待定系数法 通关72题(含答案)

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待定系数法通关72题(含答案)1. 已知反比例函数的图象经过点(−1,2),则它的解析式是( )
A. y=−1
2x B. y=−2
x
C. y=2
x
D. y=1
x
2. 如图,点A是双曲线y=k
x
在第二象限分支上任意一点,点B、点C、点D分别是点A关于x 轴、坐标原点、y轴的对称点.若四边形ABCD的面积是8,则k的值为( )
A. −1
B. 1
C. 2
D. −2
3. 若√a+1+∣b−2∣=0,点P(a,b)在反比例函数y=k
x
的图象上,则这个函数的图象位于( )
A. 第二、三象限
B. 第一、三象限
C. 第三、四象限
D. 第二、四象限
4. 如果(2+√2)2
=a+b√2(a,b为有理数),那么a+b等于( )
A. 2
B. 3
C. 8
D. 10
5. 若x2+mx−15=(x+3)(x+n),则m的值为( )
A. −5
B. 5
C. −2
D. 2
6. 若y=ax2+bx+c,由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是( )
x−101
ax21
ax2+bx+c83
A. y=x2−4x+3
B. y=x2−3x+4
C. y=x2−3x+3
D. y=x2−4x+8
7. 已知x2+ax−12能分解成两个整系数的一次因式的乘积,则符合条件的整数a的个数是( )
A. 3个
B. 4个
C. 6个
D. 8个
8. 将一多项式(17x2−3x+4)−(ax2+bx+c),除以(5x+6)后,得商式为(2x+1),余式为0.求a−b−c=( )
A. 3
B. 23
C. 25
D. 29
9. 抛物线y=x2+bx+c经过A(−1,0),B(3,0)两点,则这条抛物线的表达式为( ).
10. 一辆汽车匀速通过某段公路,所需时间t(单位:h)与行驶速度v(单位:km/h)满足函数关
系t=k
v
,其图象为图中的一段曲线,端点为A(40,1)和B(m,0.5).(1)k=,m=;(2)若行驶速度不得超过60km/h,则汽车通过该路段最少需要h.
11. 若点 (−1,3) 在一次函数 y =kx +1 的图象上,则此函数的解析式为 .
12. 已知 (2x −21)(3x −7)−(3x −7)(x −13) 可分解因式为 (3x +a )(x +b ),其中 a 、 b 均为整
数,则 a +3b = .
13. 如图,在函数 y 1=
k 1x
(x <0) 和 y 2=
k 2x
(x >0) 的图象上分别有 A ,B 两点,若 AB ∥x 轴,交
y 轴于点 C ,且 OA ⊥OB ,S △AOC =1
2,S △BOC =9
2,则线段 AB 的长为 .
14. 在平行四边形 ABCD 中,点 E 是 AB 的中点,在直线 AD 上截取 AF =2FD ,EF 交 AC 于点 G ,

AG AC
= .
15. 如图,反比例函数 y =k
x ( k ≠0,x >0 )的图象与直线 y =3x 相交于点 C ,过直线上点
A (1,3) 作 A
B ⊥x 轴于点 B ,交反比例函数图象于点 D ,且 AB =3BD .
(1)求 k 的值; (2)求点 C 的坐标;
(3)在 y 轴上确定一点 M ,使点 M 到 C ,D 两点距离之和 d =MC +MD 最小,求点 M 的坐标.
16. 如图,直线y=−3x与双曲线y=m−5
交于点P(−1,n).
x
(1)求m的值;
上,且x1<x2<0,试比较y1,y2的大小.(2)若点A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线y=m−5
x
17. 如图,在△ABC中,已知BC=1+√3,∠B=60∘,∠C=45∘,求AB的长.
18. 如图,过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B.
(1)求一次函数的解析式;
(2)判断点C(4,−2)是否在该一次函数的图象上,说明理由;
(3)若该一次函数的图象与x轴交于D点,求△BOD的面积.
19. 在一次蜡烛燃烧实验中,蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(cm)与燃烧时间x(h)之间为一次函数关
系.
根据图提供的信息,解答下列问题:
(1)蜡烛燃烧时y与x之间的函数表达式为;
(2)蜡烛从点燃到燃尽所用的时间为.
20. 如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB与x轴交于点A(−2,0),与反比例函数在第一象限
内的图象交于点B(2,n),连接BO,已知S△AOB=4.
(1)求该反比例函数的解析式和直线AB对应的函数解析式;
(2)若直线AB与y轴的交点为C,求△OCB的面积.
(k为常数,k≠1) .
21. 已知反比例函数y=k−1
x
(1)其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P,若点P的纵坐标是2,求k的值;
(2)若在其图象的每一支上,y随x的增大而增大,求k的取值范围;
(3)若其图象的一支位于第二象限,在这一支上任意取两点A(x1,y1),B(x2,y2),当y1>y2时,试比较x1与x2的大小.
(k≠0)的图象上,点B,D在x 22. 如图,平行四边形ABCD的两个顶点A,C在反比例函数y=k
x
轴上,且B,D两点关于原点对称,AD交y轴于P点.
(1)已知点A的坐标是(2,3),求k的值及C点的坐标;
(2)若△APO的面积为2,求点D到直线AC的距离.
23. 已知在直角坐标平面内,抛物线y=x2+bx+6经讨x轴上两点A,B,点B的坐标为(3,0),
与y轴相交于点C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)求△ABC的面积.
24. 已知一次函数的图象经过(−4,15),(6,−5)两点,求此一次函数的解析式.
的图象经过点A(2,3) .
25. 如图,反比例函数y=k
x
(1)求这个函数的解析式;
(2)请你判断:点B(1,6)是否在这个反比例函数的图象上?并说明理由.
26. 数学复习课上,王老师出示了如框中的题目:
题目中的黑色矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认得文字.
(1)根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中直线对应的函数解析式?若能,请写出求解过程;若不能,请说明理由.
(2)请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,添加一个适当的条件,把原题补充完整,你添加的这个条件是什么?
),求y 27. 已知y1与x成正比例,y2与x成反比例,若函数y=y1+y2的图象经过点(1,2),(2,1
2与x的函数解析式.
28. 如图,在平面直角坐标系中,点A在第一象限内,点B的坐标为(3,0),OA=2,∠AOB=60∘.
(1)求点A的坐标;
(2)若直线AB交y轴于点C,求△AOC的面积.
29. A,B两城相距600千米,甲、乙两车同时从A城出发驶向B城,甲车到达B城后立即返
回.下图是它们离A城的距离y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数图象.
(1)求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当它们行驶了7小时时,两车相遇,求乙车速度.
30. 工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序,即需要将材料煅烧到800∘C,然后停止
煅烧进行锻造操作.第8min时,材料温度降为600∘C,煅烧是,温度y(∘C)与时间x(min)成反比例关系(如图),已知该材料的初始温度是32∘C.
(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式,并且写出自变量x的取值范围.
(2)根据工艺要求,当材料温度低于480∘C时,须停止操作,那么锻造的操作时间有多长?
31. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,如图5−8所示,其中点
A(−1,0),点C(0,5),另抛物线经过点(1,8),M为它的顶点.
(1)求抛物线的表达式.
(2)求△MCB的面积S△MCB.
32. 已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,Rt△OCD的一边OC在x轴上,∠OCD=90∘,点D
在第一象限,OC=3,DC=4,反比例函数的图象经过OD的中点A.
(1)求该反比例函数的表达式.
(2)若该反比例函数的图象与Rt△OCD的另一边DC交于点B,在x轴上求一点P,使PA+PB最小.
33. 如图,已知抛物线与x轴交于A(−1,0),E(3,0),与y轴交于点B(0,3).
(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)设(1)中抛物线顶点为D,△AOB与△DBE是否相似?若相似,请给予说明;若不相似,请说明理由.
34. 我国是世界上严重缺水的国家之一.为了增强居民的节水意识,某市自来水公司对居民用水采
用以户为单位分段计费办法收费.即一个月用水10t以内(包括10t)的用户,每吨收水费a 元;一个月用水超过10t的用户,10t水仍按每吨a元收费,超过10t的部分,按每吨b(b>a)元收费.设一户居民月用水x t,应交水费y元,y与x之间的函数关系如图所示.
(1)求a的值;某户居民上月用水8t,应交水费多少元?
(2)求b的值,并写出当x>10时,y与x之间的函数解析式.
35. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,sinB=3
,点D是BC上一点,DE⊥AB于点E,CD=
5
DE,AC+CD=9,求BE,CE的长.
36. 如图,在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN,在码头西端M的正西19.5km处有
一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A处的北偏西30∘且与A相距40km的h,又测得该轮船位于A处的北偏东60∘且与A处相距8√3km的C处.B处,经过4
3
(1)求轮船航行的速度(结果保留根号).
(2)如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船能否正好至码头MN靠岸?请说明理由.
37. 已知函数y=2y1−y2,y1与x+1成正比例,y2与x成反比例,当x=1时,y=4;当x=
2时,y=3.
(1)写出y关于x的函数解析式;
(2)当x=−1时,求y的值.
38. 如图,一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=k
(k为常数,k≠0)的图象交于点
x
A(−1,4)和B(a,1).
(1)求反比例函数的表达式和a,b的值;
(2)若A,O两点关于直线l对称,请连接AO,并求出直线l与线段AO的交点坐标.
(k≠0)在第一象限的图象交于A(1,n) 39. 如图,一次函数y=mx+5的图象与反比例函数y=k
x
和B(4,1)两点,过点A作y轴的垂线,垂足为M.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△OAM的面积S;
(3)在y轴上求一点P,使PA+PB最小.
40. 如图,A (−4,12
),B (−1,2) 是一次函数 y 1=ax +b 与反比例函数 y 2=m x 图象的两个交点,
AC ⊥x 轴于点 C ,BD ⊥y 轴于点 D .
(1)根据图象直接回答:在第二象限内,当 x 取何值时,y 1−y 2>0?
(2)求一次函数表达式及 m 的值.
(3)P 是线段 AB 上一点,连接 PC ,PD ,若 △PCA 和 △PDB 面积相等,求点 P 的坐标.
41. 如图,直线 y =−x +3 交 x 轴于点 A ,交 y 轴与点 B ,抛物线 y =ax 2+bx +c 经过 A ,B ,
C (1,0) 三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点 D 的坐标为 (−1,0),在直线 y =−x +3 上有一点 P ,使 △ABO 与 △ADP 相似,求出点 P 的坐标.
42. 如图,点A(3,5)关于原点O的对称点为C,分别过点A,C作y轴的平行线,与反比例函数
y=k
(0<k<15)的图象交于点B,D,连接AD,BC,AD与x轴交于点E(−2,0).x
(1)求k的值;
(2)直接写出阴影部分面积之和.
43. 如图,在平面直角坐标系中,A(0,6),B(8,0).动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位
长度的速度向点O移动,同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P,Q移动的时间为t s.
(1)求直线AB对应的函数解析式;
(2)当t为何值时,△APQ与△AOB相似?
44. 如图,一次函数y=2x+4的图象与x,y轴分别相交于点A,B,四边形ABCD是正方形.
(1)求点A,B,D的坐标;
(2)求直线BD的表达式.
45. 用描点法画二次函数的图象时,部分数据如下表:
x⋯−2−10123⋯
y⋯941014⋯
求该图象相应的二次函数的表达式.
46. 已知二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点(3,0),(−1,0),求此二次函数的表达式.
47. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象(如图),试求该二次函数的表达式.
48. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(1,0)和(2,0),且过点(3,4).
(1)求二次函数的表达式;
(2)求顶点坐标;
(3)x取什么值时,y随x的增大而增大?x取什么值时,y随x增大而减小?
49. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过三点(−1,−1),(1,1),(2,−4).
(1)求二次函数的表达式;
(2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(3)这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?
(x>0)的图象交于A(m,6),B(3,n)两点.50. 如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=6
x
(1)求一次函数的表达式;
成立的x的取值范围;
(2)根据图象直接写出使kx+b<6
x
(3)求△AOB的面积.
51. 已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(1,0),B(0,−3),求此二次函数的表达式.
(k≠0)的52. 如图,一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A,B两点,且与反比例函数y=k
x 图象在第一象限交于点C,如果点B的坐标为(0,2),OA=OB,B是线段AC的中点.求:
(1)点A的坐标及一次函数解析式;
(2)点C的坐标及反比例函数解析式.
53. 如图,在平面直角从标系xOy中,直线l过(1,3)和(3,1)两点,且与x轴,y轴分别交于A,B
两点.
(1)求直线l所对应的函数解析式;
(2)求△AOB的面积.
54. 如图,已知一条直线经过点A(0,2),B(1,0),将这条直线向左平移与x轴,y轴分别交于点C,
D.若DB=DC,求直线CD所对应的函数解析式.
55. 小轿车从甲地出发驶往乙地,同时货车从相距乙地60km的入口处驶往甲地(两车均在甲、乙
两地之间的公路上匀速行驶),如图是它们离甲地的路程y(km)与货车行驶时间x(ℎ)之间的函数的部分图象.
(1)求货车离甲地的路程y(km)与它的行驶时间x(h)的函数表达式.
(2)哪一辆车先到达目的地?说明理由.
56. 一列快车上午10:00从甲地出发,匀速开往乙地,它与乙地的距离y(km)和行驶时间x(h)之间
的部分函数关系的图象如图所示.
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)一列慢车当天上午11:00从乙地出发,以100km/h的速度匀速开往甲地,当快车到达乙地时,求慢车与快车之间的距离.
57. 今年我省部分地区遭遇严重干旱,为鼓励市民节约用水,我市自来水公司按分段收费标准收费,
如图反映的是每月收取水费y(元)与用水量x(吨)之间的函数关系.
(1)小聪家五月份用水7吨,应交水费元;
(2)按上述分段收费标准,小聪家三、四月份分别交水费29元和19.8元,问四月份比三月份节约用水多少吨?
58. 已知二次函数y=ax2+b的图象与x轴交于点A,B,且点A的坐标是(1,0),与y轴交于点
C(0,1).求二次函数的表达式,并求出点B的坐标.
59. 已知直线l1经过点A(−1,0)与点B(2,3),另一条直线l2经过点B,且与x轴交于点P(m,0).
(1)求直线l1的解析式.
(2)若△APB的面积为3,求直线l2的解析式.
60. 已知y=y1+y22,其中y1与x成正比例,y2与x成反比例,且当x=2和x=3时,y的值都
为19,求y与变量x的函数关系式.
61. 根据卫生防疫部门要求,游泳池必须定期换水、清洗.某游泳池周五早上8:00打开排水孔开始
排水,排水孔的排水速度保持不变,期间因清洗游泳池需要暂停排水,游泳池的水在11:30全部排完.游泳池的水量Q(m3)和开始排水后的时间t(h)之间的函数图象如图所示.根据图象解答下列问题:
(1)暂停排水需要多少时间?排水孔的排水速度是多少?
(2)当2≤t≤3.5时,求Q关于t的函数表达式.
(k≠0)和一次函数y=mx+n(m≠0)的图象的一个交点A的坐标为62. 已知反比例函数y=k
x
(−3,4),且一次函数的图象与x轴的交点到原点的距离为5,求这两个函数的解析式.
63. 如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),B(3,0),连接AB.将△AOB沿过点B的直线折
叠,使点A落在x轴上的点Aʹ处,折痕所在的直线交y轴正半轴于点C,求直线BC的解析式.
64. 如图,已知反比例函数y=k1
与一次函数y=k2x+b的图象交于A(1,8),B(−4,m).
x
(1)求k1,k2,b的值;
(2)求△AOB的面积;
的图象上的两点,且x1<x2,y1<y2,指出(3)若M(x1,y1),N(x2,y2)是反比例函数y=k1
x
点M,N各位于哪个象限,并简要说明理由.
65. 如图,抛物线y=ax2+3x+c经过A(−1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P在第一象限的抛物线上,且点P的横坐标为t,过点P向x轴作垂线交直线BC于点Q,设线段PQ的长为m,求m与t之间的函数关系式,并求出m的最大值;
(3)在(2)的条件下,抛物线上点D(不与C重合)的纵坐标为m的最大值,在x轴上找一点E,使点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出E点坐标.
x+bx+c经过△ABC的三个顶点,其中点A(0,1),点B(−9,10),66. 如图,已知抛物线y=1
3
AC∥x轴,点P是直线AC下方抛物线上的动点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)当点P为抛物线的顶点时,在直线AC上是否存在点Q,使得以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
67. 已知O为坐标原点,抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0),与y
轴交于点C,且O,C两点间的距离为3,x1⋅x2<0,∣x1∣+∣x2∣=4,点A,C在直线y2=−3x+t上.
(1)求点C的坐标;
(2)当y1随着x的增大而增大时,求自变量x的取值范围;
(3)将抛物线y1向左平移n(n>0)个单位,记平移后y随着x的增大而增大的部分为P,直线y2向下平移n个单位,当平移后的直线与P有公共点时,求2n2−5n的最小值.
68. 如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B(3,0),与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M是抛物线在x轴下方上的动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求线段MN的最大值;
(3)在(2)的条件下,当MN取最大值时,在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使△PBN 是等腰三角形?若存在,请直接写出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
69. 如图,反比例函数y=m
的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A,B两点,点A的坐标为
x
(2,6),点B的坐标为(n,1).
(1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)点E为y轴上的一个动点,若S△AEB=5,求点E的坐标.
70. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在
原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,−3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)当点P运动到什么位置时,△BPC的面积最大?求出此时P点的坐标和△BPC的最大面积;
(3)连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP1C,那么是否存在点P,使四边形POP1C为菱形?若存在,直接写出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
71. 如图,⊙E的圆心E(3,0),半径为5,⊙E与y轴相交于A,B两点(点A在点B的上方),
x+4,与x轴相交于点D,以点C为顶点与x轴的正半轴交于点C,直线l的表达式为y=3
4
的抛物线过点B.
(1)求抛物线的表达式;
(2)判断直线l与⊙E的位置关系,并说明理由;
(3)动点P在抛物线上,当点P到直线l的距离最小时,求出点P的坐标及最小距离.
72. 如图,过反比例函数y=6
x (x>0)的图象上一点A作x轴的平行线,交双曲线y=−3
x
(x<0)
于点B,过B作BC∥OA交双曲线y=−3
x
(x<0)于点D,交x轴于点C,连接AD交y轴于点E,若OC=3,求OE的长.
答案
1. B
2. D
3. D 【解析】(思路一:待定系数法)由 √a +1+∣b −2∣=0 知 a =−1,b =2,
故 P (−1,2).又因为点 P (−1,2) 在反比例函数 y =k x 的图象上,所以 2=k −1,即 k =−2<0,所以双
曲线的两支分别位于第二、第四象限.
(思路二:对称性)由 √a +1+∣b −2∣=0 知 a =−1,b =2,故点 P (−1,2) 在第二象限.又点 P 在双曲线上,所以这个双曲线的两支分别位于第二、第四象限.
已知双曲线上的点的坐标确定图象的位置的方法:(1)先由点的横、纵坐标积的值确定 k 的值,再判断图象所在的位置;(2)判断已知点的位置,再根据双曲线只能同时位于第一、第三象限内或第二、第四象限内确定图象的位置.
4. D
5. C
6. A
7. C 【解析】设 x 2+ax −12 能分解成两个整系数一次因式的乘积.
即 x 2+ax −12=(x +m )(x +n ),m ,n 是整数.
∴x 2+ax −12=x 2+(m +n )x +mn .
∴mn =−12,m +n =a .
∵m ,n 是整数,且 mn =−12.
∴ 根据 −12 的约数可知,a 的取值一共有 6 种结果.
8. D 【解析】由题意可知:(5x +6)(2x +1)=(17x 2−3x +4)−(ax 2+bx +c ).
∵(5x +6)(2x +1)=10x 2+17x +6,
(17x 2−3x +4)−(ax 2+bx +c )=(17−a )x 2−(3+b )x +4−c ,
∴17−a =10,−(3+b )=17,4−c =6,
∴a =7,b =−20,c =−2,
∴a −b −c =7+20+2=29.
9. y =x 2−2x −3
【解析】因为抛物线经过 A (−1,0),B (3,0) 两点
所以 {1−b +c =09+3b +c =0
解得 b =−1,c =−3, 所以答案为 y =x 2−2x −3
10. 40,80,23
【解析】(1)将 (40,1) 代入 t =k v ,得 1=k 40,解得 k =40.
所以函数解析式为 t =
40v . 将 (m,0.5) 代入 t =40v
,得 0.5=40m ,解得 m =80. 综上,k =40,m =80. (2)令 v =60,得 t =4060=23(h ).
结合函数图象可知,汽车通过该路段最少需要 23 h .
11. y =−2x +1
12. −31
【解析】(2x −21)(3x −7)−(3x −7)(x −13)
=(3x −7)(2x −21−x +13)=(3x −7)(x −8)
则 a =−7,b =−8,
∴a +3b =−7−24=−31.
13. 10√33
【解析】∵S △AOC =12,S △BOC =92,
∴12∣k 1∣=12,12∣k 2∣=92, 又 ∵k 1<0,k 2>0,
∴k 1=−1,k 2=9,
∴ 两反比例函数的解析式分别为 y =−1x ,y =9x . 设 B 点坐标为 (9t ,t)(t >0),
∵AB ∥x 轴,
∴A 点的纵坐标为 t ,把 y =t 代入 y =−1x ,得 x =−1t ,
∴A 点的坐标为 (−1t ,t).
∵OA ⊥OB ,
∴∠AOC =∠OBC ,
∴Rt △AOC ∽Rt △OBC ,
∴OC:BC =AC:OC ,即 t:9t =1t :t ,
∴t =√3,
∴A 点坐标为 (−√33
,√3),B 点坐标为 (3√3,√3), ∴ 线段 AB 的长为 3√3−(−
√33)=10√33
. 14. 27 或 25 【解析】本题的关键是“在直线 AD 上截取”,注意本题有两种情况.
情况一:如图①,过点 E 作 EM ∥BC 交 AC 于 M .
∵EM ∥BC ,AE =BE ,
∴EM =12BC =12×32AF =34AF ,
∵AF ∥EM ,
∴AG GM =AF EM =AF 34AF =43. 设 AG =4x ,则 GM =3x ,
∴AM =7x ,
∴AC =14x ,
∴AG AC =4x 14x =27. 情况二:如图②,过 E 点作 EM ∥BC 交 AC 于 M .
∵EM ∥BC ,AE =BE ,
∴AM =CM ,
∵AF ∥EM ,
∴AG GM =AF EM =2AD
12AD =41. 设 AG =4x ,则 GM =x ,
∴AM =5x ,
∴AC =10x ,
∴AG AC =4x 10x =25.
15. (1) ∵ A (1,3),∴ OB =1,AB =3.
又 ∵ AB =3BD ,
∴ BD =1,∴ D (1,1).
∴ k =1×1=1.
(2) 由(1)知反比例函数的解析式为 y =1x , 解方程组 {y =3x,
y =1x ,
得 {x =√33,y =√3,或{x =−
√33,y =−√3,(舍去) ∴ 点 C 的坐标为 (√33,√3).
(3) 作点 D 关于 y 轴的对称点 E ,则 E (−1,1),连接 CE 交 y 轴于点 M ,点 M 即为所求. 设直线 CE 对应的函数解析式为 y =mx +b ,
则 {√33m
+b =√3,−m +b =1,
解得 {m =2√3−3,b =2√3−2.
∴ 直线 CE 对应的函数解析式为 y =(2√3−3)+2√3−2.
当 x =0 时,y =2√3−2,
∴ 点 M 的坐标为 (0,2√3−2).
16. (1) 因为点 P (−1,n ) 在直线 y =−3x 上,
所以 n =(−3)×(−1)=3.
又因为点 P (−1,n ) 在双曲线 y =
m−5x 上,
所以 m −5=−3,
所以 m =2.
(2) 因为 m −5=−3<0,
所以当 x <0 时,y 随 x 的增大而增大.
而点 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2) 在双曲线 y =
m−5x 上,且 x 1<x 2<0,
所以 y 1<y 2.
17. 如图,过点 A 作 AD ⊥BC ,垂足为点 D .
设 BD =x ,在 Rt △ABD 中,AD =BD ⋅tanB =x ⋅tan60∘=√3x .
在 Rt △ACD 中,
因为 ∠C =45∘,
所以 ∠CAD =90∘−∠C =45∘,
所以 ∠C =∠CAD ,
所以 CD =AD =√3x .
因为 BC =1+√3,
所以 √3x +x =1+√3,
解得 x =1,即 BD =1.
在 Rt △ABD 中,
因为 cosB =BD AD ,
所以 AB =BD cosB =1cos60∘=2.
18. (1) 在 y =2x 中,令 x =1,得 y =2,则点 B 的坐标是 (1,2),
设一次函数的解析式是 y =kx +b (k ≠0),
则 {b =3,k +b =2, 解得 {b =3,k =−1.
故一次函数的解析式是 y =−x +3.
(2) 点 C (4,−2) 不在该一次函数的图象上.
理由如下:对于 y =−x +3,
当 x =4 时,y =−1≠−2,
所以点 C (4,−2) 不在该函数的图象上.
(3) 在 y =−x +3 中,令 y =0,得 x =3,
则点 D 的坐标是 (3,0).
则 S △BOD =12×OD ×2=12×3×2=3.
19. (1) y =−6x +24
【解析】设 y 与 x 之间的函数表达式为 y =kx +b .由图象易知,当 x =0 时,y =24;当 x =2 时,
y =12.所以 {24=b,12=2k +b, 解得 {k =−6,b =24. 所以蜡烛燃烧时 y 与 x 之间的函数表达式为 y =−6x +24.
(2) 4 h
【解析】当 y =0 时,−6x +24=0,解得 x =4.所以蜡烛从点燃到燃尽所用的时间为 4 h .
20. (1) 过点 B 作 BD ⊥x 轴,垂足为 D ,
因为 S △AOB =12OA ⋅BD =12×2n =4,
所以 n =4,
所以 B (2,4),
所以反比例函数的解析式为 y =8x ,
设直线 AB 对应的函数解析式为 y =kx +b ,
由题意得 {−2k +b =0,2k +b =4. 解得 {k =1,b =2.
, 所以直线 AB 对应的函数解析式为 y =x +2.
(2) 对于 y =x +2,当 x =0 时,y =0+2=2,
所以 C (0,2),
所以 S △OCB =S △AOB −S △AOC =4−12×2×2=2. 21. (1) 由题意,设点 P 的坐标为 (m,2) .
∵ 点 P 在正比例函数 y =x 的图象上,
∴2=m ,即 m =2 .
∴ 点 P 的坐标为 (2,2) .
∵ 点 P 在反比例函数 y =
k−1x 的图象上, ∴2=k−12 ,解得 k =5 .
(2) ∵ 在反比例函数 y =
k−1x 的图象的每一支上,y 随 x 的增大而增大,∴k −1<0 ,解得 k <1 .
(3) ∵ 反比例函数 y =k−1x 的图象的一支位于第二象限,
∴ 在该图象的每一支上 y 随 x 的增大而增大.
∵ 点 A (x 1,y 1) 与点 B (x 2,y 2) 在该函数的第二象限的图象上,且 y 1>y 2,
∴x 1>x 2 .
22. (1) ∵ 点 A 的坐标是 (2,3),且点 A 在反比例函数 y =k x (k ≠0) 图象上, ∴ 3=k 2
,∴ k =6. 又 ∵ 点 C 与点 A 关于原点 O 对称,
∴ C (−2,−3).
(2) ∵ △APO 的面积为 2,点 A 的坐标是 (2,3),
∴ 2=OP⋅22,得 OP =2,
∴ 点 P 的坐标为 (0,2).
设过点 P (0,2) 、点 A (2,3) 的直线为 y =ax +b ,
∴ {b =2,2a +b =3, 解得 {a =12,b =2.
即直线 PA 对应函数的解析式为 y =12x +2. 将 y =0 代入 y =12x +2,得 x =−4,∴ OD =4. ∵ A (2,3),C (−2,−3),
∴ AC =√(−3−3)2+(−2−2)2=2√13.
设点 D 到 AC 的距离为 m ,
∵ S △ACD =S △ODA +S △ODC ,
∴ 2√13⋅m 2=4×32+4×32,解得 m =
12√1313. 即点 D 到直线 AC 的距离是 12√1313.
23. (1) 把点 B 的坐标 (3,0) 代入抛物线 y =x 2+bx +6 得 0=9+3b +6,解得 b =−5,所以抛物线的表达式 y =x 2−5x +6.
(2) ∵ 抛物线的表达式 y =x 2−5x +6,
∴ A (2,0),B (3,0),C (0,6)
∴ S △ABC =12×1×6=3. 24. 设一次函数解析式为 y =kx +b .
∵ 直线 y =kx +b 过 (−4,15),(6,−5) 两点,
∴{−4k +b =15,6k +b =−5.
解得 {k =−2,b =7.
所以一次函数的解析式为 y =−2x +7 .
25. (1) 因为反比例函数 y =k x 的图象经过点 A (2,3),所以 3=k 2,k =6 ,故所求函数的解析式为 y =6x .
(2) 点 B (1,6) 在这个反比例函数的图象上.理由:把 x =1 代入 y =6x ,得 y =6 ,所以点 B (1,6) 在反比例函数 y =6x 的图象上. 26. (1) 能.由结论中的点 M 一定在双曲线 y =
2b x 上, 得 −b =2b b ,则 b =−2,
∴ M (−2,2).
∴ 2=−2k −2.解得 k =−2.
∴ 直线对应的函数解析式为 y =−2x −2.
(2) 答案不唯一,如:直线 y =kx +b 经过点 N (1,−4) 等等.
27. ∵y 1 与 x 成正比例,
∴ 设 y 1=k 1x (k 1≠0).
∵y 2 与 x 成反比例,
∴ 设 y 2=k 2x (k 2≠0).
由 y =y 1+y 2,得 y =k 1x +k 2x .
又 ∵y =k 1x +k 2x 的图象经过 (1,2) 和 (2,12
) 两点, ∴{2=k 1+k 2,12=2k 1+k 22
. 解此方程组得 {k 1=−13,k 2=73. ∴y 与 x 的函数解析式是 y =−13x +73x .
28. (1) 过点 A 作 AD ⊥x 轴,垂足为 D ,如图所示.
在 Rt △OAD 中,sin60∘=AD OA ,cos60∘=OD OA ,
∴AD =OA ⋅sin60∘=2sin60∘=2×
√32=√3, OD =OA ⋅cos60∘=2cos60∘=2×12=1.
∴ 点 A 的坐标是 (1,√3).
(2) 设直线 AB 对应的函数解析式为 y =kx +b .
∵ 直线 AB 过点 A(1,√3) 和 B (3,0),
∴{k +b =√3,3k +b =0, 解得 {k =−√32,b =32√3. ∴ 直线 AB 对应的函数解析式是 y =−
√32x +32√3. 令 x =0,则 y =32
√3, ∴OC =3√32
. ∴S △AOC =12OC ⋅OD =12×3√32×1=3√34
. 29. (1) y ={100x,0≤x ≤6,−75x +1050,6<x ≤14
(2) 75千米/小时
30. (1) 设锻造时的函数关系式为 y =
k 1x ,则 600=k 18 ,所以 k 1=4800 . 所以锻造时的函数关系式为 y =
4800x (x ≥6) . 当 y =800 时,800=4800x ,x =6,
所以点 B 的坐标为 (6,800) .
设煅烧时的一次函数关系式为 y =k 2x +b ,则 {b =32,6k 2+b =800,
解得 {k 2=128,b =32,
所以煅烧时的函数关系式为 y =128x +32(0≤x ≤6) .
(2) 当 y =480 时,x =4800480=10,10−6=4 ,
所以锻造的操作时间有 4 分钟.
31. (1) 由题意得 {a −b +c =0,
c =5,a +b +c =8,
解得 {a =−1,
b =4,
c =5.
所以抛物线的表达式为 y =−x 2+4x +5.
(2) 令 y =0,得 −x 2+4x +5=0,
解得 x 1=5,x 2=−1,
所以 B (5,0).
由 y =−x 2+4x +5=−(x −2)2+9,
得 M (2,9).
过点 M 作 ME ⊥y 轴于点 E .
如图所示.
则 S △MCB =S 四边形EOBM −S △ECM −S △COB ,
可得 S △MCB =12×(2+5)×9−12×2×(9−5)−12×5×5=15.
32. (1) 过点 A 作 AE ⊥x 轴 于点 E
因为:点 A 为 OD 中点
所以:AE =12DC =2,OE =12OC =1.5
所以:点 A 坐标为 (1.5,2)
设反比例函数表达式为 y =k x ,把 x =1.5,y =2 代入,得 k =3
所以:反比例函数的表达式为 y =3x
(2) 作点 B 关于 x 轴的对称点 Bʹ 连接 AB ′,交 x 轴于点 P .
把 x =3 代入 y =3x ,得 y =1
所以点 B ′ 的坐标为 (3,−1)
设直线AB′的表达式为y=kx+b,由点A(1.5,2),点B′(3,−1)可解得直线AB′的表达式为y=−2x+5
把y=0代入y=−2x+5,得x=2.5
所以点P的坐标为(2.5,0)
33. (1)设抛物线对应的函数解析式为y=ax2+bx+c.
把A,B,E三点的坐标分别代入,
得{a−b+c=0,
c=3,
9a+3b+c=0,
解得{
a=−1,
b=2,
c=3.
∴抛物线对应的函数解析式为y=−x2+2x+3.
(2)相似.由抛物线对应的函数解析式可求出点D坐标为(1,4),易求出OA=1,OB=3,AB=√10,BD=√2,BE=3√2,DE=2√5,
∴OA
BD =OB
BE
=AB
DE
=
√2

∴△AOB∽△DBE.
34. (1)当x≤10时,由题意知y=ax.将x=10,y=15代入,得15=10a,所以a=1.5.故当x≤10时,y=1.5x.当x=8时,y=1.5×8=12.
故应交水费12元.
(2)当x>10时,由题意知y=b(x−10)+15.将x=20,y=35代入,
得35=10b+15,所以b=2.故当x>10时,y与x之间的函数解析式为y=2x−5.
35. ∵sinB=3
5
,∠ACB=90∘,DE⊥AB,
∴sinB=DE
DB =AC
AB
=3
5

设DE=CD=3k(k>0),则DB=5k.∴CB=8k,AC=6k,AB=10k.
∵AC+CD=9,
∴6k+3k=9.解得k=1.
∴DE=3,DB=5.
∴BE=√DB2−DE2=√52−32=4.过点C作CF⊥AB于点F,则CF∥DE,
∴DE
CF =BE
BF
=BD
BC
=5
8

∴CF=24
5,BF=32
5

∴EF=BF−BE=12
5

在Rt△CEF中,CE=√CF2+EF2=12√5
5

36. (1)由题意可得∠BAC=90∘,AB=40km,AC=8√3km,所以BC=√402+(8√3)2=16√7(km).
所以轮船航行的速度为16√7÷4
3
=12√7(km/h).
(2)能.
理由:如图,过点B作BD⊥l于点D,过点C用CE⊥l于点E,延长BC交l于点F.
由已知易知∠BAD=60∘,∠CAE=30∘.
在Rt△BDA中,AD=AB⋅cos∠BAD=20km,DB=AB⋅sin∠BAD=20√3km.
在Rt△ACE中,CE=AC⋅sin∠CAE=4√3km,AE=AC⋅cos∠CAE=12km.
因为BD⊥l,CE⊥l,
所以CE∥BD.
易得△FDB∼△FEC.
所以CE
BD =FE
FD

设EF=x km,则√3
203=x
x+20+12

解得x=8.
所以AF=AE+EF=20km.
因为AM=19.5km,AN=20.5km,
所以AM<AF<AN.
所以该轮船不改变航向继续航行,能正好至码头MN靠岸.
37. (1)由题意,设y1=k1(x+1),y2=k2
x
,k1,k2均不为0.∵y=2y1−y2,
∴y=2k1(x+1)−k2
x

∵当x=1时,y=4;当x=2时,y=3,
∴{4=4k1−k2,
3=6k1−k2
2
,解得{
k1=1
4
,
k2=−3.
∴y=1
2(x+1)−−3
x
,即y=1
2
x+3
x
+1
2

(2)当x=−1时,y=−1
2−3+1
2
=−3.
38. (1)∵点A(−1,4)在反比例函数y=k
x
(k为常数,k≠0)的图象上,∴k=−1×4=−4.
∴反比例函数的表达式为y=−4
x

把点A(−1,4),B(a,1)的坐标分别代入
y=x+b,

{4=−1+b,
1=a+b
,
解得
{a =−4,b =5.
(2) 链接 AO ,设线段 AO 与直线 l 相交于点 M ,如图所示.
∵ A ,O 两点关于直线 l 对称,
∴ 点 M 为线段 OA 的中点.
∵ 点 A (−1,4),O (0,0),
∴ 点 M 的坐标为 (−12,2). ∴ 直线 l 与线段 AO 的交点坐标为 (−12,2). 39. (1) 将 B (4,1) 的坐标代入 y =k x ,得 1=k 4, ∴k =4,
∴y =4x .
将 B (4,1) 的坐标代入 y =mx +5,得 1=4m +5,
∴m =−1,
∴y =−x +5.
(2) 在 y =4x 中,令 x =1,得 y =4, ∴A (1,4),
∴S =12×1×4=2.
(3) 作点 A 关于 y 轴的对称点 N ,则 N (−1,4).
连接 BN ,交 y 轴于点 P ,点 P 即为所求.
设直线 BN 所对应的函数解析式为 y =ax +b ,
由 {4a +b =1,−a +b =4, 解得 {a =−35,b =175, ∴y =−35x +
175,
∴P (0,175). 40. (1) 在第二象限内,当 −4<x <−1 时,y 1−y 2>0.
(2) ∵ 双曲线 y 2=m x 过 A (−4,12),
∴m =−4×12=−2.
∵ 直线 y 1=ax +b 过 A (−4,12),B (−1,2),
∴{−4a+b=1
2
,
−a+b=2,
解得{
a=1
2
,
b=5
2
.
∴y1=1
2x+5
2

(3)设P(t,1
2t+5
2
),过P作PM⊥x轴于M,PN⊥y轴于N.
∴PM=1
2t+5
2
,PN=−t.
∵S△PCA=S△PDB,
∴1
2⋅AC⋅CM=1
2
⋅BD⋅DN,
即1
2×1
2
(t+4)=1
2
×1×(2−1
2
t−5
2
),
解得t=−5
2

∴P(−5
2,5
4 ).
41. (1)由题意得A(3,0),B(0,3),∵抛物线经过A,B,C三点,
∴把A(3,0),B(0,3),C(1,0)三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c,得方程组{9a+3b+c=0,
c=3,
a+b+c=0.
解得
{a=1,
b=−4, c=3.

∴抛物线的解析式为y=x2−4x+3.(2)如图,
由题意可得△ABO为等腰直角三角形,若△ABO∽△AP1D,则AO
AD =OB
DP1

∴DP1=AD=4,
∴P1(−1,4),
若△ABO∽△ADP2,过点P2作P2M⊥x轴于M,
∵△ABO为等腰直角三角形,
∴△ADP2是等腰直角三角形,
由三线合一可得:DM=AM=2=P2M,即点M与点C重合,∴P2(1,2),
∴点P的坐标为(−1,4)或(1,2).
42. (1)设直线AD对应的函数解析式y=ax+b.
因为直线AD过点A(3,5),E(−2,0),
所以 {3a +b =5,−2a +b =0, 解得 {a =1,b =2.
所以直线 AD 对应的函数解析式为 y =x +2.
因为点 C 与点 A (3,5) 关于原点对称.
所以点 C 的坐标为 (−3,−5).
因为 CD ∥y 轴,
所以点 D 的横坐标为 −3.
把 x =−3 代入 y =x +2,
得 y =−1.
所以点 D 的坐标为 (−3,−1).
因为点 D 在函数 y =k x 的图象上,
所以 k =(−3)×(−1)=3.
(2) 12
43. (1) 设直线 AB 对应的函数解析式为 y =kx +b .
由题意,得 {b =6,8k +6=0, 解得 {k =−34,b =6.
所以直线 AB 对应的函数解析式为 y =−34x +6.
(2) 由 AO =6,BO =8 得 AB =10,
易得 AP =t ,AQ =10−2t .
如图①,
当 AP AO =AQ AB 时,△APQ ∼△AOB ,
所以 t 6=10−2t 10,解得 t =3011; 如图②,
当 AP AB =
AQ AO 时,△AQP ∼△AOB , 所以 t 10=10−2t 6,解得 t =5013.
综上可知,当 t =3011 或 5013 时,△APQ 与 △AOB 相似.
44. (1) 因为当 y =0 时,2x +4=0,x =−2.
所以点 A (−2,0).
因为当 x =0 时,y =4.
所以点 B (0,4).
过 D 作 DH ⊥x 轴于 H 点,
因为四边形 ABCD 是正方形,
所以 ∠BAD =∠AOB =∠AHD =90∘,AB =AD .
所以 ∠BAO +∠ABO =∠BAO +∠DAH ,
所以 ∠ABO =∠DAH .
在 △ABO 和 △DAH 中,
{∠AOB =∠DHA,
∠ABO =∠DAH,AB =AD.
所以 △ABO ≌△DAH (AAS ).
所以 DH =AO =2,AH =BO =4,
所以 OH =AH −AO =2.
所以点 D (2,−2).
(2) 设直线 BD 的表达式为 y =kx +b .
所以 {2k +b =−2,b =4.
解得 {k =−3,b =4.
所以直线 BD 的表达式为 y =−3x +4.
45. 由题意知,抛物线的顶点坐标为 (1,0),
∴ 设抛物线的解析式为 y =a (x −1)2.
∵(2,1) 在抛物线 y =a (x −1)2 上,
∴1=a (2−1)2,
∴a =1
∴y =(x −1)2.
46. ∵ 点 (3,0),(−1,0) 在抛物线 y =−x 2+bx +c 上,
∴{−9+3b +c =0,−1−b +c =0,
∴{b =2,c =3.
∴y =−x 2+2x +3.
47. ∵ 抛物线 y =ax 2+bx +c 过 (0,3),(1,0),(3,0).
∴{c =3,
a +
b +
c =0,9a +3b +c =0,
∴{c =3,
a =1,
b =−4.
∴y =x 2−4x +3.
48. (1) ∵ 点 (1,0),(2,0),(3,4) 在抛物线 y =ax 2+bx +c 上,
∴{a +b +c =0,
4a +2b +c =0,9a +3b +c =4,
∴{a =2,
b =−6,
c =4.
∴y =2x 2−6x +4.
(2) ∵y =2(x −32)2−12,
∴ 顶点坐标为 (32,−12
). (3) 当 x >32 时,y 随 x 增大而增大;当 x <32 时,y 随 x 增大而减小.
49. (1) ∵ 点 (−1,−1),(1,1),(2,−4) 在抛物线 y =ax 2+bx +c 上, ∴{a −b +c =−1,
a +
b +
c =1,4a +2b +c =−4,
∴{a =−2,
b =1,
c =2.
∴y =−2x 2+x +2.
(2) y =−2(x −14)2+178.
开口向下,对称轴直线 x =14,顶点坐标 (14,178).
(3) ∵a =−2<0,
∴ 有最大值 178. 50. (1) 因为 A (m,6),B (3,n ) 两点在反比例函数 y =6x
(x >0) 的图象上, 所以 m =1,n =2,即 A (1,6),B (3,2).
又因为 A (1,6),B (3,2) 在一次函数 y =kx +b 的图象上,
所以 {6=k +b,2=3k +b, 解之,得 {k =−2,b =8.
即一次函数的表达式为 y =−2x +8.
(2) 根据图象可知,使 kx +b <6x 成立的 x 的取值范围是 0<x <1 或 x >3.
(3) 分别过点 A ,B 作 AE ⊥x 轴,BC ⊥x 轴,垂足分别为 E ,C ,。

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