随机过程论(第3版)PPT完整全套教学课件
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在独立增量过程中有一类很重要的特例一稳定过程，它满足条件:存在a>0(a称为此稳定 过程的阶)，使对∀c>0恒有
04 马 氏 过 程
马氏过程
定义14(马氏过程)
成立。式(1.17)又称为马氏性。 特别地，
马氏过程
命题1.2
成立。
证明 当
时，式(1.17)显然蕴含式(1.18);另外，用测度论典型
证明
可见Y是一元正态分布。
Gauss 系
命题1.6
证明
Gauss 系
命题1.7
令
Gauss 系
命题1.7
于是 这就可得到 于是
Gauss 系
命题1.8
于是 这就可得到 于是 这就证明了 (a)，(b)可采用同样的方法证明。
Gauss 系
命题1.9
于是 这就可得到 而式(1.28)左侧等于
Gauss 系
第二章
鞅论初步
随机过程论
上鞅、下鞅的概
01 念 、 简 单 性 质 与
分解定理
1.概念与简单性质
设在概率空间
上有一个非降的σ-代数族
和实随机过程
条件2’)还蕴含 证明1)令
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
2)证明P( · )在δ上是完全可加的。
1° 为书写方便，我们先定义以下m-步转移概率测度。设
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
及
再令 由
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
2° 用归纳法来证明存在 由于
当K=-1时，式(1.27)可写成
Kolmogorov定理给出了由有限维联合分布族构造(Ω,ƒ)上测度P的方法。
1.Kolmogorov定理
定理1.1(Kolmogorov定理)
设δ是一个完备可分可测度量空间即Polish空间概率分布族 满足性质1)和性质2)，则存在(Ω,ƒ)上唯一的概率测度P，使得 对一切n≥1，t1,···,tnεT且彼此不同，有Bε∑’n成立。
必定存在一个可分的随机过程
,使得
显然随机过程与其可分的随机过程有同样的有限维分布，因而分布律相同。 人们常常希望从有限维分布直接构造具有良好的轨道性质的过程[例如，连接轨道右连续 且有左极限(右连左极)的轨道和阶梯轨道等]。
3.推移算子
03
独立增量过程
与
鞅
1.独立增量过程
在1.1节的例子中，随机徘徊、Poisson 过程和Brown运动都有一个共同特点，即在互不相交的若干参数区 间上，过程的增量相互独立，具有这个性质的随机过程称为独立增量过程。
证明
1.Kolmogorov定理
证明
于是
由Kolmogorov定理立刻可知：由例1~例4中所得到的各有限维分布族都可以分别定义概 率空间。
2.可分性及过程的轨道
Kolmogorov定理虽然为我们提供了一个由有限维分布去构造随机过程的一般方法，但是这样的构造有
一个缺陷，那就是相对于RT来说，由全体柱集生成的σ-代数βT太小了，以致像
方法，不难证明式(1.18)也蕴含式(1.17)(请读者自行证明)。
马氏过程
命题1.3 下列4个条件等价:
马氏过程
证明
用测度论的典型方法可以证明条件1)、条件2)和条件3)等价。我们这里只以条件2) 蕴含
条件3) 的证明为例，说明测度论典型方法在此处的用法，其他类似的证明作为习题请读
者自已去证明。
马氏过程
定义1.5
(转移概率族) 满足上述1)~3)的函数族
称为一个转移概率族，也称转移函数族。
马氏过程
命题1.5
证明
马氏过程
命题1.5
类似地，我们容易得到 Kolmogorov 相容性的性质1)满足，再按照Kolmogorov 相容性 条件的
马氏过程
命题1.5
由条件期望的定义，这就是
比较式(1.21)和式(1.22)就得到ε的马氏性，以及它的转移概率满足定理要求。
1.独立增量过程
定义1.2(独立增量过程)
如果我们推广独立增量过程为一般可积过程，我们就称保持性质1)的过程为鞅，保持性 质2)的过程为马氏过程。性质1)和性质2)分别称为鞅性与马氏性。
2.鞅
定义1.3(鞅)
2.鞅
命题1.1
特别地，当T=Z+时，式(1.15")又可简化为对一切n≥0，
2.鞅
这样简单而与
过程直接有关的量都未必βT可测。
这是因为它是由不可列个随机变量决定的，而一般地，我们只能保证可列个随机变量的 Borel 函数仍为
随机变量。这样看来，在上面所定义的随机过程框架中，在考虑与过程轨道的连接性或极限性质有关的
集合时，就无法定义这类集合的概率。摆脱这种困难最简单的办法是:对分布相同的两个随机过程不加区
3.独立增量过程的性质和稳定过程
独立增量过程并不一定都是鞅(参见52节1中的Cauchy过程)，对于这些过程，第二章鞅论的结果就不适用 了。但是，独立增量性是很强的，它相当于“连续情形的独立和”，由它可以得到一系列深入的性质，这 方面的研究到 20 世纪50年代已成熟。由于这些研究在方法上的特殊性，再加上篇幅又长，本书中我们不 单列章节详细讨论，而以附录的形式(附录A)列出最基本的结果和重要特例。
马氏过程
命题1.5
由条件期望的定义，这就是
那么抽取对角线子列就得到
马氏过程
命题1.5
事实上，马氏性在构造过程中并不重要，只要给定条件分布族 造概率空间及其上的坐标过程，这里
，即可构
马氏过程
命题1.5
显然有以下条件成立。
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
显然有以下条件成立。
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
引论
随机过程论
01
随机过程的概念 与例子
1.随机过程的概念
考虑一个概率空间(Ω,ƒ,P)，其中Ω是一个集合，ƒ是由Ω的某些子集组成的一个σ-代数，P是在可测空间 (Ω,ƒ)上定义的一个概率测度。设T是一个指标集，又设有一族(Ω,ƒ,P)上的随机变量ε=|ε(t，·);tεT，我们 称ε是一个参数取值为T的随机过程。通常T代表时间，它可取实数集 R、非负实数集R+、整数集Z或非负 整数集Z+等。当T取R、R+或[a,b](区间)时，称ε为连续参数的随机过程:当T取Z或Z+时，称ε为离散参数的 随机过程:当T取Rn、Zn、(R+)n或(Z+)n(n≥2)时，称ε为随机场。
命题1.9
其中 令
及
即有 两式相加得
Gauss 系
命题1.9
代回，又得
但是
与 而且
Gauss 系
命题1.9
代回，又得
但是
与 而且
Gauss 系
命题1.10
Gauss 系
命题1.10
我们知道Brown运动是Gauss系，但反之不然。因此，有关上面讨论的Gauss系的性质除其本身重要外， 对于第四章将讨论的 Brown 运动的性质也是十分重要的，我们将在第四章多次使用这里给出的结果。 由Kolmogorov定理，我们可得出以下结论。
02
Kolmogorov定理 与可分性
1.Kolmogorov定理
设有(Ω,ƒ,P)上取值于状态空间(ƒ,∑)的随机过程 对任意的正整数n和t1,t2,······,tnεT，随机元
的概率分布
1.Kolmogorov定理
我们称性质1)和性质2)为Kolmogorov 相容性条件。我们现在要讨论问题的反面:给定了满足性质1)和性 质2)的一族分布，是否一定可以找到概率测度P使性质1)和性质2)在P下满足呢?下面的定理对此问题做 了肯定的回答。 设ƒ是一个完备可分度量空间，∑是由ƒ的开子集所生成的最小σ-代数((ƒ,∑)也称Polish空间),∑’n是ƒn的 开集所生成的σ-代数。 我们称下面这样的集合为柱集:
证明
显然式(1.15)蕴含式(1.15)，现在我们来证其反面。当式(1.15)成立时，就有
2.鞅
证明
当T=Z+时，我们可以得到
即式(1.15)成立。 容易看出，所有均值函数恒等于常数的实值独立增量过程都是鞅，但反之不然，这是因 为
2.鞅
证明
鞅是一种十分基本而又重要的随机过程，它有许多好的性质，在现代概率论中，它已成 为各领域共同的常用基本工具，第二章将专门讨论这种过程。
当条件2)成立时，对可测实函数
有
马氏过程
证明
马氏过程
证明
有一个好的版本，称为(正则)条件分布，记为 这个好的版本对A是测度，对(s,x,t)可测。再记
马氏过程
命题1.4
再利用测度论典型方法，就可以证明式(120)对∀Bε∑n成立。
马氏过程
命题1.4
当ƒ是一个完备可分可测度量空间 (更一般地，满足定理1.1后面注中条件的空间)时，我 们可以找到(参见附录A)一个对所有Aε∑的公共例外集，使得除去此例外集后，p(s,x;t,A) 对一切Aε∑都完全确定，而且满足
1.Kolmogorov定理
证明
事实上性质1)和性质2)保证了式(1.10)可以无盾地在δ上定义唯一一个有限可加集合函数， 我们仍将它记为 P(·)。又因为δ是半环，如果我们能证明这个集合函数是σ-可加的，那么 由测度的扩张定理，可以得到σ-(δ)上唯一的概率测度，使得式(1.10)成立。
1.Kolmogorov定理
06
平稳过程与 宽平稳过程
1.平稳过程
定义1.7
稳定系统中出现的随机过程通常为平稳的，因而在通信、生物、统计物理、经济等问题
的研究中，平稳过程也是常见的。
独立同分布序列是离散参数的平稳过程，时齐独立增量过程
在一个固定
时间间隔上的增量
也是一个平稳过程。
2.宽平稳过程
定义1.8
设T是一个加法半群，概率空间 过程，如果
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
可见
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
这样，我们就有
其中Q*指Q的外测度，于是有
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
3° 由2°的结果，可见
至此，定理得证。
05 G a u s s 系
Gauss 系
定义1.6(Gauss系)
Gauss 系
命题1.6
2.随机过程的例子
在实际问题中，往往一开始并不清楚有一个概率空间(Ω,ƒ,P)
而只是从直观上看到一族“随机地”变化的量。这并非意味着我们已经有 了一族随机变量或者随机过程，因为随机变量与随机过程都必须在一个概 率空间中来描述才是正确的建模。然而，通过分析往往可以知道上述那族 “随机地”变化的量中任意有限个的联合分布。当T是有限集时，这意味 着已知这族“随机量”的联合分布。这时，由标准的测度论处理方法，容 易构造一个概率空间及其上的一族以T为参数集(有限) 的随机变量，使它 们的联合分布正是前面说的由直观得到的分布。这样，我们就将直观上看 到的那族“随机量”纳入严格的数学模型因而可以由此进一步做数学的演 绎与论证。但是，一般我们真正研究T为无限集的情况这时构造概率空间 ( Ω,ƒ,P) 就 不 那 么 简 单 了 。 下 面 我 们 先 来 考 察 一 些 例 子 ， 以 期 读 者 能 对 上 述 将实际问题如何化为随机过程的模型的过程有所感受:然后，再在理论上 论证这种做法的可能性与合理性。
上的随机过程
称为宽平稳
存在且与t无关(只依赖h)。 显然，具有2阶矩的平稳过程一定是宽平稳的，但反之不一定成立。因而，宽平稳过程是 平稳过程的推广，在许多实际问题中有广泛的应用。 对于Gauss 过程，它的平稳性与宽平稳性是等价的，也就是有下面的关系成立。
2.宽平稳过程
命题1.11
谢谢观看
随机过程论
全套可编辑PPT课件
第一章
ch01引 论.pptx ch02鞅论初步.pptx ch03离散时间可数状态马氏过程一马氏链.pptx ch04连续时间的马氏链.pptx ch05Brown运动.pptx ch06马氏过程.pptx ch07相互作用粒子系、渗流与点过程的数学模型.pptx ch08扩散过程与随机分析初步.pptx ch09平稳过程与遍历理论初步.pptx
定义1.2(独立增量过程)
设指标集T是RZ或它们与某个区间的交， 是概率空间(Ω,ƒ,P)上的实值(或复值) 随机过程，我们称ε为一个独立增量过程，
如对任意的t0<t1<···<tnε T，
1.独立增量过程
定义1.2(独立增量过程)
事实上，当T=Z+时，一个独立增量过程就是一列相互独立随机变量的部分和(简称独立和 ):而时齐的独立增量过程就是相互独立同分布序列 (简称i.i.d.序列)的部分和。 数学期望有限的独立增量过程具有以下两个重要性质。
分，并且在这种等价类类) Doob 所定义的
可分的过程。
2.可分性及过程的轨道
定义1.1(可分性)
随机过程
称为可分的，如果存在P的零测集N及T的可列子集S，使对于任意
开区间I及任意闭集F，恒有
2.可分性及过程的轨道
定理1.2(可分修正)
任意一个随机过程
04 马 氏 过 程
马氏过程
定义14(马氏过程)
成立。式(1.17)又称为马氏性。 特别地，
马氏过程
命题1.2
成立。
证明 当
时，式(1.17)显然蕴含式(1.18);另外，用测度论典型
证明
可见Y是一元正态分布。
Gauss 系
命题1.6
证明
Gauss 系
命题1.7
令
Gauss 系
命题1.7
于是 这就可得到 于是
Gauss 系
命题1.8
于是 这就可得到 于是 这就证明了 (a)，(b)可采用同样的方法证明。
Gauss 系
命题1.9
于是 这就可得到 而式(1.28)左侧等于
Gauss 系
第二章
鞅论初步
随机过程论
上鞅、下鞅的概
01 念 、 简 单 性 质 与
分解定理
1.概念与简单性质
设在概率空间
上有一个非降的σ-代数族
和实随机过程
条件2’)还蕴含 证明1)令
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
2)证明P( · )在δ上是完全可加的。
1° 为书写方便，我们先定义以下m-步转移概率测度。设
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
及
再令 由
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
2° 用归纳法来证明存在 由于
当K=-1时，式(1.27)可写成
Kolmogorov定理给出了由有限维联合分布族构造(Ω,ƒ)上测度P的方法。
1.Kolmogorov定理
定理1.1(Kolmogorov定理)
设δ是一个完备可分可测度量空间即Polish空间概率分布族 满足性质1)和性质2)，则存在(Ω,ƒ)上唯一的概率测度P，使得 对一切n≥1，t1,···,tnεT且彼此不同，有Bε∑’n成立。
必定存在一个可分的随机过程
,使得
显然随机过程与其可分的随机过程有同样的有限维分布，因而分布律相同。 人们常常希望从有限维分布直接构造具有良好的轨道性质的过程[例如，连接轨道右连续 且有左极限(右连左极)的轨道和阶梯轨道等]。
3.推移算子
03
独立增量过程
与
鞅
1.独立增量过程
在1.1节的例子中，随机徘徊、Poisson 过程和Brown运动都有一个共同特点，即在互不相交的若干参数区 间上，过程的增量相互独立，具有这个性质的随机过程称为独立增量过程。
证明
1.Kolmogorov定理
证明
于是
由Kolmogorov定理立刻可知：由例1~例4中所得到的各有限维分布族都可以分别定义概 率空间。
2.可分性及过程的轨道
Kolmogorov定理虽然为我们提供了一个由有限维分布去构造随机过程的一般方法，但是这样的构造有
一个缺陷，那就是相对于RT来说，由全体柱集生成的σ-代数βT太小了，以致像
方法，不难证明式(1.18)也蕴含式(1.17)(请读者自行证明)。
马氏过程
命题1.3 下列4个条件等价:
马氏过程
证明
用测度论的典型方法可以证明条件1)、条件2)和条件3)等价。我们这里只以条件2) 蕴含
条件3) 的证明为例，说明测度论典型方法在此处的用法，其他类似的证明作为习题请读
者自已去证明。
马氏过程
定义1.5
(转移概率族) 满足上述1)~3)的函数族
称为一个转移概率族，也称转移函数族。
马氏过程
命题1.5
证明
马氏过程
命题1.5
类似地，我们容易得到 Kolmogorov 相容性的性质1)满足，再按照Kolmogorov 相容性 条件的
马氏过程
命题1.5
由条件期望的定义，这就是
比较式(1.21)和式(1.22)就得到ε的马氏性，以及它的转移概率满足定理要求。
1.独立增量过程
定义1.2(独立增量过程)
如果我们推广独立增量过程为一般可积过程，我们就称保持性质1)的过程为鞅，保持性 质2)的过程为马氏过程。性质1)和性质2)分别称为鞅性与马氏性。
2.鞅
定义1.3(鞅)
2.鞅
命题1.1
特别地，当T=Z+时，式(1.15")又可简化为对一切n≥0，
2.鞅
这样简单而与
过程直接有关的量都未必βT可测。
这是因为它是由不可列个随机变量决定的，而一般地，我们只能保证可列个随机变量的 Borel 函数仍为
随机变量。这样看来，在上面所定义的随机过程框架中，在考虑与过程轨道的连接性或极限性质有关的
集合时，就无法定义这类集合的概率。摆脱这种困难最简单的办法是:对分布相同的两个随机过程不加区
3.独立增量过程的性质和稳定过程
独立增量过程并不一定都是鞅(参见52节1中的Cauchy过程)，对于这些过程，第二章鞅论的结果就不适用 了。但是，独立增量性是很强的，它相当于“连续情形的独立和”，由它可以得到一系列深入的性质，这 方面的研究到 20 世纪50年代已成熟。由于这些研究在方法上的特殊性，再加上篇幅又长，本书中我们不 单列章节详细讨论，而以附录的形式(附录A)列出最基本的结果和重要特例。
马氏过程
命题1.5
由条件期望的定义，这就是
那么抽取对角线子列就得到
马氏过程
命题1.5
事实上，马氏性在构造过程中并不重要，只要给定条件分布族 造概率空间及其上的坐标过程，这里
，即可构
马氏过程
命题1.5
显然有以下条件成立。
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
显然有以下条件成立。
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
引论
随机过程论
01
随机过程的概念 与例子
1.随机过程的概念
考虑一个概率空间(Ω,ƒ,P)，其中Ω是一个集合，ƒ是由Ω的某些子集组成的一个σ-代数，P是在可测空间 (Ω,ƒ)上定义的一个概率测度。设T是一个指标集，又设有一族(Ω,ƒ,P)上的随机变量ε=|ε(t，·);tεT，我们 称ε是一个参数取值为T的随机过程。通常T代表时间，它可取实数集 R、非负实数集R+、整数集Z或非负 整数集Z+等。当T取R、R+或[a,b](区间)时，称ε为连续参数的随机过程:当T取Z或Z+时，称ε为离散参数的 随机过程:当T取Rn、Zn、(R+)n或(Z+)n(n≥2)时，称ε为随机场。
命题1.9
其中 令
及
即有 两式相加得
Gauss 系
命题1.9
代回，又得
但是
与 而且
Gauss 系
命题1.9
代回，又得
但是
与 而且
Gauss 系
命题1.10
Gauss 系
命题1.10
我们知道Brown运动是Gauss系，但反之不然。因此，有关上面讨论的Gauss系的性质除其本身重要外， 对于第四章将讨论的 Brown 运动的性质也是十分重要的，我们将在第四章多次使用这里给出的结果。 由Kolmogorov定理，我们可得出以下结论。
02
Kolmogorov定理 与可分性
1.Kolmogorov定理
设有(Ω,ƒ,P)上取值于状态空间(ƒ,∑)的随机过程 对任意的正整数n和t1,t2,······,tnεT，随机元
的概率分布
1.Kolmogorov定理
我们称性质1)和性质2)为Kolmogorov 相容性条件。我们现在要讨论问题的反面:给定了满足性质1)和性 质2)的一族分布，是否一定可以找到概率测度P使性质1)和性质2)在P下满足呢?下面的定理对此问题做 了肯定的回答。 设ƒ是一个完备可分度量空间，∑是由ƒ的开子集所生成的最小σ-代数((ƒ,∑)也称Polish空间),∑’n是ƒn的 开集所生成的σ-代数。 我们称下面这样的集合为柱集:
证明
显然式(1.15)蕴含式(1.15)，现在我们来证其反面。当式(1.15)成立时，就有
2.鞅
证明
当T=Z+时，我们可以得到
即式(1.15)成立。 容易看出，所有均值函数恒等于常数的实值独立增量过程都是鞅，但反之不然，这是因 为
2.鞅
证明
鞅是一种十分基本而又重要的随机过程，它有许多好的性质，在现代概率论中，它已成 为各领域共同的常用基本工具，第二章将专门讨论这种过程。
当条件2)成立时，对可测实函数
有
马氏过程
证明
马氏过程
证明
有一个好的版本，称为(正则)条件分布，记为 这个好的版本对A是测度，对(s,x,t)可测。再记
马氏过程
命题1.4
再利用测度论典型方法，就可以证明式(120)对∀Bε∑n成立。
马氏过程
命题1.4
当ƒ是一个完备可分可测度量空间 (更一般地，满足定理1.1后面注中条件的空间)时，我 们可以找到(参见附录A)一个对所有Aε∑的公共例外集，使得除去此例外集后，p(s,x;t,A) 对一切Aε∑都完全确定，而且满足
1.Kolmogorov定理
证明
事实上性质1)和性质2)保证了式(1.10)可以无盾地在δ上定义唯一一个有限可加集合函数， 我们仍将它记为 P(·)。又因为δ是半环，如果我们能证明这个集合函数是σ-可加的，那么 由测度的扩张定理，可以得到σ-(δ)上唯一的概率测度，使得式(1.10)成立。
1.Kolmogorov定理
06
平稳过程与 宽平稳过程
1.平稳过程
定义1.7
稳定系统中出现的随机过程通常为平稳的，因而在通信、生物、统计物理、经济等问题
的研究中，平稳过程也是常见的。
独立同分布序列是离散参数的平稳过程，时齐独立增量过程
在一个固定
时间间隔上的增量
也是一个平稳过程。
2.宽平稳过程
定义1.8
设T是一个加法半群，概率空间 过程，如果
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
可见
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
这样，我们就有
其中Q*指Q的外测度，于是有
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
3° 由2°的结果，可见
至此，定理得证。
05 G a u s s 系
Gauss 系
定义1.6(Gauss系)
Gauss 系
命题1.6
2.随机过程的例子
在实际问题中，往往一开始并不清楚有一个概率空间(Ω,ƒ,P)
而只是从直观上看到一族“随机地”变化的量。这并非意味着我们已经有 了一族随机变量或者随机过程，因为随机变量与随机过程都必须在一个概 率空间中来描述才是正确的建模。然而，通过分析往往可以知道上述那族 “随机地”变化的量中任意有限个的联合分布。当T是有限集时，这意味 着已知这族“随机量”的联合分布。这时，由标准的测度论处理方法，容 易构造一个概率空间及其上的一族以T为参数集(有限) 的随机变量，使它 们的联合分布正是前面说的由直观得到的分布。这样，我们就将直观上看 到的那族“随机量”纳入严格的数学模型因而可以由此进一步做数学的演 绎与论证。但是，一般我们真正研究T为无限集的情况这时构造概率空间 ( Ω,ƒ,P) 就 不 那 么 简 单 了 。 下 面 我 们 先 来 考 察 一 些 例 子 ， 以 期 读 者 能 对 上 述 将实际问题如何化为随机过程的模型的过程有所感受:然后，再在理论上 论证这种做法的可能性与合理性。
上的随机过程
称为宽平稳
存在且与t无关(只依赖h)。 显然，具有2阶矩的平稳过程一定是宽平稳的，但反之不一定成立。因而，宽平稳过程是 平稳过程的推广，在许多实际问题中有广泛的应用。 对于Gauss 过程，它的平稳性与宽平稳性是等价的，也就是有下面的关系成立。
2.宽平稳过程
命题1.11
谢谢观看
随机过程论
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第一章
ch01引 论.pptx ch02鞅论初步.pptx ch03离散时间可数状态马氏过程一马氏链.pptx ch04连续时间的马氏链.pptx ch05Brown运动.pptx ch06马氏过程.pptx ch07相互作用粒子系、渗流与点过程的数学模型.pptx ch08扩散过程与随机分析初步.pptx ch09平稳过程与遍历理论初步.pptx
定义1.2(独立增量过程)
设指标集T是RZ或它们与某个区间的交， 是概率空间(Ω,ƒ,P)上的实值(或复值) 随机过程，我们称ε为一个独立增量过程，
如对任意的t0<t1<···<tnε T，
1.独立增量过程
定义1.2(独立增量过程)
事实上，当T=Z+时，一个独立增量过程就是一列相互独立随机变量的部分和(简称独立和 ):而时齐的独立增量过程就是相互独立同分布序列 (简称i.i.d.序列)的部分和。 数学期望有限的独立增量过程具有以下两个重要性质。
分，并且在这种等价类类) Doob 所定义的
可分的过程。
2.可分性及过程的轨道
定义1.1(可分性)
随机过程
称为可分的，如果存在P的零测集N及T的可列子集S，使对于任意
开区间I及任意闭集F，恒有
2.可分性及过程的轨道
定理1.2(可分修正)
任意一个随机过程