第五章插值法-Read

x 100 121100
11
y 115 p1(115 ) 10.714
2.1.3 抛物插值
抛物插值又称二次插值，它也是常用的代数插值之一
。设已知f(x)在三个互异点x0，x1，x2的函数值y0，y1，y2 ，要构造次数不超过二次的多项式
P2 (x) a0 x2 a1x a2 使其满足二次插值条件： P2 (xi ) yi
第2章 插值
2.1 拉格朗日插值 2.2 插值余项 2.3 分段插值 2.4 牛顿插值 2.5 等距结点插值
问题的提出
– 函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即在 某个区间[a, b]上给出一系列点的函数值 yi= f(xi)
– 或者给出函数表
x
x0
x1
x2
…… xn
y
y0
y1
y2
…… yn
例2.4 已知函数y=f(x)在节点上满足
x x0 x1 x2
y y0 y1 y2
求二次多项式 p2(x) = a0 x2+ a1x + a2
好地逼近f(x),而且还希望它计算简单 。由于代数多项式 具有数值计算和理论分析方便的优点，所以本章主要介 绍代数插值。即求一个次数不超过n次的多项式：
Pn (x) a0 xn a1xn1 an1x an
若 Pn (x) a0 (xi ) (i 0,1,2,, n)
y1
l0 (x)
x x1 x0 x1
,
l1 ( x)
x x0 x1 x0
p1(x) l0 (x) y0 l1(x) y1
例2.1 已知 100 10 ， 121 11 ，求 y 115
解: 这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11, 利用线性插值
p1 ( x)
x 121 10 100 121
y2
容易看出,P2(x)满足条件 P2 (xi ) yi (i 0,1,2)
2.1.4 一般形式的拉格朗日插值
我们看到,两个插值点可求出一次插值多项式,而三 个插值点可求出二次插值多项式。
当插值点增加到n+1个时,也就是通过n+1个不同的
已知点 (xi , yi ) (i 0,1,, n) ,可以构造出一个次数为n
y1
+
(x–x0)(x–x1) (x2–x0)(x2–x1)
y2
x0=1, x1=4, x2=9
y0=1, y1=2, y2=3
p2(7) =
(7–4)(7–9)
(7–1)(7–9)
(1–4)(1–9)
*1 + (4–1)(4–9)
*2
(7–1)(7–4) + (9–1)(9–4) * 3
= 2.7
y1
即 a0 , a1 , a2 满足下面
y0
的代数方程组：
O
x0
x1
a0 a0
x02 x12
a1x0 a1x1
a2 a2
y0 y1
该三元一次 方程组的
a0 x22 a1x2 a2 y2 系数矩阵
y2 y=P2(x)
y=f(x)
x2
x
1 1
x0 x1
x
2 0
x12
1 x2
x
2 2
的行列式是范德蒙行列式，当 x0 x1 x2 时，
a1
x n1 1
an 1 x1
an
f (x1)
a0 xnn a1xnn1 an1xn an f (xn )
(2-1)
这惟是一一性个说关明于，待不定论参用数何种a0方, a法1,来构, a造n 的，n也+不1阶论线用性何方种
程组形,式其来系表数示矩插阵值行多列项式式为,只要满足插值条件(1)，其结
（2-7）
是次数不超过n次的多项式 , 称形如（2-7）式的插值多项
式为n次拉格朗日插值多项式。并记为 Ln (x)
例2.2 已知y=f(x)的函数表 X1 3 y12
求线性插值多项式, 并计算x=1.5 的值
解: 由线性插值多项式公式得
p1( x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y=p(x)
y=f(x)
插值法的基本原理 设函数y=f(x)定义在区间[a, b]上, x0 , x1 ,, xn
是[a, b]上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数
值为已知 f (x0 ), f (x1),, f (xn ),即 yi f (xi )。若存在一
个f(x)的近似函数 (x) ,满足
n
Ak (xk x j ) 1 j0 jk
n
于是
Ak n 1
(xk x j )
j0 jk
代入上式,得
(x xj )
lk (x)
j0 jk
n
x xj
n
(xk x j )
j0 xk x j
jk
j0
jk
称 lk (x) 为关于基点 xi(i=0,1,…,n)的 n次插值基函数。
以n+1个n次基本插值多项式 lk (x) (k 0,1,, n) 为基础,就能直接写出满足插值条件
存在且惟一，从而Pn(x)被惟一确定。
2.1 拉格朗日（Lagrange）插值
为了构造满足插值条件 pn (xi ) f (xi ) (i=0,1,2,…,n )
的便于使用的插值多项式Pn(x),先考察几种简单情形, 然后再推广到一般形式。 2.1.2 线性插值
线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数
这就是二次插值问题。
(i 0,1,2)
其几何意义是用经过3个点 (x0 , y0 ), (x1, y1 ), (x 2 , y2 ) 的抛物线 y P2 (x) 近似代替曲线 y f (x) ,如下图所示
。因此也称之为抛物插值。
P2(x)的参数a0 , a1 , a2 y
直接由插值条件决定，
取已知数据 y0 , y1 , y2 作为线性组合系数,将基函数
l0 (x), l1(x), l2 (x) 线性组合可得：
P2 (x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
y0
(x (x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
y1
(x (x2
x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
方程组的解唯一。
为了与下一节的Lagrange插值公式比较,仿线性插值,用基函
数的方法求解方程组。先考察一个特殊的二次插值问题：
求二次式 l0 (x) ,使其满足条件：
l0 (x0 ) 1, l0 (x1 ) 0, l0 (x2 ) 0
由上式的后两个条件知 x1 , x2 是 l0 (x) 的两个零点。
插值函数 (x) 在n+1个互异插值节点 x i(i=0,1,…,
n ) 处与 f (xi ) 相等,在其它点x就用 (x) 的值作为f(x)
的近似值。这一过程称为插值，点x称为插值点。换句话 说,插值就是根据被插函数给出的函数表“插出”所要点 的函数值。
用 (x) 的值作为f(x)的近似值,不仅希望 (x)能较
的代数多项式Pn(x)。
与推导抛物插值的基函数类似,先构造一个特殊n次
多项式 li (x) 的插值问题,使其在各节点 x i 上满足
lk (x0 ) 0,,lk (xk1) 0,
lk (xk ) 1, lk (xk1) 0,,lk (xn ) 0
即
lk
(xi
)
ki
1 0
(i k) (i k)
Pn (xi ) f (xi ) (i 0,1,2,, n) 的n次代数插值多项式。
Pn (x) l0 (x) y0 l1(x) y1 ln (x) yn 事实上，由于每个插值基函数 lk (x) (k 0,1,, n) 都是n次多项式,所以他们的线性组合
n
Pn ( x) lk ( x) yk k 0
的插值多项式
l1 ( x)
(x ( x1
x0 )( x x2 ) x0 )( x1 x2 )
及满足条件： l2 (x0 ) 0, l2 (x1) 0, l2 (x2 ) 1
的插值多项式
l2 (x)
(x (x2
x0 )( x x1 ) x0 )( x2 x1 )
这样构造出来的 l0 (x), l1 (x), l2 (x) 称为抛物插值的基函数
果都是相互恒等的。
1 x0
1 V
x1
1 xn
x02 x0n
x12
x1n
n i 1
i 1
(xi x j )
j 0
xn2 xnn
称为Vandermonde（范德蒙）行列式。
因xi≠xj（当i≠j时），故V≠0。根据解线性方程组的
克莱姆（Gramer）法则，方程组的解 a0 , a1 ,, an
则称Pn(x)为f(x)的n次插值多项式。这种插值法通常称为 代数插值法。其几何意义如下图所示
y
y3 y2 y1 y0
y=Pn(x) y n-1 yn y=f(x)
x0 x1
x2
x3
xn-1 xn
x
定理 n次代数插值问题的解是存在且惟一的
证明: 设n次多项式
Pn (x) a0 xn a1xn1 an1x an 是函数 y f (x) 在区间[a, b]上的n+1个互异的节点
1 0
(i k ) (i k )
l0 (x) 与 l1(x) 称为线性插值基函数。且有
1
lk (x)
j0
x xj , xk x j
k 0,1
jk
于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合
p1(x) l0 (x) y0 l1(x) y1
p1 ( x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
(xi ) f (xi ) (i 0,1,2,, n)
(1)
则称 (x) 为f(x)的一个插值函数, f(x)为被插函数,
点xi为插值节点, 称(1)式为插值条件, 而误差函数 R(x)= f (x) (x) 称为插值余项, 区间[a, b]称为插值
区间, 插值点在插值区间内的称为内插, 否则称外插。
由条件 lk (xi ) 0 ( i k)知, x0 , x1,, xk1, xk1,, xn
都是n次 lk (x) 的零点,故可设
lk (x) Ak (x x0 )( x x1 )(x xk1 )( x xk1 )(x xn )
其中 Ak 为待定常数。由条件lk (xk ) 1,可求得 Ak
y1
x 3 1 x 1 2 1 (x 1)
1 3
3 1
2
f (1.5) p1(1.5) 1.25
例2.3 已知x=1, 4, 9 的平方根值, 用抛物插值公式,
求7
p2(x) =
(x–x1)(x–x2) (x0–x1)(x0–x2)
y0 +
(x–x0)(x–x2) (x1–x0)(x1–x2)
y=f(x)
p(x)=ax+b
A(x.0,f(x.0)) B(x.1,f(x.1))
p1(x) y0
y1 y0 x1 x0
(x x0 )
p1 ( x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
为了便于推广，记
l0 (x)
x x1 x0 x1
,
l1 (x)
x x0 x1 x0
于是有：
l0 (x) c(x x1 )( x x2 )
再由另一条件 l0 (x0 ) 1 确定系数
1 c
(x0 x1)( x0 x2 )
从而导出
l0
(x)
(x (x0
x1 )( x1 )(
x x2 ) x0 x2 )
类似地可以构造出满足条件： l1(x0 ) 0, l1(x1) 1, l1(x2 ) 0
x i (i=0,1,2,…,n )上的插值多项式,则求插值多项式
Pn(x)的问题就归结为求它的系数 a i (i=0,1,2,…,n)。
由插值条件: pn (xi ) f (xi ) (i=0,1,2,…,n),可得
a0 x0n a1x0n1 an1x0 an f (x0 )
a0 x1n
这是一次函 l0 (x0 ) 1,
数,且有性质
l1(x0 ) 0 ,
l0 (x1) 0 l1(x1) 1
l0 (x) l1 (x) 1
p1( x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
l0 (x)
x x1 x0 x1
,
l1 ( x)
x x0 x1 x0
lk ( xi ) ki
f(x)在两个互异的点 x0 ，x1 的值，y0 f (x0 ), y1 f (x1)
,现要求用线性函数 p1(x) ax b 近似地代替f(x)。
选择参数a和b, 使 p1(xi ) f (xi ) (i 0,1) ,称这样的 线性函数P1(x)为f(x)的线性插值函数 。
线性插值的几何意义:用通过 点 A(x0 , f (x0 )) 和 B(x1, f (x1 )) 的直线近似地代替曲线 y=f(x)。由解析几何知道, 这条直线可用点斜式表示为