新课标人教A版 高一数学必修二定理知识要点

第一章 空间几何体
1．2 空间几何体的三视图和直观图
我们把一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影.
平行投影的投影线是平行的.在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影.
（a ）中心投影 （b ）斜投影 （c ）正投影 正视图、侧视图、俯视图统称为三视图
1.一个几何体的正视图和侧视图的高度一样；
2.正视图与俯视图的长度一样；
3.侧视图与俯视图宽度一样；
定义：上述画水平放置的平面图形的直观图的方法叫做斜二测画法，有如下步骤和规则
(1)在原图形中建立平面直角坐标系xoy ，同时建立直观图坐标系y o x '''，确定水平面，0
45='''∠y o x ； (2)与坐标轴平行的线段保持平行；（3）水平线段等长，竖直线段减半. 1．3 空间几何体的表面积与体积
表中S 表示面积，C ’、C 分别表示上、下底面周长，h 表示高，h ’表示斜高，l 表示侧棱长。

表示l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R 表示半径。

第二章 点、直线、平面之间的位置关. 2．1 空间点、直线、平面之间的位.
平面特征：平面没有大小、厚薄和宽窄，几何里的平面是无限延展的.
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合. 点A 在平面α内，记作A ∈α；点B 在平面α外，记作B ∉α.
直线 l 在平面α内表示为α⊂l ;直线l 不在平面α内表示为α⊄m . 公理1：
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
公理2 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

公理2 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

公理2 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

空间中直线与直线之间的位置关系 公理4: 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 异面直线的求证：一作(找)二证三求。

ααα⊂⇒⎪⎪
⎭⎪⎪⎬⎫
∈∈∈∈l B A l B l A ⎩⎨
⎧∈=⇒∈l
p l
p βαβα
2．2 直线、平面平行的判定及其性
判定定理：
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

判定定理
:一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行. 线面平行的判定定理: 平面外一条直线和此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记：线线平行，则线面平行。

定理告诉我们：要证线面平行，得在面内找一条线，使线线平行。

直线和平面平行的性质定理: 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记:线面平行,则线线平行。

αβααββ
//////⇒⎪⎪⎪
⎭⎪
⎪⎪⎬⎫=⊂⊂b a P b a b a βαααββ
//////⇒⎪⎪⎪
⎭
⎪
⎪⎪⎬⎫
=⊂⊂b a P b a b a
性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．简记:面面平行，则线线平行
b a b a ////⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
==γβγαβα 性质2：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面; 性质3：夹在两个平行平面间的平行线段相等; 性质4：经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行;
性质5：平行于同一平面的两平面平行;
2．3 直线、平面垂直的判定及其性质
线面垂直定义：如果一条直线 l
直. 记作l ⊥
α。

l 叫做α的垂线, α叫做 l 的垂面, l 与α的交点P 叫做垂足。

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
ααα⊥⇒⎪⎪
⎪
⎭
⎪
⎪⎪⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l n l m l B n m m n 二面角的定义：个半平面叫做二面角的面。

二面角的表示方法：α－AB － β；C －AB － D ；α－ l － β；
二面角的平面角：1、二面角的平面角必须满足三个条件；2、二面角的平面角的大小与 其顶点在棱上的位置无关；3、二面角的大小用它的平面角的大小来度量；
二面角的计算：1、找到或作出二面角的平面角；2、证明 1中的角就是所求的角 ；3、计算所求的角；
平面与平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直角（即成直二面角），就说这两个平面互相垂直． 两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据；
从面面垂直的判定定理我们还可以看出面面垂直的问题可以转化为线面垂直的问题来解决； 小结：
1、直线和平面垂直的定义：如果直线和平面内的所有直线都垂直，则就说这条直线和这个平面垂直。

2、直线和平面垂直的判定：如果直线和平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。

3、直线和平面垂直的性质：
（1）垂直于同一平面的两条直线互相平行。

（2）垂直于同一条直线的两个平面互相平行。

（3）如果直线和平面垂直，则这条直线和这个平面内的 所有直线都垂直。

4、唯一性定理：
（1）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。

（2）过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。

第三章 直线与方程
3．1 直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。

倾斜角的范围为0°≤α＜180°
直线的斜率定义： 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即
k=tan α。

倾斜角是90°的直线斜率不存在.
过两点的直线的斜率公式经过两点P1（x1,y1）,P2(x2,y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为K= 倾斜角是90°的直线斜率不存在. 3．2 直线的方程 直线方程的五种形式
:
线段的中点坐标公式:
若点P1、P2的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），且线段P1P2的中点M 的坐标为（x,y ），则
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧+=+=222121y y y x x x ，此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 方法与技巧
1.要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：k= ，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标（x1≠x2）时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当x1=x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°。

2.求斜率可用k=tan α（α≠90°），其中 为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”.
3.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法.
4.重视轨迹法求直线方程的方法，即在所求直线上设一任意点P （x ，y ），再找出x ，y 的一次关系式，例如求直线关于点对称的直线方程、求直线关于直线对称的直线方程就可用轨迹法来求. 失误与防范
1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.
2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性.
3.利用一般式方程Ax+By+C=0求它的方向向量为（-B ，A ）不可记错，但同时注意方向向量是不唯一的.
4.利用三种直线方程求直线方程时，要注意这三种直线方程都有适用范围，利用它们都不能求出垂直于x 轴的直线方程.
.
1212x x y y -
-.
1212x x y y --
.
3．3 直线的交点坐标与距离公式 1．空间两点间距离公式
2． 空间中点坐标公式
连接空间两点1111(,,)P x y z 、2222(,,)P x y z 的线段12PP 的中点M 的坐标为121212(
,,)2
2
2
x x y y z z +++． 第四章 圆与方程
4．1 圆的方程
4．2 直线、圆的位置关系 4．3 空间直角坐标系。