导数各类题型方法总结（含答案）

导数各类题型⽅法总结（含答案）
导数各种题型⽅法总结
⼀、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成⽴; 1此类问题提倡按以下三个步骤进⾏解决：
第⼀步：令f '(x)
0得到两个根；
第⼆步：画两图或列表；第三步：由图表可知；
其中不等式恒成⽴问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理⽅法有三种：第⼀种：分离变量求最值 -----⽤分离变量时要特别注意是否需分类讨论( >0,=0,<0)第⼆种：变更主元 (即关于某字母的⼀次函数)
-----(已知谁的范围就把谁作为主元
)；
例1：设函数y f (x)在区间D 上的导数为f (x)， f (x)在区间D 上的导数为g(x)，若在区间D
4
…、 x
3
mx 3x 2
f (x)
12
6 2
(1 )若y f (x)在区间0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围;
(2)若对满⾜ m 2的任何⼀个实数 m ,函数f (x)在区间a,b 上都为“凸函数”，求b
值?
4 3^2
3 2
x mx 3x
x mx o
解：由函数f (x)
得f (x)
3x
12 6 2
3 2
g (x) x 2 mx 3
(1) Q y f (x)在区间0,3上为“凸函数”，
贝V g(x) x 2 mx 3
0在区间［0,3］上恒成⽴
解法⼀：从⼆次函数的区间最值⼊⼿：等价于g max (x)
2x x 3 0 2 1 x 1
2x x 3 0
上，g(x) 0恒成⽴，则称函数y f (x)在区间
D 上为“凸函数”，已知实数 m 是常数， a 的最⼤
g(0) g(3)
3 0 9 3m 3 0
解法⼆：
分离变量法：
0 时,
g(x)
x 3时,g(x) x 2 3 2
x
2 x mx mx
3 0恒成⽴, 0恒成⽴
等价于m -—3
x
由 3门
⽽ h(x) x ( 0 x
m 2
3的最⼤值
x
(0x3 )恒成⽴, 3 )是增函数，贝 y h max (x) h(3) 2
(2) v 当 m 2时f (x)在区间a,b 上都为“凸函数”
则等价于当m 2时g(x)
2
x mx 3 0恒成⽴
变更主元法
2
再等价于F(m) mx x 3
2恒成⽴ (视为关于 m 的⼀次函数最值问题)
F( 2) 0 F(2)
例2:设函数f(x) 〔x3 2ax2 3a2x b(0 a 1,b R)
3
(I)求函数f (x)的单调区间和极值；
(⼆次函数区间最值的例⼦)
g(x) x2 4ax 3a2在[a 1,a 2]上是增函数.
g(x)max g(a 2) 2a 1.
g(x)min g(a 1) 4a 4.
于是，对任意x [a 1,a 2]，不等式①恒成⽴，等价于
a 1.
4
⼜0 a 1, a 1.
5
点评：重视⼆次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征：f(x) g(x)恒成⽴h(x) f (x) g(x) 0恒成⽴；从⽽转化为第⼀、⼆种题型
(n)若对任意的x [a 1,a 2],不等式f (x) a恒成⽴，求a的取值范围.
x 3a x a
3 3
x=a 时，f(x)
4
b；
由| f (x) |< a,得：对任意的[a 1,a 2], x2 4 ax 3a2 a恒成⽴①则等价于g(x)这个⼆次函数
g
max(x) a
g min(x) a
2
g(x) x
2
4ax 3a的对称轴x 2a Q 0 a 1, a 1 2a (放缩法)
g(x)这个⼆次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

令f(X) 0,得f (x)的单调递减区间为
解: (i) f (x) x24ax 3a2
当x=3a时, f(x) 极⼤值=b.
即定义域在对称轴的右边,
g(a 1) 2a 1 a 5
例3 ；已知函数f(x)
x 3 ax 2图象上⼀点P(1,b)处的切线斜率为 3,
3
t 6 2
g(x) x 3
(［)求a,b 的值；
(n)当x ［1,4］时，求f(x)的值域；
(川)当x ［1,4］时，不等式f(x) g(x)恒成⽴，求实数t 的取值范围。

f(x)的值域是［4,16］
思路1：要使f(x) g(x)恒成⽴，只需h(x) 0,即t(x 2
2x) 2x 6分离变量
思路2 :⼆次函数区间最值⼆、题型⼀：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1：转化为f '(x) 0或f '(x) 0在给定区间上恒成⽴，
回归基础题型
解法2：利⽤⼦区间(即⼦集思想)；⾸先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的⼦集；做题时⼀定要看清楚“在(m,n )上是减函数”与“函数的单调减区间是( a,b )”，要弄清楚两句话的区别:
前者是后者的⼦集
(I)如果函数 g(x) f (x)是偶函数，求f(x)的极⼤值和极⼩值;
令f (x) 0 ,解得：x
列表如下:
可知：f (x)的极⼤值为f( 2 3) 4 3 ,
解：(I) f /
(x)
3x 2
2ax
f /(1) 3
b 1 a
解得a
(n)由(i)知,
f (x)在［1,0］上单调递增，在［0,2］上单调递减，在［2,4］上单调递减
⼜ f( 1)
4, f(0) 0, f(2)
4, f (4)
16
(川)令 h(x) f (x) g(x)
-x 2 (t 1)x 3 x [1,4] 2
例4:已知a R ，函数f (x) 丄x 3 12 乞^x 2
(4a 1)x .
2
(n)如果函数
f(x)是(
)上的单调函数，求 a 的取值范围. 1
解: f (x) x
4
2
(
a 1)x
(4 a 1).
(I)： f (x)是偶函数，?
1.
此时f(x) 丄X 3 12 3x , f (x) ^x 2
3 ,
4
f (x)的极⼩值为f (2 3) 4、3.
1)x (4a 1) 0，在给定区间R 上恒成⽴判别式法
则(a 1)2 (4 a
1)
a 2 2a 0, 解得:
0 a 2.
综上，a 的取值范围是 {aO a 2}. 1 3 例5、已知函数f (x) x
3 1(2
a)x 2 (1 a)x(a 0).
(I )求f(x)的单调区间; (II )若f (x)在［0, 1］上单调递增，求a 的取值范围。

⼦集思想
(I ) f (x) x 2 (2 a)x 1 (x 1)(x 1 a). 1、当a 0时,f (x) (x
1)2 0恒成⽴,
当且仅当 x 1时取“=” 号，
f (x)在(
)单调递
增。

2、当a
0时，由f (x) 0,得x
1,X 2 a 1,且 X i X 2,
单调增区间：(，1),(a 1, 单调增区间：(1,a
1)
(II )当Q f(x)在［0,1］上单调递
增
则0,1是上述增区间的⼦
1、a 0 时，f (x)在( )单调递增符合题意
2、 0,1 a 1, 综上，a 的取值范围是 [0， 1]。

三、题型⼆：根的个数问题题1函数f(x)与g(x)(或与解题步骤第⼀步：减再增” 第⼆步：第三步： x 轴)的交点即⽅程根的个数问题画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式) 还是“先减后增再减”；由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组) 解不等式(组)即可； 1 3
-x 3
例6、已知函数f (x)
j ，
g(x) 3 2 3 “趋势图”即三次函数的⼤致趋势“是先增后 ;主要看极⼤值和极⼩值与 0的关系; kx , 且f(x)在区间(
2,)上为增函数. (1) 求实数 2) 若函数解：(1)由题意 f (x) x 2 (k 1)x ?/ f (x)在区间(2, f (x) x 2 (k 1)x 0在区间(2,)上恒成⽴(分离变量法)
k 的取值范围；
f (x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数 x 2 k 的取值范围. )上为增函数,
(i)求c 、d 的值；
(n)若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线⽅程为3x y 11
0,
求函数f ( x )的解析式；
(川)若x 。

5,⽅程f(x) 8a 有三个不同的根，求实数 a 的取值范围。

解：由题知：f (x) 3ax 2
2bx+c-3a-2b
(i)由图可知
函数f ( x )的图像过点(0,3 )，且f 1 = 0
d 3
d 3
得
3a 2b c 3a 2b 0
c 0
n)依题意
f 2 = :-3
且 f ( 2 ) =
5
12a 4b 3a 2b
3
解得a =1 ,b = -6
8a 4b 6a 4b 3 5
所以 f ( x ) = x 3 -6x 2 + 9x + 3 (川)依题意 f ( x ) = ax 3 + bx 2 -( 3a + 2b )x + 3 ( a >0 )
f x = 3ax 2 + 2bx -3a -2b 由 f 5 = 0 b = -9a
①
若⽅程f ( x ) = 8a 有三个不同的根，当且仅当
满⾜f ( 5 ) v 8a v f ( 1 )②
1
由①②得 -25a + 3v 8a v 7a + 3
v a v 3
11
即k 1 x 恒成⽴，⼜
(2)设 h(x) f(x) x 2 , 3
x
3
g(x ) h (x) x 2 令 h (x) I ①当②当
(k 1)x
0得x k 或x
1 时，h (x) (x
1时，h(x)，h (x)随x 的变化情况如下表:
由于 (x 1由 1)2 k 1
2，故k 1?k 的取值范围为k 1
3x 2 kx 1 ,
2 3
1)
k 1 ,
k)(x (1) 知 0 , h(x)在R 上递增，显然不合题意… x (,k) k (k,1)
1
(1,)
h(x)
⼀
h(x)
/
极⼤值
.3
. 2
.
k
k 1 6 2
3
极⼩值
k 1 2
/
f (x)与g(x)的图象有三个不同的交点，即⽅程
故需—
6
k
2
2
即(k 1)(k 2
k 1
2k 2)
⼆ k 2 2k
综上，所求
k 的取值范围为
例7、(根的个数问题)
已知函数f(x)
3
ax
2
bx (c 3a 2b)x
h(x) 0有三个不同的实根,，解得k 1
3
(a 0)的图象如图所⽰。