正弦、余弦定理

正弦定理和余弦定理
1．正、余弦定理：
在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则
2.重要结论
在△ABC 中，常有以下结论 (1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.
(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ； (5)∠A >∠B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B . 3. 三角形中常用的面积公式 (1)S ＝1
2ah(h 表示边a 上的高)．
(2)S ＝12bcsinA ＝12acsinB ＝1
2
absinC.
3.例题讲解
例1.在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒， 求边长c
解一：由正弦定理得：23
2
45sin 3sin sin =
==οb B a A ∵b <a ∴B<A ∴A=60︒或120︒
当A=60︒时C=75︒ 22
645
sin 75sin 2sin sin +===
ο
ο
B
C
b c 当A =120︒时C=15︒ 2
2
645sin 15sin 2sin sin -===
ο
ο
B C b c
解二：设c = x 由余弦定理 B ac c a b cos 22
22-+= 将已知条件代入，整理：0162
=+-x x 解之：2
26±=
x
例2、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a, 3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.
解析 由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b ，a ＝5
3
b ，
又b ＋c ＝2a ，所以c ＝7
3
b .
根据余弦定理的推论cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
，
把a ＝53b ，c ＝73b 代入，化简得cos C ＝－12，所以C ＝2π3.
例3.[2017·全国卷Ⅱ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.
解析 由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，
得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A . ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B . ∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B . 又sin B ≠0，∴cos B ＝12.∴B ＝π3
.
4.过关练习
(1)在△ABC中，已知sin A∶sin B＝2∶1，c2＝b2＋2bc，则三内角A，B，C的度数依次是________．
(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，
sin B＝1
2，C＝
π
6，则b＝________.
(1)由题意知a＝2b，a2＝b2＋c2－2bc cos A，
即2b2＝b2＋c2－2bc cos A，
又c2＝b2＋2bc，
∴cos A＝
2
2，A＝45°，sin B＝
1
2，B＝30°，∴C＝105°.
(2)因为sin B＝1
2且B∈(0，π)，所以B＝
π
6或B＝
5π
6.
又C＝π
6，B＋C<π，所以B＝
π
6，A＝π－B－C＝
2π
3.
又a＝3，由正弦定理得
a
sin A＝
b
sin B，即
3
sin
2π
3
＝
b
sin
π
6
，
解得b＝1.。