高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质单元检测(A)新人教A版选修4-1(2021学年)

高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质单元检测（Ａ）新人教A版选修4－１
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第一讲相似三角形的判定及有关性质
单元检测
(时间：９0分钟,满分:１00分)
一、选择题(本大题共1０小题，每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图,已知AA ′∥B Ｂ′∥ＣC ′，AB ∶ＢC ＝1∶3，那么下列等式成立的是（ )
A.AB ＝２A ′Ｂ′ Ｂ.3A ′B ′=B ′C ′ Ｃ．BC ＝Ｂ′C ′ D.AB =A ′Ｂ′
2．如图,已知
4
5
AD DB =，D Ｅ∥BC ,若DE =3,则B Ｃ等于( ）
A.
125 B.154 C.184 D.274
３.如图，A ，Ｂ,Ｃ,Ｄ把OE 五等分,且AA ′∥ＢB ′∥CC ′∥DD ′∥ＥE ′,如果ＯE ′=20
cm,那么B ′Ｄ′等于（ ）
A.１2 cm B ．10 ｃm Ｃ.６ cm D.8 cm
４．如果两条直角边在斜边上的射影分别是４和16,则此直角三角形的面积是( ) Ａ.８0 B.７0 Ｃ．６4 Ｄ．３2
5.如图,△ＡBC 中，DE ∥BC ,D Ｅ分别交A Ｂ，ＡＣ于D ,E 两点，S △AD Ｅ=2S △DC Ｅ,则ADE ABC
S
S ∆∆=( )
Ａ.14 B ．12
C.23
D.49
6．如图,在△ABC 中,A Ｂ=A Ｃ，点D 在AB 上,点Ｅ在A Ｃ的延长线上,B Ｄ＝３ＣE ，DE 交BC 于F ，则D Ｆ∶FE 等于（ ）
A ．5∶2 Ｂ．2∶１ Ｃ．3∶1 D ．4∶1
7.如图所示,在Rt△AB Ｃ中，∠ＡCB ＝90°，ＣD ⊥ＡB 于点D ,Ｅ是AC 上一点,CF ⊥ＢE 于点F ，则下列与△BFD 相似的三角形是( ）
A.△ABC B ．△ＢEC C ．△ＢAE D ．△B ＣF
８．如图所示,铁道口的栏杆短臂长1 m,长臂长16 ｍ,当短臂端点下降０。

５ ｍ时，长臂端点升高( ）
A ．11。

2５ m
B ．6．6 m C.8 ｍ Ｄ.1０．5 m
9.如图，在梯形A ＢＣD 中，ＡD ＝３，ＢＣ=9,ＡB ＝6，CD ＝4,A Ｄ∥BC ，若EF ∥BC ,且梯形ＡEFD 与梯形EBCF 的周长相等，则EF 的长为( ）
A.
457 B.335 C ．395 D.152
10.某社区计划在一块上、下底边长分别是1０米,20米的梯形空地上种植花木(如图所示)，
他们想在△AMD 和△BMC 地带种植单价为10元/米2
的太阳花，当△AM Ｄ地带种满花后,已经花了500元,请你预算一下,若继续在△BM Ｃ地带种植同样的太阳花，还需资金（ ）元．
A ．500 B.1 500 C.１ 80０ D ．2 000
二、填空题(本大题共５小题，每小题5分,共25分．把答案填在题中的横线上）
1１．直角三角形斜边上的高把斜边分成3∶2两段,且斜边上的高为cm ，则斜边长为_____＿___＿.
1２．如图所示,AB ∥CD ，
2
3
OA OD =,且CB =7，则OC ＝＿____＿_＿__．
１３．如图,△AB Ｄ中,C 为AD 上一点，且∠CB Ｄ=∠A ，ＢD =3，ＡD ＝4,AB =2,则BC ＝＿＿____＿___.
１４．如图,已知点D 为△ABC 中A Ｃ边的中点,AE ∥ＢＣ,ED 交AB 于点G ,交BC 的延长线于点F ，若
3BG
GA
=，BC ＝8，则AE 的长为_＿____＿_.
15.(2011·北京东城二模）如图,BC 是半径为2的圆O 的直径,点Ｐ在BC 的延长线上,P Ａ是圆O 的切线,点A 在直径BC 上的射影是OC 的中点,则∠ABP =_＿＿_______,ＰB ·PC ＝＿＿__＿＿_＿＿＿。

三、解答题（本大题共2小题,共2５分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1６.(1０分)如图，点E 是四边形ABCD 的对角线上一点，且∠ＢAC ＝∠BD Ｃ=∠ＤＡE ．
(1）求证:BE ·A Ｄ=CD ·ＡE ； （2）根据图形的特点,猜想
BC
DE
可能等于哪两条线段的比（只写出图中一组比即可）？并证明你的猜想.
1７.(15分)（２0１1·辽宁锦州二模)如图,在△ＡＢＣ中,D 是AC 的中点,E 是BD 的中点,ＡE 的延长线交ＢＣ于点F 。

(1)求
BF
FC
的值; (２）若△BE Ｆ的面积为S １,四边形CD ＥＦ的面积为Ｓ2,求S 1∶Ｓ2的值. ﻬ
参考答案
１．答案：B ∵AA ′∥ＢB ′∥C Ｃ′,∴1
3
AB A B BC B C ''==''。

∴3A ′Ｂ′＝B ′C ′。

２.答案：Ｄ ∵
45AD DB =，∴4
9AD AB =。

又DE ∥BC ,∴
4
9DE AD BC AB ==． ∴ＢC ＝94ＤE =94×3＝27
4。

3.答案:D ∵A ，B ，C ，D 把OE 五等分,ＡA ′∥BB ′∥C Ｃ′∥DD ′， ∴OA ′＝A ′B ′＝B ′C ′=C ′D ′=D ′E ′。

又O Ｅ′＝２0 cm ，∴ＯA ′=A ′B ′＝B ′C ′=C ′Ｄ′=Ｄ′E ′＝4 cm. ∴B ′Ｄ′＝Ｂ′Ｃ′＋C ′D ′=８ ｃm.
4.答案：A 由题意知,直角三角形的斜边长为4＋16=2０,8=,则此直角三角形的面积为12
×8×20=80。

5.答案:D 设D 到A Ｃ的距离为h ，则S △ADE =1
2
AE ·h ，
S △DCE =12
E Ｃ·ｈ,又S △AD Ｅ=2S △ＤCE ,
∴12AE ·h =212EC h ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭
. ∴
2AE EC =,∴2
3
AE AC =。

又∵DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC 。

∴2
49
ADE ABC S AE S AC ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭。

６.答案：C 过点D 作DG ∥AC ，交BC 于点Ｇ,
则ＤG ＝DB =3CE ，
即CE ∶ＤG ＝1∶３。

又ＤF ∶FE =D Ｇ∶ＣＥ， 所以D Ｆ∶FE =３∶1．
7.答案:C ∵AC ⊥ＣＢ,ＣF ⊥ＢＥ，
∴BC 2
=BF ·B Ｅ。

又AC ⊥CB ，C Ｄ⊥A Ｂ，
∴BC 2
＝BD ·ＡB 。

∴ＢF ·ＢE =BD ·AB , ∴
BF BD
AB BE
=。

又∵∠ＦB Ｄ=∠ABE ， ∴△BF Ｄ∽△BAE .
8．答案：C 本题是一个实际问题,可抽象为如下的数学问题：如图,等腰△AOC ∽等腰△B ＯD ,O Ａ=1 m,OB ＝16 ｍ，高C Ｅ=0．５ m,求高DF ．由相似三角形的性质可得ＯＡ∶O Ｂ＝ＣE ∶DF ,即１∶16＝０．5∶DF ,解得DF =8 m ．
9．答案：Ｃ 过点Ａ作AG ∥DC ，交E Ｆ于点H ，交B Ｃ于点G 。

设ＡＥ＝x ,DF ＝y ，
由ＡB =BG ＝6，可得ＡE =ＥH =x 。

由题意,知x ∶6＝ｙ∶4, 所以２x =3y .①
又梯形AEFD与梯形EBＣF的周长相等，所以３+x+3＋x＋y＝6-x＋9+4-y＋３+x，即x＋y=8。

②
由①②,解得x=24 5
,
所以EF＝24
5
＋3＝
39
5。

10．答案:Ｄ梯形ABCD中,ＡD∥ＢC,所以△AMD∽△CMB。

又AD=1０米,BC＝2０米,
∴
2
101
204 AMD
BMC
S
S
∆
∆
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
．
∵S△AＭD＝５00÷10＝50（米2），
∴S△ＢMＣ=2００米2.
则还需要资金200×１0＝2 000（元）.
1１.答案：10 ｃm 设斜边长为5a cm，则斜边上的高把斜边分成两段的长分别为3ａ cm,２ａ cm,
则由射影定理得3ａ·2ａ
=2，解得ａ＝2，则斜边长为5a＝5×2＝１0（cm）.
12．答案:21
5
∵ＡB∥ＣＤ,
∴
2
3 OA OB
OD OC
==.
又CＢ＝ＯＢ＋ＯC＝7,
∴72
3
OC
OC
-
=,解得ＯＣ=
21
5
.
13.答案:3
2
∵∠ＣBD=∠A,∠Ｄ=∠Ｄ，
∴△DBC∽△DAB,∴BC BD AB AD
=。

∴BＣ＝
323
42 BD AB
AD
⋅⨯
==。

1４．答案:４∵Ｄ为AＣ边的中点,AE∥BF,
∴△AED≌△CFＤ。

∴ＡＥ=CF。

∵ＡE∶ＢF=AG∶ＢG=1∶３,
∴AＥ∶（8＋AE)＝1∶３,∴AＥ=4。

１5．答案:30° 12如图所示，设ＯＣ的中点为E,连接AＣ,
则有∠ＢAC=∠OＡＰ=90°.在Ｒｔ△ABC中,AＥ⊥BC,ＢE＝BO+OＥ=BO+1
2
ＯC＝３，ＥC＝
1
2
OC =１, 所以ＡE 2
=BE ·EC ＝3×1＝3, 即AE
在R ｔ△ABE 中,tan∠ＡBE
＝
3
AE BE =。

所以∠ABP =∠ABE ＝30°，
则∠ＡOP =2∠ＡＢE =60°。

在Rt△OAP 中，ＯＡ=2,∠ＡＯP ＝６0°， 则PA ＝OA ·tan∠AOP ＝2t ａｎ
60°= 又易知△P ＡC ∽△PBA ，
故PB ·ＰC =PA 2＝
(2
＝１2。

16．答案:(1)证明：∵∠ＢＡC =∠ＤAE ,∴∠ＢA Ｅ=∠DAC 。

∵∠DAE =∠ＢDC ,∴∠AEB ＝∠ADC . ∴△ABE ∽△ＡC Ｄ．
∴
BE AE
CD AD
=,即BE ·AD =C Ｄ·A Ｅ． （2）解：BC AC AB DE AD AE ⎛⎫
= ⎪⎝⎭。

证明:∵△ABE ∽△A ＣD ，∴AB AE
AC AD
=. 又∵∠ＢA Ｃ＝∠EAD ,∴△B ＡＣ∽△EAD ．
∴BC AC AB DE AD AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭． １7．答案：分析：（1)由于D 和E 都是中点，联想三角形的中位线，取AF 的中点，利用三角形中位线的性质来解；
(２)先求出BEF BDC S S ∆∆，再转化为求BEF
BDC BEF
S S S ∆∆∆-即可。

解：(1）如图所示,取AF 的中点Ｇ,连接DG ,则DG ∥F Ｃ,且ＤG =1
2
FC 。

∵E 是ＢD 的中点, ∴ＢE =DE 。

又∵∠E ＢF =∠EDG ,∠BE Ｆ=∠DE Ｇ, ∴△BEF ≌△DEG ，则BF =DG 。

∴BF ∶FC ＝ＤＧ∶F Ｃ．
又ＤG ∶F Ｃ=１∶2，则ＢF ∶FC =1∶2; 即
1
2
BF FC =.
（２)由（1）知
12BF FC =，则1
3
BF BC =, 设△ＢＥF 的边BF 上的高为h １，△BD Ｃ的边BF 上的高为h 2，
则1212
h BE h ED ==， 所以1
1221
111213262
BEF BDC
BF h S h BF S BC h BC h ∆∆⨯⨯==⨯=⨯=⨯⨯,即S △ＢDC =６Ｓ△B ＥF ，
故12S S =BEF BDC BEF
S S S ∆∆∆-＝165BEF BEF BEF S S S ∆∆∆=-,即S 1∶S 2＝1∶５。