2017-2018年北京市顺义一中高二上学期期中数学试卷及答案(理科)

2017-2018学年北京市顺义一中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（每题5分，共40分）
1．（5分）经过点B（3，0），且与直线2x+y﹣5=0垂直的直线的方程是（）A．2x﹣y﹣6=0 B．x﹣2y+3=0 C．x+2y﹣3=0 D．x﹣2y﹣3=0
2．（5分）圆（x﹣1）2+y2=2的圆心到直线x﹣y+3=0的距离为（）
A．1 B．2 C．D．
3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（）
A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥AB
C．AC1与DC成45°角D．A1C1与B1C成60°角
4．（5分）两直线y=3ax﹣2和（2a﹣1）x+5ay﹣1=0分别过定点A，B，则|AB|的值为（）
A．B．C．D．
5．（5分）若点A（﹣2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线L过点P（1，1）且与线段AB相交，则L的斜率k的取值范围是（）
A．k≤或k≥B．k≤﹣或k≥﹣C．≤k≤D．﹣≤k≤﹣6．（5分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
7．（5分）已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）
A．5 B．10 C．D．
8．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m ＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）
A．7 B．6 C．5 D．4
二、填空题（每题5分，共30分）
9．（5分）在直角坐标系中，直线的斜率是．
10．（5分）若两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，则a等于．
11．（5分）已知实数x，y满足4x+3y﹣10=0，则x2+y2的最小值是．12．（5分）过圆x2+y2=8内的点P（﹣1，2）作直线l交圆于两点A，B．若直线l的倾斜角为135°，则弦|AB|的长为．
13．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为．
14．（5分）把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论：
①AC⊥BD；
②△ADC为正三角形；
③AD与平面BCD成60°角．
则其中正确的结论是．（只填序号）
三、解答题（共80分）
15．（10分）如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O 上任意一点，
求证：BC⊥平面PAC．
16．（16分）（1）求经过两直线2x﹣3y﹣3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y﹣1=0平行的直线方程．
（2）求圆心在直线l1：y﹣3x=0上，与x轴相切，且被直线l2：x﹣y=0截得的弦长为的圆的方程．
17．（13分）在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M，N，E分别是AB，PC，AD的中点，平面EMN交PD于F．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：MN∥EF．
18．（13分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．
（1）AD边所在直线的方程；
（2）矩形ABCD外接圆的方程．
19．（14分）如图，在三棱柱中ABC﹣A1B1C1，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别为A1C1，BC的中点．
（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
（2）求证：C1F∥平面ABE；
（3）求三棱锥C﹣ABE的体积．
20．（14分）直线y=kx+b与圆x2+y2=4于A，B两点，记△AOB的面积为S（其中
O为坐标原点）
（1）当k=0，b=1时，求S的值；
（2）当k=0，0＜b＜2时，求S的最大值；（3）当b=2，S=1时，求实数k的值．
2017-2018学年北京市顺义一中高二（上）期中数学试卷
（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分，共40分）
1．（5分）经过点B（3，0），且与直线2x+y﹣5=0垂直的直线的方程是（）A．2x﹣y﹣6=0 B．x﹣2y+3=0 C．x+2y﹣3=0 D．x﹣2y﹣3=0
【解答】解：设与直线2x+y﹣5=0垂直的直线方程为：
x﹣2y+c=0，
把点（3，0）代入，3﹣0+c=0，
解得c=﹣3，
∴经过点B（3，0），且与直线2x+y﹣5=0垂直的直线的方程是x﹣2y﹣3=0．
故选：D．
2．（5分）圆（x﹣1）2+y2=2的圆心到直线x﹣y+3=0的距离为（）
A．1 B．2 C．D．
【解答】解：圆心坐标为（1，0），
圆心到直线的距离d===2，
故选：D．
3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（）
A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥AB
C．AC1与DC成45°角D．A1C1与B1C成60°角
【解答】解：由题意画出如下图形：
A．因为AD∥A1D1，
所以∠C1A1D1即为异面直线A1C1与AD所成的角，而∠C1A1D1=45°，所以A错；B．因为D1C1∥CD，利平行公理4可以知道：AB∥CD∥C1D1，所以B错；C．因为DC∥AB．所以∠C1AB即为这两异面直线所成的角，而
，所以C错；
D．因为A1C1∥AC，所以∠B1CA即为异面直线A1C1与B1C所成的角，在正三角形△B1CA中，∠B1CA=60°，所以D正确．
故选：D．
4．（5分）两直线y=3ax﹣2和（2a﹣1）x+5ay﹣1=0分别过定点A，B，则|AB|的值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵直线y=3ax﹣2，令x=0，求得y=﹣2，可得直线y=3ax﹣2经过定点A（0，﹣2），
直线（2a﹣1）x+5ay﹣1=0，即a（2x+5y）﹣x﹣1=0，令2x+5y=0，可得﹣x﹣1=0，
求得x=﹣1，y=，可得a（2x+5y）﹣x﹣1=0经过定点B（﹣1，），
则|AB|==，
故选：C．
5．（5分）若点A（﹣2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线L过点P（1，1）且与线段AB相交，则L的斜率k的取值范围是（）
A．k≤或k≥B．k≤﹣或k≥﹣C．≤k≤D．﹣≤k≤﹣【解答】解：∵A（﹣2，﹣3），P（1，1）
∴直线PA的斜率k PA==，同理可得直线PB的斜率k PB==
∵直线L过点P（1，1）且与线段AB相交，且在斜率变化过程中倾斜角总是锐角
∴L的斜率k的取值范围是≤k≤
故选：C．
6．（5分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；
C：l∥α，m⊂α，则l∥m或两线异面，故不正确．
D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．
B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．
故选：B．
7．（5分）已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）
A．5 B．10 C．D．
【解答】解：由题意知，点A在圆上，则A为切点，
则OA的斜率k=2，
则切线斜率为﹣，
则切线方程为：y﹣2=﹣（x﹣1），
即x+2y﹣5=0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，
所以，所求面积为=．
故选：D．
8．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m ＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）
A．7 B．6 C．5 D．4
【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，
∵圆心C到O（0，0）的距离为5，
∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．
再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，
可得PO=AB=m，故有m≤6，
故选：B．
二、填空题（每题5分，共30分）
9．（5分）在直角坐标系中，直线的斜率是．
【解答】解：∵直线即y=﹣x+3
∴直线的斜率为﹣
故答案为：﹣
10．（5分）若两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，则a等于﹣1．
【解答】解：a=1时，两条直线不平行，舍去．
a≠1时，两条直线分别化为：，，
∵l1∥l2，
∴，，
解得a=﹣1．
故答案为：﹣1．
11．（5分）已知实数x，y满足4x+3y﹣10=0，则x2+y2的最小值是4．
【解答】解：∵y=（10﹣4x），
∴x2+y2
=x2+[（4x﹣10）]2，
=+4，
∴x2+y2的最小值为4，
故答案为：4．
12．（5分）过圆x2+y2=8内的点P（﹣1，2）作直线l交圆于两点A，B．若直线
l的倾斜角为135°，则弦|AB|的长为．
【解答】解：∵若直线l的倾斜角为135°，
∴直线l的斜率为k=﹣1，
∴直线AB的方程为y﹣2=﹣（x+1），即x+y﹣1=0
∴圆x2+y2=8的圆心到直线AB的距离为d==，
∴|AB|=2=2=2×=，
故答案为：
13．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为2．
【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1；由主视图知CD=2，由左视图知BE=1，
在Rt△BCE中，BC=，
在Rt△BCD中，BD=，
在Rt△ACD中，AD=2．
则三棱锥中最长棱的长为2．
故答案为：2．
14．（5分）把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论：
①AC⊥BD；
②△ADC为正三角形；
③AD与平面BCD成60°角．
则其中正确的结论是①②．（只填序号）
【解答】解：由正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，知：
在①中，取BD中点O，连结AO，CO，
则AO⊥BD，CO⊥BD，且AO∩CO=O，
∴BD⊥平面AOC，
∵AC⊂平面AOC，∴AC⊥BD，故①正确；
在②中，由①得∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，从而∠AOC=90°，
∴AD=CD=AC，∴△ADC为正三角形，故②正确；
在③中，由AO⊥BD，AO⊥OC，得AO⊥平面BCD，
∴∠ADO是AD与平面BCD所成角，
∵∠ADO=45°，
∴AD与平面BCD成45°角．
故答案为：①②．
三、解答题（共80分）
15．（10分）如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O 上任意一点，
求证：BC⊥平面PAC．
【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，点C为⊙O上异于A、B的任意一点，
∴AC⊥BC，
∵PA垂直于⊙O所在平面，BC⊂⊙O所在平面，
∴BC⊥PA，
∵AC∩PA=A，
∴BC⊥平面PAC．
16．（16分）（1）求经过两直线2x﹣3y﹣3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y﹣1=0平行的直线方程．
（2）求圆心在直线l1：y﹣3x=0上，与x轴相切，且被直线l2：x﹣y=0截得的弦长为的圆的方程．
【解答】解：（1）两直线2x﹣3y﹣3=0和x+y+2=0联立，可得交点为（﹣，﹣
），
由经过两直线2x﹣3y﹣3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y﹣1=0平行
的直线方程设为3x+y+t=0，
可得﹣﹣+t=0，
可得t=．
则所求直线方程为15x+5y+16=0．
（2）由已知设圆心为（a，3a），
与轴相切则r=|3a|，
圆心到直线的距离d=，
弦长为2得7+=9a2，
即a2=1
解得a=±1，
圆心为（1，3）或（﹣1，﹣3），r=3，
圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2=9，
或（x+1）2+（y+3）2=9．
17．（13分）在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M，N，E分别是AB，PC，AD的中点，平面EMN交PD于F．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：MN∥EF．
【解答】证明：（1）取CD中点O，连结NO、MO，
∵M，N，E分别是AB，PC，AD的中点，
∴NO∥PD，MO∥AD，
∵PD∩AD=D，NO∩MO=O，
PD、AD⊂平面APD，MO、NO⊂平面MNO，
∴平面PAD∥平面MNO，
∵MN⊂平面MNO，∴MN∥PAD．
（2）由（1）得平面PAD∥平面MNO，
∵MN⊂平面MNO，MN⊂平面PAD，
平面EMN交PD于F，
∴MN∥EF．
18．（13分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直
线的方程为x﹣3y﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．
（1）AD边所在直线的方程；
（2）矩形ABCD外接圆的方程．
【解答】解：（1）∵AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，且AD与AB垂直，
∴直线AD的斜率为﹣3．又因为点T（﹣1，1）在直线AD上，
∴AD边所在直线的方程为y﹣1=﹣3（x+1），3x+y+2=0．
（2）由，解得点A的坐标为（0，﹣2），
∵矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）．
∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，又|AM|2=（2﹣0）2+（0+2）2=8，∴．从而矩形ABCD外接圆的方程为（x﹣2）2+y2=8．
19．（14分）如图，在三棱柱中ABC﹣A1B1C1，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别为A1C1，BC的中点．
（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
（2）求证：C1F∥平面ABE；
（3）求三棱锥C﹣ABE的体积．
【解答】证明：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，BB1，BC⊂平面B1BCC1，
∴AB⊥平面B1BCC1，
∵AB⊂平面ABE，
∴平面ABE⊥平面B1BCC1．
（2）取AB中点G，连接EG，FG，
∵F是BC的中点，∴FG∥AC，FG=AC，
∵E是A1C1的中点，
∴FG∥EC1，FG=EC1，
∴四边形FGEC1为平行四边形，
∴C1F∥EG，
∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，
∴C1F∥平面ABE；
解：（3）∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，
∴AB=，
∴三棱锥C﹣ABE的体积：
VE﹣ABC=S△ABC•AA1=×（××1）×2=．
20．（14分）直线y=kx+b与圆x2+y2=4于A，B两点，记△AOB的面积为S（其中O为坐标原点）
（1）当k=0，b=1时，求S的值；
（2）当k=0，0＜b＜2时，求S的最大值；
（3）当b=2，S=1时，求实数k的值．
【解答】解：（1）当k=0，b=1时，y=1与圆x2+y2=4于A，B两点，
则A（﹣，1），B（，1），AB=2，
O到直线AB的距离h=1，
∴△AOB的面积为S===．
（2）当k=0时，直线方程为y=b，
设点A的坐标为（x1，b），点B的坐标为（x2，b），
由x2+b2=4，解得，
∴|AB|=|x 2﹣x1|=2．
∴S==b≤=2．
当且仅当b=，即b=时，S取得最大值2．
（3）设圆心O到直线y=kx+2的距离为d，则d=．
∵圆的半径为R=2，
∴===．
∴S====1，
即k2﹣4|k|+1=0，解得k=2+，或k=2﹣或k=﹣2+或k=﹣2﹣．
赠送初中数学几何模型
【模型一】
“一线三等角”模型： 图形特征：
60°
60°
60°
45°
45°
45°
运用举例：
1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；
2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则
14S S += ．
l
s 4
s 3
s 2
s 1
3
2
1
3. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；
（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．
B
4.如图，已知直线112y x =
+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线21
2
y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P ； （3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |的值最大，求出点M 的坐标。

5.如图，已知正方形ABCD 中，点E 、F 分别为AB 、BC 的中点，点M 在线段BF 上（不与点B 重合），连接EM ，将线段EM 绕点M 顺时针旋转90°得MN ，连接FN ．
（1）特别地，当点M 为线段BF 的中点时，通过观察、测量、推理等，猜想：∠NFC = °，
BM
NF
= ； （2）一般地，当M 为线段BF 上任一点（不与点B 重合）时，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由；
（3）进一步探究：延长FN 交CD 于点G ，求
FM
NG
的值
G
E D
A
6..如图，矩形AOBC 中，C 点的坐标为(4，3)，，F 是BC 边上的一个动点（不与B ，C 重合），过F 点的反比例函数k
y x
(k >0)的图像与AC 边交于点E 。

(1)若BF ＝1，求△OEF 的面积；
(2)请探索：是否在这样的点F ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点k 的值；若不存在，请说明理由。