高中数学 2.2椭圆定义标准方程及简单的几何性质导学案 新人教A版选修2-1

2.2椭圆定义、标准方程及简单的几何性质
1.掌握常见的距离： （1）焦点到相应顶点的距离
c a F A A F -==2211；c a F A A F +==2121.
（2）焦准距：焦点到相应准线的距离，用P 表示，则.2
2c
b c c a P =-= （3）通径：过焦点且垂直长轴的弦称为椭圆的通径，通径长为
.
2221a b H H =
2.注意两个特殊三角形
（1）焦点三角形：椭圆上一点
)
,(y x P 与两焦点
21,F F 构成的三角形12
PF F △的面积：
122tan
2
PF F S b θ
=△（12
F PF θ∠=，b 为短半轴长）,周长为)(2c a +.
(2)特征三角形：椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成的直角三角形的边长满足
.222c b a +=
3．参数方程cos sin x a y b θ
θ=⎧⎨
=⎩
应用：求最值.
椭圆有“四线”（两条对称轴、两条准线），“六点”（两个焦点，四个顶点），“两形”（中心，焦点以及短轴端点构成的三角形、椭圆上一点和两焦点构成的三角形）.要注意它们之间的位置关系（如准线垂直于长轴所在的直线、焦点在长轴上等）及相互间的距离.
一、 椭圆及其标准方程
例1、(1)椭圆14
22
=+y x 的两个焦点为F 1
、F 2
，过F 1
作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||
2PF =( )A.
2
3 B.
3
C.
2
7 D.4
(2) 椭圆
19
252
2=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则=ON ( ) A.2 B.4 C.6 D.2
3
（巩固练习）设椭圆
14
92
2=+y
x 的两焦点12F F ，，P 为椭圆上一点，则21PF PF ⋅的最大值是 ．
例2、若方程
22123x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，k 的取值范围是 变式：（1）若方程
22
123x y k k +=--表示椭圆，k 的取值范围是 （2）若方程
22
123x y k k
+=---表示焦点在y 轴上的椭圆，k 的取值范围是 例3、根据下列条件求椭圆的标准方程： (1)已知
ABC ∆三边CA AB 、、B C 的长成等差数列，且CA
AB >，点
C 、B 的坐标
)0,1(),0,1(-，求点A 的轨迹方程;
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1（6，1）、P 2（-3，-2），求椭圆的方程； （3）经过点)6,2(M ，且与椭圆455922=+y x 具有共同的焦点.
（巩固练习）过点)2,3(-，且与椭圆369422
=+y x
有相同的焦点的椭圆方程是( )
A.
1101522=+y x B. 110022522=+y x C.1151022=+y x D.
12251002
2=+y x 【规律方法总结】1.运用椭圆定义解题：“回到定义中去”是一个很重要的思想方法； 2.求椭圆方程的方法：定义法、待定系数法、代入法（相关点法）等. 三、课时作业
1.动点M 到1F (0,－2), 2F (0,2)是距离的和为4的两定点，则M 点的轨迹是( )
A.椭圆
B.直线
C.线段
D.圆
（变式）设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P (x ，y )满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a (a ＞0)，则动点P 的轨迹是( )
A.椭圆
B.线段
C.椭圆或线段或不存在
D.不存在 2.方程
2
222)2()2(y x y x ++++-=10,化简的结果是( )
A.
1162522=+y x B. 121252
2=+y x C.
14252
2=+y x D.
121
252
2=+x y 3.已知方程
1232
2=-++k
y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为( ) A. 3->k
且21-≠k B. 23<<-k 且2
1
-≠k C. 2>k D. 3-<k
4.椭圆
22
14
x y m +=的焦距为2，则m 的值等于( ) A.5或3 B.5 C.8 D.16
5. 椭圆5x 2
＋ky 2
＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于( ) A.－1 B.1 C.5
D. －
5
6.如果方程2ky x
22
=+表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )
A. （0，+∞）
B. （0，2）
C. （1，+∞）
D. （0，1）
7.设M (－5,0)，N (5,0)，△MNP 的周长为36，则△MNP 的顶点P 的轨迹方程( )
A.
)0(11692522≠=+x y x B. )0(11691442
2≠=+x y x C.)0(12516922≠=+y y x D.
)0(11441692
2≠=+y y x 8.已知椭圆)0(1x 22
22>>=+b a b
y a ，F 1
、F 2
是它的焦点，AB 是过F 1
的直线与椭圆交于A 、B 两点，
则△ABF 2的周长为 ． （巩固练习）已知12F F ，为椭圆
22
1259
x y
+=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，两点，若2212F A F B +=，则AB = ．
9.已知椭圆的焦距是2，且焦距是椭圆上一点到两焦点的等差中项，则椭圆的标准方程为_____________.
10.已知P 为椭圆120
452
2=+y x 上的点，12F F ，为左右焦点，，21PF PF ⊥ (1)求2
1
PF F S ∆；(2)求P 点坐标.
（巩固练习）已知椭圆13
42
2=+y x 的焦点为21F F 、，点P 在椭圆上，且02160=∠PF F ，则2
1PF F S ∆= ．
11. (1)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5,3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程；
(2)一动圆与圆22430x y x +++=外切，同时与圆224600x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线.
12. 设1F ,2F 是椭圆22
194
x y +=的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P, 1F ,2F 是一个直角三角形的三个顶点且12
PF PF >,求1
2
PF PF 的值.
【小结与反思】
二、 椭圆的简单几何性质
例1、分别求出椭圆9x 2
＋25y 2
＝225和9x 2
＋y 2
＝81的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过点P(－3,0)、Q(0,－2)； (2)长轴长等于20，离心率5
3
； ⑶焦点在x 轴上，焦距等于4，并且过点P （3，62-）.
例3、如图所示， “神舟”载人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆，近地点A 距
地面
200km ，远地点B
距地面
350km ，已知地球的半径
6371R km =．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程.
例4、(1)设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，线段21F F 被点（0,2
b
）
分成3:5的两段，则此椭圆的离心率为( ) 1716.A 17174.B 54
.C 552.
D (2)椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的右焦点为
F ，A （a,0）,B(0,b)是两个顶点，如果F 到直线AB
的距离为
7
b ,则椭圆的离心率为( ) A.
7
77- B.
7
77+ C.
21 D.5
4
(3),,,)0(12122
22P F F b a b
y a x 若椭圆上存在一点的两焦点为设椭圆>>=+
.,021的范围求椭圆离心率
使e PF PF =⋅ 【规律方法总结】有关离心率的计算:根据已知条件列出含a,b,c 的等式（a,b,c 次数相同），若方程中存在b,则利用b 2
=a 2
-c 2
消去b ，进而转化为关于离心率的方程后再求解e. 三、课时作业
1. “0m n >>”是“方程2
21mx
ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D. 既不充分也不必要条件 2. 在下列方程所表示的曲线中，关于x 轴、y 轴都对称的是( ) A.x 2
＝y B.x 2
＋2xy ＋y ＝0 C.x 2
－4y 2
＝5x D.9x 2
＋y 2
＝4 3.椭圆122
=+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( )
A.
2
1 B.
2 C.41
D.4
4.椭圆122
=+my x
的离心率为
23，则m 的值为( ) A. 2或21B. 2 C. 4
1
或4 D.
4
1
5. 已知F 1
，F 2
为椭圆122
22=+b y a x (a>b>0)的两个焦点，过F 2
作椭圆的弦AB ，若△AF 1
B 的周长为16，
椭圆离心率 e=2
3
，则椭圆的方程为( )
A.13422=+y x
B.131622=+y x
C.1121622=+y x
D.14
162
2=+y x 6.已知椭圆
22
1169
x y +=左右两焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，若12,,P F F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴距离为( ) A.95 B.3 C.77 D.9
4
7.椭圆
22
1123
x y +=的焦点为12F F ，，点P 在椭圆上．如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是
2
PF 的( ) A.7倍
B.5倍
C.4倍
D.3倍
8. 椭圆的一个顶点为)0,2(A ，其长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程 . 9.若椭圆的一个长轴端点到一个短轴端点的距离恰等于该椭圆的焦距，则该椭圆的离心率为_____.
10.椭圆22
194
x y +=的焦点为12F F ，，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时点P 的横坐标的 取值范围是_____.
11.如图，F 为椭圆的左焦点，P 为椭圆上一点，PF ⊥x 轴，OP//AB ，求椭圆的离心率e.
12.椭圆122
22=+b
y a x (a>b>0)的一个焦点与短轴的两端点的连线互相垂直，且
此焦点和长轴上较近的端点距离为6234-，求此椭圆方程.
【小结与反思】
三、椭圆第二定义及其他性质 例
1.点),(M y x 与定点)0,(F c 的距离和它到定直线c
a x 2
:=
的距离的比是常数
),0(>>c a a
c
求点M 的轨迹.
例2.椭圆122
22=+b
y a x 任一点),(M 00y x 和左，右焦点1F ，2F 的连线叫焦半径，求证：
01M ex a F +=，02M ex a F -=.
【规律方法总结】焦半经公式在解题中的作用应引起我们的注意 例3.已知F 是椭圆459522
=+y x 左焦点，点M 是此椭圆上的动点， A(1,1) 是一定点.
⑴求|MA|+2
3
|MF|的最小值，并求取得最小值时点M 的坐标； ⑵求|MA|+|MF|的最大值和最小值.
三、课时作业 1.方程2)1()1(2
22++=-+-y x y x 的曲线是( )
A.椭圆
B.直线
C.线段
D.圆
2.点P 与定点F （4，0）的距离和它到定直线4
25
=x 的距离之比是4：5，则点P 的轨迹方程是( )
A.
125922=+y x B.192522=+y x C.132522=+y x D.15
92
2=+y x 3.椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为( )
A.23
B.33
C.36
D.66
4. 椭圆
136
1002
2=+y x 上的P 点到它的左准线的距离是10，到它的右焦点的距离是( ) A.15 B.12 C.10 D.8 5.设椭圆
2
2
22
1(1)1
x y
m m m +=>-上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 到右准线的距离为( )A.6
B.2
C.
1
2
6.已知F 1
，F 2
为椭圆122
22=+b y a x (a>b>0)的两个焦点，过F 2
作椭圆的弦AB ，若△AF 1
B 的周长为16，
椭圆离心率 e=2
3
，则椭圆的方程为( )
A.13422=+y x
B.131622=+y x
C.1121622=+y x
D.14
162
2=+y x 7.过椭圆22
221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若
1260
F PF ∠=，则椭圆的离心率为
( )A.
2
B.
3
C.
12 D.13
8.椭圆1222
=+y x
的准线方程为 .9．若椭圆19
42
2
=++y m x
的一条准线方程为29-=y ，则m 的值为 .10. 已知椭圆
198x 22=++y k 的离心率2
1
=e ，则=k . 11. 椭圆13
42
2=+y x 的左、右焦点1F 、2F ，P 是椭圆上一点，若213PF PF =，则P 点到左
准线的距离是 .
12.设椭圆
22
12516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1
()2
OM OP OF =+，则OM = .
13.已知点)5,0(A 是椭圆149
982
2=+y x 内一定点，P 是这椭圆上的点，要使|PA|的值最大，P 的坐标
应是 ，|PA|的最大值等于 ．
14.已知P 是椭圆22221x y
a b
+=()0a b >>上任意一点，P 与两焦点连线互相垂直，且P 到两准线
距离分别为6、12，则此椭圆的方程 . 15.求下列椭圆的标准方程
（1
）两准线间的距离为
5
，焦距为（2）和椭圆
2212420x y +=共准线，且离心率为12
.
16.已知定点A （-2，
3），F 是椭圆22
11612
x y +=的右焦点，在椭圆上求一点
M ，使|AM|+2|MF|
取得最小值.
17.已知椭圆
136
1002
2=+y x 上有一点P 到其左右焦点距离之比为1：3，求P 点到两准线的距离及P 点的坐标．。