高考数学复习历年压轴题归类专题讲解： 不等式(解析版)
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高考数学复习历年压轴题归类专题讲解
不等式（解析版）
1．【2020年浙江卷09】已知a，b∈R且ab≠0，若(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0在x≥0上恒成立，则（）
A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0
【答案】C
【解析】
因为ab≠0，所以a≠0且b≠0，设f(x)=(x−a)(x−b)(x−2a−b)，则f(x)的零点
为x1=a,x2=b,x3=2a+b
当a>0时，则x2<x3，x1>0，要使f(x)≥0，必有2a+b=a，且b<0，
即b=−a，且b<0，所以b<0；
当a<0时，则x2>x3，x1<0，要使f(x)≥0，必有b<0.
综上一定有b<0.
故选：C
表示的平面区域为D．命题p：2．【2019年新课标3文科11】记不等式组{x+y≥6，
2x−y≥0
∃（x，y）∈D，2x+y≥9；命题q：∀（x，y）∈D，2x+y≤12．下面给出了四个命题
①p∨q
②￢p∨q
③p∧￢q
④￢p∧￢q
这四个命题中，所有真命题的编号是（）
A．①③B．①②C．②③D．③④
【答案】解：作出等式组{x+y≥6，
的平面区域为D．在图形可行域范围内可知：
2x−y≥0
命题p：∃（x，y）∈D，2x+y≥9；是真命题，则￢p假命题；
命题q：∀（x，y）∈D，2x+y≤12．是假命题，则￢q真命题；
所以：由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有：
①p∨q真；②￢p∨q假；③p∧￢q真；④￢p∧￢q假；
故答案①③真，正确．
故选：A．
3．【2019年北京理科08】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|x|y就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．
其中，所有正确结论的序号是（）
A ．①
B ．②
C ．①②
D ．①②③
【答案】解：将x 换成﹣x 方程不变，所以图形关于y 轴对称，
当x ＝0时，代入得y 2＝1，∴y ＝±1，即曲线经过（0，1），（0，﹣1）；
当x ＞0时，方程变为y 2﹣xy +x 2﹣1＝0，所以△＝x 2﹣4（x 2﹣1）≥0，解得x ∈（0，
2√3
3
]， 所以x 只能取整数1，当x ＝1时，y 2﹣y ＝0，解得y ＝0或y ＝1，即曲线经过（1，0），（1，1），
根据对称性可得曲线还经过（﹣1，0），（﹣1，1）， 故曲线一共经过6个整点，故①正确． 当x ＞0时，由x 2
+y 2
＝1+xy 得x 2
+y
2
﹣1＝xy ≤x 2+y 2
2，（当
x ＝y 时取等），
∴x 2+y 2≤2，∴√x 2+y 2≤√2，即曲线C 上y 轴右边的点到原点的距离不超过√2，根据对称性可得：曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过√2；故②正确．
在x 轴上图形面积大于矩形面积＝1×2＝2，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积=1
2×2×1=1，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于2+1＝3，故③错误．
故选：C ．
4．【2016年浙江理科08】已知实数a，b，c．（）
A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100
B．若|a2+b+c|+|a2+b﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100
C．若|a+b+c2|+|a+b﹣c2|≤1，则a2+b2+c2＜100
D．若|a2+b+c|+|a+b2﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100
【答案】解：A．设a＝b＝10，c＝﹣110，则|a2+b+c|+|a+b2+c|＝0≤1，a2+b2+c2＞100；
B．设a＝10，b＝﹣100，c＝0，则|a2+b+c|+|a2+b﹣c|＝0≤1，a2+b2+c2＞100；
C．设a＝100，b＝﹣100，c＝0，则|a+b+c2|+|a+b﹣c2|＝0≤1，a2+b2+c2＞100；
故选：D．
5．【2016年北京文科07】已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y的最大值为（）
A．﹣1 B．3 C．7 D．8
【答案】解：如图A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，
令z＝2x﹣y，则平行y＝2x﹣z当直线经过B时截距最小，Z取得最大值，
可得2x﹣y的最大值为：2×4﹣1＝7．
故选：C．
6．【2014年浙江理科10】设函数f1（x）＝x2，f2（x）＝2（x﹣x2），f3(x)=13|sin2πx|，a i=i99，i＝0，1，2，…，99．记I k＝|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k （a99）﹣f k（a98）|，k＝1，2，3，则（）
A．I1＜I2＜I3B．I2＜I1＜I3C．I1＜I3＜I2D．I3＜I2＜I1
【答案】解：由|(i
99)2−(i−1
99
)2|=199×2i−1
99
，故I1=199(199+399+599+⋯+2×99−1
99
)=
1 99×99
2
99
=1，
由2|i
99
−i−1
99
−(i99)2+(i−1
99
)2|=2×199|99−(2i−1)
99
|，故I2=2×199×58(98+0)
2×99
=9899×100
99
＜1，
I3=13[||sin2π⋅199|−|sin2π⋅099||+||sin2π⋅299|−|sin2π⋅199||+⋯+||sin2π⋅9999|−|sin2π⋅98
99
||]
=13(2sin2π⋅2599−2sin2π⋅7499)＞1，
故I2＜I1＜I3，