华东师大版八年级数学上册同步练习题及答案(全套)

12.1.1 平方根（第一课时）
◆随堂检测
1、若x 2
= a ，则 叫 的平方根，如16的平方根是 ，9
7
2的平方根是 2、3±表示 的平方根，12-表示12的 3、196的平方根有 个，它们的和为 4、下列说法是否正确？说明理由 （1）0没有平方根； （2）—1的平方根是1±； （3）64的平方根是8； （4）5是25的平方根； （5）636±= 5、求下列各数的平方根
（1）100 （2）)8()2(-⨯- （3）1.21 （4）49
151
◆典例分析
例 若42-m 与13-m 是同一个数的平方根，试确定m 的值
◆课下作业
●拓展提高
一、选择
1、如果一个数的平方根是a+3和2a-15，那么这个数是（ ）
A 、49
B 、441
C 、7或21
D 、49或441 2、2
)2(-的平方根是（ ）
A 、4
B 、2
C 、-2
D 、2± 二、填空
3、若5x+4的平方根为1±，则x=
4、若m —4没有平方根，则|m —5|=
5、已知12-a 的平方根是4±，3a+b-1的平方根是4±，则a+2b 的平方根是 三、解答题
6、a 的两个平方根是方程3x+2y=2的一组解 （1） 求a 的值 （2）2
a 的平方根
7、已知1-x +∣x+y-2∣=0 求x-y 的值
● 体验中考
1、（09河南）若实数x ，y 满足2-x +2)3(y -=0，则代数式2
x xy -的值为
2、（08咸阳）在小于或等于100的非负整数中，其平方根是整数的共有 个
3、（08荆门）下列说法正确的是（ ）
A 、64的平方根是8
B 、-1 的平方根是1±
C 、-8是64的平方根
D 、2
)1(-没有平方根
12.1.1平方根（第二课时）
◆随堂检测
1、
25
9
的算术平方根是 ；___ __ 2、一个数的算术平方根是9，则这个数的平方根是
3x 的取值范围是 ，若a ≥04、下列叙述错误的是（ ）
A 、-4是16的平方根
B 、17是2
(17)-的算术平方根 C 、
164的算术平方根是1
8
D 、0.4的算术平方根是0.02 ◆典例分析
例：已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c 且a 、b |4|0b -=，求c 的取值范围 分析：根据非负数的性质求a 、b 的值，再由三角形三边关系确定c 的范围
◆课下作业
●拓展提高
一、选择
12=，则2
(2)m +的平方根为（ ）
A 、16
B 、16±
C 、4±
D 、2±
2 ）
A 、4
B 、4±
C 、2
D 、2± 二、填空
3、如果一个数的算术平方根等于它的平方根，那么这个数是
42(4)y +=0，则x
y =
三、解答题
5、若a 是2(2)-的平方根，b 2
a +2
b 的值
6、已知a b-1是400
●体验中考
1．(2009年山东潍坊)一个自然数的算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ） A ．1a +
B ．2
1a +
C ．21a +
D ．1a +
2、（08年泰安市）88的整数部分是 ；若a<57<b ，（a 、b 为连续整数），则a= ， b=
3、（08年广州）如图，实数a 、b 在数轴上的位置，
化简 222()a b a b --- =
4、（08年随州）小明家装修用了大小相同的正方形瓷砖共66块铺成10.56米2
的房间，小明想知道每块瓷砖的规格，请你帮助算一算.
12.1.2 立方根
◆随堂检测
1、若一个数的立方等于 —5，则这个数叫做—5的 ，用符号表示为 ，—64的立方根是 ，125的立方根是 ； 的立方根是 —5.
2、如果3
x =216，则x = . 如果3x =64， 则x = .
3、当x 为 时，.
4、下列语句正确的是（ ）
A 、64的立方根是2
B 、3-的立方根是27
C 、
278的立方根是3
2± D 、2
)1(-立方根是1- 典例分析
例 若338x 51x 2+-=-，求2x 的值.
◆课下作业
●拓展提高
一、选择
1、若2
2
)6(-=a ，3
3
)6(-=b ，则a+b 的所有可能值是（ ）
A 、0
B 、12-
C 、0或12-
D 、0或12或12- 2、若式子3112a a -+-有意义，则a 的取值范围为（ ）
A 、21≥a
B 、1≤a
C 、12
1
≤≤a D 、以上均不对 二、填空
3、64的立方根的平方根是
4、若162=x ，则（—4+x ）的立方根为
三、解答题
5、求下列各式中的x 的值
（1）1253
)2(-x =343 （2）64
631)1(3
-
=-x
6、已知：43=a ，且03)12(2
=-++-c c b ，求333c b a ++的值
●体验中考
1、（09宁波）实数8的立方根是
2、（08泰州市）已知0≠a ，a ，b 互为相反数，则下列各组数中，不是互为相反数的一组是（ ）
A 、3a 与3b
B 、a +2与b +2
C 、2a 与2b -
D 、3a 与3b
3、（08益阳市）一个正方体的水晶砖，体积为100 cm 3
，它的棱长大约在（ ） A 、4～5cm 之间 B 、5～6cm 之间 C 、6～7 cm 之间D 、7～8cm 之间
12.2实数与数轴
◆随堂检测
1、下列各数：23，722-，327-，414.1，3
π
-，12122.3，9-，••9641.3中，无
理数有 个，有理数有 个，负数有 个，整数有 个. 2、33-的相反数是 ，|33-|=
57-的相反数是 ，21-的绝对值=
3、设3对应数轴上的点A ，5对应数轴上的点B ，则A 、B 间的距离为
4、若实数a<b<0，则|a| |b|；大于17小于35的整数是 ； 比较大小：
3 5 5、下列说法中,正确的是( )
A .实数包括有理数,0和无理数
B .无限小数是无理数
C .有理数是有限小数
D .数轴上的点表示实数.
◆典例分析
例： 设a 、b 是有理数，并且a 、b 满足等式2522-=+
+b b a ，求a+b 的平方根
◆课下作业
●拓展提高
一、选择
1、 如图，数轴上表示1，2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则
点C 表示的实数为 （ ）
A ．2－1
B ．1－2
C ．2－2
D ．2－2 2、设a 是实数，则|a|-a 的值（ ）
A ．可以是负数
B ．不可能是负数
C ．必是正数
D ．可以是整数也可以是负数 二、填空
C A 0 B
3、写出一个3和4之间的无理数
4、下列实数
1907，3
π
-，0，49-，21，31-，1.1010010001…（每两个1之间的0的个数逐次加1）中，设有m 个有理数，n 个无理数，则n m = 三、解答题
5、比较下列实数的大小
（1）|8-| 和3 （2）52- 和9.0- （3）215-和8
7
6、设m 是13的整数部分，n 是13的小数部分，求m-n 的值.
● 体验中考
2．（2011年青岛二中模拟）如图，数轴上A B ，两点表示的数分别为1-
点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为（ ） A
．2- B
．1-
C
．2-+
D
．1+3．（2011年湖南长沙）已知实数a
在数轴上的位置如图所示，则化简|1|a -的结果为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．12a -
D ．21a -
3、（2011年江苏连云港）实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示， 则必有（ ）
A ．0a b +>
B ．0a b -<
C ．0ab >
D ．
0a b
< 4、（2011年浙江省杭州市模2）如图，数轴上点A 所表示的数的倒数是（ ）
A . 2-
B . 2
C . 12
D . 12
-
（第46题图）
0 （第8题图）
§13.1 幂的运算
1. 同底数幂的乘法
试一试
（1） 23×２4＝（ ）×（ ）＝２()
；
（2） 53×５4＝5
()
； （3） a 3·a 4＝a ()．
概 括：a m ·a n ＝（ ）（ ）
＝ ＝a n m +．
可得 a m ·a n ＝a n m +这就是说，同底数幂相乘， ．
例1计算：
（1） 103×１０4； （2） a ·a 3； （3） a ·a 3·a 5．
练习
1. 判断下列计算是否正确，并简要说明理由．
（1） a ·a
2
＝a 2；（2） a ＋a 2
＝a 3；（3）a 3·a 3＝a 9；（4）a 3＋a 3＝a 6．
2. 计算：
（1） 102×105； （2） a 3·a 7； （3） x ·x 5·x 7．
3．填空：
（1）m
a 叫做a 的m 次幂，其中a 叫幂的________，m 叫幂的________；
（2）写出一个以幂的形式表示的数，使它的底数为c ，指数为3，这个数为________； （3）4
)2(-表示________，4
2-表示________；
（4）根据乘方的意义，3
a ＝________，4
a ＝________，因此43
a a
⋅＝)
()()
(
+
同底数幂的乘法练习题
1．计算： （1）=⋅64
a a
（2）=⋅5b b
（3）=⋅⋅32
m m m （4）=⋅⋅⋅953c c c c
（5）=⋅⋅p n m
a a a （6）=-⋅12m t t （7）=⋅+q q
n 1
（8）=-+⋅⋅112p p n n n
2．计算：
（1）=-⋅2
3b b （2）=-⋅3
)(a a
（3）=--⋅32
)()
(y y （4）=--⋅43)()(a a
（5）=-⋅2
4
33 （6）=--⋅67
)5()5(
（7）=--⋅32)()
(q q n
（8）=--⋅24)()(m m
（9）=-32 （10）=--⋅54
)2()2(
（11）=--⋅69
)(b b
（12）=--⋅)()(33a a
3．下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（1）5
2
3
632=⨯； （2）6
3
3
a a a =+；
（3）n
n
n
y y y 22=⨯； （4）2
2m m m =⋅；
（5）4
2
2
)()(a a a =-⋅-； （6）12
43a a a =⋅；
（7）3
34)4(=-； （8）6
327777=⨯⨯；
（9）42-=-a ； （10）3
2n n n =+． 4．选择题： （1）2
2+m a
可以写成（ ）．A ．1
2+m a
B ．22a a
m
+ C ．22a a m ⋅ D ．12+⋅m a a
（2）下列式子正确的是（ ）．A ．
4334⨯= B ．4
4
3)3(=- C ．4433=- D ．3443= （3）下列计算正确的是（ ）．
A ．4
4
a a a =⋅ B ．8
4
4
a a a =+
C ．4442a a a =+
D ．1644a a a =⋅
2. 幂的乘方
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空：
（1） （23）2＝ × ＝２()；
（2） （32）3＝ × ＝３()；
（3） （a 3）4＝ × × × ＝a ()．
概 括
（a m ）n ＝ （n 个）＝ （n 个）=a mn 可得（a m ）n ＝a mn （m 、n 为正整数）．这就是说，幂的乘方， ．
例2计算：
（1） （103）5；
（2） （b 3）4．
练习 1. 判断下列计算是否正确，并简要说明理由．
（1） （a 3）5＝a 8；（2） a 5·a 5＝a 15；（3） （a 2）3·a 4＝a 9．
2. 计算：
（1）（22）2； （2）（y 2）5； （3）（x 4）3； （ 4）（y 3）2·（y 2）3．
3、计算:
（1）x·（x
2）3 （2）（x m ）n ·（x n ）m （3）（y 4）5－（y 5）4
（4）（m 3）4+m 10m 2+m·m 3·m 8 （5）[（a －b ）n ] 2 [（b －a ）n －1] 2
（6）[（a－b）n] 2 [（b－a）n－1] 2 （7）（m3）4+m10m2+m·m3·m8
幂的乘方
一、基础练习
1、幂的乘方,底数_______,指数____.（a m）n= ___(其中m、n都是正整数)
2、计算：（1）（23）2=_____；（2）（－22）3=______；
（3）－（－a3）2=______；（4）（－x2）3=_______。

3、如果x2n=3，则（x3n）4=_____．
4、下列计算错误的是（）．
A．（a5）5=a25 B．（x4）m=（x2m）2 C．x2m=（－x m）2 D．a2m=（－a2）m 5、在下列各式的括号内，应填入b4的是（）．
A．b12=（）8 B．b12=（）6 C．b12=（）3 D．b12=（）2 6、如果正方体的棱长是（1－2b）3，那么这个正方体的体积是（）．
A．（1－2b）6 B．（1－2b）9 C．（1－2b）12 D．6（1－2b）6 7、计算（－x5）7+（－x7）5的结果是（）．
A．－2x12 B．－2x35 C．－2x70 D．0
二、能力提升
1、若x m·x2m=2，求x9m=__________
2、若a2n=3，求（a3n）4=____________。

3、已知a m=2,a n=3,求a2m+3n=______，
4、若644×83=2x，求x的值。

5、已知a2m=2，b3n=3，求（a3m）2－（b2n）3+a2m·b3n的值．
6、若2x=4y+1，27y=3x- 1，试求x与y的值．
7、已知a=355，b=444，c=533，请把a，b，c按大小排列．
8．已知：3x =2，求3
x+2的值．
9．已知x m+n ·x m －n =x 9，求m 的值．10．若52x+1=125，求（x －2）2011+x 的值．
3. 积的乘方
试一试
（1） （ab ）2＝（ab ）·（ab ）＝（aa ）·
（bb ）＝a ()b ()； （2） （ab ）3＝ ＝ ＝a ()b ()；
（3） （ab ）4＝ ＝ ＝a ()b ()．
概 括（ab ）n ＝（ ）·（ ）…（ ）（n 个）＝（ ）·
（ ） ＝a n b n ．可得 （ab ）n ＝a n b n （n 为正整数）．
积的乘方，等于 ，再 ． 例3计算：
（1）（2b ）3； （2）（2×a 3）2； （3）（－a ）3； （4）（－3x ）4．
练习
1. 判断下列计算是否正确，并说明理由．
（1） （xy 3）2＝xy 6；（2） （－2x ）3＝－2x 3．
2. 计算：
（1）（3a ）2；（2）（－3a ）3；（3）（ab 2）2；（4）（－2×１０3）3．
3、计算：
（1）（2×103）2 （2）（－2a 3y 4）3
(3)244243)2()(a a a a a -++⋅⋅ （4）7233323)5()3()(2x x x x x ⋅+-⋅
（5）（－2a 2b ）2·（－2a 2b 2）3 （6）[（－3mn 2·m 2）3] 2
积的乘方
一、基础训练
1．（ab ）2=______，（ab ）3=_______．
2．（a 2b ）3=_______，（2a 2b ）2=_______，（－3xy 2）2=_______．
3. 判断题 （错误的说明为什么）
（1）(3ab 2)2=3a 2b 4 （2）(-x 2yz )2=-x 4y 2z 2
（3）(232xy )2=4234y x （4）642324
1)21(c a c a =-
(5)(a 3+b 2)3=a 9+b 6 （6）(-2ab 2)3=-6a 3b 8
4．下列计算中，正确的是（ ） A ．（xy ）3=xy 3 B ．（2xy ）3=6x 3y 3 C ．（－3x 2）3=27x 5 D ．（a 2b ）n =a 2n b n
5．如果（a m b n ）3=a 9b 12
，那么m ，n 的值等于（ ）
A ．m=9，n=4
B ．m=3，n=4
C ．m=4，n=3
D ．m=9，n=6
6．a 6（a 2b ）3的结果是（ ）
A ．a 11b 3
B ．a 12b 3
C ．a 14b
D ．3a 12b
7．（－13
ab 2c ）2=______，42×8n =2( )×2( )=2( )． 二、能力提升 1．用简便方法计算：
（4）（－0.125）12×（－123）7×（－8）13×（－35）9
55201020112432513()...................(2)(0.125)(8)...............(3)()()()()35432n n n n ⨯--⨯-⋅⋅⋅（）
2．若x3=－8a6b9，求x的值。

3．已知x n=5，y n=3，求（xy）3n的值．
4. 同底数幂的除法
试一试
用你熟悉的方法计算：
（1）25÷２2＝；（2）107÷103＝；（3）a7÷a3＝（a≠0）．
概括
25÷２2＝＝；107÷103=＝；a7÷a3＝＝
一般地，设m、n为正整数，m＞n，a≠0，有a m÷a n＝a n m-．这就是说，同底数幂相除，．a m÷a n＝a n m-．
例4计算：
（1）a8÷a3；（2）（－a）10÷（－a）3；（3）（2a）7÷（2a）4．（2）你会计算（a＋b）4÷（a＋b）2吗?
练习
1. 填空：
（1）a5·（）＝a9；（2）（）·（－b）2＝（－b）7；
（3）x6÷（）＝x；（4）（）÷（－y）3＝（－y）7．
2. 计算：
（1）a10÷a2；（2）（－x）9÷（－x）3；（3）m8÷m2·m3；（4）（a3）2÷a6．3.计算：
（1）x12÷x4；（2）（－a）6÷（－a）4；
（3）（p3）2÷p5；（4）a10÷（－a2）3．
习题13.1
1. 计算（以幂的形式表示）：
（1）93×95；（2）a7·a8；（3）35×２7；（4）x2·x3·x4．
2. 计算（以幂的形式表示）：
（1）（103）3；（2）（a3）7；（3）（x2）4；（4）（a2）3·a5．
3. 判断下列等式是否正确，并说明理由．
（1）a2·a2＝（2a）2；（2）a2·b2＝（ab）4；
（3）a12＝（a2）6＝（a3）4＝（a5）7．
4. 计算（以幂的形式表示）：
（1）（3×１０5）2；（2）（2x）2；（3）（－2x）3；（4）a2·（ab）3；（5）（ab）3·（ac）4．
5. 计算：
（1）x12÷x4；（2）（－a）6÷（－a）4；（3）（p3）2÷p5；（4）a10÷（－a2）3．
6.计算：（1）（a3）3÷（a4）2；（2）（x2y）5÷（x2y）3；
（3）x2·（x2）3÷x5；（4）（y3）3÷y3÷（－y2）2．
§13.2 整式的乘法
1. 单项式与单项式相乘
计算：例2x3·5x2（1）3x2y·（－2xy3）；（2）（－5a2b3）·（－４b2c）．
概括单项式与单项式相乘，只要将它们的、分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则作为积的一个因式．例2卫星绕地球表面做圆周运动的速度（即第一宇宙速度）约为7.9×１０3米/秒，则卫星运行3×１０2秒所走的路程约是多少?
你能说出a·b,3a·2a,以及3a·5ab的几何意义吗?
练习
1. 计算：
（1）3a2·2a3；（2）（－9a2b3）·8ab2；（3）（－3a2）3·（－2a3）2；（4）－3xy2z·（x2y）2．
2. 光速约为３×１０8米/秒，太阳光射到地球上的时间约为５×１０2秒，则地球与太阳的距离约是多少米?
单项式与单项式相乘随堂练习题
一、选择题
1．式子x4m+1可以写成（）
A．（x m+1）4B．x·x4m C．（x3m+1）m D．x4m+x
2．下列计算的结果正确的是（）
A．（-x2）·（-x）2=x4 B．x2y3·x4y3z=x8y9z
C．（-4×103）·（8×105）=-3.2×109 D．（-a-b）4·（a+b）3=-（a+b）7
3．计算（-5ax）·（3x2y）2的结果是（）
A．-45a x5y2 B．-15a x5y2 C．-45x5y2 D．45a x5y2
二、填空题
4．计算：（2xy2）·（1
3
x2y）=_________；（-5a3bc）·（3ac2）=________．
5．已知a m=2，a n=3，则a3m+n=_________；a2m+3n=_________．
6．一种电子计算机每秒可以做6×108次运算，它工作8×102秒可做_______次运算．三、解答题
7．计算：
①（-5a b2x）·（-
3
10
a2bx3y）②（-3a3bc）3·（-2ab2）2
③（-1
3
x2）·（yz）3·（x3y2z2）+
4
3
x3y2·（xyz）2·（yz3）
④（-2×103）3×（-4×108）2 8．先化简，再求值：
-10（-a3b2c）2·1
5
a·（bc）3-（2abc）3·（-a2b2c）2，其中a=-5，b=0.2，c=2。

9．若单项式-3a2m-n b2与4a3m+n b5m+8n同类项，那么这两个单项式的积是多少？
四、探究题
10．若2a=3，2b=5，2c=30，试用含a、b的式子表示c．
2. 单项式与多项式相乘
试一试
计算：2a2·（3a2－5b）．（－2a2）·（３ab2－5ab3）．
概括单项式与多项式相乘，只要将，再．
练习
1. 计算：（1）3x3y·（2xy2－3xy）；（2）2x·（3x2－xy＋y2）．
2. 化简：x（x2－1）＋2x2（x＋1）－3x（2x－5）．
3、计算：
①（1
2
x2y-2xy+y2）·（-4xy）②-ab2·（3a2b-abc-1）
③（3a n+2b-2a n b n-1+3b n）·5a n b n+3（n为正整数，n>1）
④-4x2·（1
2
xy-y2）-3x·（xy2-2x2y）
单项式与多项式相乘随堂练习题
一、选择题
1．计算（-3x）·（2x2-5x-1）的结果是（）
A．-6x2-15x2-3x B．-6x3+15x2+3x
C．-6x3+15x2 D．-6x3+15x2-1
2．下列各题计算正确的是（）
A．（ab-1）（-4a b2）=-4a2b3-4a b2 B．（3x2+xy-y2）·3x2=9x4+3x3y-y2
C．（-3a）（a2-2a+1）=-3a3+6a2 D．（-2x）（3x2-4x-2）=-6x3+8x2+4x
3．如果一个三角形的底边长为2x2y+xy-y2，高为6xy，则这个三角形的面积是（）• A．6x3y2+3x2y2-3xy3 B．6x3y2+3xy-3x y3
C．6x3y2+3x2y2-y2 D．6x3y+3x2y2
4．计算x（y-z）-y（z-x）+z（x-y），结果正确的是（）
A．2xy-2yz B．-2yz C．xy-2yz D．2xy-xz
二、填空题
5．方程2x（x-1）=12+x（2x-5）的解是__________．
6．计算：-2ab·（a2b+3ab2-1）=_____________．
7．已知a+2b=0，则式子a3+2ab（a+b）+4b3的值是___________．
三、解答题
8．计算：
①（1
2
x2y-2xy+y2）·（-4xy）②-ab2·（3a2b-abc-1）
③（3a n+2b-2a n b n-1+3b n）·5a n b n+3（n为正整数，n>1）
④-4x2·（1
2
xy-y2）-3x·（xy2-2x2y）
9．化简求值：-ab·（a2b5-ab3-b），其中ab2=-2。

四、探究题
10．请先阅读下列解题过程，再仿做下面的题．
已知x2+x-1=0，求x3+2x2+3的值．
解：x3+2x2+3=x3+x2-x+x2+x+3
=x（x2+x-1）+x2+x-1+4
=0+0+4=4
如果1+x+x2+x3=0，求x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8的值．
3. 多项式与多项式相乘
回忆（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb
概括
这个等式实际上给出了多项式乘以多项式的法则：
多项式与多项式相乘，先用，再把．
例4计算：
（1）（x＋2）（x－3）（2）（3x－1）（2x＋1）．
例5计算：
（1）（x－3y）（x＋7y）；（2）（2x＋5y）（3x－2y）．
练习
1. 计算：（1）（x＋5）（x－7）；（2）（x＋5y）（x－7y）
（3）（2m＋3n）（2m－3n）；（4）（2a＋3b）（2a ＋3b）．
2. 小东找来一张挂历纸包数学课本．已知课本长a厘米，宽b厘米，厚c厘米，小东想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米．问小东应在挂历纸上裁下一块多大面积的长方形?
习题13.2
1. 计算：
（1）5x3·8x2；（2）11x12·（－12x11）；
（3）2x2·（－3x）4；（4）（－8xy2）·－(1/2x)3．
2. 世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达146.6米，底边长230.4米，用了约2.3×１０6块大石块，每块重约2.5×１０3千克．请问：胡夫金字塔总重约多少千克?
3. 计算：（1）－3x·（2x2－x＋4）；（2）5/2xy·(－x3y2＋4/5x2y3)．
4. 化简：
（1）x(1/2x＋1)－3x(3/2x－2)；（2）x2（x－1）＋2x（x2－2x＋3）．
5. 一块边长为xcm的正方形地砖，被裁掉一块2cm宽的长条．问剩下部分的面积是多少?
6. 计算：
（1）（x＋5）（x＋6）；（2）（3x＋4）（3x－4）；
（3）（2x＋1）（2x＋3）；（4）（9x＋4y）（9x－4y）．
13.5 因式分解（1）
一、基础训练
1．若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么其余的因式是（）
A．-1-3x+4y B．1+3x-4y C．-1-3x-4y D．1-3x-4y
2．多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（）
A．-6ab2c B．-ab2C．-6ab2D．-6a3b2c
3．下列用提公因式法分解因式正确的是（）
A．12abc-9a2b2=3abc（4-3ab）B．3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2y）
C．-a2+a b-ac=-a（a-b+c）D．x2y+5xy-y=y（x2+5x）
4．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）
A．-6a3b2=2a2b·（-3ab2）B．9a2-4b2=（3a+2b）（3a-2b）
C．ma-mb+c=m（a-b）+c D．（a+b）2=a2+2ab+b2
5．下列各式从左到右的变形错误的是（）
A．（y-x）2=（x-y）2B．-a-b=-（a+b）
C．（m-n）3=-（n-m）3D．-m+n=-（m+n）
6．若多项式x2-5x+m可分解为（x-3）（x-2），则m的值为（）
A．-14 B．-6 C．6 D．4
7．（1）分解因式：x3-4x=_______；（2）因式分解：ax2y+axy2=________．
8．因式分解：
（1）3x2-6xy+x；（2）-25x+x3；
（3）9x2（a-b）+4y2（b-a）；（4）（x-2）（x-4）+1．
二、能力训练
9．计算54×99+45×99+99=________．
10．若a与b都是有理数，且满足a2+b2+5=4a-2b，则（a+b）2006=_______．
11．若x 2-x+k 是一个多项式的平方，则k 的值为（ ）
A ．
14 B ．-14 C ．12 D ．-12
12．若m 2+2mn+2n 2-6n+9=0，求2m n 的值．
13．利用整式的乘法容易知道（m+n ）（a+b ）=ma+mb+na+nb ，现在的问题是：
如何将多项式ma+mb+na+nb 因式分解呢？用你发现的规律将m 3-m 2n+mn 2-n 3因式分解．
14．由一个边长为a 的小正方形和两个长为a ，宽为b 的小矩形拼成如图的矩形ABCD ，则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式．
15．说明817-299-913能被15整除．
参考答案
1．D 点拨：-6ab+18abx+24aby=-6ab （1-3x-4y ）．
2．C 点拨：公因式由三部分组成；系数找最大公约数，字母找相同的，•字母指数找最低的．
3．C 点拨：A 中c 不是公因式，B 中括号内应为x 2-x+2，D 中括号内少项．
4．B 点拨：分解的式子必须是多项式，而A 是单项式；•分解的结果是几个整式乘积的形式，C 、D 不满足．
5．D 点拨：-m+n=-（m-n ）．
6．C 点拨：因为（x-3）（x-2）=x 2-5x+6，所以m=6．
7．（1）x （x+2）（x-2）；（2）axy （x+y ）．
8．（1）3x 2-6xy+x=x （3x-6y+1）；
（2）-25x+x 3=x （x 2-25）=x （x+5）（x-5）；
（3）9x 2（a-b ）+4y 2（b-a ）=9x 2（a-b ）-4y 2（a-b ）
=（a-b ）（9x 2-4y 2）=（a-b ）（3x+2y ）（3x-2y ）；
（4）（x-2）（x-4）+1=x 2-6x+8+1=x 2-6x+9=（x-3）2．
9．9900 点拨：54×99+45×99+99=99（54+45+1）=99×100=9900．
10．1 点拨：∵a 2+b 2+5=4a-2b ，
∴a 2-4a+4+b 2+2b+1=0，即（a-2）2+（b+1）2=0，
所以a=•2，b=-1，（a+b ）2006=（2-1）2006=1．
11．A 点拨：因为x 2-x+14=（x -12）2，所以k=14
． 12．解：m 2+2mn+2n 2-6n+9=0，
（m 2+2mn+n 2）+（n 2-6n+9）=0，
（m+n ）2+（n-3）2=0，
m=-n ，n=3，
∴m=-3．
2m n =233 =-13
． 13．解：m 3-m 2n+mn 2-n 3=m 2（m-n ）+n 2（m-n ）=（m-n ）（m 2+n 2）．
14．a 2+2ab=a （a+2b ），a （a+b ）+ab=a （a+2b ），a （a+2b ）-a （a+b ）=ab ， a （a+2b ）-2ab=a 2，a （a+2b ）-a 2=2ab 等．
点拨：将某一个矩形面积用不同形式表示出来．
15．解：817-279-913=（34）7-（33）9-（32）13
=328-327-326=326（32-3-1）=326×5
=325×3×5=325×15，
故817-279-913能被15整除．
13.5 因式分解（2）
1．3a4b2与-12a3b5的公因式是_________．
2．把下列多项式进行因式分解
（1）9x2-6xy+3x；（2）-10x2y-5xy2+15xy；（3）a（m-n）-b（n-m）．3．因式分解：
（1）16-1
25
m2；（2）（a+b）2-1；（3）a2-6a+9；（4）
1
2
x2+2xy+2y2．
4．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（）
A．（x+2）（x-2）=x2-4 B．x2-2x+1=x（x-2）+1
C．a2-b2=（a+b）（a-b）D．ma+mb+na+nb=m（a+b）+n（a+b）5．因式分解：
（1）3mx2+6mxy+3my2；（2）x4-18x2y2+81y4；
（3）a4-16；（4）4m2-3n（4m-3n）．
6．因式分解：
（1）（x+y）2-14（x+y）+49；（2）x（x-y）-y（y-x）；（3）4m2-3n（4m-3n）．7．用另一种方法解案例1中第（2）题．
8．分解因式：
（1）4a2-b2+6a-3b；（2）x2-y2-z2-2yz．
9．已知：a-b=3，b+c=-5，求代数式a c-bc+a2-ab的值．
参考答案
1．3a3b2
2．（1）原式=3x（3x-2y+1）；
（2）原式=-（10x2y+5xy2-15xy）=-5xy（2x+y-3）；
（3）原式=a（m-n）+b（m-n）=（m-n）（a+b）．
点拨：（1）题公因式是3x，注意第3项提出3x后，不要丢掉此项，括号内的多项式中写1；（2）题公因式是-5xy，当多项式第一项是负数时，•一般提出“－”号使括号内的第一项为正数，在提出“－”号时，注意括号内的各项都变号．
3．（1）16-1
25
m2=42-（
1
5
m）2=（4+
1
5
m）（4-
1
5
m）；
（2）（a+b）2-1=[（a+b）+1][（a+b）-b]=（a+b+1）（a+b-1）；（3）a2-6a+9=a2-2·a·3+32=（a-3）2；
（4）1
2
x2+2xy+y2=
1
2
（x2+4xy+4y2）=
1
2
[x2+2·x·2y+（2y）2]=
1
2
（x+2y）2．
点拨：如果多项式完全符合公式形式则直接套用公式，若不是，•则要先化成符合公式的形式，再套用公式．（1）（2）符合平方差公式的形式，（3）（4）•符合完全平方公式的形式．
4．C 点拨：这是一道概念型试题，其思路是根据因式分解的定义来判断，分解因式的最后结果应是几个整式积的形式，只有C是，故选C．
5．（1）3mx2+6mxy+3my2=3m（x2+2xy+y2）=3m（x+y）2；
（2）x4-18x2y2+81y4=（x2）2-2·x2·9x2+（9y2）2
=（x2-9y2）2=[x2-（3y）2] 2
=[（x+3y）（x-3y）]
=（x+3y）2（x-3y）2；
（3）a416=（a2）2-42=（a2+4）（a2-4）=（a2+4）（a+2）（a-2）；
（4）4m2-3n（4m-3n）=4m2-12mn+9n2=（2m）2-2·2m·3n+（3n）2=（2m-3n）2．点拨：因式分解时，要进行到每一个多项式因式都不能分解为止．（1）先提公因式3m，然后用完全平方公式分解；（2）把x4作（x2）2，81y4作（9y2）2，然后运用完全平方公式．6．（1）（x+y）2-14（x+y）+49=（x+y）2-2·（x+y）·7+72=（x+y-7）2；
（2）x（x-y）-y（y-x）=x（x-y）+y（x-y）=（x-y）（x+y）；
（3）4m2-3n（4m-3n）=4m2-12mn+9n2=（2m）2-2·2m·3n+（3n）2
=（2m-3n）2．
7．x（x-y）+y（y-x）=x2-xy+y2-xy=x2-2xy+y2=（x-y）2．
8．解：（1）原式=（4a2-b2）+（6a-3b）=（2a+b）（2a-b）+3（2a-b）=（2a-b）（2a+b+3）；
（2）原式=x2-（y2+2yz+z2）=x2-（y+z）2=（x+y+z）（x-y-z）．
9．∵a-b=3，b+c=-5，
∴a+c=-2，∴ac-bc+a2-ab=c（a-b）+a（a-b）=（a-b）（c+a）=3×（-2）=-6．
因式分解方法研究系列
三、十字相乘法(关于()2
x p q x pq +++的形式的因式分解) 1、因式分解以下各式：
1、256x x ++；
2、265x x -+；
3、26x x --；
4、2215x x +-
2、因式分解以下各式：
1、()()23536x x ++++；
2、()()24645x x ---+；
3、()()2
23236a b a b +-+-； 4、42215x x +-
2、因式分解以下各式：
1、2310x x +-；
2、4256x x ++；
3、22412x xy y +-；
4、222x xy y --
3、挑战自我：
1、()()22242415x x
x x ----； 2、()()2
221424x x x x +-++
数学当堂练习(1) 姓名
计算 (1) (-2a)2 (3ab 2-5ab 3) (2)x(x 2-1)+2x 2(x+1)-3x(2x-5)
(3)3(m+n) (m+n) 4+3(-m-n) 3(m+n) 2
数学当堂练习(2) 姓名
计算 (1)(x-y) 3÷(y-x) 2=
(2) 3a 2·(2a 2-9a+3)-4a(2a-1) (3)5xy[4xy-6(21xy-3
1xy 2)]
(4)(2x-3)(x+4) (5)(3x+y)(x 一2y)
数学当堂练习(3) 姓名
计算(1) (3x-5)(2x+3) (2) 5x(x-2)-(x-2)(x+4)
解不等式1-(2y+1)(y-2)＞y 2-(3y-1)(y+3)-11
数学当堂练习(4) 姓名
计算 （1） （1-xy ）(-1-xy) (2)(a+2)(a-2)(a 2+4)
(3) (x+y)(x-y)-(x-2y)(x+2y) (4) 631×53
2
数学当堂练习(5) 姓名
计算(1) (2x-1) 2- (2x+1) 2 (2) (2x-1) 2(2x+1) 2
(3) (2x) 2- 3(2x+1) 2(4) ( 2x+ y – 3) 2
(5)(m – 2n + 3)(m+2n +3)
数学当堂练习(6) 姓名
计算(1) (1+x+y)(1- x –y) (2) (3x- 2y +1) 2
（3）已知(x+y) 2=6 (x- y) 2=8 求(1) ( x+y ) 2(2) xy 值
（4）（x- 2）(x 2+2x+4) (5) x(x- 1) 2- (x 2 –x +1)(x+1)
数学当堂练习(7) 姓名
计算 (1) (-2m- 1) 2 (2) (3x-2y+1) 2
(3) (3s-2t)(9s 2 +6st+4t 2) (4) -21a 2b 3c ÷7a 2b 2
(5) (28a 4b 2c-a 2b 3+14a 2b 2) ÷(-7a 2b) (6)(x 2y -2
1xy 2-2xy) ÷xy
数学当堂练习(8) 姓名
一． 计算 (1) (16x 3-8x 2 +4x) ÷(-2x) (2) (x 2x 3) 3÷(-2
1x 3) 4
二 。

因式分解 (1) 2x+4x
(2) 5(a-2) – x(2-x)
(3)
-12m 2n+3mn 2
18.1 勾股定理
1. 在△ABC 中，∠B=90°，∠A 、∠B 、∠C 对边分别为a 、b 、c ，则a 、b 、c 的关系是（ ） A ．c 2
=a 2
+b 2
B ．a 2
=（b+c ）（b-c
） C ．a 2
=c 2
-b 2
D ．b=a+c 知识点：勾股定理
知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，要正确的理解勾股定理的条件和结论，要明确斜边和直角边在定理中的区别。

答案：B
详细解答：在△ABC 中，∠B=90°，∠B 的对边b 是斜边，所以b 2
=a 2
+c 2。

a 2
=（b +c ）（b-c
）可变形为b 2
=a 2
+c 2
，所以选B 1. 下列说法正确的是（ ）
A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2
＋b 2
＝c 2
； B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边，则a 2
＋b 2
＝c 2
；
C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2
＋b 2
＝c 2
；
D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠C ，则c 2
-b 2
＝a 2。

答案：D
详细解答：A 是错的，缺少直角条件；
B 也是错的，不明确哪一边是斜边，无法判断哪两边的平方和等于哪一边的平方；
C 也是错的，既然 90=∠A ，那么a 边才是斜边，应该是a 2
＝c 2
＋b 2
D 才是正确的， 90=∠C ，那么c 2
＝a 2
+b 2
，即c 2
-b 2
＝a 2
.
2.小明量得家里新购置的彩电屏幕的长为58cm,宽为46cm,则这台电视机的尺寸（即电视机
屏幕的对角线长）是 ( )
A. 9英寸(23cm)
B. 21英寸(54cm)
C. 29英寸(74cm)
D.34英寸(87cm)
知识点：勾股定理的应用
知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

求某一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，作为三角形的边来求。

答案：C
详细解答：
如答图，四边形ABCD表示彩电屏幕，其长为58cm，即
BC=58cm；宽为46cm，即AB=46cm。

在直角三角形ABC中，BC=58cm,AB=46cm,那么AC2=BC2+AB2=572+462=5365，所以AC=74cm，选C。

2.两只小鼹鼠在地下挖洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距( )
A. 50cm
B. 80cm
C. 100cm
D. 140cm
答案：C
详细解答：
如答图，一只小鼹鼠从B挖到C，BC=8cm×10=80cm，
另一只小鼹鼠从B挖到A，BA=6cm×10=60cm，
由题意可知两个方向互相垂直，
所以AC2=AB2+BC2=602+802=10000，所以AC=100 cm
3.已知一个三角形三个内角的比是1:2:1,则它的三条边的比是( )
A.1:1:2
B.1:1:2
C.1:2:3
D.1:4:1
知识点：等腰直角三角形、含30°角的直角三角形
知识点的描述：要求知道等腰直角三角形、含30°角的直角三角形的三边的比的来历，最好能记住三边之比。

答案：A
详细解答：
三角形三个内角的比是1:2:1，可以知道三个角分别为45°、90°、 45°，如答图，假设AB=1，那么BC=1，AC2=AB2+BC2=1+1=2，所以AC=2，三条边的比是1:1:2。

3．已知△ABC中，∠A=1
2
∠C=
1
3
∠B，则它的三条边之比为（）．
A．1：1：2 B．1：3：2 C．1：2：3 D．1：4：1 答案：B
详细解答：△ABC中，∠A=1
2
∠C=
1
3
∠B，可求出∠A=30°，∠
C=60°，∠B=90°，画出答图。

假设BC=1，那么AC=2，根据勾股定理得AB2=AC2-BC2=4-1=3，所
以AB=3，因此三边的比为1：3：2。

4．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，这个三角形的最小锐角为（）（A）15°（B）30°（C）45°（D）不能确定
知识点：勾股定理在数学中的应用
知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

答案：C
详细解答：由勾股定理得AC2=BC2+AB2，又已知斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，即AC2=2AB ×BC，所以BC2+AB2=2AB×BC，得（BC-AB）2=0，所以BC=AB，所以三角形ABC是等腰直角三角形，最小锐角为45°。

A
B
C
4.如图所示,Rt △ABC 中,BC 是斜边,将△ABP 绕点A 逆时针旋转后,能与△ACP•′重合,如果AP=3,那么PP ′长为（ ）
（A ）4
（B ）5
（C ）6
（D ）18
答案：D
详细解答：由题意“将△ABP 绕点A 逆时针旋转后,能与△ACP•′重合”知，△ABP ≌△ACP•′， 所以∠CAP ′=∠BAP ，AP ′=AP ，又因为∠BAC=90°，所以∠PAP ′=90°，AP ′=AP=3， 在直角三角形APP ′中，PP ′2
= AP ′2
+AP 2
=32
+32
=18，所以PP ′=18
5．如图，数轴上的点A 所表示的数为x ，则x 的值为（ ）
A ．2
B ．-2
C ．2
D ．-2 知识点：认识长度为无理数的线段
知识点的描述：在直角三角形中利用勾股定理，可以作出长度为无理数的线段 答案：B
详细解答：在Rt △BCD 中，CB=BD=1，那么CD 2
=CB 2
+BD 2
=2，所以CD=2，CA=CD=2，因此
点A 所表示的数为-2
5. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
P '
P
C
B
A
答案：C
详细解答：在Rt△ABD中，AD=5，BD=1，那么AB2=AD2+BD2=26，AB=26
在Rt△BCE中，BE=3，CE=2，那么BC2=BE2+CE2=13，BC=13
在Rt△ACF中，AF=4，CF=3，那么AC2=AF2+CF2=25，AC=5
所以边长为无理数的边是：AB 和BC
6．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（）
A．5 B．25 C．7D．5或7
知识点：两解问题
知识点的描述：在直角三角形中应用勾股定理要注意哪一边是斜边。

答案：D
详细解答：如果两直角边长分别为3和4，那么第三边就是斜边，其长度为5；如果4是斜边，3是直角边，那么另一条直角边为7。

6.△ABC中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是( )
A.42
B.32
C.42或32
D.37或33
答案：C
详细解答：若高AD在△ABC内部，如图，
在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，那么BD2=AB2-AD2=81，BD=9
在Rt△ACD中，AC=13，AD=12，那么CD2=AC2-AD2=25，CD=5
所以BC=BD+CD=9+5=14，这时周长为15+13+14=42
若高AD在△ABC外部，如图，
在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，那么BD2=AB2-AD2=81，BD=9
在Rt△ACD中，AC=13，AD=12，那么CD2=AC2-AD2=25，CD=5
所以BC=BD-CD=9-5=4，这时周长为15+13+4=32
所以选C.
7．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2 m，两树相距8 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（）
（A）6 m （B）8 m （C）10 m （D）18 m
知识点：构建直角三角形、勾股定理、实际问题
知识点的描述：在解决实际问题时，常常要构建直角三角形，构成勾股定理的模型，应用勾股定理解决实际问题
答案：C
详细解答：把实际问题转化为数学问题，如图,AB表示高8m的树，CD表示高2 m的树，小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的最短路径为AD，过D点作AB的垂线，构成直角三角形AED。

在直角三角形AED中，DE=BC=8 m，AE=AB-EB=AB-CD=6m，从而AD2=AE2+DE2=62+82=100，所以AB=10 m。

7.一根高9米的旗杆在离地4米高处折断，折断处仍相连，此时在3.9米远处玩耍的身高为1米的小明是否有危险 ( )
A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断
答案：B
详细解答：把实际问题转化为数学问题，如答图，
AB 代表原旗杆的位置，AF 表示折段的旗杆，CD 表示小明，如果AD 小于等于AF ，就有危险，反之就没有危险。

过D 点作AB 的垂线，构成直角三角形AED 。

在直角三角形AED 中，DE=BC=3.9，AE=AB-EB=AB-CD=3，从而AD 2
=AE 2
+DE 2
=32
+3.92
=24.21。

由题意知AF=5，所以AF 2
=25，显然AD 小于AF ，有危险。

8．如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10m 的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的C 处有一筐水果，一只猴子从D 处上爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳AC ，滑到C 处，另一只猴子从D 处滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两猴子所经路程都是15m ，求树高AB （ ）.
A ．10 m
B ．11 m
C ．12 m
D ．15 m
知识点：方程的思想、勾股定理的实际应用问题
知识点的描述：在解决几何中的有关计算问题时，经常要用到代数中的方程，要形成用方程解决几何问题的思想意识。

答案：C
详细解答：设AD=x 米，则AB 为（10+x ）米，AC 为（15-x ）米，BC 为5米，
∴(x+10)2
+52
=(15-x)2
，解得x=2，∴10+x=12（米） 所以树高12 m 。

8.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m 远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,如果竿顶和岸边的水平面刚好相齐,那么河水的深度为( ). A. 2m B. 2.5m C. 2.25m D. 3m 答案：A
详细解答：画出如图所示的示意图，AB 是竖直的竹竿，CB 是拉向岸边的
B
A
C
D
.
竹竿，CD 是水面，
由题意知：CD=1.5 m ，AD=0.5 m,假设河水的深度BD 为x m ，那么竹竿的高就是（x+0.5）m ，所以CB=（x+0.5）m ，直角三角形BDC 中应用勾股定理得（x+0.5）2
=x 2
+1.52
，解得x=2，所以河水的深度为2m
9.已知：如图，△ABC 中，BC=4，∠A=45°，∠B=60°，那么AC=（ ）
（A ）24
（B ）4
（C ）6
（D ）12
知识点：转化的数学思想、勾股定理
知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。

答案：A （26也行）
分析：由于本题中的△ABC 不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°，添置AB 边上的高这条辅助线，就可以得到直角三角形，在直角三角形中就可以求得一些线段的长度
详细解答：作AB 边的高CD,如图，
在Rt △BDC 中，∠B=60°，那么∠BCD=90°-60°=30°，BC=4，
那么BD=2,利用勾股定理可求出CD=12；
在Rt △ADC 中，∠A=45°，那么∠ACD=90°-45°=45°，所以AD=CD=12， 那么利用勾股定理得AC 2
=AD 2
+CD 2
=24,所以AC=24；
小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。

请你思考本题还可以作其它辅助线吗？为什么？(注意利用特殊角)
9.已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

四边形ABCD 的面积为（ ）。

C
A
B
D
（A ）20 （B ）310
（C ）36
（D ）16
答案：C(目前初二的学生还没学到二次根式的化简，做到248-12就可以了) 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC ，或延长AB 、DC 交于F ，或延长AD 、BC 交于E ，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

不妨几种方法都尝试一下，你会有很多收获的。

详细解答：延长AD 、BC 交于E 。

∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。

∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
∴BE 2=AE 2-AB 2=82-42
=48，BE=48=34。

∵DE 2= CE 2-CD 2=42-22
=12，∴DE=12=32。

∴S 四边形ABCD =S △ABE -S △CDE =
21AB ·BE-21CD ·DE=21×4×48-2
1×2·12=248-12=36 小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。

另外作辅助线要充分考虑利用条件，一般情况下是不能把特殊角分割的。

10. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）
A. cm 2
B.cm 3
C.cm 4
D. cm 5
知识点：“折叠”问题、勾股定理的应用
知识点的描述：“折叠”问题是数学中常见问题之一．解决问题的关键就是一定要搞清是怎样折叠的，尤其是原来的线段和角折叠到哪去了，理清已知和未知，找到能联系二者的直角三角形，利用勾股定理问题就迎刃而解。

答案：B
详细解答：假设CD=xcm ，那么DE=CD=xcm ，BD=（8-x ）cm 。

因为直角三角形纸片的两直角边AC=6cm,BC=8cm,所以利用勾股定理可得斜边AB=10cm ，
A
B
E
D
C
A
B
C
D
E
又AE=AC=6cm,所以EB=AB-AE=4(cm),
在Rt△EBD中，EB=4cm，DE=xcm，BD=（8-x）cm ，那么（8-x）2=x2+42，
解得x=3
所以CD=cm
3
10.如下图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，AD＝10cm，求EC的长( )．
（A）3cm （B）4cm
（C）5cm （D）6cm
答案：A
详细解答：
由折叠的过程可知．△AFE≌△ADE、AD＝AF，DE＝EF，在Rt△ABF中，AB＝8cm，AF＝10cm，BF2＝AF2－AB2＝102－82＝62，BF＝6，FC＝BC－BF＝10－6＝4cm，如果设CE＝xcm，DE＝(8－x)cm，所以EF＝(8－x)cm．
在Rt△CEF中，EF2＝CF2＋CE2，用这个关系建立方程:(8－x)2＝42＋x2解得x＝3，即CE的长为3cm．
18.2 勾股定理的逆定理
1.如图所示,△ABC中,若∠A=75°,∠C=45°,AB=2,则AC的长等于( )
A.22
B.23
C. 6
D. 2
3
6
知识点：转化的数学思想、勾股定理
知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。

勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

答案：C
详细解答：作BC边上的高AD,
△ABC中,∠BAC=75°,∠C=45°，那么∠B=60°，从而∠BAD=30°
在Rt △ABD 中，∠BAD=30°，AB=2,所以BD=1，AD=3 在Rt △ACD 中，∠C=45°，AD=3,所以CD=AD=3， 利用勾股定理可得AC=6。

1．已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，∠A=60°，CD=3，线段AB 长为（ ）。

A.2
B.3
C.4
D.33 答案：C
分析：欲求AB ，可由AB=BD+AD ，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD 和AD 。

或欲求AB ，可由22BC AC AB +=，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，
求出AC 和BC 。

详细解答：在Rt △ACD 中，∠A=60°，那么∠ACD=30°，又已知CD=3,所以利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出AD=1。

在Rt △ACB 中，∠A=60°，那么∠B=30°。

在Rt △BCD 中，∠B=30°，又已知CD=3,所以BC=23，利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出BD=3。

因此AB=BD+CD=3+1=4，
小结：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。

目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC 2
-BD 2
=AC 2
-AD 2
，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。

2．已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足a 2c 2
－b 2c 2
=a 4
－b 4
，则它的形状为
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
知识点：综合代数变形和勾股定理的逆定理判断三角形的形状
知识点的描述：这类问题常常用到代数中的配方、因式分解，再结合几何中的有关定理不难
B A
C
D
作出判断。

答案：D
详细解答：∵ a 2c 2
－b 2c 2
=a 4
－b 4
，∴左右两边因式分解得))(()(2
222222b a b a b a c -+=-
∴0))((2
2222=---b a c b a ∴022=-b a 或02
22=--b a c ，
即b a =或2
22b a c +=，所以三角形的形状为等腰三角形或直角三角形。

2．若△ABC 的三边a ，b ，c 满足(c-b)2
+︱a 2
-b 2
-c 2
︱=0，则△ABC 是（ ） （A ）等腰三角形
（B ）直角三角形
（C ）等腰直角三角形 （D ）等腰三角形或直角三角形 答案：C
详细解答：∵(c-b)2
+︱a 2
-b 2
-c 2
︱=0，∴c-b =0且a 2
-b 2
-c 2
=0 即b c =且2
22b a c +=，
所以三角形的形状为等腰直角三角形。

3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
知识点：勾股定理的逆定理
知识点的描述：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，最大的边就是斜边。

满足a 2
+b 2
=c 2
的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．最好能记住常见的几组勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17等。

答案：C
详细解答：A 图和B 图中右边的三角形三边不存在某两边的平方和等于第三边的平方，不是直角三角形。

D 图中两个的三角形三边都不存在某两边的平方和等于第三边的平方，都不是直角三角形。

只有C 图中的两个三角形都是直角三角形。