2020年安徽省合肥市第四十五中学九年级三模数学试题(解析版)

合肥四十五中20192020学年九年级三模数学试题卷
一、选择题
1. 比1小2的数是
A. 3
B. 1
C. ―1
D. －2 【答案】C
【解析】
根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解：1﹣2=﹣1．故选C ．
2. 下列运算正确的是( )
A. 235a b ab +=
B. 22()ab a b -=
C. 248a a a ⋅=
D. 63322a a a
= 【答案】D
【解析】
【分析】
根据合并同类项法则，同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及单项式除以单项式法则解答．
【详解】解：A 、2a 与3b 不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B 、原式=a 2b 2，故本选项错误；
C 、原式=a 6，故本选项错误；
D 、原式=2a 3，故本选项正确．
故选D ．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法的性质与同类项合并同类项法则，熟练掌握性质和法则是解题的关键． 3. 在全球20TOP 城市评选中，合肥市入选，进入全球第一方阵．2019年合肥市经济实力跃上新台阶，国内生产总值增加到9409亿元．其中9409亿用科学记数法表示为（ ）
A. 120.940910⨯
B. 1094.0910⨯
C. 119.04910⨯
D. 129.04910⨯ 【答案】C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×
10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：9409亿=940900000000=119.04910⨯
故选C ．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 如图所示放置的几何体，它的俯视图是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意根据三视图相关概念可知俯视图是从物体的上面看得到的平面图形，从而得出选项．
【详解】解：俯视图是从物体的上面看得到的平面图形，该几何体从上面看得到一个圆里面有一个小圆
故选B．
【点睛】本题考查三视图，熟练掌握俯视图是从物体的上面看得到的平面图形是解题关键．
5. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=48°，则∠2的度数为（）
A. 48°
B. 42°
C. 40°
D. 45°
【答案】B
【解析】
由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠2的度数．
解：如图，
，
∵∠1=48°，
∴∠3=∠1=48°，
∴∠2=90°﹣48°=42°．
故选B ．
“点睛”此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等定理的应用是解此题的关键．
6. 安徽省江淮汽车集团新产品纯电动汽车厂2017年销售2.8万辆，2019年销售5.8万辆．设该产品销售量2018年、2019年的年平均增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）
A. ()22.81 5.8x +=
B. ()2
5.81 2.8x -= C. ()2.812 5.8x +=
D. ()()22.8 2.81 2.81 5.8x x ++++= 【答案】A
【解析】
【分析】
根据年平均增长率为x 表示出2018及2019年的销售数量列方程即可． 【详解】解：2017年销售2.8万辆，年平均增长率为x ∴2018年销售()2.81x +万辆，2019年销售()()2.811x x ++万辆
即()2
2.81=5.8x +
故选A ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解“年平均增长率为x ”的含义以及找到题目中的等量关系是解题的关键．
7. 在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（ ）
A. 众数是90分
B. 中位数是95分
C. 平均数是95分
D. 方差是15
【答案】A
【解析】
【分析】 根据众数、中位数、平均数、方差的定义逐一进行求解即可作出判断.
【详解】A ．众数是90分，人数最多，故A 选项正确；
B ．中位数是90分，故B 选项错误；
C ．平均数是110028529559010⨯+⨯+⨯+⨯=91分，故C 选项错误；
D ．方差是
()()()()222212859159091295911009110⎡⎤⨯⨯-+⨯-+⨯-+-⎣
⎦=19，故D 选项错误， 故选A ．
【点睛】本题考查了折线统计图、中位数、众数、方差、平均数等，读懂统计图，熟练掌握中位数、方差、众数、中位数的定义及求解方法是关键.
8. 如图,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是：
（1）作线段AB ,分别以,A B 为圆心,以AB 长为半径作弧,两弧的交点为C ；
（2）以C 为圆心,仍以AB 长为半径作弧交AC 的延长线于点D ； （3）连接,BD BC
下列说法不正确的是( )
A. 30CBD ∠=
B. 234BDC S AB ∆=
C. 点C 是ABD ∆的外心
D. 22sin cos 1A D +=
【答案】D
【解析】
分析：根据等边三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等边三角形的性质，直角三角形的性质一一判断即可；
详解：由作图可知：AC=AB=BC ，
∴△ABC 是等边三角形，
由作图可知：CB=CA=CD ，
∴点C 是△ABD 的外心，∠ABD=90°
， 3，
∴S△ABD=
3
2
AB2，
∵AC=CD，
∴S△BDC=3
AB2，
故A、B、C正确，
故选D．
点睛：本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的外心等知识，直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE 的度数为（）
A. 56°
B. 62°
C. 68°
D. 78°
【答案】C
【解析】
分析：由点I是△ABC的内心知∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，从而求得∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．
详解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故选C．
点睛：本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．
10. 等腰直角△ABC 中，∠C =90°，AC=BC =4，D 为线段AC 上一动点，连接BD ，过点C 作CH ⊥BD 于H ，连接AH ，则AH 的最小值为（ ）
A. 22
B. 252-
C. 4
D. 222-
【答案】B
【解析】
【分析】 设BC 中点为O ，因为△BHC 为直角三角形，所以点H ，C ，B 到BC 中点O 的距离相等，则点H 在以BC 为直径的圆上；
求AH 的最小值即求点A 到这个圆的最小距离，由点与圆的位置关系可得符合题意的H 应该是线段AO 与圆O 的交点；
根据勾股定理可得AO 的长度，则AH=AO-OH.
【详解】∵CH ⊥BD 于H ，
∴△ABH 为直角三角形.
设CB 中点为O ，则OH=OC=OB ，
∴点H 在以AB 为直径的⊙O 上.
连接AO ，则其与⊙O 的交点即为点H.
∵AC=BC=4，
∴OH=OC=2.
在Rt △ACO 中，
AO 2=AC 2+AO 2=20，
∴AH=AO-OH=
故答案选：B.
【点睛】本题考查的知识点是直角三角形的性质，勾股定理，点与圆位置关系，解题的关键是熟练的掌握直角三角形的性质，勾股定理，点与圆位置关系.
二、填空题
11. 实数94
的算术平方根是__________． 【答案】
32
【解析】
【分析】 依据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵239()24
=， ∴94的算术平方根是32
． 故答案为：32
． 【点睛】本题主要考查的是算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
12. 因式分解2242x x -+=______．
【答案】2
2(1)x -．
【解析】
解：2242x x -+=22(21)x x -+=22(1)x -，故答案为22(1)x -． 13. 如图，AB x ⊥轴，B 为垂足，双曲线(0k y x x
=>）与AOB ∆的两条边OA AB ，分别相交于C D ，两点，OC CA ACD =∆，的面积为6，则k 等于__________．
【答案】8
【解析】
【分析】
由反比例函数k的几何意义得到△OCE与△OBD面积相等，由相似三角形面积之比等于相似比的平方，可得到△OCE与△OBA面积之比，设△OBD面积为x，列出关于x的方程，求出方程的解，再根据k的几何意义分析求解．
【详解】解：连接OD，过点C作CE⊥x轴，
∵OC＝CA，
∴OE：OB＝1：2；
设△OBD面积为x，根据反比例函数k的意义得到△OCE面积为x，
∵△COE∽△AOB，
∴△COE与△BOA面积之比为1：4，
∵△ACD的面积为6，
∴△OCD的面积为6，
∴△BOA面积为12＋x，
即△BOA的面积为12＋x＝4x，
解得x＝4，
∴1
2
|k|＝4，
∵k ＞0，
∴k ＝8，
故填：8．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，以及反比例函数k 的几何意义，熟练掌握反比例函数k 的几何意义是解本题的关键．
14. 如图，在矩形ABCD 中，8,15AB AD ==，点E 是边AD 上一动点，将ABE ∆沿BE 折叠，使得点A 落在点F 处，点F 分别到AD BC 、的距离分别记为12,h h ，若
12
3h h =，则AE 的长为______ 815583【解析】
【分析】
第一种情况：点F 在矩形内部，根据题意12
3h h =，且128h h +=，得到h 1=6，h 2=2，根据折叠的性质得到EHF FJB ，根据相似比得到215BJ =，215BJ =即可求解AE ；第二种情况，点F 在BC 下方，根据题意求得h 1=12，h 2=4，然后在Rt BFJ 中应用勾股定理求得BJ=43，即30FBJ ∠=︒，因此30EFH ∠=︒，根据含30角直角三角形的边角关系或锐角三角函数即可求解EF ，即AE ．
【详解】（1）点F 在矩形内部
根据题意，做FH AD ⊥于点H ，FJ BC ⊥于点J ，如下图：
由题意得1212
38h h h h ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得h 1=6，h 2=2
∵将ABE ∆沿BE 折叠，使得点A 落在点F 处
又∵90EHF BJF ∠=∠=︒
∴EFH FBJ ∠=∠
∴EHF FJB ∴1h EF BF
BJ =
∴222=8215BJ h -=，EF=8155 ∴AE=8155
（2）点F 在矩形外部，即在BC 下方，如图所示
根据题意，做FH AD ⊥于点H ，交BE 于点I ，交BC 于点J ，此时FH= h 1，FJ= h 2，如下图：
由题意得1212
38h h h h ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，解得h 1=12，h 2=4，
∵将ABE ∆沿BE 折叠，使得点A 落在点F 处
∴BF=AB=8
∴在Rt BFJ 中，228443BJ -=，
∴30FBJ ∠=︒
∴30EFH ∠=︒
又∵FH=12 ∴8330FH AE EF cos ==
=︒ ∴AE=83
故答案为8155
或83． 【点睛】本题考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，和三角函数，判断出EHF
FJB 是本题的关
键． 三、解答题
15. 解不等式2113
x x +-≤，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】2x ≥-，详见解析
【解析】
【分析】
先去分母，再移项，合并同类项，把x 的系数化为1，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：2113
x x +-≤ 去分母得2133x x +-≤
移项得2331x x -≤-
合并同类项得2x -≤
系数化为1得2x ≥-
在数轴上表示为：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解不等式的一般步骤是解答此题的关键．
16. 针对居民用水浪费现象，我市制定居民用水标准，规定三口之家楼房每月标准用水量，超标部分加价收费，假设不超标部分每立方米水费1.5元，超标部分每立方米水费3元，某住楼房的三口之家某月用水12立方米，交水费24元，请求出三口之家楼房的标准用水量为多少立方米?
【答案】8立方米
【解析】
【分析】
根据12 1.51824⨯=<，可得到用水量超过标准用水量，因此设用水量为x 立方米，利用不超部分费用+超过部分费用=总费用列式求解即可．
【详解】解：12 1.51824⨯=<
∴此楼房用水量超过标准用水量，设用水量为x 立方米
则：()1.531224x x +-=
解得8x =
答：三口之家楼房的标准用水量为8立方米
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的
实际应用，阅读题目找出相等关系量建立等式求解是解题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为()()()4,3,3,1,1,3A B C ---，请按下列要求画图：
（1）将ABC ∆先向右平移4个单位长度、再向下平移5个单位长度，得到111A B C ∆，画出111A B C ∆，并写出点B 的坐标；
（2）以点A 为位似中心将ABC ∆放大2倍，得到222A B C ∆，画出222A B C ∆并写出点B 的坐标．
【答案】（1）详见解析()11,4B -；（2）详见解析()22,1B --
【解析】
【分析】
（1）根据题目中给出的平移方式，描点画图即可；
（2）根据相似比找到对应点2B 和2C 即可．
【详解】（1）根据题意可得：
∴()11,4B -
（2）根据题意可得：
∴()22,1B --
【点睛】本题主要考查了图形的平移变换，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
18. 用同样大小的“★”按如图所示的规律摆放：
（1）第5个图形有 枚“★”，第n 个图形有 枚“★”．
（2）是否存在整数n ，使第n 个图形有2020枚“★”﹖若存在，求出n ,若不存在，请说明理由．
【答案】（1）250,2n ；（2）不存在，详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意将原图形中间一行单独分离出来，即为序数的2倍，其余部分分割成四个部分，即为从1开始到序数减1的和，据此可得答案；
（2）根据题意列出关于n 的方程，解之求得n 的值，判断n 是否为正整数可得．
【详解】解：()1第1个图形中黑色棋子个数2=4×0+2×1，
第2个图形中黑色棋子个数8=4×1+2×2，
第个图形中黑色棋子个数18=4×（1+2）+2×3，
∴第5个图形中黑色棋子个数为4×（1+2+3+4）+2×5=50，
第n 个图形中黑色棋子个数为2
4(1231)22n n n ⨯+++⋯⋯+-+=，
故答案为：250,2n ； ()2不存在，理由如下
2222020,1010,n n ==
1010n ∴=
∴不存在n 使第n 个图有2020个．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是利用分割的办法将原图形分割成五个部分，从中找到各部分的规律．
19. 某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其
中，,18,AB BD BAD C ︒⊥∠=在BD 上，,0.5,CE AD BC m ⊥=根据规定，地下停车库坡道入口上方张
贴限高标志“限高2.5米”，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入，请求出CE 的长，并判断该车库是否符合要求．（参考数据：180.31,180.95,180.325sin cos tan ︒︒︒
===，结果精确到0.1m ）
【答案】出库门符合要求
【解析】
【分析】
先解Rt ABC ∆求得BD 的长度，再解Rt CDE ∆求得CE 的长度，根据CE 的长度即可判断．
【详解】解：在Rt ABC ∆中，∠ABD=90°，∠BAD=18°，BA=10m ，
tan18BD AB
∴︒=， tan180.32510 3.25BD AB ∴=︒≈⨯=m
0.5BC =m
3.250.5 2.75CD BD BC ∴=-=-=m
CE AD ⊥
90CED ∴∠=︒
在中Rt CDE ∆，90CED ∠=︒
90CDE BAD ∴∠+∠=︒，90CDE DCE ∠+∠=︒
18DCE BAD ∴∠=∠=︒
cos18CE CD
︒= cos18 2.750.95 2.6 2.5CE CD ⨯⨯≈︒∴=≈>
∴出库门符合要求．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，主要是正弦、正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
20. 如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，以AB 上一点O 为圆心、OA 长为半径的圆与BC 相切于点D ，分别交AC AB 、于点,E F ，连接ED ．
（1）若6,10,AC AB ==连接AD ，求圆O 的半径长；
（2）若30B ，求证：四边形BDEF 是平行四边形．
【答案】（1）154r =；（2）详见解析 【解析】
【分析】
(1)证明△OBD ∽△ABC ，利用对应边成比例得到OD OB AC AB
=，代入数据即可求解； (2)连接EF ，得到∠AEF=90°=∠C ，进而得到BC 与EF 平行，得到∠EFA=∠B=30°，进而得到
12
AE AF OD ，四边形AEDO 是平行四边形，得到ED 与AB 平行，再结合EF 与BC 平行，即可证明． 【详解】解：设圆O 的半径为r ，连接OD ，如下图所示：
BC 与圆相切于点D
∴OD BC ，∴90ODB ︒∠=，
又90︒∠=C ，∴//AC OD ，
∴OBD ABC ， ∴OD OB AC AB =， 即10610
r r -= 解得154
r =， 故答案为：154
； (2)连接EF ，如下图所示：
AF 为直径，
∴90AEP ︒∠=，
又90︒∠=C ，∴//EF BC ，
∴30EFA B ，
在Rt AEF ∆中，12
AE
AF OD ， 由(1)知//,AC OD ∴四边形AEDO 为平行四边形，
∴//DE AB ，
又//EF BC ，
∴四边形BDEF 为平行四边形．
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定等，属于综合题，难度中档，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键．
21. 为了了解我市中学生参加“十九大知识”竞赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示．请根据图表信息解答下列问题：
组别 分数断 分
频数 频率 A 组 6070x ≤<
30 0.1 B 组 7080x ≤<
90 0.3 C 组 8090x ≤<
m 0.4 D 组
90100x ≤< 60
n （1）在表中，m = ，n = ；并补全频数分布直方图；
（2）若规定竞赛成绩80分以上（包括80分）．为“优秀”，参加本次竞赛的中学生共有2500人，则估计本次竞赛成绩为“优秀”的中学生约为_ 人；
（3）四个小组每组推荐1人，然后从4人中随机抽取2人参加颁奖典礼，求恰好抽中,A D 两组学生的概率，请用列表或画树状图说明．
【答案】（1）120 ,0.2m n ==，图形详见解析；（2）1500；（3）树状图详见解析，
16
【解析】
【分析】
(1)先根据A 组频数及其频率求得总人数，再根据频率=频数÷总人数可得m 、n 的值；
(2)根据(1)中所求结果即可补全频数分布直方图；
(3)画树状图列出所有等可能结果，再找到抽中A 、C 的结果，根据概率公式求解可得．
【详解】解：(1)∵被调查的总人数为30÷0.1=300，
∴m=300×0.4=120，n=60÷300=0.2，
故答案为：120 ,0.2m n ==；
补全图如下所示：
(2)80分或以上的人数为：120+60=180人，
其在总人数300人中所占的百分比为：180÷300×100%=60%，
∴2500人估计本次竞赛成绩为“优秀”的中学生约为：2500×60%=1500人，故答案为：1500；
(3)画出树状图如下所示：
共有12种等可能结果，其中恰好抽中,A D两组学生的结果有2种，
∴恰好抽中,A D两组学生的概率为
21 126
故答案为：1
6
．
【点睛】本题考查学生对频数分布直方图和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须数形结合，才能作出正确的判断和解决问题；也考查列表法或画树状图法求概率，树状图或列表法是求解概率的一个常用方法．
22. 市某医药公司主要生产产品是护目镜，经市场调查，该护目镜每天的销售量y(个)与销售单价x（元）的函数关系如图1所示．
设销售收入为z元（销售收入=销售量×销售单价）．
（1）若200b =，求y 与x 的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，求销售收入的最大值；
（3）市政府为了均衡医疗资源，对护目镜价格进行了调控，规定护目镜的售价不得超过48元，调控后销售收入与销售单价的函数关系如图2所示，若销售收入的最大值为5000元，求b 的值．
【答案】（1）2200y x =-+；（2）最大值
5000元；
（3）300b = 【解析】
【分析】 （1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据“销售收入=销售量×销售单价”得到z yx =()22505000x =--+，利用二次函数的性质即可求解；
（3）利用待定系数法求得y 与x 的函数关系式为340b y x b ⎛⎫=-
+ ⎪⎝⎭
，根据“销售收入=销售量×销售单价”得到2340b z x bx ⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭
，利用最大值为5000，即可求得b 的值． 【详解】（1）∵200b =，
设解析式为200y kx =+， 把()40120
，代入得：40200120k +=， 解得2k =-，
∴2200y x =-+；
（2）()2
22002200z yx x x x x ==-+=-+ ()22505000x =--+，
∵20-<，开口向下，Z 有最大值，
当50x =时，Z 最大值为5000，
答：收入的最大值为5000元；
（3）设解析式为1y k x b =+，
把()40120
，代入得：140120k b +=， ∴1340b k =-， ∴340b y x b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
， ∴2340b z x bx ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭， 由图2得，函数在对称轴处取得最大值，最大值为5000，
∴2
50004340b b -=⎛⎫- ⎪⎝⎭，
解得1200b =，2300b =，
由（2）得，当200b =，Z 最大值为5000时，50x =，不符合规定护目镜的售价不得超过48元， 当300b =，Z 最大值为5000时，100483x =
<，符合题意， ∴300b =．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，梳理题目中的数量关系，得出相等关系后分情况列出函数解析式，熟练运用二次函数性质求最值是解题的关键．
23. 如图，ABC 中，,,AB AC AB AC =⊥点D E 、分别是BC AC 、的中点，AF BE ⊥与点F ．
（1）求证：2AE FE BE =⋅；
（2）求AFC ∠的大小；
（3）若1DF =，求ABF 的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）135︒；（3）2．
【解析】
【分析】
（1）先根据相似三角形的判定可得AEF BEA ~，再根据相似三角形的性质即可得证；
（2）先根据等腰直角三角形的判定与性质可得45ACB ∠=︒，再根据相似三角形的判定可得CEF BEC ~，然后根据相似三角形的性质可得45CFE BCE ∠=∠=︒，最后根据角的和差即可得；
（3）设2AB AC a ==
，从而可得AB =
，再根据相似三角形的性质、勾股定理可得
,55
FA BF a ==，从而可得BF BC BD BE =，然后根据相似三角形的判定与性质可得BD DF BE EC =，从而可求出a 的值，最后根据直角三角形的面积公式即可得．
【详解】（1）,AF BE AB AC ⊥⊥，
90AFE BAE ∴∠=∠=︒，
在AEF 和BEA △中，AFE BAE AEF BEA ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩
， AEF BEA ∴~，
AE FE BE AE
∴=， 2AE FE BE ∴=⋅；
（2）,AB AC AB AC =⊥，
ABC ∴是等腰直角三角形，
45ABC ACB ∴∠=∠=︒，
由（1）可知，AE FE BE AE
=， AE BE FE AE
∴=， 点E 是AC 的中点，
AE CE ∴=，
CE BE FE CE
∴=， 在CEF △和BEC △中，CE BE FE CE CEF BEC
⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，
CEF BEC ∴~，
45CFE BCE ∴∠=∠=︒，
又AF BE ⊥，
90AFE ∴∠=︒，
9045135AFE CFE AFC ∠=∴∠+∠=︒+︒=︒；
（3）设2(0)AB AC a a ==>， ABC 是等腰直角三角形，
BC ∴==，
点D E 、分别是BC AC 、的中点，
,AE CE a BD CD ∴====，
在Rt ABE △
中，BE ==，
BC BE ∴==， 由（1）知，AEF BEA ~，
AE FA BE AB
∴=
2FA a =，
解得5
FA a =， Rt ABF
中，BF ==
，
5BF BC BD BE ∴===， 在BDF 和BEC △中，BF BC BD BE DBF EBC
⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，
BDF BEC ∴~，
BD DF BE EC ∴=
DF a =，
解得5DF a =
，
又1DF =，
15
a ∴=，
解得2
a =，
FA BF ∴=
===
则ABF 的面积为11222
FA BF ⋅==． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．。