第8讲 圆的概念和性质(word版)

8圆的概念和性质知识目标
模块一圆的有关概念
易错总结
判断下列说法的正误，并说明理由．（1）直径是弦，弦是直径．
（2）过圆心的线段是直径．
（3）直径只有一条．
（4）过圆内一点只能作一条直径．（5）半圆是弧，弧是半圆．
（6）圆中的弧分为优弧和劣弧．（7）长度相等的弧是等弧．
例1
（1）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在圆上，︒=∠110BOC ，AD ∥OC ，则A O D ∠的度数为 ．
B
（2）如图，在ABC ∆中，AB 为⊙O 的直径，︒=∠60B ，︒=∠70C ，则BOD ∠的度数为 ．
（3）如图，正方形ABCD 与BEFG 彼此相邻且内接于半圆O ，若正方形BEFG 的面积为16，则半圆O 的半径为 .
【练习】
（1）如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB 、CD 的延长线交于点E ，若DE AB 2=，︒=∠18E ，则AOC ∠的度数为
．
A
E
（2）如图，点A 、D 、G 、M 在半圆上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设a BC =，b EF =，c NH =，则c b a 、、的大小关系为 ．
H
F
C
G
O
【拓展】
（1）如图，ABC ∆和ABD ∆中，︒=∠=∠
90ADB ACB ．求证：A 、B 、D 、C 四点在同一个圆上，并指出该圆的圆心．
（2）如图，ABC ∆和ABD ∆中，︒=∠=
∠90ADB ACB ．求证：A 、B 、D 、C 四点在同一个圆上，并指出该圆的圆心．
模块二 圆的有关性质
垂径定理“知二求三”：
BO 、BC 、BA 、CO 、CA 五条线段，知道其中任意两条的长，可以求出其余三条线段的长.
A
【例2】（1）如图，P 是⊙O 的弦上的点，6=PA ，2=PB ，⊙O 的半径为5，则=OP ．
（2）如图，在Rt △ABO 中，∠O=90°，AO=2，BO=1，以O 为圆心，OB 为半径的圆交AB 于点P ，则PB= .
A
【练习】 如图，在⊙O 中，AB 为直线，P 为AB 上一点，过点P 作弦MN ，∠NPB=45°，若AP=2，BP=6，则MN= .
A
【例3】
（1）如图，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，求证：BD AC ．
（2）如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 上一点，且PB 平分∠CPD ，求证：PC=PD.
【练习】
如图，圆O 的弦AB 、CD 交于点P ，AB=CD ，求证：OP 平分∠
BPO.
P
【例4】（1）如图，已知AB 是半圆O 的直径，C 为半圆周上一点，M 是⌒
AC 的中点，AB MN ⊥于N ，
试判断MN 与AC 的数量关系并证明．
N
A
O
（2）如图，P 是⊙O 外一点，过点P 作两条割线PAB 和PCD ，点M 、N 分别是⌒AB 、⌒
CD 的中点，MN 分别交AB 、CD 于E 、F 两点，求证：PEF ∆为等腰三角形．
M
P
题型二 圆周角定理
二、圆周角定理
四、圆周角导角思路： 1.利用同弧或等弧转化角
2.利用直径构造直角三角形转化角
3.利用圆的内接四边形转化角
4.利用特殊数量关系构造特殊角转化角. 【例5】（1）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠ABC ＝70°，则∠OAC 的度数为 ．
（2）如图，已知C 、D 是以AB 为直径的⊙O 上的两个点，⌒BC =⌒
BD ，∠CAB ＝24°，则∠ABD 的度数为 ．
（3）如图，⊙O 中，OA ⊥BC ，∠CDA ＝25°，则∠AOB 的度数为 ．
（4）如图，⊙O 的直径CB 的延长线与弦ED 的延长线交于点A ，且⌒CE =⌒
BE ，∠A ＝20°，则∠C ＝ ．
【例6】（1）如图，AB 是半圆O 的直径，D 为弧AC 的中点，∠B ＝40°，则∠C 的度数为 ．
（2）如图，△ABC 内接于⊙O ，CH AB 于H ，连OC ，若∠HCB ＝15°，则∠ACO ＝ ．
（3）如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，直径AB 交CD 于点E ，已知∠C ＝57°，∠D ＝45°，则∠CEB ＝ ．
A
（4）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交AC于E，若∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠AEB ＝．
【例7】（1）如图，在⊙O中，∠AOC＝100°，则∠ABC的度数为．
（2）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD的度数为．
（3）如图，⊙O的半径为
1，弦AB ACB＝．
（4）如图，⊙O的半径为
1，弦AB
AC，则∠BOC＝．
第8讲圆的概念和性质
A基础巩固
1．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝87°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数为
2．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝90°，则∠BCD的度数为
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是E，连接OC，若OC＝5，CD＝8，则AE的值为
．
4．如图，CD为⊙O的直径，CD
CE，则=
=
AB⊥于E，8
=
DE，2
AB
C Array D
5.如图，⊙O1与坐标轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，点O1的纵坐标为径，弦CD⊥AB，垂足是E，连
接OC，若OC＝5，CD＝8，则AE
，则⊙O1的半径为
6．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB，∠BOC＝70°，则∠A的大小为
7．如图，点O是优弧ACB所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB的延长线上，BD＝BC，则∠D的大小为
8．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，则⊙O的半径为
C
B 综合训练
9．如图，AB 、CD 分别是⊙O 上的两条弦，圆心O 到它们的距离分别是OM 、ON ．如果AB=CD ，求证：OM =ON ．
A B
10.如图，AB 是圆O 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于E 、F ，且AE=BF ，求证：OE=OF
11.已知：如图，在△ANBC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交BC 、AC 于点D 、E ，连接EB 交OD 于点F.
（1）求证：OD ⊥BE ；
（2）若DE=5，AB=5，求AE 的长.
B
A
C
数学故事
蝴蝶定理
蝴蝶定理这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，由于其几何图形形象奇特，貌似蝴蝶，便以此命名。

蝴蝶定理：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD，设AB和CD各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点
去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向现段的比例式，称为“坎迪定理”，不为中点时满足：1111
-=-
MY MX MQ MP
这个命题最早作为一个征解问题出现在公元1815年英国的一本杂志《男士日记》（Gentleman's Diary）39－40页上。

登出的当年，英国一个自学成才的中学数学教师W．G．霍纳（他发明了多项式方程近似根的霍纳法）给出了第一个证明，完全是初等的；另一个证明由理查德·泰勒（Richard Taylor）给出。

另外一种早期的证明由M．布兰德（Miles Bland）在《几何问题》（1827年）一书中给出。

最为简洁的证法是射影几何的证法，由英国的J·开世在"A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid"（中译：近世几何学初编，李俨译，上海商务印书馆1956）给出，只有一句话，用的是线束的交比。

1981年，Crux杂志刊登了K．萨蒂亚纳拉亚纳（Kesirajn Satyanarayana）用解析几何的一种比较简单的方法（利用直线束，二次曲线束）。

蝴蝶定理是古代欧式平面几何的最精彩的结果之一.这个定理的证法不胜枚举，至今仍然被数学爱好者研究，在考试中有出现各种变形.。