待定系数法 通关72题(含答案)

待定系数法通关72题（含答案）1. 已知反比例函数的图象经过点(−1,2)，则它的解析式是( )
A. y=−1
2x B. y=−2
x
C. y=2
x
D. y=1
x
2. 如图，点A是双曲线y=k
x
在第二象限分支上任意一点，点B、点C、点D分别是点A关于x 轴、坐标原点、y轴的对称点．若四边形ABCD的面积是8，则k的值为( )
A. −1
B. 1
C. 2
D. −2
3. 若√a+1+∣b−2∣=0，点P(a,b)在反比例函数y=k
x
的图象上，则这个函数的图象位于( )
A. 第二、三象限
B. 第一、三象限
C. 第三、四象限
D. 第二、四象限
4. 如果(2+√2)2
=a+b√2（a，b为有理数），那么a+b等于( )
A. 2
B. 3
C. 8
D. 10
5. 若x2+mx−15=(x+3)(x+n)，则m的值为( )
A. −5
B. 5
C. −2
D. 2
6. 若y＝ax2＋bx＋c，由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是( )
x−101
ax21
ax2+bx+c83
A. y=x2−4x+3
B. y=x2−3x+4
C. y=x2−3x+3
D. y=x2−4x+8
7. 已知x2+ax−12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是( )
A. 3个
B. 4个
C. 6个
D. 8个
8. 将一多项式(17x2−3x+4)−(ax2+bx+c)，除以(5x+6)后，得商式为(2x+1)，余式为0．求a−b−c=( )
A. 3
B. 23
C. 25
D. 29
9. 抛物线y=x2+bx+c经过A(−1,0)，B(3,0)两点，则这条抛物线的表达式为( )．
10. 一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（单位：h）与行驶速度v（单位：km/h）满足函数关
系t=k
v
，其图象为图中的一段曲线，端点为A(40,1)和B(m,0.5)．（1）k=,m=；（2）若行驶速度不得超过60km/h，则汽车通过该路段最少需要h．
11. 若点 (−1,3) 在一次函数 y =kx +1 的图象上，则此函数的解析式为 ．
12. 已知 (2x −21)(3x −7)−(3x −7)(x −13) 可分解因式为 (3x +a )(x +b )，其中 a 、 b 均为整
数，则 a +3b = ．
13. 如图，在函数 y 1=
k 1x
(x <0) 和 y 2=
k 2x
(x >0) 的图象上分别有 A ，B 两点，若 AB ∥x 轴，交
y 轴于点 C ，且 OA ⊥OB ，S △AOC =1
2，S △BOC =9
2，则线段 AB 的长为 ．
14. 在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 AB 的中点，在直线 AD 上截取 AF =2FD ，EF 交 AC 于点 G ，
则
AG AC
= ．
15. 如图，反比例函数 y =k
x （ k ≠0，x >0 ）的图象与直线 y =3x 相交于点 C ，过直线上点
A (1,3) 作 A
B ⊥x 轴于点 B ，交反比例函数图象于点 D ，且 AB =3BD ．
（1）求 k 的值； （2）求点 C 的坐标；
（3）在 y 轴上确定一点 M ，使点 M 到 C ，D 两点距离之和 d =MC +MD 最小，求点 M 的坐标．
16. 如图，直线y=−3x与双曲线y=m−5
交于点P(−1,n)．
x
（1）求m的值；
上，且x1<x2<0，试比较y1，y2的大小．（2）若点A(x1,y1)，B(x2,y2)在双曲线y=m−5
x
17. 如图，在△ABC中，已知BC=1+√3，∠B=60∘，∠C=45∘，求AB的长．
18. 如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B．
（1）求一次函数的解析式；
（2）判断点C(4,−2)是否在该一次函数的图象上，说明理由；
（3）若该一次函数的图象与x轴交于D点，求△BOD的面积．
19. 在一次蜡烛燃烧实验中，蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(cm)与燃烧时间x(h)之间为一次函数关
系．
根据图提供的信息，解答下列问题：
（1）蜡烛燃烧时y与x之间的函数表达式为；
（2）蜡烛从点燃到燃尽所用的时间为．
20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A(−2,0)，与反比例函数在第一象限
内的图象交于点B(2,n)，连接BO，已知S△AOB=4．
（1）求该反比例函数的解析式和直线AB对应的函数解析式；
（2）若直线AB与y轴的交点为C，求△OCB的面积．
(k为常数,k≠1) .
21. 已知反比例函数y=k−1
x
（1）其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值；
（2）若在其图象的每一支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围；
（3）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任意取两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，当y1>y2时，试比较x1与x2的大小．
(k≠0)的图象上，点B，D在x 22. 如图，平行四边形ABCD的两个顶点A，C在反比例函数y=k
x
轴上，且B，D两点关于原点对称，AD交y轴于P点．
（1）已知点A的坐标是(2,3)，求k的值及C点的坐标；
（2）若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离．
23. 已知在直角坐标平面内，抛物线y=x2+bx+6经讨x轴上两点A，B，点B的坐标为(3,0)，
与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△ABC的面积．
24. 已知一次函数的图象经过(−4,15)，(6,−5)两点，求此一次函数的解析式．
的图象经过点A(2,3) .
25. 如图，反比例函数y=k
x
（1）求这个函数的解析式；
（2）请你判断：点B(1,6)是否在这个反比例函数的图象上?并说明理由．
26. 数学复习课上，王老师出示了如框中的题目：
题目中的黑色矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认得文字．
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中直线对应的函数解析式?若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由．
（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，添加一个适当的条件，把原题补充完整，你添加的这个条件是什么?
)，求y 27. 已知y1与x成正比例，y2与x成反比例，若函数y=y1+y2的图象经过点(1,2)，(2,1
2与x的函数解析式．
28. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内，点B的坐标为(3,0)，OA=2，∠AOB=60∘．
（1）求点A的坐标；
（2）若直线AB交y轴于点C，求△AOC的面积．
29. A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返
回．下图是它们离A城的距离y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数图象.
（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当它们行驶了7小时时，两车相遇，求乙车速度．
30. 工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到800∘C，然后停止
煅烧进行锻造操作．第8min时，材料温度降为600∘C，煅烧是，温度y(∘C)与时间x(min)成反比例关系（如图），已知该材料的初始温度是32∘C．
（1）分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围．
（2）根据工艺要求，当材料温度低于480∘C时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长?
31. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，如图5−8所示，其中点
A(−1,0)，点C(0,5)，另抛物线经过点(1,8),M为它的顶点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）求△MCB的面积S△MCB．
32. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OCD的一边OC在x轴上，∠OCD＝90∘，点D
在第一象限，OC＝3，DC＝4，反比例函数的图象经过OD的中点A．
（1）求该反比例函数的表达式．
（2）若该反比例函数的图象与Rt△OCD的另一边DC交于点B，在x轴上求一点P,使PA＋PB最小．
33. 如图，已知抛物线与x轴交于A(−1,0)，E(3,0)，与y轴交于点B(0,3)．
（1）求抛物线对应的函数解析式．
（2）设（1）中抛物线顶点为D，△AOB与△DBE是否相似?若相似，请给予说明；若不相似，请说明理由．
34. 我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民的节水意识，某市自来水公司对居民用水采
用以户为单位分段计费办法收费．即一个月用水10t以内（包括10t）的用户，每吨收水费a 元；一个月用水超过10t的用户，10t水仍按每吨a元收费，超过10t的部分，按每吨b(b>a)元收费．设一户居民月用水x t，应交水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）求a的值；某户居民上月用水8t，应交水费多少元?
（2）求b的值，并写出当x>10时，y与x之间的函数解析式．
35. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，sinB=3
，点D是BC上一点，DE⊥AB于点E，CD=
5
DE，AC+CD=9，求BE，CE的长．
36. 如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN，在码头西端M的正西19.5km处有
一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A处的北偏西30∘且与A相距40km的h，又测得该轮船位于A处的北偏东60∘且与A处相距8√3km的C处．B处，经过4
3
（1）求轮船航行的速度（结果保留根号）．
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好至码头MN靠岸?请说明理由．
37. 已知函数y=2y1−y2，y1与x+1成正比例，y2与x成反比例，当x=1时，y=4；当x=
2时，y=3．
（1）写出y关于x的函数解析式；
（2）当x=−1时，求y的值．
38. 如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=k
（k为常数，k≠0）的图象交于点
x
A(−1,4)和B(a,1)．
（1）求反比例函数的表达式和a，b的值；
（2）若A，O两点关于直线l对称，请连接AO，并求出直线l与线段AO的交点坐标．
(k≠0)在第一象限的图象交于A(1,n) 39. 如图，一次函数y=mx+5的图象与反比例函数y=k
x
和B(4,1)两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△OAM的面积S；
（3）在y轴上求一点P，使PA+PB最小．
40. 如图，A (−4,12
)，B (−1,2) 是一次函数 y 1=ax +b 与反比例函数 y 2=m x 图象的两个交点，
AC ⊥x 轴于点 C ，BD ⊥y 轴于点 D ．
（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取何值时，y 1−y 2>0?
（2）求一次函数表达式及 m 的值．
（3）P 是线段 AB 上一点，连接 PC ，PD ，若 △PCA 和 △PDB 面积相等，求点 P 的坐标．
41. 如图，直线 y =−x +3 交 x 轴于点 A ，交 y 轴与点 B ，抛物线 y =ax 2+bx +c 经过 A ，B ，
C (1,0) 三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 D 的坐标为 (−1,0)，在直线 y =−x +3 上有一点 P ，使 △ABO 与 △ADP 相似，求出点 P 的坐标．
42. 如图，点A(3,5)关于原点O的对称点为C，分别过点A，C作y轴的平行线，与反比例函数
y=k
(0<k<15)的图象交于点B，D，连接AD，BC，AD与x轴交于点E(−2,0)．x
（1）求k的值；
（2）直接写出阴影部分面积之和．
43. 如图，在平面直角坐标系中，A(0,6)，B(8,0)．动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位
长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t s．
（1）求直线AB对应的函数解析式；
（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似?
44. 如图，一次函数y=2x+4的图象与x，y轴分别相交于点A，B，四边形ABCD是正方形．
（1）求点A，B，D的坐标；
（2）求直线BD的表达式．
45. 用描点法画二次函数的图象时，部分数据如下表：
x⋯−2−10123⋯
y⋯941014⋯
求该图象相应的二次函数的表达式．
46. 已知二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点(3,0)，(−1,0)，求此二次函数的表达式．
47. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象（如图），试求该二次函数的表达式．
48. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(1,0)和(2,0)，且过点(3,4)．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求顶点坐标；
（3）x取什么值时，y随x的增大而增大?x取什么值时，y随x增大而减小?
49. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过三点(−1,−1)，(1,1)，(2,−4)．
（1）求二次函数的表达式；
（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?
(x>0)的图象交于A(m,6)，B(3,n)两点．50. 如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=6
x
（1）求一次函数的表达式；
成立的x的取值范围；
（2）根据图象直接写出使kx+b<6
x
（3）求△AOB的面积．
51. 已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(1,0)，B(0,−3)，求此二次函数的表达式．
(k≠0)的52. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y=k
x 图象在第一象限交于点C，如果点B的坐标为(0,2)，OA=OB，B是线段AC的中点．求：
（1）点A的坐标及一次函数解析式；
（2）点C的坐标及反比例函数解析式．
53. 如图，在平面直角从标系xOy中，直线l过(1,3)和(3,1)两点，且与x轴，y轴分别交于A，B
两点．
（1）求直线l所对应的函数解析式；
（2）求△AOB的面积．
54. 如图，已知一条直线经过点A(0,2)，B(1,0)，将这条直线向左平移与x轴，y轴分别交于点C，
D．若DB=DC，求直线CD所对应的函数解析式．
55. 小轿车从甲地出发驶往乙地，同时货车从相距乙地60km的入口处驶往甲地（两车均在甲、乙
两地之间的公路上匀速行驶），如图是它们离甲地的路程y(km)与货车行驶时间x(ℎ)之间的函数的部分图象．
（1）求货车离甲地的路程y(km)与它的行驶时间x(h)的函数表达式．
（2）哪一辆车先到达目的地?说明理由．
56. 一列快车上午10:00从甲地出发，匀速开往乙地，它与乙地的距离y(km)和行驶时间x(h)之间
的部分函数关系的图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）一列慢车当天上午11:00从乙地出发，以100km/h的速度匀速开往甲地，当快车到达乙地时，求慢车与快车之间的距离．
57. 今年我省部分地区遭遇严重干旱，为鼓励市民节约用水，我市自来水公司按分段收费标准收费，
如图反映的是每月收取水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系．
（1）小聪家五月份用水7吨，应交水费元；
（2）按上述分段收费标准，小聪家三、四月份分别交水费29元和19.8元，问四月份比三月份节约用水多少吨?
58. 已知二次函数y=ax2+b的图象与x轴交于点A，B，且点A的坐标是(1,0)，与y轴交于点
C(0,1)．求二次函数的表达式，并求出点B的坐标．
59. 已知直线l1经过点A(−1,0)与点B(2,3)，另一条直线l2经过点B，且与x轴交于点P(m,0)．
（1）求直线l1的解析式．
（2）若△APB的面积为3，求直线l2的解析式．
60. 已知y=y1+y22，其中y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x=2和x=3时，y的值都
为19，求y与变量x的函数关系式．
61. 根据卫生防疫部门要求，游泳池必须定期换水、清洗．某游泳池周五早上8:00打开排水孔开始
排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11:30全部排完．游泳池的水量Q(m3)和开始排水后的时间t(h)之间的函数图象如图所示．根据图象解答下列问题：
（1）暂停排水需要多少时间?排水孔的排水速度是多少?
（2）当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数表达式．
(k≠0)和一次函数y=mx+n(m≠0)的图象的一个交点A的坐标为62. 已知反比例函数y=k
x
(−3,4)，且一次函数的图象与x轴的交点到原点的距离为5，求这两个函数的解析式．
63. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,4)，B(3,0)，连接AB．将△AOB沿过点B的直线折
叠，使点A落在x轴上的点Aʹ处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，求直线BC的解析式．
64. 如图，已知反比例函数y=k1
与一次函数y=k2x+b的图象交于A(1,8)，B(−4,m)．
x
（1）求k1，k2，b的值；
（2）求△AOB的面积；
的图象上的两点，且x1<x2，y1<y2，指出（3）若M(x1,y1)，N(x2,y2)是反比例函数y=k1
x
点M，N各位于哪个象限，并简要说明理由．
65. 如图，抛物线y=ax2+3x+c经过A(−1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第一象限的抛物线上，且点P的横坐标为t，过点P向x轴作垂线交直线BC于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式，并求出m的最大值；
（3）在（2）的条件下，抛物线上点D（不与C重合）的纵坐标为m的最大值，在x轴上找一点E，使点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出E点坐标．
x+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A(0,1)，点B(−9,10)，66. 如图，已知抛物线y=1
3
AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
67. 已知O为坐标原点，抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A(x1,0)，B(x2,0)，与y
轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x1⋅x2<0，∣x1∣+∣x2∣=4，点A，C在直线y2=−3x+t上．
（1）求点C的坐标；
（2）当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
（3）将抛物线y1向左平移n（n>0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2−5n的最小值．
68. 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B(3,0)，与y轴交于点C(0,3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，当MN取最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN 是等腰三角形?若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
69. 如图，反比例函数y=m
的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为
x
(2,6)，点B的坐标为(n,1)．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）点E为y轴上的一个动点，若S△AEB=5，求点E的坐标．
70. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在
原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,−3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大?求出此时P点的坐标和△BPC的最大面积；
（3）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP1C，那么是否存在点P，使四边形POP1C为菱形?若存在，直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
71. 如图，⊙E的圆心E(3,0)，半径为5，⊙E与y轴相交于A，B两点（点A在点B的上方），
x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点与x轴的正半轴交于点C，直线l的表达式为y=3
4
的抛物线过点B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；
（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，求出点P的坐标及最小距离．
72. 如图，过反比例函数y=6
x (x>0)的图象上一点A作x轴的平行线，交双曲线y=−3
x
(x<0)
于点B，过B作BC∥OA交双曲线y=−3
x
(x<0)于点D，交x轴于点C，连接AD交y轴于点E，若OC=3，求OE的长．
答案
1. B
2. D
3. D 【解析】（思路一：待定系数法）由 √a +1+∣b −2∣=0 知 a =−1，b =2，
故 P (−1,2)．又因为点 P (−1,2) 在反比例函数 y =k x 的图象上，所以 2=k −1，即 k =−2<0，所以双
曲线的两支分别位于第二、第四象限．
（思路二：对称性）由 √a +1+∣b −2∣=0 知 a =−1，b =2，故点 P (−1,2) 在第二象限．又点 P 在双曲线上，所以这个双曲线的两支分别位于第二、第四象限．
已知双曲线上的点的坐标确定图象的位置的方法：（1）先由点的横、纵坐标积的值确定 k 的值，再判断图象所在的位置；（2）判断已知点的位置，再根据双曲线只能同时位于第一、第三象限内或第二、第四象限内确定图象的位置．
4. D
5. C
6. A
7. C 【解析】设 x 2+ax −12 能分解成两个整系数一次因式的乘积．
即 x 2+ax −12=(x +m )(x +n )，m ，n 是整数．
∴x 2+ax −12=x 2+(m +n )x +mn ．
∴mn =−12，m +n =a ．
∵m ，n 是整数，且 mn =−12．
∴ 根据 −12 的约数可知，a 的取值一共有 6 种结果．
8. D 【解析】由题意可知：(5x +6)(2x +1)=(17x 2−3x +4)−(ax 2+bx +c )．
∵(5x +6)(2x +1)=10x 2+17x +6，
(17x 2−3x +4)−(ax 2+bx +c )=(17−a )x 2−(3+b )x +4−c ，
∴17−a =10，−(3+b )=17，4−c =6，
∴a =7，b =−20，c =−2，
∴a −b −c =7+20+2=29．
9. y =x 2−2x −3
【解析】因为抛物线经过 A (−1,0)，B (3,0) 两点
所以 {1−b +c =09+3b +c =0
解得 b =−1，c =−3， 所以答案为 y =x 2−2x −3
10. 40，80，23
【解析】（1）将 (40,1) 代入 t =k v ，得 1=k 40，解得 k =40．
所以函数解析式为 t =
40v ． 将 (m,0.5) 代入 t =40v
，得 0.5=40m ，解得 m =80． 综上，k =40，m =80． （2）令 v =60，得 t =4060=23(h )．
结合函数图象可知，汽车通过该路段最少需要 23 h ．
11. y =−2x +1
12. −31
【解析】(2x −21)(3x −7)−(3x −7)(x −13)
=(3x −7)(2x −21−x +13)=(3x −7)(x −8)
则 a =−7，b =−8，
∴a +3b =−7−24=−31．
13. 10√33
【解析】∵S △AOC =12，S △BOC =92，
∴12∣k 1∣=12，12∣k 2∣=92， 又 ∵k 1<0，k 2>0，
∴k 1=−1，k 2=9，
∴ 两反比例函数的解析式分别为 y =−1x ，y =9x ． 设 B 点坐标为 (9t ,t)(t >0)，
∵AB ∥x 轴，
∴A 点的纵坐标为 t ，把 y =t 代入 y =−1x ，得 x =−1t ，
∴A 点的坐标为 (−1t ,t)．
∵OA ⊥OB ，
∴∠AOC =∠OBC ，
∴Rt △AOC ∽Rt △OBC ，
∴OC:BC =AC:OC ，即 t:9t =1t :t ，
∴t =√3，
∴A 点坐标为 (−√33
,√3)，B 点坐标为 (3√3,√3)， ∴ 线段 AB 的长为 3√3−(−
√33)=10√33
． 14. 27 或 25 【解析】本题的关键是“在直线 AD 上截取”，注意本题有两种情况．
情况一：如图①，过点 E 作 EM ∥BC 交 AC 于 M ．
∵EM ∥BC ，AE =BE ，
∴EM =12BC =12×32AF =34AF ，
∵AF ∥EM ，
∴AG GM =AF EM =AF 34AF =43． 设 AG =4x ，则 GM =3x ，
∴AM =7x ，
∴AC =14x ，
∴AG AC =4x 14x =27． 情况二：如图②，过 E 点作 EM ∥BC 交 AC 于 M ．
∵EM ∥BC ，AE =BE ，
∴AM =CM ，
∵AF ∥EM ，
∴AG GM =AF EM =2AD
12AD =41． 设 AG =4x ，则 GM =x ，
∴AM =5x ，
∴AC =10x ，
∴AG AC =4x 10x =25．
15. （1） ∵ A (1,3)，∴ OB =1，AB =3．
又 ∵ AB =3BD ，
∴ BD =1，∴ D (1,1)．
∴ k =1×1=1．
（2） 由（1）知反比例函数的解析式为 y =1x ， 解方程组 {y =3x,
y =1x ,
得 {x =√33,y =√3,或{x =−
√33,y =−√3,(舍去) ∴ 点 C 的坐标为 (√33,√3)．
（3） 作点 D 关于 y 轴的对称点 E ，则 E (−1,1)，连接 CE 交 y 轴于点 M ，点 M 即为所求． 设直线 CE 对应的函数解析式为 y =mx +b ，
则 {√33m
+b =√3,−m +b =1,
解得 {m =2√3−3,b =2√3−2.
∴ 直线 CE 对应的函数解析式为 y =(2√3−3)+2√3−2．
当 x =0 时，y =2√3−2，
∴ 点 M 的坐标为 (0,2√3−2)．
16. （1） 因为点 P (−1,n ) 在直线 y =−3x 上，
所以 n =(−3)×(−1)=3．
又因为点 P (−1,n ) 在双曲线 y =
m−5x 上，
所以 m −5=−3，
所以 m =2．
（2） 因为 m −5=−3<0，
所以当 x <0 时，y 随 x 的增大而增大．
而点 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2) 在双曲线 y =
m−5x 上，且 x 1<x 2<0，
所以 y 1<y 2．
17. 如图，过点 A 作 AD ⊥BC ，垂足为点 D ．
设 BD =x ，在 Rt △ABD 中，AD =BD ⋅tanB =x ⋅tan60∘=√3x ．
在 Rt △ACD 中，
因为 ∠C =45∘，
所以 ∠CAD =90∘−∠C =45∘，
所以 ∠C =∠CAD ，
所以 CD =AD =√3x ．
因为 BC =1+√3，
所以 √3x +x =1+√3，
解得 x =1，即 BD =1．
在 Rt △ABD 中，
因为 cosB =BD AD ，
所以 AB =BD cosB =1cos60∘=2．
18. （1） 在 y =2x 中，令 x =1，得 y =2，则点 B 的坐标是 (1,2)，
设一次函数的解析式是 y =kx +b (k ≠0)，
则 {b =3,k +b =2, 解得 {b =3,k =−1.
故一次函数的解析式是 y =−x +3．
（2） 点 C (4,−2) 不在该一次函数的图象上．
理由如下：对于 y =−x +3，
当 x =4 时，y =−1≠−2，
所以点 C (4,−2) 不在该函数的图象上．
（3） 在 y =−x +3 中，令 y =0，得 x =3，
则点 D 的坐标是 (3,0)．
则 S △BOD =12×OD ×2=12×3×2=3．
19. （1） y =−6x +24
【解析】设 y 与 x 之间的函数表达式为 y =kx +b ．由图象易知，当 x =0 时，y =24；当 x =2 时，
y =12．所以 {24=b,12=2k +b, 解得 {k =−6,b =24. 所以蜡烛燃烧时 y 与 x 之间的函数表达式为 y =−6x +24．
（2） 4 h
【解析】当 y =0 时，−6x +24=0，解得 x =4．所以蜡烛从点燃到燃尽所用的时间为 4 h ．
20. （1） 过点 B 作 BD ⊥x 轴，垂足为 D ，
因为 S △AOB =12OA ⋅BD =12×2n =4，
所以 n =4，
所以 B (2,4)，
所以反比例函数的解析式为 y =8x ，
设直线 AB 对应的函数解析式为 y =kx +b ，
由题意得 {−2k +b =0,2k +b =4. 解得 {k =1,b =2.
， 所以直线 AB 对应的函数解析式为 y =x +2．
（2） 对于 y =x +2，当 x =0 时，y =0+2=2，
所以 C (0,2)，
所以 S △OCB =S △AOB −S △AOC =4−12×2×2=2． 21. （1） 由题意，设点 P 的坐标为 (m,2) .
∵ 点 P 在正比例函数 y =x 的图象上，
∴2=m ，即 m =2 .
∴ 点 P 的坐标为 (2,2) .
∵ 点 P 在反比例函数 y =
k−1x 的图象上， ∴2=k−12 ，解得 k =5 .
（2） ∵ 在反比例函数 y =
k−1x 的图象的每一支上，y 随 x 的增大而增大，∴k −1<0 ，解得 k <1 .
（3） ∵ 反比例函数 y =k−1x 的图象的一支位于第二象限，
∴ 在该图象的每一支上 y 随 x 的增大而增大．
∵ 点 A (x 1,y 1) 与点 B (x 2,y 2) 在该函数的第二象限的图象上，且 y 1>y 2，
∴x 1>x 2 .
22. （1） ∵ 点 A 的坐标是 (2,3)，且点 A 在反比例函数 y =k x (k ≠0) 图象上， ∴ 3=k 2
，∴ k =6． 又 ∵ 点 C 与点 A 关于原点 O 对称，
∴ C (−2,−3)．
（2） ∵ △APO 的面积为 2，点 A 的坐标是 (2,3)，
∴ 2=OP⋅22，得 OP =2，
∴ 点 P 的坐标为 (0,2)．
设过点 P (0,2) 、点 A (2,3) 的直线为 y =ax +b ，
∴ {b =2,2a +b =3, 解得 {a =12,b =2.
即直线 PA 对应函数的解析式为 y =12x +2． 将 y =0 代入 y =12x +2，得 x =−4，∴ OD =4． ∵ A (2,3)，C (−2,−3)，
∴ AC =√(−3−3)2+(−2−2)2=2√13．
设点 D 到 AC 的距离为 m ，
∵ S △ACD =S △ODA +S △ODC ，
∴ 2√13⋅m 2=4×32+4×32，解得 m =
12√1313． 即点 D 到直线 AC 的距离是 12√1313．
23. （1） 把点 B 的坐标 (3,0) 代入抛物线 y =x 2+bx +6 得 0=9+3b +6，解得 b =−5，所以抛物线的表达式 y =x 2−5x +6．
（2） ∵ 抛物线的表达式 y =x 2−5x +6，
∴ A (2,0)，B (3,0)，C (0,6)
∴ S △ABC =12×1×6=3． 24. 设一次函数解析式为 y =kx +b .
∵ 直线 y =kx +b 过 (−4,15)，(6,−5) 两点，
∴{−4k +b =15,6k +b =−5.
解得 {k =−2,b =7.
所以一次函数的解析式为 y =−2x +7 .
25. （1） 因为反比例函数 y =k x 的图象经过点 A (2,3)，所以 3=k 2，k =6 ，故所求函数的解析式为 y =6x .
（2） 点 B (1,6) 在这个反比例函数的图象上．理由：把 x =1 代入 y =6x ，得 y =6 ，所以点 B (1,6) 在反比例函数 y =6x 的图象上． 26. （1） 能．由结论中的点 M 一定在双曲线 y =
2b x 上， 得 −b =2b b ，则 b =−2，
∴ M (−2,2)．
∴ 2=−2k −2．解得 k =−2．
∴ 直线对应的函数解析式为 y =−2x −2．
（2） 答案不唯一，如：直线 y =kx +b 经过点 N (1,−4) 等等．
27. ∵y 1 与 x 成正比例，
∴ 设 y 1=k 1x (k 1≠0)．
∵y 2 与 x 成反比例，
∴ 设 y 2=k 2x (k 2≠0)．
由 y =y 1+y 2，得 y =k 1x +k 2x ．
又 ∵y =k 1x +k 2x 的图象经过 (1,2) 和 (2,12
) 两点， ∴{2=k 1+k 2,12=2k 1+k 22
. 解此方程组得 {k 1=−13,k 2=73. ∴y 与 x 的函数解析式是 y =−13x +73x ．
28. （1） 过点 A 作 AD ⊥x 轴，垂足为 D ，如图所示．
在 Rt △OAD 中，sin60∘=AD OA ，cos60∘=OD OA ，
∴AD =OA ⋅sin60∘=2sin60∘=2×
√32=√3， OD =OA ⋅cos60∘=2cos60∘=2×12=1．
∴ 点 A 的坐标是 (1,√3)．
（2） 设直线 AB 对应的函数解析式为 y =kx +b ．
∵ 直线 AB 过点 A(1,√3) 和 B (3,0)，
∴{k +b =√3,3k +b =0, 解得 {k =−√32,b =32√3. ∴ 直线 AB 对应的函数解析式是 y =−
√32x +32√3． 令 x =0，则 y =32
√3， ∴OC =3√32
． ∴S △AOC =12OC ⋅OD =12×3√32×1=3√34
． 29. （1） y ={100x,0≤x ≤6,−75x +1050,6<x ≤14
（2） 75千米/小时
30. （1） 设锻造时的函数关系式为 y =
k 1x ，则 600=k 18 ，所以 k 1=4800 . 所以锻造时的函数关系式为 y =
4800x (x ≥6) . 当 y =800 时，800=4800x ，x =6，
所以点 B 的坐标为 (6,800) .
设煅烧时的一次函数关系式为 y =k 2x +b ，则 {b =32,6k 2+b =800,
解得 {k 2=128,b =32,
所以煅烧时的函数关系式为 y =128x +32(0≤x ≤6) .
（2） 当 y =480 时，x =4800480=10，10−6=4 ，
所以锻造的操作时间有 4 分钟．
31. （1） 由题意得 {a −b +c =0,
c =5,a +b +c =8,
解得 {a =−1,
b =4,
c =5.
所以抛物线的表达式为 y =−x 2+4x +5．
（2） 令 y =0，得 −x 2+4x +5=0，
解得 x 1=5，x 2=−1，
所以 B (5,0)．
由 y =−x 2+4x +5=−(x −2)2+9，
得 M (2,9)．
过点 M 作 ME ⊥y 轴于点 E ．
如图所示．
则 S △MCB =S 四边形EOBM −S △ECM −S △COB ，
可得 S △MCB =12×(2+5)×9−12×2×(9−5)−12×5×5=15．
32. （1） 过点 A 作 AE ⊥x 轴 于点 E
因为：点 A 为 OD 中点
所以：AE =12DC =2，OE =12OC =1.5
所以：点 A 坐标为 (1.5,2)
设反比例函数表达式为 y =k x ，把 x =1.5，y =2 代入，得 k =3
所以：反比例函数的表达式为 y =3x
（2） 作点 B 关于 x 轴的对称点 Bʹ 连接 AB ′，交 x 轴于点 P .
把 x =3 代入 y =3x ，得 y =1
所以点 B ′ 的坐标为 (3,−1)
设直线AB′的表达式为y=kx+b，由点A(1.5,2)，点B′(3,−1)可解得直线AB′的表达式为y=−2x＋5
把y=0代入y=−2x＋5，得x=2.5
所以点P的坐标为(2.5,0)
33. （1）设抛物线对应的函数解析式为y=ax2+bx+c．
把A，B，E三点的坐标分别代入，
得{a−b+c=0,
c=3,
9a+3b+c=0,
解得{
a=−1,
b=2,
c=3.
∴抛物线对应的函数解析式为y=−x2+2x+3．
（2）相似．由抛物线对应的函数解析式可求出点D坐标为(1,4)，易求出OA=1，OB=3，AB=√10，BD=√2，BE=3√2，DE=2√5，
∴OA
BD =OB
BE
=AB
DE
=
√2
．
∴△AOB∽△DBE．
34. （1）当x≤10时，由题意知y=ax．将x=10，y=15代入，得15=10a，所以a=1.5．故当x≤10时，y=1.5x．当x=8时，y=1.5×8=12．
故应交水费12元．
（2）当x>10时，由题意知y=b(x−10)+15．将x=20，y=35代入，
得35=10b+15，所以b=2．故当x>10时，y与x之间的函数解析式为y=2x−5．
35. ∵sinB=3
5
，∠ACB=90∘，DE⊥AB，
∴sinB=DE
DB =AC
AB
=3
5
．
设DE=CD=3k(k>0)，则DB=5k．∴CB=8k，AC=6k，AB=10k．
∵AC+CD=9，
∴6k+3k=9．解得k=1．
∴DE=3，DB=5．
∴BE=√DB2−DE2=√52−32=4．过点C作CF⊥AB于点F，则CF∥DE，
∴DE
CF =BE
BF
=BD
BC
=5
8
．
∴CF=24
5,BF=32
5
．
∴EF=BF−BE=12
5
．
在Rt△CEF中，CE=√CF2+EF2=12√5
5
．
36. （1）由题意可得∠BAC=90∘，AB=40km，AC=8√3km，所以BC=√402+(8√3)2=16√7(km)．
所以轮船航行的速度为16√7÷4
3
=12√7(km/h)．
（2）能．
理由：如图，过点B作BD⊥l于点D，过点C用CE⊥l于点E，延长BC交l于点F．
由已知易知∠BAD=60∘，∠CAE=30∘．
在Rt△BDA中，AD=AB⋅cos∠BAD=20km，DB=AB⋅sin∠BAD=20√3km．
在Rt△ACE中，CE=AC⋅sin∠CAE=4√3km，AE=AC⋅cos∠CAE=12km．
因为BD⊥l，CE⊥l，
所以CE∥BD．
易得△FDB∼△FEC．
所以CE
BD =FE
FD
．
设EF=x km，则√3
203=x
x+20+12
，
解得x=8．
所以AF=AE+EF=20km．
因为AM=19.5km，AN=20.5km，
所以AM<AF<AN．
所以该轮船不改变航向继续航行，能正好至码头MN靠岸．
37. （1）由题意，设y1=k1(x+1)，y2=k2
x
，k1，k2均不为0．∵y=2y1−y2，
∴y=2k1(x+1)−k2
x
．
∵当x=1时，y=4；当x=2时，y=3，
∴{4=4k1−k2,
3=6k1−k2
2
,解得{
k1=1
4
,
k2=−3.
∴y=1
2(x+1)−−3
x
，即y=1
2
x+3
x
+1
2
．
（2）当x=−1时，y=−1
2−3+1
2
=−3．
38. （1）∵点A(−1,4)在反比例函数y=k
x
（k为常数，k≠0）的图象上，∴k=−1×4=−4．
∴反比例函数的表达式为y=−4
x
．
把点A(−1,4)，B(a,1)的坐标分别代入
y=x+b,
得
{4=−1+b,
1=a+b
,
解得
{a =−4,b =5.
（2） 链接 AO ，设线段 AO 与直线 l 相交于点 M ，如图所示．
∵ A ，O 两点关于直线 l 对称，
∴ 点 M 为线段 OA 的中点．
∵ 点 A (−1,4)，O (0,0)，
∴ 点 M 的坐标为 (−12,2)． ∴ 直线 l 与线段 AO 的交点坐标为 (−12,2)． 39. （1） 将 B (4,1) 的坐标代入 y =k x ，得 1=k 4， ∴k =4，
∴y =4x ．
将 B (4,1) 的坐标代入 y =mx +5，得 1=4m +5，
∴m =−1，
∴y =−x +5．
（2） 在 y =4x 中，令 x =1，得 y =4， ∴A (1,4)，
∴S =12×1×4=2．
（3） 作点 A 关于 y 轴的对称点 N ，则 N (−1,4)．
连接 BN ，交 y 轴于点 P ，点 P 即为所求．
设直线 BN 所对应的函数解析式为 y =ax +b ，
由 {4a +b =1,−a +b =4, 解得 {a =−35,b =175, ∴y =−35x +
175，
∴P (0,175)． 40. （1） 在第二象限内，当 −4<x <−1 时，y 1−y 2>0．
（2） ∵ 双曲线 y 2=m x 过 A (−4,12)，
∴m =−4×12=−2．
∵ 直线 y 1=ax +b 过 A (−4,12)，B (−1,2)，
∴{−4a+b=1
2
,
−a+b=2,
解得{
a=1
2
,
b=5
2
.
∴y1=1
2x+5
2
．
（3）设P(t,1
2t+5
2
)，过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．
∴PM=1
2t+5
2
，PN=−t．
∵S△PCA=S△PDB，
∴1
2⋅AC⋅CM=1
2
⋅BD⋅DN，
即1
2×1
2
(t+4)=1
2
×1×(2−1
2
t−5
2
)，
解得t=−5
2
，
∴P(−5
2,5
4 )．
41. （1）由题意得A(3,0)，B(0,3)，∵抛物线经过A，B，C三点，
∴把A(3,0)，B(0,3)，C(1,0)三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c，得方程组{9a+3b+c=0,
c=3,
a+b+c=0.
解得
{a=1,
b=−4, c=3.
，
∴抛物线的解析式为y=x2−4x+3．（2）如图，
由题意可得△ABO为等腰直角三角形，若△ABO∽△AP1D，则AO
AD =OB
DP1
，
∴DP1=AD=4，
∴P1(−1,4)，
若△ABO∽△ADP2，过点P2作P2M⊥x轴于M，
∵△ABO为等腰直角三角形，
∴△ADP2是等腰直角三角形，
由三线合一可得：DM=AM=2=P2M，即点M与点C重合，∴P2(1,2)，
∴点P的坐标为(−1,4)或(1,2)．
42. （1）设直线AD对应的函数解析式y=ax+b．
因为直线AD过点A(3,5)，E(−2,0)，
所以 {3a +b =5,−2a +b =0, 解得 {a =1,b =2.
所以直线 AD 对应的函数解析式为 y =x +2．
因为点 C 与点 A (3,5) 关于原点对称．
所以点 C 的坐标为 (−3,−5)．
因为 CD ∥y 轴，
所以点 D 的横坐标为 −3．
把 x =−3 代入 y =x +2，
得 y =−1．
所以点 D 的坐标为 (−3,−1)．
因为点 D 在函数 y =k x 的图象上，
所以 k =(−3)×(−1)=3．
（2） 12
43. （1） 设直线 AB 对应的函数解析式为 y =kx +b ．
由题意，得 {b =6,8k +6=0, 解得 {k =−34,b =6.
所以直线 AB 对应的函数解析式为 y =−34x +6．
（2） 由 AO =6，BO =8 得 AB =10，
易得 AP =t ，AQ =10−2t ．
如图①，
当 AP AO =AQ AB 时，△APQ ∼△AOB ，
所以 t 6=10−2t 10，解得 t =3011； 如图②，
当 AP AB =
AQ AO 时，△AQP ∼△AOB ， 所以 t 10=10−2t 6，解得 t =5013．
综上可知，当 t =3011 或 5013 时，△APQ 与 △AOB 相似．
44. （1） 因为当 y =0 时，2x +4=0，x =−2．
所以点 A (−2,0)．
因为当 x =0 时，y =4．
所以点 B (0,4)．
过 D 作 DH ⊥x 轴于 H 点，
因为四边形 ABCD 是正方形，
所以 ∠BAD =∠AOB =∠AHD =90∘，AB =AD ．
所以 ∠BAO +∠ABO =∠BAO +∠DAH ，
所以 ∠ABO =∠DAH ．
在 △ABO 和 △DAH 中，
{∠AOB =∠DHA,
∠ABO =∠DAH,AB =AD.
所以 △ABO ≌△DAH (AAS )．
所以 DH =AO =2，AH =BO =4，
所以 OH =AH −AO =2．
所以点 D (2,−2)．
（2） 设直线 BD 的表达式为 y =kx +b ．
所以 {2k +b =−2,b =4.
解得 {k =−3,b =4.
所以直线 BD 的表达式为 y =−3x +4．
45. 由题意知，抛物线的顶点坐标为 (1,0)，
∴ 设抛物线的解析式为 y =a (x −1)2．
∵(2,1) 在抛物线 y =a (x −1)2 上，
∴1=a (2−1)2，
∴a =1
∴y =(x −1)2．
46. ∵ 点 (3,0)，(−1,0) 在抛物线 y =−x 2+bx +c 上，
∴{−9+3b +c =0,−1−b +c =0,
∴{b =2,c =3.
∴y =−x 2+2x +3．
47. ∵ 抛物线 y =ax 2+bx +c 过 (0,3)，(1,0)，(3,0)．
∴{c =3,
a +
b +
c =0,9a +3b +c =0,
∴{c =3,
a =1,
b =−4.
∴y =x 2−4x +3．
48. （1） ∵ 点 (1,0)，(2,0)，(3,4) 在抛物线 y =ax 2+bx +c 上，
∴{a +b +c =0,
4a +2b +c =0,9a +3b +c =4,
∴{a =2,
b =−6,
c =4.
∴y =2x 2−6x +4．
（2） ∵y =2(x −32)2−12，
∴ 顶点坐标为 (32,−12
)． （3） 当 x >32 时，y 随 x 增大而增大；当 x <32 时，y 随 x 增大而减小．
49. （1） ∵ 点 (−1,−1)，(1,1)，(2,−4) 在抛物线 y =ax 2+bx +c 上， ∴{a −b +c =−1,
a +
b +
c =1,4a +2b +c =−4,
∴{a =−2,
b =1,
c =2.
∴y =−2x 2+x +2．
（2） y =−2(x −14)2+178．
开口向下，对称轴直线 x =14，顶点坐标 (14,178)．
（3） ∵a =−2<0，
∴ 有最大值 178． 50. （1） 因为 A (m,6)，B (3,n ) 两点在反比例函数 y =6x
(x >0) 的图象上， 所以 m =1，n =2，即 A (1,6)，B (3,2)．
又因为 A (1,6)，B (3,2) 在一次函数 y =kx +b 的图象上，
所以 {6=k +b,2=3k +b, 解之，得 {k =−2,b =8.
即一次函数的表达式为 y =−2x +8．
（2） 根据图象可知，使 kx +b <6x 成立的 x 的取值范围是 0<x <1 或 x >3．
（3） 分别过点 A ，B 作 AE ⊥x 轴，BC ⊥x 轴，垂足分别为 E ，C ，。