2017_18学年高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.1.1实数指数幂及其运算课件

第三章——
3.1 3.1.1
[学习目标]
指数与指数函数 实数指数幂及其运算
1. 理解有理指数幂的含义，会用幂的运算法则进行有
关运算.
2.了解实数指数幂的意义.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实
重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
[知识链接] 1.4的平方根为 ±2 ，8的立方根为 2 .
解析
1 2
1 2
1 2 3 4 5
B.－ 2 2 D.－ 2
[(－ 2)2] ＝[( 2)2] ＝ 2.
1 2
4.下列各式运算错误的是( C ) C.(－a3)2· (－b2)3＝a6b6
1 2 3 4 5
A.(－a2b)2· (－ab2)3＝－a7b8 B.(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3 D.[－(a3)2· (－b2)3]3＝a18b18. 解析 直接运用指数幂的运算法则分别计算后选择. 对于A，(－a2b)2· (－ab2)3＝a4b2· (－a)3b6＝－a7· b8，故正确. 对于B，(－ a2b3)3÷(－ ab2)3＝ － a6b9÷(－ a3b6)＝a6－3b9－6＝a3b3， 故正确. 对于C，(－a3)2· (－b2)3＝a6· (－b6)＝－a6b6，故C项错误. 对于D，易知正确，故选C.
(2)
3
1 6
1 2
ab2 ab3(a，b＞0)；
3
解
原式＝
ab a b ＝ a b ＝ (a b ) ＝ a b (a，b＞0)；
2
3 2
3 2
3
5 2
7 2
5 2
7 1 2 3
5 6
7 6
(3) ( b ) (b＜0)；
解 原式＝ ( ( b) ) ＝ (b)
4 2 3 2 3
(4)
解
x2－2x＋1－
原式＝
x2＋6x＋9，x∈(－3,3)
x＋32＝|x－1|－|x＋3|，
x－12－
当－3＜x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2. 当1＜x＜3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.
－2x－2，－3＜x≤1， 因此，原式＝ －4，1＜x＜3.
规律方法
4
2 3
2 3
2 1 2 3 4 3
＝ (b) (b＜0)；
1 9
(4)
1
3 5
(x≠0).
x x2 2
1
解 原式＝
1
4 1 5 3
x x
1 3
＝
x
3 5
＝x

3 5
.
要点三 分数指数幂的运算
例3
4 1 70 3 3 0.75 (1)计算： 0.064 －－8 ＋ [(2) ] ＋16－ ＋|－0.01| 2
解
3 2

3 2
1 3

1 2

1 2
1 2
a ＝(a ) · (a ·
5 2

13 2
)
1 2
＝(a－4) 2
1
＝a－2.
1 2 3 4 5
1.下列各式正确的是( A )
A.( a) ＝a
3
3
B.( 7) ＝－7
4
4
C.( a) ＝|a|
5
6
5
D. a6＝a
6
解析
( 7) ＝7，( a)5＝a， a6＝|a|.
5 2 2.23· 22＝ 32 ，(22)2＝16 ，(2· 3)2＝ 36 ， 3＝ 4 . 2
[预习导引]
1.基本概念
整数指数
an ＝
n 次方根 如果存在实数 x，使得 x ＝
n
分数指数
a ＝ a；
m a ＝ a ； 1
m n
n
1 n
n
a(a∈R，n＞1 且 n∈N＋)，则 x a0＝ 1 (a≠0) 叫做 a 的 n 次方根， a 叫做把 1 n － a ＝ n (a≠0) a 开 n 次方，称作开方运算. a
4
4
5
1 2 3 4 5
2. a－b ＋ a－b5的值是( C )
2
5
A.0 C.0或2(a－b)
B.2(a－b) D.a－b
解析 当a－b≥0时，原式＝a－b＋a－b＝2(a－b)； 当a－b＜0时，原式＝b－a＋a－b＝0.
3.计算[(－ 2)2] 的结果是( A ) A. 2 2 C. 2
能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.
跟踪演练3 计算或化简：
1 3 23 (1)－38 ＋(0.002) 2 －10(
5－2)－1＋( 2－ 3)0；
10 ＋1 5－2
解
原式＝(－1)

2 3
3 2 1 1 3 3 ＋ 2－ 8 500
n
a

m n
m a ＝
n
(a>0，n，m∈N＋)
2.根式的性质
(1)( a)n＝ a (n＞1 且 n∈N＋)；
a n为奇数且n＞1，n∈N ， ＋ n n (2) a ＝ |a| n为偶数且n＞1，n∈N＋.
n
3.有理指数幂的运算法则
若a>0，b>0，则有任意有理数α，β有如下运算法则：
1 7 （- ） 2 3
解 原式＝[ a
]÷ [a
a
1 13 2 3
]＝ a
9 3 7 13 6 6 6 6
＝a0＝1.
规律方法
指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号
里的；无括号先做指数运算 . 负指数幂化为正指数幂的 倒数 . 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化
成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可
1 2 3 4 5
2 －40 1 2 2－3 8 3 ＝________. 5.2 ＋ ＋ － 1－ 50· 2 2－1
1 2
解析
1 1 原式＝ ＋ ＋ 2＋1－22＝2 2－3. 2 2
课堂小结
1.掌握两个公式：(1)( a) ＝a；(2)n 为奇数， an＝a，n 为偶数，
n
n n n
1 27 2 ＝ 8 3 ＋(500) 2 －10(
5＋2)＋1
4 167 ＝9＋10 5－10 5－20＋1＝－ 9 .
3
(2)
a · a－3· a－5 · a 13.
a ) · 原式＝( a · [(a ) · (a ) ]
－5 13
0
1 3
3Байду номын сангаас2

1 2

1 2
解
原式＝
a ＝ a·
1 2
b ＝a ； a · a ＝a · a · a·
1 2
1 4
1 2
1 4
1 8
7 8
(3) a2· a3；
3
解
3
a ＝a ； 原式＝ a ·
2 3
3 2
13 6
(4)( a)2· ab3.
解
a · b ＝a b . 原式＝( a ) ·
1 3 2 1 2
3 2
7 6
3 2
(1)aαaβ＝ aα＋β ；
β (2)(aα)β＝ aα· ；
bα . (3)(ab)α＝ aα·
要点一 根式的运算
例1 求下列各式的值：
(1)
解
3
－23；
3
－23＝－2.
(2)
解
4
－32；
4
－3 ＝ 32＝ 3.
2
4
(3)
解
8
3－π8；
8
3－π8＝|3－π|＝π－3.
aa≥0， n a ＝|a|＝ －aa＜0.
2.根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算 性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内 到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.
1 3
；
解
原式＝ (0.4 )
3

1 3
－1＋( －2) －4 ＋ (24) －0.75 ＋(0.12) 2
1
＝0.4－1 －1＋
1 1 143 16＋8＋0.1＝ 80 .
(2)化简：
3
a
9 2
1 9 3 2
a 3 ÷
a
1 3 （- ） 3 2
3
a 7 3 a13 (a＞0).
－104＝|－10|＝10.
(3)
4
a－b4.
4
解
a－ba≥b， 4 a－b ＝|a－b|＝ b－aa＜b.
要点二 根式与分数指数幂的互化 例2 将下列根式化成分数指数幂形式：
(1)
解
3
a· a；
3
4
a ＝a ； a· a＝ a ·
4
1 3
1 4
7 12
(2)
a a a；
1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清
根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质
进行化简或求值. 2.开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉 绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论.
跟踪演练1 化简下列各式：
(1)
解 (2)
4
5
－25；
5
－25＝－2. －104；
解
4
规律方法
在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关
m n
键是熟记根式与分数指数幂的转化式子： a ＝ am 和
a
m n
n
＝
1
a
m n
＝n
1 am
，其中字母 a 要使式子有意义.
跟踪演练2 用分数指数幂表示下列各式：
(1)
解
3
a· －a(a＜0)；
1 3
1 6
6
( a ) 原式＝ a ·
1 3
(a) ＝－ (a) ( a ＜ 0) ； ＝－ (a) ·