火
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问题分析：
（ 1） 火 灾 损 失 通 常 正 比 于 与 森 林 被 烧 面 积 ， 而 被 烧 面 积 又 与 从 起 火 到 火 灭 的 时 间 有 关 ， 而 这 时 间 又 与 消 防 队 员 人 数 有 关 。
（ 2） 救 援 开 支 由 两 部 分 构 成 ： ① 灭 火 器 材 的 消 耗 与 消 防 队 员 酬 金 （ 与 人 数 和 时 间 有 关 ） ； ② 运 输 队 员 和 器 材 等 一 次 性 支 出 （ 与 人 数 有 关 ） 。
（ddC x2(Cx1b2)2(C x2b)2C3
） dd2 xC 2 b(C (1xb2)C 32) 0
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结 果 解 释 ：① 应 派 出 队 员 数 目 由 两 部 分 组 成 。一 部 分
是为
了 把 火 扑 灭 的 最 低 限 度 ， 因 为 火 势 蔓 延 速 度 ， 为 dt =存储费
一 个 周 期 内 的 总 费 用 为
C C 1 1 2 C 2 r T 2
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取每天的平均费用作为目标函数，记为C(T) ，则
C(T)
CC1 TT
12C2rT
那末，制定最优存储策略就归结为确定T使C(T) 取的最小值。
由
C(T)
C1 T2
1 2C2r
令 C(T) 0 ，T
评注：应用该模型时，C1,C2,C3 是已知的，, 由森 林类型、消防队员的素质等因素决定，可预先制成 表格以备查用。较难掌握的是开始救火时的火势 b ，它可由失火到救火的时间t1 按bt1 估算或 由现场实际情况估计。
假设（2）、（3）只能符合无风的情况，在有风的情 况下，应考虑另外的假设。再有 为常数的假设， 应认为 应与开始救火时的火势 b 有关，b 越大， 越小，这时要对 、b 作出合理的假设，再得到进 一步的结果。
S[(rd)2r2](d22rd)，
设S 与r 成正比，d 与r 近似成正比，则V 与r2近
似成正比。 综合考虑管壁内表面积 S 与管壁体积V 对能量 的消耗的影响，可假设单位长度血管消耗营养为
br （1 2，b 是比例系数）。
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模 型 建 立 ：
当血液由 A 点流到 B, B 两点过程中，机体为克 服阻力和供养管壁所消耗的能量为
数学建模
戴雪峰 E-mail:
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第一部分
整体概述
THE FIRST PART OF THE OVERALL OVERVIEW, PLEASE SUMMARIZE THE CONTENT
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微分学模型（静态优化模型）、 经济学模型
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一、存储模型
存储过多会占用资金多，仓储费高。 但存储量少会增加订货费，缺货还会 造成经营的损失。现只考虑订货费及 存储费，如何使总费用最少？ 其中订货费指每订一批货需付出的 费用，它与订货量的多少无关；存 储费与货物量、存储时间成正比。
2C1 rC2
(T>0
时驻点唯一)，而C(T)
2C1 T3
0
T
2C1 rC2
是最小值点。Q
2C1r
C2 是最优订货量。
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2、允许缺货的存储模型
若除考虑订货费C1和存储费C2， 还要考虑缺货造 成的损失， （设缺货损失费C3/每天每吨） ，如何使 总费用最小？
1）简化、假设：假设需求均匀、恒定，设每隔T 天订一次货，每次订货量是 Q 吨，每次订货费为 C1，每天每吨贮存费为C2，每天货物需求量为r 吨， 缺货时每天每吨缺货费为 C3，并假定订货后立即 到货，要确定T和Q的值使总费用为最小。
间流量为q，则在细血管中单位时间流量q1=q/2。
由假设(2)，利用流体力学关于粘性流体在刚性管
道中的流动时所受阻力的定律，其阻力与流量q 的
平方成正比，与半径 r 的 4 次方成反比。所以血液
kq2 kq12
在粗、细血管中流动所受阻力分别为 r4 和r14 ，k
是比例系数。
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由假设(3)，半径为r、长度为l 的血管，管壁内表 面积为S2rl ，管壁体积VSl ，S管壁截面积， 管壁厚度为d ，
（ 3） 在 无 风 的 情 况 下 ， 可 认 为 火 势 以 失 火 点 为 圆 心 ， 均 匀 向 四 周 蔓 延 。 半 径 与 时 间 成 正 比 ， 从 而 被 烧 面 积 应 与 时 间 的 平 方 成 正 比 。
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记 失 火 时 刻 为 t=0， 开 始 救 火 时 刻 为 t=t1， 灭 火 时 刻 为 t=t2。 设 在 时 刻 t森 林 烧 毁 面 积 为 B(t)， 则 造 成 损 失 的 森 林 烧 毁 面 积 为 B(t2)
dB
dt 随t 的增加而增加；开始救火以后，即t1 t t2 ， 如果消防队员救火能力足够强，火势会越来越小，
dB
即dt 随t
的增加而减小；且当
t
t2
dB
时，dt
0
。
模 型 假 设 ：
（ 1） 火 灾 损 失 与 森 林 被 烧 面 积 B (t2)成 正 比 ， 比 例 系 数 C 1， 即 烧 毁 单 位 面 积 的 损 失 费 。
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模 型 构 成 与 求 解 由 假 设 （ 2） 、 （ 3） ， ddB t 在 0tt1线 性 地 增 加 ， 在
dB
t1tt2线 性 地 减 小 ， dt 的 图 形 如 下
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记tt1时，ddBt b
,
所以烧毁面积B(t2)
t2 0
dBdt dt
恰好为图中三角形面积，B(t2)12bt2
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（2） 从失火到开始救火这段时间 （ 0tt1 ） 内， 火
势蔓延程度ddB t 与时间t成正比， 比例系数称火势
蔓延速度。
（在无风的情况下，可认为火势以失火点为圆心， （ 均3 匀） 向派 四出 周消 蔓防 延队 。员 所x以名 蔓， 延开 的始 半救 径火 r后 与（ 时t间t1t） ， 成火 正
取 每 日 平 均 费 用 作 目 标 函 数 ， 记 为 C(T)
C(T)C1C2Q2C3(rTQ)2 T 2rT 2rT
( T1Q r)
令C T (T)0,C Q (T)0
得
T 2C1C2C3,Q 2C1r C3
rC2 C3
C2 C2C3
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比较两种情况下的结果，可以看到： 在不允许缺货的情况下（即C3 ），后者公式变 为前者。 在允许缺货的情况下，订货周期应增大，而订货 批量应减小。 （相对于不允许缺货时的批量和周期而言）
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1、不允许缺货的存储模型
简化、假设： 假设需求是均匀、恒定的，即单 位时间的需求量保持常数，并且不允许缺货现象 出现。货物存储时间以天为单位，货物量以吨为 单 位 ， 每 隔 T 天 订 货 一 次 （ 称 T 为 订 货 周 期 ）， 每 次 订 货 量 为 Q， 每 次 订 货 费 为 C1， 每 日 每 吨 货 物 的 存 储 费 为 C2， 每 日 对 货 物 的 需 求 量 为 r， 并 假 定存储量降到零时立即补充（这是由于当存储量 与需求量均为已知时，可以提前订货，在存储量 为 零 时 进 货 补 充 就 行 了 ）。
对 函 数 B ( t ) 的 形 式 作 出 简 单 合 理 的 假 设
研 究 d d B t比 研 究 B(t)更 为 直 接 和 方 便 ， d dB t 表 示 单 位 时 间 烧 毁 的 面 积 ， 表 示 火 势 蔓 延 的 程 度 。
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在消防队员到达之前，0t t1 ，火势越来越大，即
的 面 积 ， 有SA1 2QT10T1q(t)dt
缺货费等于C3乘三角形B的面积，
有SB
T T1
q(t)dt
12r(TT1)2
（ ） qQrt,当tT1时q0,QrT1,SB12(TT1)QrT12r(TT1)2
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总 费 用 C C 1 1 2 C 2 Q T 1 1 2 C 3 r ( T T 1 ) 2
问题：在总费用中增加购买货物本身的费用，重 新确定最优订货周期和订货批量，证明在不允许 缺货情况下模型结果与原来一致，而在允许缺货 情况下模型结果均比原来的小。
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二、森林灭火模型
当森林失火时，消防站在接到报警后 要派多少消防队员去救火呢？派的队 员越多，森林的火灾损失越小，但救 援的开支会越大。所以要综合考虑森 林损失费和救援费与消防队员人数之 间的关系，派出多少队员救火，以总 费用最小来决定派出的队员数目。
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2）模型建立： 设第t 天的贮存量为q，则q是t 的周期函数，周
期为T，且 qQ-rt
(0≤t≤T)
q(t)的图形如图所示
q
Q
A
B
O
T1
T
t
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缺 货 的 q(t)看 作 负 值 ， 因 此 货 物 在 t=T1时 售 完 ， 其 中T1Q r T
因 此 一 个 周 期 内 贮 存 费 等 于C2乘 上 图 中 三 角 形A
势 比蔓 ，被 延 烧 速 毁 度 面 降 积 为 B(t)与 xr， 2其 成中 正比 可 ， 视 从为 而每 与个 t消 2成防 正队 比员 。
的 平 均 dB灭 火 速 度 ， 显 然 x。
从而dt 与t 成正比（不与t2成正比）。
（ 4） 每 个 队 员 单 位 时 间 的 费 用 为 C 2， 每 个 队 员 灭 火 费 用 是 C 2(t2t1)， 每 个 队 员 的 一 次 性 支 出 是 C 3。
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问题求解： 在上述假定下
QrT
设任一时刻货物存储量为q ，则q(t) 如图所示
q
Q
P
r
A
O
T
t
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若将数量为 Q 的货物存储 T 天，则其存储费用
为C2QT，其中QT 恰为图中矩形OTPQ 的面积， 所以在存储量均匀减少的情况下，存储费恰好
是上述矩形面积的一半，即ΔOTQ 的面积
A
1 2
C2QT
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模 型 假 设
(1)一条粗血管在分叉点处分成两条细血管，分叉点 附近三条血管在同一平面上，且有一条对称轴， （因 为如果不在同一平面上，血管总长度必然增加，导 致能量消耗增加，不符合最优原则。这是一条几何 上的假设。）
(2)考察血液流动受到的阻力，假设血液在血管中的 流动符合粘性流体在刚性管道中的流动（这当然是 一种近似，实际上血管是有弹性的） ，这是一条物理 上的假设。
时 的 火 势 ）、 C1 增 加 时 ， 队 员 人 数 增 加 （ 这 与 实 际 相 吻 合 ）； 当 C2增大时，队员人数也增加，这个结果是否合理呢？（实 际可以这样解释：当 C2 增大时，增加队员人数，以减少灭火
时 间 ， 使 烧 毁 损 失 减 少 ， 以 达 到 降 低 总 费 用 的 目 的 。） 22