在平行四边形ABCD中

在平⾏四边形ABCD中
⼀、在平⾏四边形ABCD中,AB//CD,AD//BC,E、F分别在AD、CD上,且CE=AF,CE与AF交与点P,求证
PB=∠APC
问题补充：
如图，在平⾏四边形ABCD中，AB//CD,AD//BC,E、F分别在AD、CD上，且CE=AF，CE与AF交与点P，求证PB平分∠APC
答案：
连接BF，则△ABF的⾯积=1/2平⾏四边形ABCD的⾯积
连接BE，则△BCE的⾯积=1/2平⾏四边形ABCD的⾯积
∴△ABF的⾯积=△BCE的⾯积
∵AF=CE
∴AF和CE上的⾼相等，即点B到AF，CE的距离相等
所以B在∠APC的平分线上
∴∠APB=∠BPC
所以PB平分∠APC
是这个意思吧？
⼆、如图，已知平⾏四边形ABCD及四边形外⼀直线l，四个顶点A、B、C、D到直线l的距离分别为a、b、c、d．（1）观察图形，猜想得出a、b、c、d满⾜怎样的关系式？证明你的结论．
（2）现将l向上平移，你得到的结论还⼀定成⽴吗？请分情况写出你的结论．
考点：平⾏四边形的性质；全等三⾓形的判定与性质．
专题：综合题．
分析：（1）此题可以连接平⾏四边形的对⾓线，交点是O．作OO1⊥l于O1．根据梯形的中位线定理得到
2OO1=DD1+BB1=b+d=AA1+CC1=a+c．
（2）将l向上平移，分别有直线l过B点时；直线l过B点与D点之间时；直线l过D点时；直线l过C点与D点之间时；直线l过C点时；直线l过C点上⽅时．结合三⾓形的中位线定理和梯形的中位线定理进⾏分析．
解答：解：（1）a、b、c、d满⾜a+c=b+d．
证明：连接AC、BD，且AC、BD相交于点O，OO1为点O到l的距离，
∴OO1为直⾓梯形BB1D1D的中位线，
∴2OO1=DD1+BB1=b+d；
同理：2OO1=AA1+CC1=a+c．
∴a+c=b+d．
（2）不⼀定成⽴．
分别有以下情况：
直线l过A点时，c=b+d；
直线l过A点与B点之间时，c-a=b+d；
直线l过B点时，c-a=d；
直线l过B点与D点之间时，a-c=b-d；
直线l过D点时，a-c=b；
直线l过C点与D点之间时，a-c=b+d；
直线l过C点时，a=b+d；
直线l过C点上⽅时，a+c=b+d．
点评：本题考查了平⾏四边形的性质、三⾓形的中位线定理及梯形的中位线定理，难度较⼤，尤其第⼆问的解答，所分情况⽐
较多，注意不要遗漏．
三、如图、在ABC中，AP=QP=QB=BC，AB=AC。

求∠A的度数。

过Q作QE//BC，使得QE=QB，连接EP,EC
则四边形BCEQ为菱形，由EC//AB得出∠ECP=∠A=∠PQA
PC=AC-AP=AB-BQ=AQ,EC=BQ=PQ
故△ECP≌△PQA
故PE=AP=PQ=QE，∴△PQE为等边三⾓形，
故图中的A=20°
四、如图,已知∠1=∠2，BE∥MF,EF∥BA求证：AF=BM
证明：∵BE∥MF，EF∥AB，
∴四边形BMEF为平⾏四边形，∴BM=EF，
∵EF∥AB，∴∠EFC=∠1+∠2．
⼜∠EFC=∠2+∠AEF，
∴∠AEF=∠1=∠2，
∴AF=EF，即AF=BM．
五、如图，已知线段A B∥C D，A D与BC相交于点K，E是线段A D上⼀动点．
（1）若B K=K C，求的值
（2）连接B E，若B E平分∠A B C，则当A E=A D时，猜想线段A B、B C、C D三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A E=A D（n＞2），⽽其余条
件不变时，线段A B、BC、C D三者之间⼜有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．K C，求的值；
（1）∵A B∥C D，B K=K C，∴ =
（2）如图所⽰，分别过C、D作B E∥C F∥D G分别交于A B的延长线于F、G三点，
∵B E∥D G，点E是A D的点，∴A B=BG；∵C D∥F G，C D∥A G，∴四边形C D G F是平⾏四边形，∴C D=F G；
∵∠A B E=∠E B C，B E∥C F，∴∠E B C=∠BC F，∠A B E=∠B F C，∴BC=B F，
∴A B-C D=BG-F G=B F=B C，∴A B=B C+C D.
A E=A D（n＞2），（n-1）A B=BC+C D.
已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交，点O、E、F分别是CD，AB的中点，连接EF，EF分别交BD、AC于点M，N ,且∠OMN=∠ONM，求证：BD=AC
⽅法⼀：取AD中点H，连接FH，EH，有
FH∥BD推出∠HFM=∠OMN
EH∥AC推出∠HEN=∠ONM
⼜∠OMN=∠ONM，所以∠HFM=∠HEN，推出FH=EH
⼜FH=1/2BD，EH=1/2AC，所以BD=AC
⽅法⼆：取AD中点G，连EG，FG
∵E，F为中点
∴EG//AC,FG//BD
∴∠GEF=∠ONM=∠OMN=∠GFE
∴GE=GF
∵GE=AC/2,GF=BD/2
∴AC=BD
⽅法三：
证明：取BC的中点G，连接FG,EG.则：
FG∥AC,GE∥BD,FG=(1/2)AC,EG=(1/2)BD
所以：∠1=∠2，∠3=∠4
⽽∠2=∠4
所以：∠1=∠3
所以；FG=EG
所以：AC=BD
分别取BC、AD中点G、H，连接FG、GE、EH、HF交BD于Q、W两点，则⽅法四：
FGEH组成的四边形是平⾏四边形，
∵∠OMN=∠ONM∴∠MEW=∠ONM=∠MFQ=∠FMQ=∠OMN则△FMQ和△MEW为等腰三⾓形且两等腰三⾓形的四个底⾓之和180°,则△FMQ和△MEW为等腰直⾓三⾓形
则FGEH为正⽅形∴BD=AC
如图在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60°，AD=2cm,BC=4cm，点M从点B出发沿折线段BC-CD以2cm/s的速度向中点D
如图在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60°，AD=2cm,BC=4cm，点M从点B出发沿折线段BC-CD以2cm/s的速度向中点D移动；点N从点D出发沿折线段B,D同时出发，设移动时间为t秒。

（1）当M在C上，2t=4,t=2.∴DN=2,AN=0(N运动到A）
作DE//AB
∵AB//DE,AD//BC ∴四边形ABCD为平⾏四边形所以AD=BE=2,EC=2
∵AB//DE,∴∠B=∠DEC=60°⼜∵∠B=∠C=60°∴△DEC为等边三⾓形
∴EC=DE=DC=2,⼜∵平⾏四边形ABED∴AB=DE=2，所以NB=AB=2
(1)AB=NB=2
(2)t⼩于等于三分之四
（3）t=三分之⼋。