第八章玻色分布和费米分布-104页精选文档

al
l

l
el 1

(8.1.6)

U
l

all
l

l
el

l
1

(8.1.7)

式中的正号对应于费米分布，负号对应于玻色分布。

引入函数：
Ξ 1el l

l

2020/3/27

第八章 玻色统计和费米统计

(8.1.8)

其中,Ξ是系统的巨配分函数。对Ξ取对数，得:
lnΞ lln(1el) (8.1.9) l

1 1ey

1eye2yL

只取头两项，可得：

e1 x1ex 1mex

利用附录C的积分公式可得：
Ng2h m 2kT3/2Ve1m 21 3/2e

U3 2g 2h m 2kT 3/2V kTe 1m 21 5/2e

将上面两式相除，得：

U32NkT1213/2 e

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第八章 玻色统计和费米统计

1.巨配分函数:

由于玻色子和费米子系统一般是粒子数可变系统，其配 分函数要用到下一章将要介绍的处理开放系统的巨正则配 分函数（简称巨配分函数）。下面先给出玻色和费米系统 的巨配分函数表达式,其详细推导在下一章给出。

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第八章 玻色统计和费米统计

将(8.1.2)中的两个式子分别写为；

N l

➢费米气体的附加能量为正，费米子间表现出排 斥作用；玻色气体的附加能量为负，玻色子间表 现出吸引作用；

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第八章 玻色统计和费米统计

§8.3 玻色－爱因斯坦凝聚

诺贝尔奖自1901年颁发以来，一直是世人所公认
的最高荣誉奖项。 在它的六个奖项中，物理学、化学 和医学（或生理学）奖尤为引人注 目。下面我们谈谈 物理学奖的概况。2019年是诺贝尔 奖颁发百年纪念， 因此这次物理学奖的颁发被人们认为有着特殊的意 义， Nature、Science以及各种媒体都先后聚焦于10月9日。 美国麻省理 工学院（MIT）的Wolfgang Ketterle（沃 尔夫冈·克特勒）和科罗拉多大学JILA（实验天文物理 学联合学院）研究所的Carl Wieman（卡尔·维曼）， Eric Cornell（埃里克·康奈尔）因实验上实现玻色－爱 因斯坦凝聚（简称BEC） 现象而分享了本年度诺贝尔 物理学奖。

3

Ug

2V
h3


(2m)3/2
0

2d
e 1

引入变量x=βε, 上面两个式子可改写为：

Ng2h3V(2mkT)3/2 0ex1/x2dx1

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3
Ug2h3V(2mkT)3/2KT 0 ex2xdx1
第八章 玻色统计和费米统计

将被积函数的分母展开：
e1x 1ex(11ex)

在e 小的情形下，e x是一个小量，可利用下面的公式展开：

al

el
l

(8.1.4)

式(8.1.3)满足时，显然有
a l 1 （对所有l） l

(8.1.5)

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第八章 玻色统计和费米统计

由此可见，式(8.1.3)和(8.1.5)都是非简并性条件的表达式。

当非简并性条件满足时，玻色分布和费米分布都过渡 到玻耳兹曼分布。
二、玻色和费米分布的巨配分函数及热力学公式
al



l
e l

1

（8.1.1)

相应的宏观条件可表为:

l

l
el

1

N

l

ll
el 1


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E

(8.1.2)

其中 表示对粒子的所有能级求和，式中的正号 l
对应于费米分布，负号对应于玻色分布。

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第八章 玻色统计和费米统计

由式(8.1.1)可以看出，如果满足条件

e 1

(8.1.3)

则玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布

第八章 玻色统计和费米统计

系统的总粒子数和总能量为:

l

l
el

N 1

l

ll
el 1

U

近似用积分来处理，作对应：



l D()d

l

0

代入自由粒子气体的D(ε)dε的表达式

D ()dg2V(2m )3/21/2d
h3

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第八章 玻色统计和费米统计

有

Ng2h3V(2m)3/2 0e 1/2d1

⑷ 熵:
Sk(lnΞ lnΞ lnΞ )(8.1.14)
⑸ 巨热力势:

JkTlnΞ

(8.1.15)

只要计算出系统的巨配分函数，就可以利用上面 的热力学公式得到相应的热力学量。

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第八章 玻色统计和费米统计

§8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体

一般气体满足非简并性条件eα>>1 可用玻 耳兹曼分布来处理。

考虑到e-α很小，近似用玻耳兹曼分布的结果

e

ZNl VN2hm2kT3/2

1 g

代入前面的公式中，得：

U3 2NkT121 3/2g 1V N2hm 2kT3/2

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第八章 玻色统计和费米统计

U3NkT1 1 2 23/2

g 1V N2hm 2kT3/2

讨论：

➢上式第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能； 第二项是由量子统计关联导致的附加能量，与微 观粒子的全同性原理有关。
式(8.1.9)中的正号对应于费米分布，负号对应于玻 色分布。
2.热力学公式:
按照统计物理处理问题的一般程序，在计算出配分 函数的对数后，便可代入热力学公式求得热力学量。

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第八章 玻色统计和费米统计

由于玻色和费米分布的热力学公式与巨正 则分布的热力学公式相同，所以，这里先给 出其表达式，详细推导在下一章介绍。

21m(px2 py2 pz2)
在体积V内，能量在ε-ε+dε内的粒子的可能微观状 态数为
D ()dg2 h3 V(2m )3/21/2d
其中，g是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度， D(ε)是态密度。例如，对于电子，考虑有两个相反的自旋 投影，g=2; 对于光子，由于有两个偏振方向，g=2。

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⑴ 平均粒子数:
N lnΞ


(8.1.10)

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第八章 玻色统计和费米统计

⑵ 内能:
U ln Ξ

⑶ 广义力:
Y 1 lnΞ
y

上式的一个重要特例是压强:
p 1 ln Ξ
V

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第八章 玻色统计和费米统计

(8.1.11) (8.1.12) (8.1.13)
如果eα很小，但又不能被忽略，则此情形被 称为弱简并，从中初步显示玻色气体和费米气 体的差异。
弱简并情形下我们可以近似地用积分来处理 问题。为书写简便起见，我们将两种气体同时讨 论，在有关公式中，上面的符号适用于费米气体， 下面的符号适用于玻色气体。

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第八章 玻色统计和费米统计

考虑三维自由粒子的情形，为简单起见，不考虑粒 子的内部结构，因此只有平动自由度，粒子的能量为：