09全国大学生竞赛非数学类

首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷
（非数学类，2009）
一、填空题（每小题5分，共20分）
（1）计算=--++⎰⎰y x y x x y y x D
d d 1)1ln()( ，其中区域D 由是直线1=+y x 与两坐标轴所围成的三角形区域．
（2）设)(x f 是连续函数，且满足⎰--
=2022d )(3)(x x f x x f ，则=)(x f ．
（3）曲面22
22
-+=y x z 上平行与平面022=-+z y x 的切平面方程是 ．
（4）设函数)(x y y =由方程29ln e e )(y y f x =确定，其中函数)(y f 具有二阶导数，且1)(≠'y f ，则
=22d d x y ．
二、（5分）求极限x nx
x x x n
e 20)e e e (lim +++→ ，其中n 是给定的正整数．
三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=1
0d )()(t xt f x g ，且A x
x f x =→)(lim 0（A 为常数）求)(x g ' 并讨论)(x g '在0=x 点处的连续性．
四、（15分）已知平面区域}00){(ππ≤≤≤≤=x x y x D ，，，L 为D 的正向边界，试证：
（1）
⎰⎰-=---L x y L x y x y y x x y y x d e d e d e d e sin sin sin sin ； （2）
2sin sin 25d e d e π≥-⎰-L x y x y y x ．
五、（10分）已知x x x x y 21e e )(+=，x x x x y -+=e
e )(2，x x x x x y -++=e e e )(23是某个二阶常系数线性非齐次方程的三个解，试求此微分方程．
六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点，当10≤≤x 时，0≥y ，又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围成图形的面积为
3
1．试确定c b a 、、，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小．
七、（15分）已知函数)(x u n 满足x n n n x x u x u e )()(1-+='（n 为正整数），且n u n e )1(=
，求函数项级数
∑∞=1)(n n x u 之和．
八、（10分）求-→1x 时，与
∑∞=02n n x 等价的无穷大量．。