2011年第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试题详解

2011年第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛
六年级 第2试
一、填空题（每小题5分，共60分）
1. 计算：11
41
54.0625.3-+。

= 。

解析：因为有循环小数，所以需要化成分数来计算。

3.625=3又8分之5
0.45,45循环，化成分数：99分之45，约分为11分之5 原式得：88
632
11
41
115853=-+
2.
对于任意两个数x 和y ，定义新运算 和⊗，规则如下： x y =
y
x y x 22++，x ⊗y =
3
÷+⨯y x y x
如：1 2=
542
21212=⨯++⨯，1⊗2=
5
115
63
212
1==
÷+⨯
由此计算，。

63.0。

)2
1
14(⊗= 。

解析：先计算小括号里的。

63
.0,3
4
3
2
11
42114)2
1
14( =÷+⨯=
⊗◆25173
42993634
9936
234=⨯++
⨯
=
3.
用4根火柴，在桌面上可以拼成一个正方形；用13根火柴，可以拼成四个正方形；…如图所示，拼成的图形中，若最下面一层有15个正方形，则需火柴 根。

26根火柴
13根火柴4根火
柴
解析：动手画一画找规律：
底层1个正方形4根，底层3个正方形正好是在原正方形的基础上加3*3=9根， 底层5个正方形是在3个正方形的基础上加了3个3根，2个2根。

底层7个正方形是在5个正方形的基础上加了3个3根，4个2根。

底层9个正方形是在7个正方形的基础上加了3个3根，6个2根。

规律已经找到了，底层每多加了2个，整个图形，就会加了3个3根，（n-3）个2根。

但是注意：从1个正方形到15个正方形，一共有8个图，7个间隔，所以要加7个3*3， 所以，底层15个正方形需要：
4+7*3*3+（2+4+6+8+10+12）*2=151根火柴 （注意：不一定对，再换上面的方法死算验证）
验证： 1个：4根
3个：4+3*3=13根 5个：13+3*3+2*2=26根 7个：26+3*3+4*2=43根 9个：43+3*3+6*2=64根 11个：64+3*3+8*2=89根 13个：89+3*3+10*2=118根 15个：118+3*3+12*2=151根
经验证正确。

4.
若自然数N 可以表示3个连续自然数的和，也可以表示成11个连续自然数的和，还可以表示成12个连续自然数的和，则N 的最小值是 。

（最小的自然数是0）
解析：11个连续自然数的和：从1加到11等于66，正好也是12个自然数：从0至11的和。

也是21、22、23这3个连续自然数的和。

所以N 的最小值为66. 5.
十进制计数法，是逢10进1，如：141022410⨯+⨯=）（，151061033652
10⨯+⨯+⨯=）（； 计算机使用的是二进制计数法，是逢2进1，如：
）（）（22
101111121217=⨯+⨯+⨯=，）（）（22
3
1011001020212112=⨯+⨯+⨯+⨯=；
如果一个自然数可以写成m 进制数)(45m ，也可以写成n 进制数)(54n ，那么最小的m = ，n = 。

（注：
a
n n
a a a a a 个⨯⨯⨯⨯=） 解析：我们假设是6进制，因为数字最大是5。

.
9,11,44549,4945,9,84,34539,3945,74,29534,3445,69445.5,4
5543947*5729
56*445,6)6(===-=+===-=+==-=+=++=+=+==+==n m n n n n n n n n n m n m n m 由此可知：
不行，整除。

若也不能被若整除。

不能被，若就是的个位不是
均大于那我们列个等式好了：
不相等。

，但是这样
6.
我国除了用公历纪年外，还采用干支纪年。

将天干的10个汉字与地支的12个汉字对应排列成如下两行：
甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸…… 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳…… 同一列上下对应的两个汉字就是一个干支年年号。

现在知道公历2011年是辛卯年，公历2010年是庚寅年，那么，公历1949年，按干支纪年法是 年。

解析：60年一个周期，2010-60=1950年，即1950年也是庚寅年，倒退一年就好，
即1949年为己丑年。

7.
盒子中装有很多相同的，但分红、黄、蓝三种颜色的玻璃球，每次摸出两个球。

为了保证有5次摸出的结果相同，则至少需要摸球 次。

解析：摸出的2个球情况有：2红、2黄、2蓝、1红1黄、1红1蓝、1黄1蓝。

共6种情况。

按最不利原则，每次摸出的都不一样，要想摸出5次相同结果的，则需要摸： 4*6+1=25次。

先每种摸4次，再摸一次不管是哪种情况都会出现5次相同的。

8.
小狗和小猪用同样的速度，同时开始读数。

小狗：“1、3、5、7、9、……”小猪：“1002、997、992、987、982、……”小狗和小猪同时读出的数是 。

解析：小狗其实就是从1开始，2个2个地读，而小猪就是从1002开始，5个5个地读。

这是一道相遇问题，首先1002和1之间1001个间隔。

小狗2格2格地跳，速度为1次2格，小猪5格5格地跳，速度为1次5格。

速度和为：2+5=7,则小狗和小猪要1001÷7=143次相遇， 即：1+143*2=287，或1002-143*5=287，同时读出的数是287.
9.
图中阴影部分的面积是 平方厘米。

（π取3）
（单位：厘米
）
解析：连接小正方形和大正方形的对角线，如下图：
E
D
C
连接AC 与FD ，AC 与FC 平行，所以三角形FAD 与三角形FCD 面积相等。

原阴影部分面积就等于 半径15、圆心角为90°的扇形面积：1/4·3·152
=168.75平方厘米
10. 甲、乙两人合买了n 个篮球，每个篮球n 元。

付钱时，甲先乙后，10元，10元地轮流付钱，当最后
要付的钱不足10元时，轮到乙付。

付完全款后，为了使两人所付的钱数同样多，则乙应给甲 元。

解析：当最后钱不够10元，需要乙付时，说明甲乙共付了了奇数个10元。

也就是说总价钱这个完全平方数的十位数字为奇数，而完全平方数只有个位为6的十位数字为奇数。

因此那不足的10元，说明有6元钱。

也就是n*n 的个位数字是6。

为了使两人付的钱同样多，前面甲和乙都付出了相同的10元次数，而甲多付了10元，乙再付6元。

平均分16元，也就是甲多付了2元，乙要给甲2元。

11. 某代表队共有23人参加第16届广州亚运会，他们按身高从高到低排列，前5位队员的平均身高比前
8位队员的平均身高多3厘米；后15位队员的平均身高比后18位队员的平均身高少0.5厘米。

那么，
前8位队员的平均身高比后15位队员的平均身高多 厘米。

解析：前5比前8平均身高多3厘米，即前8位中后三位让前5位补了5个3. 后15比后18少0.5，说明后15没有后18那前三位的18个0.5. 前8和后15平均身高差在中间的那3人上。

（5*3+18*0.5）/3=8厘米
12. 甲、乙、丙三人同时从A 地出发到B 地，他们速度的比是4:5:12，其中甲、乙两人步行，丙骑自行
车，丙可以带一人同行（速度保持不变）。

为了使三人在最短的时间内同时到达B 地，则甲、乙两人
步行的路程之比是
解析：甲乙就靠丙接了。

丙先带甲走，设骑车行了12a,把甲放下，同时乙行了5a ，然后回头行了12b 去接乙，同时乙又行了5b,然后碰到接他的丙，同时甲行了4b,然后丙带着乙行了12c,甲同时行了4c 到达。

画图如下：
12c
乙
放下甲）
由图可知：12a=5a+5b+12b,整理得：7a=17b 12b+4b+4c=12c,整理得：2b=c 甲步行：4（b+c ）,乙步行：5（a+b ），
甲乙步行路程比为：4（b+c ）:5(a+b)=4(b+2b):5(17b/7 +b)=12b:120b/7=7:10
二、解答题（每小题15分，共60分）
每题都要写出推算过程。

13. 一辆汽车从甲地开往乙地，若车速提高20%，可提前25分钟到达；若以原速行驶100千米，再将车
速提高25%，可提前10分钟到达。

求甲乙两地的距离。

解析：原车速为1，若提速20%，则提前25分钟，在相同的时间下，提速后比原速多行了25*1 提速后行完全程所用时间为：25*1/20%=125分钟，原速所用时间为125+25分=150分钟
若以原速行驶100千米后，再提速25%，提前10分钟，全程用时140分钟。

则100千米后的路程所用时间为：10*1/25%=40分，说明100千米用时100分钟，原速度为1千米/分钟， 所以甲乙两地之间距离为150千米。

(注意：我又列方程验证了，虽然很麻烦，但是我也希望你能用不同的方法来验证)
14. 如图，在一个棱长为20厘米的正方体密闭容器的下底固定一个实心圆柱体，容器内盛有m 升水时，
水面恰好经过圆柱体的上底面。

如果将容器倒置，圆柱体有8厘米露出水面。

已知圆柱体的底面积是
正方体底面积的
8
1，求实心圆柱体的体积。

（单位：厘米）
解析：水的体积没有变。

设圆柱体的高度为x 厘米。

水的体积做等量关系。

650
13*8
1*
20*2013
)
8(8
1*
20*20)820(*20*20)8
11(2020==---=-
⋅⋅x x x
15. 有8个足球队进行循环赛，胜队得1分，负队得0分，平局的两队各得0.5分。

比赛结束后，将各队
得分按从高到低排名后发现：各队得分互不相同，且第二名的得分与最后四名所得总分一样多。

求这次比赛中，第二名的队的得分。

解析：这道题是一道逻辑推理题：
刚开始的思路是：最后一名得0分，依次为0、0.5、1、1.5
则第二名得3分。

8个足球队进行循环赛，要踢8*7/2=28场比赛。

也就是说，8个队的得分总和应为28分。

若第二名得3分，则第一名得分大于8分。

此思路不行。

再思考：刚才绕远了。

设若第一支足球队赢了其他7个队，得最高分7分，其它队依次为：6、5、4、3、2、1、0.这样第二名6分，正好等于最后四名的总分6.因此第二名得分为6分，正好。

16. 将两个不同的自然数中较大的数换成它们的差，称为一次操作，如此继续下去，直到这两个数相同为
止。

如对20和26进行这样的操作，过程如下：
（20、26）→（20、6）→（14、6）→（8、6）→（2、6）→（2、4）→（2、2） （1）对45和80进行上述操作。

操作：（45,80）---（45,35）---（10,35）---（10,25）---（10,15）---（10,5）---（5,5）
（2）若对两个四位数进行上述操作，最后得到的相同数是17，求这两个四位数的和的最大值。

操作：逆推和最大：（17,17）---（17,34）---（51,34）
因为要求和的最大值，可发现和的规律：
17*2---17*3---17*5---17*8---17*13---17*21---17*34---17*55---17*89---17*144---17*233
17要乘以斐波那契数列，两个四位数的和不会超过20000，即最大是17*1176.但是1176是不是斐波那契数列的最后一环还要试下去：17*377---17*610---17*987---17*1597,1597大于1176，因此和最大是：17*987=16779
总结：做题要判断这道题可能是什么类型，然后去按想到的思路走一走。

尝试的过程不怕麻烦，不怕做不出来。

若思路不对，再换思路。

所考的知识点要注意总结： （1） 循环小数和分数的互化
（2） 找规律
（3） 连续自然数的和（1+2+3+……+10=55等） （4） 进位制 （5） 不定方程 （6） 排列 （7） 抽屉原理 （8） 相遇问题
（9） 等差数列
（10） 等积变形：同底顶点在平行线上的两个三角形面积相等，等底顶点在一起的两个三角形面积相等。

（11） 扇形面积（尤其熟求叶片形、边角料形的面积）
（12） 完全平方数个位为6的十位数字为奇数，证明如下：
设任意自然数,20100)10(,10222b ab a b a b a ab ++=++=此式可知：十位数字的奇偶性是由
2
b 来决定的，因为：
十位数字为奇数。

以，这个完全平方数的
十位数字都是奇数，所或的话，
字为。

而完全平方数个位数
奇数，十位数字为奇数奇数偶数的十位数字为奇数，
，个完全平方数就为偶数
的十位数字为偶数，整为偶数，再加上
的乘积，所以十位数字
和因为十位数字为
数字为偶数，
这是一个整十数，十位这是一个整百数，.366
,164
,646,
2201002
2
2
2
2
2
====+b b b b ab ab a
（13） 平均数问题：最难的就是这个类型的，《华罗庚金杯》奥数五年级，这本书上有一道和它类似，有
兴趣可以找下。

这个类型的平均数问题，画长方形图来解决。

（14） 行程问题一个类型：采用步行和乘车相结合，同时到达。

这类题型关键是画图。

中环杯今年有相
似题型。

我也放两道给你，你做做看：
某校有200名学生要到离校300千米的工厂参观,只有一辆能载50人的汽车,已知他们步行速度为每小时5千米,汽车速度为每小时45千米,为使全体学生尽快到达工厂,他们采用步行与乘车相结合的办法前往,那么到达工厂的所用的时间最短是多少?(上下车时间不计)
有两个班的学生到少年宫参加活动,但只有一辆汽车接送,一车只能装一个班.为了尽快到达少年宫,采用乘车与步行相结合的方法.学生步行速度为每小时4千米,载学生时车速为每小时40千米,空车速度为每小时50千米,当两班学生同时到达少年宫时,第一班学生应步行全程的几分之几?
（15） 行程问题之路程差：路程差除以速度差=共时 （16） 分率的计算：单位“1”统一
（17） 上下匀称的立体图形：体积=底面积*高
（18） 圆柱体积的复习
（19） 理解循环赛，不注明就是单循环赛，就是每一个队都要和其他队赛一场，跟数线段似的。

（20） 逻辑推理要找突破口
（21） 操作题要善于发现规律，并耐心地按规律去计算。