等腰三角形中考真题(含解析及答案)

等腰三角形
要点一、等腰三角形的性质及判定
一、选择题
1．（2009·宁波中考）等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
【解析】选B .因为等腰三角形的两个底角相等，而等腰直角三角形的两个底角互余，所以每个底角等于45°；
2、（2009·威海中考）如图，AB AC BD BC ==，，若40A ∠=，则ABD ∠的度数是（ ）
A ．20
B ．30
C ．35
D ．40
【解析】选B.由AB=AC, 40A ∠=,得∠ABC=∠ACB=70°,由BD=BC 得
∠BDC=∠ACB=70°,∴∠DBC=40, ABD ∠=∠ABC-∠DBC =70°-40=30.
3.（2009·聊城中考）如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ．E 、F 分别是CD 、AD 上的点，且CE ＝AF ．如果∠AED ＝62º，那么∠DBF ＝（ ）
A ．62º
B ．38º
C ．28º
D ．26º
【解析】选C.在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 得∠BAF=∠C=∠CAD=45 º， 又∠AED ＝62º ,∴∠EAC=62º -
45 º =17 º ,又CE ＝AF ，∴△ABF ≌△CAE,
∴∠ABF=17 º , ∴∠DBF ＝45 º-17 º=28º.
4、(2009·黔东南中考)如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，则∠A
等于（）
A、30o
B、40o
C、45o
D、36o
【解析】选D.∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠A=∠ABD,
∠C=∠ABC=∠BDC,设∠A=x o,则∠ABD=x o, ∠C=∠ABC=∠BDC=2x o,
在△ABC中，x+2x+2x=180,∴x=36,故∠A=36o
5、（2009·武汉中考）如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC
＝70°，则∠DAO+∠DCO的大小是（）
A．70°B．110 C．140°D．150°
【解析】选D ∠BAO+∠BCO＝∠ABO+∠CBO＝∠ABC＝70°，
所以∠BOA+∠BOC＝360°－140°＝220°，所以∠AOC＝140°，
所以∠AOC＋∠ADC＝140°＋70°＝210°，
所以∠DAO+∠DCO＝360°－210°＝150°；
6．（2009·烟台中考）如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC 上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为（）
A．3
2
B．
2
3
C．
1
2
D．
3
4
A
D
C
P
B
60°
B
C
O
A
D
【解析】选B 因为∠APD ＝60°，所以∠PDC=60°＋∠PAD ，
又因为∠BPA ＝60°＋∠PAD ，所以∠PDC=∠BPA ，
又因为∠B ＝∠C ，所以△ABP ∽△PCD ， 所以23==PC AB CD BP ,所以CD ＝23
. 7、（2008·乌鲁木齐中考）某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为（ ） A ．9cm
B ．12cm
C ．15cm
D ．12cm 或15cm 答案：选C
二、填空题
8. (2009·达州中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，与∠BAC 相邻的外角为80°，则∠B ＝____________.
【解析】由AB ＝AC 得∠B=∠C=
21∠DAC=2
1×80°=40°. 答案：40°.
9.（2009·云南中考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，DE ∥AC ，DE 交AB 于点E ，M 为BE 的中点，连结DM . 在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是 .（写出一个即可）
【解析】由∠ACB =90°，DE ∥AC ，得∠EDC=90°，又M 为BE 的中点，得
MB=MD=ME,∴△MBD
和△MDE 是等腰三角形，∵∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，DE ∥AC ，
∴∠EDA=∠EAD=∠DAC,
∴△EAD 是等腰三角形.
答案：△MBD 或△MDE 或△EAD
10.（2008·菏泽中考）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于一点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与
CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：①AD=BE ； ②PQ ∥AE ； ③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°.恒成立的有________（把你认为正确的序号都填上）．
【解析】∵正三角形ABC 和正三角形CDE
∴AC=BC,∠ACD=∠BCE=120º,CD=CE
∴ΔACD ≌ΔBCE , ∴AD=BE,∠CAD=∠CBE
又∠ACP=∠BCQ ∴ΔACP ≌ΔACQ ∴AP=BQ,CP=CQ
又∠PCQ=60º ∴ΔCPQ 是等边三角形 ∴∠PQC=∠QCE=60º
∴PQ ∥AE,∵∠AOB=∠OEA ＋∠OAE=
∠OEA ＋∠CBE=∠ACB ∴∠AOB=60º,∵∠DPC>∠QPC
∴∠DPC>∠QCP ∴DP≠DC 即DP≠DE.
故恒成立的有①②③⑤
答案：①②③⑤
11、（2007·杭州中考）一个等腰三角形的一个外角等于110︒，则这个三角形的三个角应该为 。

答案：70,704070,55,55︒︒︒︒︒︒或
12、（2007·江西中考）如图，在ABC △中，点D 是BC 上一点，80BAD ∠=°，
AB AD DC ==，则C ∠= 度．
答案：25
三、解答题
13、(2009·绍兴中考) 如图，在ABC △中，40AB AC BAC =∠=，°，分别以AB AC ，为边作两个等腰直角三角形ABD 和ACE ，使90BAD CAE ∠=∠=°．
（1）求DBC ∠的度数；
（2）求证：BD CE =．
答案：（1）ΔABD 是等腰直角三角形，90∠=°BAD ，
所以∠ABD ＝45°,AB ＝AC,所以∠ABC ＝70°,
所以∠CBD ＝70°+45°＝115°．
(2)因为AB ＝AC,90BAD CAE ∠=∠=°,AD ＝AE,
所以ΔBAD ≌ΔCAE,所以BD ＝CE ．
14.（2009·河南中考）如图所示，∠BAC =∠ABD ，AC =BD ，点O 是AD 、BC 的交点，点E 是AB 的中点.试判断OE 和AB 的位置关系,并给出证明.
【解析】OE ⊥AB ．
证明：在△BAC 和△ABD 中，
AC =BD ，
∠BAC =∠ABD ，
AB =BA ．
∴△BAC ≌△ABD ． ∴∠OBA =∠OAB ,，∴OA =OB ． 又∵AE =BE , ∴OE ⊥AB ．
15、(2009·泸州中考)如图，已知△ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 边上，且AE=CD ， AD 与BE 相交于点F ．
(1)求证：ABE ∆≌△CAD ；
(2)求∠BFD 的度数．
【解析】（1）证明：∵ABC △为等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA
在△ABE 和△CAD 中，
AB=CA ，∠BAE=∠C,AE=CD,
∴△ABE ≌△CAD
(2)解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD ，
又∵△ABE ≌△CAD
∴∠ABE=∠CAD
∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°
16、（2009·义乌中考）如图，在边长为4的正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，以AD 为
一边向右作正三角形ADE 。

（1）求△ABC 的面积S ；
（2）判断AC 、DE 的位置关系，并给出证明。

【解析】（1）在正ABC △中，34232
AD =⨯=， 114234322
S BC AD ∴=⨯=⨯⨯= （2）AC DE 、的位置关系：AC DE ⊥．
在CDF △中，9030CDE ADE ∠=-∠=°°，
180180603090CFD C CDE ∴∠=-∠-∠=--=°°°°°，
AC DE ∴⊥．
17、（2008·龙岩中考）如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =72°，找出图中的一个等腰三角形，并给予证明.我找的等腰三角形是： .
【解析】我所找的等腰三角形是：△ABC （或△BDC 或△DAB ）
证明：在△ABC 中，
∵∠A =36°，∠C =72°，
∴∠ABC =180°－（72°＋36°）=72°.
∵∠C =∠ABC ，
∴AB =AC ，
∴△ABC 是等腰三角形. 我所找的等腰三角形是：△ABC （或△BDC 或△DAB ） 要点二、线段的垂直平分线的性质
一、选择题
1、（2009·怀化中考）如图，在Rt ABC △中，
90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知 10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ）
A ． 30
B ． 40
C ． 50
D ． 60
【解析】选B ．由 90=∠B ， 10=∠BAE 得∠AEB=80°，由ED 是AC 的垂直平分线得EA=EC ，所以∠EAC=∠ECA=21∠AEB=2
1×80°=40°. 2、（2009·钦州中考）如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ）
A ．A
B 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB
C ．AB 与C
D 互相垂直平分 D ．CD 平分∠ACB
【解析】选 A 。

线段垂直平分线判定定理：“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”可知应选A 。

3、（2009·云南中考）如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE
交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（）
A．13 B．14 C．15 D．16
A
D E
B C
【解析】选A.∵△ABC周长等于21，又∵BC等于5，且AB=AC，∴AC=8，
∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴AE+EC=BE+EC=AC=8,
∴△BEC的周长=BE+EC+BC=8+5=13；
二、填空题
4、（2009·泉州中考）如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边
AB于点E，若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE 的长为；
【解析】∵△ABC周长与四边形AEDC周长差等于12，∵DE是线段BC的垂直平分线∴△EDB≌△EDC，
∴BD+BE-DE=12，又∵BD+BE+DE=24，∴DE=6.
答案：6.
5、（2009·黄冈中考）在△A BC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得
到锐角为50°，则∠B等于_____________度．
【解析】如图（1）因为DE是AB的垂直平分线，又因为∠AED＝50°，所以∠A=40°，因为AB=AC，所以∠B=70°；
如图（2）因为DE是AB的垂直平分线，∠E＝50°，所以∠EAD=40°，因为AB=AC，所以∠B=20°；
答案：70或20；
6、（2008·孝感中考）如图，AB=AC ，
，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，那么 ；
答案：60°
7、（2008·徐州中考）如图，Rt △ABC 中，90B ∠=︒，3AB =cm ，5AC =cm ．将△ABC 折叠，使点C 与A 重合，得折痕DE ，则△ABE 的周长 = cm ．
答案：7
8、（2007·陕西中考）如图，50ABC AD ∠=，垂直平分线段BC 于点D ABC ∠，的
平分线BE 交AD 于点E ，连结EC ，则AEC ∠的度数是 ．
答案：115°
三、解答题
9、（2009·铁岭中考）如图所示，在Rt ABC △中，9030C A ∠=∠=°，°．
（1）尺规作图：作线段AB 的垂直平分线l （保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在已作的图形中，若l 分别交AB AC 、及BC 的延长线于点D E F 、、，连结BE ． 求证：2EF DE =．
【解析】（1）直线l 即为所求．
（2）证明：在Rt ABC △中，
3060A ABC ∠=∴∠=°，°，
又∵l 为线段AB 的垂直平分线，∴EA EB =，
∴3060EBA A AED BED ∠=∠=∠=∠=°，°，
∴3060EBC EBA FEC ∠==∠∠=°，°．
又∵ED AB EC BC ⊥，⊥，∴ED EC =．
在Rt ECF △中，6030FEC EFC ∠=∴∠=°，°，
∴2EF EC =，∴2EF ED =．
10、（2008·镇江中考）作图证明如图，在ABC △中，作ABC ∠的平分线BD ，交AC 于D ，
作线段BD 的垂直平分线EF ，分别交AB 于E ，交BC 于F ，垂足为O ，连结DF ．在所作图中，寻找一对全等三角形，并加以证明．（不写作法，保留作图痕迹）
【解析】（1）画角平分线，线段的垂直平分线．
（2）BOE BOF DOF △≌△≌△
11、（2007·成都中考）已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平
分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ．
（1）求证：BF AC =；
（2）求证：12
CE BF =； （3）CE 与BG 的大小关系如何？试证明你的结论．
【解析】（1）证明：CD AB ⊥∵，45ABC ∠=°，
BCD ∴△是等腰直角三角形．
BD CD =∴．
在Rt DFB △和Rt DAC △中，
90DBF BFD ∠=-∠∵°，90DCA EFC ∠=-∠°，
且BFD EFC ∠=∠，
DBF DCA ∠=∠∴．
又90BDF CDA ∠=∠=∵°，BD CD =，
Rt Rt DFB DAC ∴△≌△．
BF AC =∴．
（2）证明：在Rt BEA △和Rt BEC △中
BE ∵平分ABC ∠，
ABE CBE ∠=∠∴．
又90BE BE BEA BEC =∠=∠=∵，°，
Rt Rt BEA BEC ∴△≌△．
12
CE AE AC ==∴． 又由（1），知BF AC =，
1122
CE AC BF ==∴． （3）CE BG <． 证明：连结CG ．
BCD ∵△是等腰直角三角形， BD CD =∴．
又H 是BC 边的中点， DH ∴垂直平分BC ． BG CG =∴． 在Rt CEG △中， CG ∵是斜边，CE 是直角边， CE CG <∴． CE BG <∴．。