圆的一般方程 高二数学 (人教A版2019选择性 必修第一册

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
10 + 3 − + = 0
= 12
∴△ABC外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.
本例也可以设成圆的
标准方程,请同学们
自己完成。
(三)典型例题
【变式探究】
若本例改为:已知圆过A(2,2),C(3,-1),
且圆关于直线y=x对称,求圆的一般方程.
【类题通法】用待定系数法求圆的方

,∴圆的半径r的取值范围为0<r≤
.
7
7
7
(三)典型例题
2.圆的方程的求法
例2.已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求△ABC外接圆的方程.
【解析】设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
8 + 2 + 2 + = 0
= −8
由题意得 34 + 5 + 3 + = 0 ,得 = −2
=
= −12
∴所求的圆的方程为x2+y2+x+y-12=0.
(2)如果已知条件和圆心或半径都无直
接关系,一般采用圆的一般方程,再
用待定系数法求出参数D,E,F.
(三)典型例题
【巩固练习2】已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径
为 2,求圆的一般方程.
【解析】(1)设动点M的坐标为(x,y),
1
∵A(2,0),B(8,0),|MA|=2|MB|,
1
4
(2)设点N的坐标为(x,y),
∵A(2,0),N为线段AM的中点,
∴点M的坐标为(2x-2,2y).
又点M在圆x2+y2=16上,
∴(x-2)2+y2= [(x-8)2+y2].化简得x2+y2=16,
∴(2x-2)2+4y2=16,即(x-1)2+y2=4.
即动点M的轨迹方程为x2+y2=16.
∴点N的轨迹是以(1,0)为圆心,2为半径的圆.
(四)操作演练 素养提升
1.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是(
1
A.m< 2
B.m<0
C.m>
1
2
)
1
D.m≤ 2
2.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为(


2 + 2 −4
为 − , − ,半径为
.
2
2
2
【做一做1】 (教材P88练习2改编)若方程x2+y2-4x
+2y+5k=0表示圆,则k的取值范围是( B )
A.k>1
B.k<1
C.k≥1
D.k≤1
圆的标准方程与一般方程的转化关系:
【做一做2】 (教材P88练习1改编)已知圆x2+
y2-4x+2y-4=0,则圆心坐标、半径的长分
3+0
0
(x≠3且x≠-1),y=
,于是有x0=2x-3,y0=2y.
2
2
由中点坐标公式得x=
由(1)知,点C在圆(x-1)2+y2=4(x≠3且x≠-1)上运动,
将x0,y0代入该方程得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1.
因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(x≠3且x≠1).


【解析】圆心C − 2 , − 2 ,因为圆心在直线x+y-1=0上,


所以− 2 + (− 2 )-1=0,即D+E=-2,①
又r= 2 + 2 − 4= 2,所以D2+E2=20,②
由①②可得
= −4
=2

=2
= −4

又圆心在第二象限,所以 − 2 <0,即D>0,所以圆心 −1,2
教学主线
圆的方程的应用
运用直线和圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位
置关系,并解决简单的问题,在教学过程中,应
引导学生根据初中学习图形与几何的经验,类比
用哪个直线的方程研究两条直线的位置关系,研
究运用直线和圆的方程判断直线与圆、圆与圆的
位置关系。
通过直线与圆、圆与圆的位置关系的判断,培养
逻辑推理的核心素养;通过直线与圆的综合问题
圆心和半径.
1
1
又x2+y2+x+2y+1= + 2 2+(y+1)2=4,
1
1
(1)3x2+y2+2x+1=0;
∴它表示以 − 2 , −1 为圆心,以 2 为半径的圆.
(2)x2+y2+xy+1=0;
(4)法一:∵D=-4m,E=2m,F=20m-20,D2
(3)x2+y2+x+2y+1=0;
(一)新知导入
《古朗月行》
唐 · 李白
小时不识月,呼作白玉盘。
又疑瑶台镜,飞在青云端。
月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,
古代人们在生活中崇拜、敬畏月
亮,在文学作品中也大量描写、如
果把天空看作一个平面,月亮当做
一个圆,建立一个平面直角坐标
系,那么圆的坐标方程如何表示?
(二)圆的一般方程
【思考1】 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)展开可得到一个什么式子?
这种方法叫代入法。
(三)典型例题
【类题通法】求动点的轨迹方程的常用方法
1.直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程;
2.代入法:找到所求动点与已知动点的关系,代入已知动点所在的方程.
【巩固练习3】已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半.
(1)求动点M的轨迹方程;
(2)若N为线段AM的中点,求点N的轨迹.
定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法:
(1)计算D2+E2-4F,若其值为正,则表示圆;若其值为0,则表示一个点;若其值为负,则不表示任何图形.

2

2
1
2
(2)将该方程配方为(x+ )2+(y+ )2=
D2 + E2 − 4F,根据圆的标准方程来判断.
【巩固练习1】已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆.
2 +2 −4
为半径的圆;
2



当D2+E2-4F=0时,方程只有实数解 = − 2 , = − 2 ,它表示一个点 − 2 , − 2 ;
当D2+E2-4F<0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.
(二)圆的一般方程
◆圆的一般方程: 当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,其中圆心
所以圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.
(三)典型例题
3.求轨迹方程
法二:同法一得x≠3且x≠-1.
例3.已知直角△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),
求:(1)直角顶点C的轨迹方程;
即(x+1)2+y2+(x-3)2+y2=16,
化简得x2+y2-2x-3=0.
(2)直角边BC中点M的轨迹方程.
直接法!
D(1,0),由直角三角形的性质知,|CD|=|AB|
=2,由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)
所以+1 ·−3=-1,化简得x2+y2-2x-3=0.
为圆心,以2为半径长的圆(由于A,B,C三点
因此,直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(x≠3且
所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=
别是( A )
A.(2,-1),3
B.(-2,1),3
C.(-2,-1),3
D.(2,-1),9
将圆的标准方程展开,得到圆的一般方程;
将圆的一般方程配方,得到圆的标准方程。
(三)典型例题
1.圆的一般方程的识别
(3)由于D2+E2-4F=1+4-4>0,
∴该二元二次方程表示的是圆.
例1.判断下列方程是否表示圆,若是,写出
【提示】x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.
【思考2】把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后,将得到怎样的方程?这个方程是不是就一定表示圆?
【提示】得到的方程为 +
2
2
+
当D2+E2-4F>0时,方程表示以为
2 2 + 2 −4
+2 =
.
4

−2

,− 2

圆心,以
圆,此时圆心为(2m,-m),半径为r= 5|m-2|.
法二:原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,
当m=2时,它表示一个点;
当m≠2时,原方程表示一个圆,其圆心为(2m,
−m),半径为r= 5|m-2|.
(三)典型例题
【类题通法】 二元二次方程表示圆的判断方法
任何一个圆的方程都可化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一
,提升数学运算的核心素养。
学习目标
1.理解圆的一般方程及其特点,培养数学抽象的核心素养.
2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化,培养数学运算的核心素养.
3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题,提升逻辑推理的核心素养.
重点、难点
重点: 掌握圆的一般方程并会求圆的一般方程
难点:与圆有关的简单的轨迹方程问题
因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=
【解析】(1)法一:设顶点C(x,y),因为AC⊥BC,且A,
B,C三点不共线,所以x≠3且x≠-1.


又kAC=+1 .kBC=−3,且kAC·kBC=-1,
由勾股定理得|AC|2+|BC|2=|AB|2,
0(x≠3且x≠-1).
法三:设AB中点为D,由中点坐标公式得
第二章
2.4.2
直线和圆的方程
圆的一般方程
教材分析
本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版(2019)第二章《直线和圆的方程》的第四
节《圆的方程》。以下是本单元的课时安排:
课时内容
所在位置
2.4圆的方程
教材第82页
第二章 直线和圆的方程
2.5直线与圆、圆与圆的位置关系
教材第91页
新教材内容 圆是学生熟悉的基本平面图形,在初中阶
A.π
B.4π
C.8π
D.9π
答案:1.A
2.B 3.C
4.B
)
(五)课堂小结
知识总结
(1)通过这节课,你学到了什么知识?
学生反思
(2)在解决问题时,用到了哪些数学思想?
作业布置
完成教材—— 第88页 练习
第1,2,3题
第88页 习题2.4 第1,2,3,4,6,7,8,9题
(1)求实数m的取值范围;(2)求该圆半径的取值范围.
【解析】(1)方程化为[x-(m+3)]2+[y+(1-4m2)]2=-7m2+6m+1,
1
1
∴-7m2+6m+1>0,− 7<m<1,∴方程表示圆时m的取值范围为− 7<m<1.
(2)r=
-7m2+6m+1

−7 −
3 2
7
+
16 4 7
4 7
x≠-1).
4(x≠3且x≠-1).


不共线,所以知直角△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求:
(1)直角顶点C的轨迹方程;
(2)直角边BC中点M的轨迹方程.
【解析】(2)设点M(x,y),点C(x0,y0) ,因为B(3,0),M是线段BC的中点,
A.-1
B.1
C.3
)
D.-3
3.当点P在圆x2+y2=1上移动时,它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是(
A.(x+3)2+y2=4
B.(x-3)2+y2=1
C.(2x-3)2+4y2=1
D.(2x+3)2+4y2=1
)
4.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(
+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2,
(4)x2+y2-4mx+2my+20m-20=0.
当m=2时,它表示一个点;当m≠2时,原方程表示
【解析】(1)由于x2,y2的系数不相等,
∴该二元二次方程表示的不是圆.
(2)由于该二次方程中含有xy项,
∴该二元二次方程表示的不是圆.
程时一般方程和标准方程的选择
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、
半径或需利用圆心的坐标或半径列方
【解析】设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=
程的问题,一般采用圆的标准方程,
0,
再用待定系数法求出a,b,r.
8 + 2 + 2 + = 0
=1
由题意得 10 + 3 − + = 0 得 = 1
分析
段学习过圆的一些性质,现在在平面直角
坐标系中研究院,根据确立圆的几何要素
建立圆的方程,通过圆的方程,运用坐标
法解决一些与圆有关的简单问题。圆的方
程的知识是平面解析几何的基础知识,圆
的方程具有广泛的应用。
核心素养培 通过圆的标准方程、一般方程的求解,培

养数学运算的核心素养;通过圆的一般方
程的理解,培养数学抽象的核心素养。
相关文档
最新文档