高三数学5月模拟考试试题二文试题

卜人入州八九几市潮王学校华中师大一附中2021届高三数学5月模拟考试试题〔二〕
文〔扫描〕
华中师大一附中2021届高中毕业生五月模拟考试
数学〔文科〕试题
本试题卷一共4页，一共22题．总分值是150分．考试用时120分钟．
★祝考试顺利★
本卷须知：
2．选择题的答题：每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．
3．填空题和解答题的答题：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题
卷、草稿纸上无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．在在考试完毕之后以后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的． 1．在复平面内，复数
122i
i
-+对应点的坐标为〔A 〕 A ．(0,1)-B ．(0,1)C ．43(,)55-D ．43
(,)55
2．假设集合
{}{}(2)3,()(1)0A x x x B x x a x a =-<=--+=且A B B =，那么实数a 的
取值范围是〔C 〕
A ．13a -<<
B ．14a <<
C ．03a <<
D ．04a <<
3.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,设60,A a ==b =B =(C)
A ．45或者135
B ．135
C ．45
D ．以上都不对 4．{}n a 是各项均为正数的等比数列，12341,4a a a a +=+=，那么5678a a a a +++=〔A 〕
A ．80
B ．20
C ．32
D ．2553
5．0,0ω
ϕπ><<，直线3
x
π=
和43
x π=
是函数
()sin()f x x ωϕ=+的图象的两条相邻的对称
轴，那么ωϕ+的值是〔D 〕
O
19题图
181716151413秒
频率组距
0.060.08
0.16
0.32
0.38A ．526π+
B ．26π+
C ．516π+
D ．16
π+ 6．函数2()3f x x ax =-+在(0,1)上为减函数，函数2
()ln g x x a x =-在(1,2)上为增函数，那么
a 的值等于(B)
A ．1
B ．2 C
D ．0
7．设,a b 为实数，那么“01ab <<〞是“1
b a
<
〞的〔D 〕 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件
8．椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 和双曲线)0,0(122
22>>=-n m n y m x 有一样的焦点、F 12F ，以
线段1
F 2F 为边作正12F F M ∆，假设椭圆与双曲线的一个交点P 恰好是1MF 的中点，设椭圆和双曲线
的离心率分别为T e 和S e ,那么T S e e ⋅等于〔B 〕
A ．5
B ．2
C ．3
D ．4 9．以下说法中，不正确的选项是〔D 〕 A ．点(
,0)()tan(2)84
f x x π
π
=+为函数的一个对称中心
B ．设回归直线方程为
ˆ2 2.5y
x =-，当变量x 增加一个单位时，y
p ：“
01x x ≥-〞那么p ⌝“01
x
x <-〞 10．定义在R 上的函数)(x f y =，对任意不等的实数1x ，2x 都有0))](()([2121<--x x x f x f 成
立，又函数)1(-=x f y 的图象关于点)0,1(对称，假设不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f 成立，
那么当14x ≤
<时，
x
y
的取值范围是〔A 〕
A ．1,12⎛⎤
-
⎥⎝⎦
B ．(,1]-∞
C ．1[,1]2-
D ．1[,)2-+∞
二、填空题
11．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：第一组
[13,14)；第二组[14,15)，…，第五组[]17,18．右
图是按上述分组方法得到频率分布直方图，假设成绩大于或者等于14秒且小于16秒认为良好，那么该班在这次百米测试中成绩良好人数是___27______ 12．向量，，，那么的取值范围是[3,5] 13．用秦九韶算法计算
5432()23456f x x x x x x =+++++在0.2x =时的值时,需要运算_9_次
14.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2104,110a S ==，那么
64n n S a +的最小值为17
2
__ 15．某一几何体的三视图如下列图，其中圆的半径都为1，那么这该几何体的体积为___π__
16．“方程
1)54
()53(=+x x 〞有如下思路：设)(,)5
4
()53()(x f x f x x +=在R 上单调递减，且
不等式
(2)f =，故原方程有唯一解2x =．类比上述解题思路，
2
36)2()2(x x x x -+>+-的解集是
(,1)(2,)-∞-+∞___
17．如上图，边长为1的正方形
ABCD 的顶点,A D 分别在x
轴，
y
轴正半轴上挪动，那么
312OB OC ⋅≥+
的概率为31
2
- 三、解答题：本大题一一共5小题，一共65分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．
18．〔本小题总分值是12分〕记数列
{}n a 的前n 项和n S ，且212
2n c c S n n ⎛⎫
=+- ⎪⎝
⎭
(c 为常数，
)*∈N n ，且521,,a a a 成公比不等于1的等比数列．
〔1〕求c 的值；
〔2〕设11
+=
n n n
a a
b ，求数列
{}n b 的前n 项和n T ．
解：〔Ⅰ〕由2122n
c c S n n ⎛⎫
=
+- ⎪⎝⎭
，1111,1;2,1(1)n n n n a S n a S S n c -===≥=-=+-………正视图 侧视图 俯视图
3 故1(1)n
a n c =+- (4)
而521,,a a a 成公比不等于1的等比数列，即()
2
114c c +=+且0c ≠，所以2c = (6)
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，12-=n a n
.………………………………………………7分
∴)1
21
121(21)12)(12(111+--=+-=+=
n n n n a a b n n n
…………10分
∴12111111(1)()(
)23352121n n T b b b n n ⎡⎤
=++
+=
-+-++-⎢⎥-+⎣
⎦
1
2)1211(21+=
+-=
n n
n ………………………………12分 19．〔本小题总分值是12分〕如图，AC ⊥平面CDE ,BD ∥AC ,ECD
∆为等边三角形，F 为ED 边的中点,且22CD BD AC ===
〔1〕求证：CF ∥面ABE ；
〔2〕求证：面
ABE ⊥平面BDE ；
〔3〕求三棱锥F ABE -的体积． 解：〔Ⅰ〕证明：取BE 的中点G ，连FG ∥
BD 21,AC ∥BD 2
1
，四边形ACFG 为平行四边形,故CF ∥AG ，即证CF ∥面ABE …………………………3分
〔Ⅱ〕证明：△ECD 为等边三角形，得到CF ⊥ED
又CF ⊥BD ⇒
CF ⊥面BDE
而CF ∥AG ，故
AG ⊥面BDE ，
AG ⊂平面ABE ，平面ABE ⊥平面BDE ………………………………7分
〔Ⅲ〕由CF ⊥面BDE ，//AC 面BDE ，所以11(12)323
F ABE
A BEF C BEF V V V ---===⋅⋅⋅=
20．〔本小题总分值是13分〕如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机
跑道
AB 的长为4.5km ，且跑道所在直线与海岸线l 的夹角为60°〔海
B
A
E
D
C
F
A
B
岸线看作直线〕，跑道上间隔海岸线最近的点B
到海岸线的间隔BC =，D 为海岸线l
上的一
点．设CD xkm =
〔9
4
x >
〕，点D 对跑道AB 的视角为θ． 〔1〕将tan θ表示为x 的函数； 〔2〕求点D 的位置，使得θ获得最大值．
解：〔Ⅰ〕过A 分别作直线CD 、BC 的垂线，垂足分别为E ，F. 由题设知，∠ABF=30°，
∴9,4
CE
AF BF AE BC CF ====+== 又tan BDC ∠=
，∵9
4
x
>
时，94ED x =-∴()tan tan tan ADB ADC BDC θ
=∠=∠-∠=
=
90,4x x >≠
即tan 0x θ=
>………………………………7分
〔Ⅱ〕记4)
tan ()(49)300
x f x x x θ
+=
=-+，由()0f x >可知θ是锐角．
而
()
2
2
14)(6)
(),049300x x f x x x
x +-'=-
>-+………………10分
∴
()f x 在区间(0,6)上单调递增，(6,)+∞上单调递减，
函数
()f x 在6x =时获得最大值(6)13
f =
， 而
tan 0,2y πθ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
在上是增函数，所以当6x =时，tan θ获得最大值，即θ获得最大值．
答：在海岸线l 上间隔C 点6km 处的D 点观看飞机跑道的视角最大．………………………13分 21．〔本小题总分值是14分〕如图，直线l 与抛物线
y x 42=相切于点
(2,1)P ，且与x 轴交于点A ，定点B (2,0)．
C D
E
〔1〕假设动点M 满足0||2=+⋅AM BM AB ，求点M 轨迹C 的方程；
〔2〕假设过点B 的直线l '〔斜率不为零〕与〔I 〕中的轨迹C 交于不同的两点,E F 〔E 在B 、F 之间〕，试求OBE ∆与OBF ∆面积之比的取值范围． 解：〔I 〕由22
414x y y x =
=得，.2
1
x y ='∴∴直线l 的斜率为1|2='=x y ，………1分 故l 的方程为
1-=x y ，∴点A 坐标为〔1，0〕……………………………………2分
设),(y x M 那么),1(),,2(),0,1(y x AM y x BM AB -=-==，
由
0||2=+⋅AM BM AB 得.0)1(20)2(22=+-⋅+⋅+-y x y x 整理，得.12
22
=+y x …………………………………6分
〔II 〕如图，由题意知直线l 的斜率存在且不为零，设l 方程为y=k (x －2)(k ≠0)①
将①代入12
22
=+y x ，整理，得
0)28(8)12(2222=-+⋅-+k x k x k ，
由0∆>得0<k 2
<
2
1
.设1122(,),(,)E x y F x y 那么⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+=+.1228,12822
212221k k x x k k x x ②………………………………………………………7分
令|||
|,BF BE S S OBF OBE ==
∆∆λλ
则，由此可得.10,2
2,21<<--=⋅=λλλ且x x BF BE 由②知,1
24
)2()2(221+-=
-+-k x x
1223<<-∴λ.∴OBE ∆与OBF ∆面积之比的取值范围是〔(322,1)-.……………14分
22．〔本小题总分值是14分〕函数1ln )(+=x a x f (0)a >．
〔1〕当0>x
时，求证：)1
1(1)(x
a x f -≥-；
〔2〕是否存在实数a 使得在区间[1,2)上
)(x f x ≥恒成立？假设存在，求出a 的取值条件；
〔3〕当2
1
=
a 时，
求证：3
(1)(2)(3)(1)2(2
f f f f n n +++++>+〕()n N *∈．
解：〔1〕明:设()()()0,11ln 111>⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛---=x x a x a x a x f x φ
那么()02=-=
'x
a
x a x φ,那么1=x ,即()x φ在1=x 处取到最小值,那么()()01=≥φφx ,即原结论成立.……3分 〔2〕由
()f x x ≥得ln 1a x x +≥，即ln 1a x x ≥-
当1x =时，a R ∈，由题意0a >；
当()1,2x ∈时1ln x a x -≥,令()()1,ln 1>-=x x x x g ,()()
2
ln 1
ln x x x x x g --=' 另()x x x x h 1ln --=,()0112
>-='x x x h 那么()x h 单调递增,所以()()01=>h x h 因为()0>x h
,所以()0>'x g ,即()x g 单调递增,而()1
2ln 2
g =
，此时1ln 2a ≥．
所以a 的取值范围为
1,ln 2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭.…………………………………………………8分 〔3〕由第一问得知x x
1
1ln -
≥那么n
n 11ln -≥………………………………………10分
那么
()()()()()n n n f f f +++++=
++++1ln 3ln 2ln 2
1
132 又
(1)1f =
，即证3
(1)(2)(3)(1)2(2
f f f f n n +++
++>+-〕()n N *∈……14分。