高一数学-直线与圆的方程——直线与圆的位置关系(带答案)

专题二 直线与圆的位置关系
教学目标：
直线和圆的位置关系的判断 教学重难点：
直线和圆的位置关系的应用 教学过程：
第一部分 知识点回顾
考点一：直线与圆的位置关系的判断：
直线:0l Ax By C ++=和圆()()2
2
2
C ：x a y b r -+-=()0r >有相交、相离、相切。

可从代数和几
何两个方面来判断： （1）代数方法
判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况：
由⎩
⎨
⎧
=-+-=++2
22)()(0r b y a x C By Ax ，消元得到一元二次方程，计算判别式∆， ①0∆>⇔相交；②0∆<⇔相离；③0∆=⇔相切； （2）几何方法
如果直线l 和圆C 的方程分别为：0=++C By Ax ，2
2
2
)()(r b y a x =-+-. 可以用圆心),(b a C 到直线的距离=
d 2
2
||
Aa Bb C A B
+++与圆C 的半径r 的大小关系来判断直线与圆的位置关系:
①d r <⇔相交；②d r >⇔相离；③d r =⇔相切。

提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。

例1 直线θ＋θ＝2＋θ与圆(x －1)2＋y 2＝4的位置关系是( )
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．以上都有可能 答案 B 解析 圆心到直线的距离d ＝ 所以直线与圆相切．
例2 已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( ) A ．(－2，2) B ．(－，) C ．(－，) D ．(－，)
答案C 设l 的方程y ＝k (x ＋2)，即－y ＋2k ＝0.圆心为(1,0)．由已知有<1，∴－<k <. 例3 圆(x －3)2+(y －3)2=9上到直线34y －11=0的距离为1的点有几个？ 解：圆(x －3)2+(y －3)2=9的圆心为O 1(3，3)，半径3， 设圆心O 1(3，3)到直线34y －11=0的距离为d ，则
2
2
|334311|
2334
⨯+⨯-=<+
如图1，在圆心O 1的同侧，与直线34y －11=0平行且距离为1的直线l 1与圆有两个交点，这两个交点符合题意，又r －3－2=1，所以与直线34y －11=0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意. 所以符合题意的点共有3个。

例4 平移直线x －y ＋1＝0使其与圆(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，则平移的最短距离为( )
－1 B ．2－ －1与＋1 答案 A
解析 如图2，圆心(2,1)到直线l 0：x －y ＋1＝0的距离d ＝＝，圆的半径为1，故直线l 0与l 1的距离为－1，∴平移的最短距离为－1，故选A.
图 1 图 2
例5 已知曲线5x 2－y 2+5=0与直线2x －0无交点，则m 的取值范围是 －1<m <1 . 例6 直线a (1)(1)=0与圆x 22=2的位置关系是（ C ）
（A ）相离 （B ）相切 （C ）相交或相切 （D ）不能确定 考点二：圆的切线的求法：
直线与圆相切，切线的求法：
（1）当点),(00y x 在圆r y x =+2
2上时，切线方程为200r y y x x =+；
（2）若点),(00y x 在圆2
22)()(r b y a x =-+-上时，切线方程为
200))(())((r b y b y a x a x =--+--；
（3）斜率为k 且与圆r y x =+2
2
相切的切线方程为21y kx k =±+；斜率为k 且与圆
222)()(r b y a x =-+-相切的切线方程的求法：先设切线方程为m kx y +=，然后变成一般式
0=+-m y kx ，利用圆心到切线的距离等于半径来列出方程求m ；
（4）点),(00y x 在圆外面，则切线方程为)(00x x k y y -=-，再变成一般式，因为与圆相切，利用圆心到直线距离等于半径，解出k ，注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，务必要补上.
例7 求经过点(1，－7)与圆x 22=25相切的切线方程.
解法一：设切线的斜率为k ，由点斜式有7(x －1)，即，(x －1)－7，
将上述方程代入圆方程x 2+[k (x －1)－7]2=25整理得(k 2+1)x 2－(2k 2+14k )2+1424=0， △=(2k 2+14k )2－4(k 2+1)(k 2+1424)=0，
由此方程解出k ，再代回7(x －1)，可得切线方程，好了，到此打住！从过程可以看到：利用此法求切线方程，一般地讲，过程冗长，计算、书写量大而繁杂，容易出现错 误，通常情况下不采用.
解法二：设所求切线斜率为k ，所以所求直线方程为7(x －1)，整理成一般式为－y －k －7=0，
所以
2
|007|
51k k ---=+，化简为12k 2－7k －12=0，
所以
34或－4
3
. 所以切线方程为4x －3y －25=0或3425=0. 解法三：设切点为(x 0，y 0)，所求切线方程为x 0025，将坐标(1，－7)代入后得x 0－7y 0=25，由
0022
0072525x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得0043x y =⎧⎨=-⎩，或00
3
4x y =-⎧⎨=-⎩ 故所求切线方程为4x －3y －25=0或3425=0. 例8 已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程．
解析 ∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等， ∴切线的斜率是±1.
设切线方程为y ＝－x ＋b 或y ＝x ＋c ，分别代入圆C 的方程得2x 2－2(b －3)x ＋(b 2－4b ＋3)＝0 或2x 2＋2(c －1)x ＋(c 2－4c ＋3)＝0，
由于相切，则方程有等根， 即b ＝3或b ＝－1，c ＝5或c ＝1.
故所求切线方程为：x ＋y －3＝0，x ＋y ＋1＝0，x －y ＋5＝0，x －y ＋1＝0.
例9 直线与圆x 22(m >0)相切，则（ D ） （A ）
2
1
（B ）22 （C ）2 （D ）2
例10 由点P (1，－2)向圆x 22+2x －2y －2=0引的切线方程是 51219=0和1 . 例11 直线a (1)(1)=0与圆x 22=2的位置关系是（ C ）
（A ）相离 （B ）相切 （C ）相交或相切 （D ）不能确定 考点三：直线与圆相交的弦长公式
（1）平面几何法求弦长公式：
如图所示，直线l 与圆相交于两点A 、B ，线段的长即为直线l 与圆相交的弦长.
设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为，则有2
22(
)2
AB d r +=，即222r d - .
（2）解析法求弦长公式：
如图所示，直线l 与圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线的倾斜角存在时，联立方程组，消元得到一个关于x 的一元二次方程，求得x 12和x 1x 2.于是2
121212||()4x x x x x x -=+-，
这样就求得2
121221
||1||1||AB k x x y y k
=+-=+
-。

例11 直线l 经过点P (5，5)，且和圆C ：x 22=25相交，截得弦长为45，求l 的方程. 解：设是圆心到直线l 的距离，是圆的半径，是弦长的一半， 在△中，5，
2
1
25， d r
B A
O
所以
22||||5OA AH -=，即
2|5(1)|51
k k -=+, 解得
2
1
，2， 所以直线l 的方程为x －25=0，或2x －y －5=0.
例12 两圆01112
2
1=++++F y E x D y x C ：与02222
2
2=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．
分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．
解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：
0101012
020=++++F y E x D y x ① 0202022
020=++++F y E x D y x ②
①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．
∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的．
∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．
说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．
例13 圆心为(1，－2)、半径为25的圆在x 轴上截得的弦长为（ A ） （A ）8 （B ）6 （C ）62 （D ）43
例14 直线1被圆x 22－2x －2y －7=0所截得线段的中点是（ A ） （A ）(
21，21
) （B ）(0，0) （C ）13(,)44 （D ）31(,)44
例15 已知圆C ：x 22－24y －4=0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦为直径的圆过原点，
若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.
解法一：假设存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦为直径的圆过原点。

设l 的方程为，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⊥知，·－1，即x 1x 21y 2=0.
由22
2440
y x b x y x y =+⎧⎨+-+-=⎩，得2x 2+2(1)2+4b －4=0。

∴ x 12=－(1)，x 1x 2=2222b b +-，y 1y 2=(x 1)(x 2)1x 2(x 12)2=2
22
b b +-,
∵ x 1x 21y 2=0. ∴ b 2+3b －4=0，解得－4或1 故存在这样的直线.，它的方程是－4或1。

解法二：圆C 化成标准方程为(x －1)2+(2)2=9，假设存在以为直径的圆M ，圆心M 的坐标为(a ，b )。

由于⊥l ，∴ ·－1，即
2
11
b a +=--，∴ －a －1. 直线l 的方程为y －－a ，即x －－0，∴ |3|
||2
b a CM -+=， 因为以为直径的圆C 过原点，所以，
而22
－2
=2(3)92
b a -+-，222
，
∴ 2(3)92b a -+-= a 22，代入消元得2a 2－a －3=0，∴ 2
3或－1，
当
23，b －2
5
时，此时直线l 的方程为x －y －4=0； 当－1，0时，此时直线l 的方程为x －1=0。

故这样的直线l 是存在的，它的方程为x －y －4=0或x －1=0。

例16 在△中，∠90°，8，6，点P 为它的内切圆C 上任一点，求点P 到顶点A 、B 、O 的距离的平方和的最大值和最小值.
解：如图所示，以O 为原点，所在直线为x 轴建立直角坐标系， 则A (8，0)，B (0，6)，内切圆C 的半径
8610
22
+-=， 所以圆心坐标为C (2，2)，
所以内切圆C 的方程为(x －2)2+(y －2)2=4，设P (x ，y )为圆C 上任一点，点P 到顶点A 、B 、O 的距离的平方和为d ，
则(x －8)222+(y －6)222=3x 2+3y 2－16x －12100=3[(x －2)2+(y －2)2]－476， 因为点P (x ，y )在圆上，所以(x －2)2+(y －2)2=4，∴ 88－4x ，
因为点P (x ，y )是圆C 上的任意点，x ∈[0，4]，∴ 当0时，88；当=4时，72. 例17 已知圆C ：(x －3)2+(y －4)2=4和直线l ：－y －43=0. （1）求证：不论k 取何值，直线和圆总相交.
（2）求k 取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长. 答案：（2）1，弦长为22
第二部分 课堂练习
1、直线1=+y x 与圆)0(022
2
>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是 解：依题意有
a a >-2
1，解得1212-<<--a .∵0>a ，∴120-<<a .
2：若直线2+=kx y 与圆1)3()2(2
2=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .
解：依题意有
11
122<+-k k ，解得3
4
0<
<k ，∴k 的取值范围是)34,0(.
3、圆03422
2=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有（ ）．
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
分析：把03422
2=-+++y x y x 化为()()8212
2
=+++y x ，圆心为()21
--，，半径为22=r ，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于2，所以选C ．
4、过点()43--，P 作直线l ，当斜率为何值时，直线l 与圆()()4212
2
=++-y x C ：有公共点，如图所示．
分析：观察动画演示，分析思路．
解：设直线l 的方程为
()34+=+x k y
即
043=-+-k y kx
根据r d ≤有
214
322
≤+-++k
k k
整理得 0432
=-k k 解得 3
40≤
≤k ． 5、已知△的两个顶点A(-10，2)，B(6，4)，垂心是H(5，2)，求顶点C 的坐标．
解: 26542=--=
BH k ∴ 2
1
-=AC k ∴直线的方程为)10(2
1
2+-=-x y 即26=0 (1)又
∵0=AH k
∴所直线与x 轴垂直 故直线的方程为6 (2) 解(1)(2)得点C 的坐标为C(66)
6、已知方程0422
2
=+--+m y x y x . （Ⅰ）若此方程表示圆，求m 的取值范围；
（Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线042=-+y x 相交于M ，N 两点，且⊥（O 为坐标原点）求m 的值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求以为直径的圆的方程. 解：（Ⅰ）0422
2
=+--+m y x y x
2，4，m F E D 42
2
-+=20-m 40>， 5<m
P
E
O
y
x
x
y O
B
M
A
(1,1)P C l （Ⅱ）⎩⎨⎧=+--+=-+0
420
422
2m y x y x y x y x 24-=代入得 081652
=++-m y y
51621=+y y ，5
821m
y y +=
∵⊥ 得出：02121=+y y x x ∴016)(852121=++-y y y y ∴5
8
=m （Ⅲ）设圆心为),(b a 5
82,5421121=+==+=y y b x x a 半径55
4=
r 圆的方程5
16
)58()54(22=-+-y x
7、 已知圆2
2
:(1)5C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=。

（Ⅰ）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点；
（Ⅱ）设l 与圆C 交与不同两点A 、B ，求弦的中点M 的轨迹方程；
（Ⅲ）若定点P （1，1）分弦为
1
2AP PB =，求此时直线l 的方程。

解：（Ⅰ）解法一：圆22
:(1)5C x y +-=的圆心为(0,1)C ，半径为5。

∴圆心C 到直线:10l mx y m -+-=的距离2
1
522
1m m d m m -=≤=<+
∴直线l 与圆C 相交，即直线l 与圆C 总有两个不同交点；
方法二：∵直线:10l mx y m -+-=过定点(1,1)P ，而点(1,1)P 在圆22
:(1)5C x y +-=内∴直线l 与圆C 相交，即直线l 与圆C 总有两个不同交点；
（Ⅱ）当M 与P 不重合时，连结、，则CM MP ⊥，
∴222
CM MP CP +=
设(,)(1)M x y x ≠，则2222
(1)(1)(1)1x y x y +-+-+-=， 化简得：22
210(1)x y x y x +--+=≠
当M 与P 重合时，1,1x y ==也满足上式。

故弦中点的轨迹方程是2
2
210x y x y +--+=。

（Ⅲ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由12AP PB =得1
2
AP PB =，
∴121
1(1)2
x x -=-，化简的2132x x =-………………①
又由22
10(1)5
mx y m x y -+-=⎧⎨+-=⎩消去y 得2222
(1)250m x m x m +-+-=……………（*） ∴2
122
21m x x m +=+ ………………………………②
由①②解得2
12
31m x m +=+，带入（*）式解得1m =±，
∴直线l 的方程为0x y -=或20x y +-=。

第三部分 作业练习
一、选择题：
1. 已知过()a A ,1-、()8,a B 两点的直线与直线012=+-y x 平行，则a 的值为（ ）
A. -10
B. 2
C.5
D.17
2. 设直线0=++n my x 的倾角为θ，则它关于x 轴对称的直线的倾角是（ ）
Ａ.θ B.
θπ
+2
C.θπ-
D.
θπ
-2
3. 已知过)4,(),,2(m B m A -两点的直线与直线x y 2
1
=
垂直，则m 的值（ ） A.4 8 C.2 1
4. 若点(,0)P m 到点(3,2)A -及(2,8)B 的距离之和最小，则m 的值为（ ）
A. 2-
B. 1
C. 2
D. 1-
5. 不论k 为何值，直线0)4()2()12(=+----k y k x k 恒过的一个定点是（ ）
A.(0,0)
B.(2,3)
C.(3,2)
D.(-2,3)
6. 圆8)2()1(2
2
=+++y x 上与直线01=++y x 的距离等于2的点共有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3 个
D ．4个 7. 在△中, ∠A ＝90°, ∠B ＝60°, 1, 若圆O 的圆心在直角边上, 且与和所在的直线都相切, 则圆O 的半
径是（ ）
A.
32 B.2
1
C.23
D.33
8. 圆2
2
2210x y x y +--+=上的点到直线2=-y x 的距离的最大值是（ ）
A.2
B. 12+ C ．2
22
+
D. 122+ 9. 过圆042
2
=+-+my x y x 上一点)1,1(P 的圆的切线方程为（ ）
A.032=-+y x
B. 012=--y x
C. 012=--y x
D. 012=+-y x
10. 已知点),(b a P )0(≠ab 是圆O ：2
2
2
r y x =+内一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，若直
线n 的方程为2
r by ax =+，则（ ）
A ．m ∥n 且n 与圆O 相离
B ．m ∥n 且n 与圆O 相交
C ．m 与n 重合且n 与圆O 相离
D ．m ⊥n 且n 与圆O 相离 二、填空题：
11. 若直线l 沿x 轴正方向平移2个单位，再沿y 轴负方向平移1个单位，又回到原来的位置，则直线l 的
斜率k ． 12. 斜率为1的直线l 被圆422
=+y x 截得的弦长为２，则直线l 的方程为 ．
13. 已知直线l 过点P(5,10),且原点到它的距离为5,则直线l 的方程为 . 14. 过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是 ．
15. 已知圆C 的圆心与点P (2,1)-关于直线1+=x y 对称，直线01143=-+y x 与圆C 相交于A 、B 两
点，且6AB =，则圆C 的方程为 ．
三、解答题：
16. 求经过直线l 1:345=0 l 2:238=0的交点M,且满足下列条件的直线方程：
(Ⅰ)经过原点; (Ⅱ)与直线25=0平行; (Ⅲ)与直线25=0垂直.
17. 已知圆2
2
:()(2)4(0)C x a y a -+-=>及直线:30l x y -+=. 当直线l 被圆C 截得的弦长为22时, 求
（Ⅰ）a 的值；
（Ⅱ）求过点)5,3(并与圆C 相切的切线方程.
18、已知圆C ：()22
19x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点.
（Ⅰ）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；
（Ⅱ）当弦被点P 平分时，写出直线l 的方程； （Ⅲ）当直线l 的倾斜角为45º时，求弦的长.
直 线 与 圆 复 习 题 参 考 答 案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
B
C
B
A
B
C
D
B
D
A
11、k =21
12、6±=x y 13、5=x 或02543=+-y x
14、052=-+y x 15、18)1(22=++y x
16、解：(Ⅰ)02=+y x （Ⅱ） 02=+y x （Ⅲ）052=--y x 17、解：（Ⅰ）依题意可得圆心2),2,(=r a C 半径，
则圆心到直线:30l x y -+=的距离2
1)
1(1322
2
+=
-++-=a a d
由勾股定理可知22
2)2
22(
r d =+，代入化简得21=+a 解得31-==a a 或，又0>a ，所以1=a
（Ⅱ）由（1）知圆4)2()1(:22=-+-y x C ， 又)5,3(在圆外
∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为)3(5-=-x k y
由圆心到切线的距离2==r d 可解得12
5
=k
∴切线方程为045125=+-y x
②当过)5,3(斜率不存在直线方程为3=x 与圆相切 由①②可知切线方程为045125=+-y x 或3=x
18、解：(Ⅰ)已知圆C ：()2
219x y -+=的圆心为C （1，0），因直线过点P 、C ，
所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为)1(2-=x y ，即 022=--y x .
(Ⅱ)当弦被点P 平分时，l ⊥, 直线l 的方程为1
2(2)2
y x -=--,
即062=-+y x
(Ⅲ)当直线l 的倾斜角为45º时，斜率为1，直线l 的方程为22-=-x y ,
即0=-y x ，圆心C 到直线l 的距离为1
2，圆的半径为3，弦的长为34.。