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应用柯西不等式的两个变式 巧解竞赛题

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思维拓展 柯西不等式与权方和不等式的应用(新高考通用)学生版--2025届新高考数学一轮复习

思维拓展 柯西不等式与权方和不等式的应用(新高考通用)学生版--2025届新高考数学一轮复习

思维拓展 柯西不等式与权方和不等式(精讲+精练)一、知识点梳理一、柯西不等式1.二维形式的柯西不等式(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)2.二维形式的柯西不等式的变式(1)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(2)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(3)(a +b )(c +d )≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ≥0,当且仅当ad =bc 时，等号成立.)3.扩展：a 21+a 22+a 23+⋯+a 2n b 21+b 22+b 23+⋯+b 2n ≥(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n )2，当且仅当a 1:b 1=a 2:b 2=⋯=a n :b n 时，等号成立.注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对a 2+b 2+c 2，并不是不等式的形状，但变成13•12+12+12 •a 2+b 2+c 2 就可以用柯西不等式了.二、权方和不等式权方和不等式：若a ,b ,x ,y >0，则a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by 时，等号成立.证明1：∵a ,b ,x ,y >0要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y 只需证ya 2+xb 2xy ≥(a +b )2x +y即证xya 2+y 2a 2+x 2b 2+xyb 2≥xya 2+2xyab +xyb 2故只要证y 2a 2+x 2b 2≥2xyab (ya −xb )2≥0当且仅当ya −xb =0时，等号成立即a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by时，等号成立.证明2：对柯西不等式变形，易得a 2x +b 2y(x +y )≥(a +b )2在a ,b ,x ,y >0时，就有了a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y当a x =by时，等号成立．推广1：a 2x +b 2y +c 2z ≥(a +b +c )2x +y +z ,当a x =b y =c z时，等号成立．2025届新高考数学一轮复习推广:2：若a i >0,b i >0，则a 21b 1+a 22b 2+⋯+a 2nb n ≥(a 1+a 2+⋯+a n )2b 1+b 2+⋯+b n，当a i =λb i 时，等号成立.推广3：若a i >0,b i >0,m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+⋯+a m +1nb m n≥(a 1+a 2+⋯+a n )m +1b 1+b 2+⋯+b nm，当a i =λb i 时，等号成立.二、题型精讲精练1实数x 、y 满足x 2+y 2=4，则x +y 的最大值是.2设x ,y ,z ∈R ，且x +y +z =1.(1)求(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值；(2)若(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2≥13成立，证明：a ≤-3或a ≥-1.3已知a >1,b >12，且2a +b =3，则1a -1+12b -1的最小值为()A.1B.92C.9D.12【题型训练-刷模拟】1.柯西不等式一、单选题4(2024·全国·模拟预测)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 a 1,a 2,a 3 和 b 1,b 2,b 3 ，有a 21+a 22+a 23 b 21+b 22+b 23 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 2等号成立当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a3b 3已知 x 2+y 2+z 2=14 ，请你用柯西不等式，求出 x +2y +3z 的最大值是()A.14B.12C.10D.85(23-24高二下·山东烟台·阶段练习)已知空间向量OA =1,12,0 ,OB =1,2,0 ,OC =0,1,12，OP =xOA +yOB +zOC ，且x +2y +z =2，则OP 的最小值为()A.2B.3C.2D.4二、填空题6(2024·山西·二模)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=x 1,y 1 ，b =x 2,y 2 ，由a ⋅b ≤a b 得到x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0，b ≥0，a +b =9，则2a +4+b +1的最大值为.7(22-23高二下·浙江·阶段练习)已知x 2+y 2+z 2=1，a +3b +6c =16，则x -a 2+y -b 2+z -c 2的最小值为.8(22-23高一·全国·课堂例题)若不等式x +y ≤k 5x +y 对任意正实数x ，y 都成立，则实数k 的最小值为.9(22-23高三上·河北衡水·期末)若⊙C ：x -a 2+y -b 2=1，⊙D ：x -6 2+y -8 2=4，M ，N 分别为⊙C ，⊙D 上一动点，MN 最小值为4，则3a +4b 取值范围为．10已知正实数a ，b ，c ，d 满足a +b +c +d =1，则1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b的最小值是．三、解答题11(2024·四川南充·三模)若a ，b 均为正实数，且满足a 2+b 2=2.(1)求2a +3b 的最大值；(2)求证：4≤a 3+b 3 a +b ≤92.12(2024·四川·模拟预测)已知a ,b ,c 均为正实数，且满足9a +4b +4c =4．(1)求1a +1100b-4c 的最小值；(2)求证：9a 2+b 2+c 2≥1641.13(2024高三·全国·专题练习)已知实数a，b，c满足a+b+c=1．(1)若2a2+b2+c2=12，求证：0≤a≤2 5；(2)若a，b，c∈0,+∞，求证：a21-a +b21-b+c21-c≥12．2.权方和不等式一、填空题14已知x>-1，y>0且满足x+2y=1，则1x+1+2y的最小值为．15已知x>0，y>0，且x+y=1则x2x+2+y2y+1的最小值是．16已知a>0，b>0，且2a+2+1a+2b=1，则a+b的最小值是．17(23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a,b,x,y>0，则a2x+b2y≥(a+b)2x+y，当且仅当ax=by时等号成立.根据权方和不等式，函数f x =2x+91-2x0<x<12的最小值．18(2023高三·全国·专题练习)已知正数x，y，z满足x+y+z=1，则x2y+2z+y2z+2x+z2x+2y的最小值为19(2023高三·全国·专题练习)已知x+2y+3z+4u+5v=30，求x2+2y2+3z2+4u2+5v2的最小值为20(2023高三·全国·专题练习)已知θ为锐角，则1sinθ+8cosθ的最小值为.21(2023高三·全国·专题练习)已知正实数x、y且满足x+y=1，求1x2+8y2的最小值.22(2024高三·全国·专题练习)已知a>1,b>1，则a2b-1+b2a-1的最小值是．23(2023高三·全国·专题练习)已知实数x，y满足x>y>0，且x+y=2，M=3x+2y+12x-y的最小值为.24(2024高三·全国·专题练习)已知x,y>0,1x+22y=1，则x2+y2的最小值是．25(2023高三·全国·专题练习)已知正数x,y满足4x+9y=1，则42x2+x+9y2+y的最小值为。

思维拓展 柯西不等式与权方和不等式的应用(新高考通用)解析版

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思维拓展 柯西不等式与权方和不等式(精讲+精练)一、知识点梳理一、柯西不等式1.二维形式的柯西不等式(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)2.二维形式的柯西不等式的变式(1)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(2)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(3)(a +b )(c +d )≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ≥0,当且仅当ad =bc 时，等号成立.)3.扩展：a 21+a 22+a 23+⋯+a 2n b 21+b 22+b 23+⋯+b 2n ≥(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n )2，当且仅当a 1:b 1=a 2:b 2=⋯=a n :b n 时，等号成立.注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对a 2+b 2+c 2，并不是不等式的形状，但变成13•12+12+12 •a 2+b 2+c 2 就可以用柯西不等式了.二、权方和不等式权方和不等式：若a ,b ,x ,y >0，则a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by 时，等号成立.证明1：∵a ,b ,x ,y >0要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y 只需证ya 2+xb 2xy ≥(a +b )2x +y即证xya 2+y 2a 2+x 2b 2+xyb 2≥xya 2+2xyab +xyb 2故只要证y 2a 2+x 2b 2≥2xyab (ya −xb )2≥0当且仅当ya −xb =0时，等号成立即a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by时，等号成立.证明2：对柯西不等式变形，易得a 2x +b 2y(x +y )≥(a +b )2在a ,b ,x ,y >0时，就有了a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y当a x =by时，等号成立．推广1：a 2x +b 2y +c 2z ≥(a +b +c )2x +y +z ,当a x =b y =c z时，等号成立．推广:2：若a i >0,b i >0，则a 21b 1+a 22b 2+⋯+a 2nb n ≥(a 1+a 2+⋯+a n )2b 1+b 2+⋯+b n，当a i =λb i 时，等号成立.推广3：若a i >0,b i >0,m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+⋯+a m +1nb m n≥(a 1+a 2+⋯+a n )m +1b 1+b 2+⋯+b nm，当a i =λb i 时，等号成立.二、题型精讲精练1实数x 、y 满足x 2+y 2=4，则x +y 的最大值是.解：x 2+y 2 12+12 ≥x +y 2，则8≥x +y 2所以x +y ≤22，当且仅当x =y =2时等号成立.答案：222设x ,y ,z ∈R ，且x +y +z =1.(1)求(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值；(2)若(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2≥13成立，证明：a ≤-3或a ≥-1.【分析】(1)根据条件x +y +z =1，和柯西不等式得到(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2≥43，再讨论x ,y ,z 是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的x ,y ,z 代入原不等式，便可得到参数a 的取值范围.【详解】(1)[(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2](12+12+12)≥[(x -1)+(y +1)+(z +1)]2=(x +y +z +1)2=4故(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2≥43等号成立当且仅当x -1=y +1=z +1而又因x +y +z =1，解得x =53y =-13z =-13时等号成立，所以(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值为43.(2)因为(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2≥13，所以[(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2](12+12+12)≥1.根据柯西不等式等号成立条件，当x -2=y -1=z -a ，即x =2-a +23y =1-a +23z =a -a +23 时有[(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2](12+12+12)=(x -2+y -1+z -a )2=(a +2)2成立.所以(a +2)2≥1成立，所以有a ≤-3或a ≥-1.3已知a >1,b >12，且2a +b =3，则1a -1+12b -1的最小值为()A.1B.92C.9D.12【详解】因为2a +b =3，所以4a +2b =6由权方和不等式a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y可得1a -1+12b -1=44a -4+12b -1=224a -4+122b -1≥2+1 24a -4+2b -1=9当且仅当24a -4=12b -1，即a =76,b =23时，等号成立．【答案】C【题型训练-刷模拟】1.柯西不等式一、单选题4(2024·全国·模拟预测)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 a 1,a 2,a 3 和 b 1,b 2,b 3 ，有a 21+a 22+a 23 b 21+b 22+b 23 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 2等号成立当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a3b 3已知 x 2+y 2+z 2=14 ，请你用柯西不等式，求出 x +2y +3z 的最大值是()A.14 B.12C.10D.8【答案】A 【分析】利用柯西不等式求出即可.【详解】由题干中柯西不等式可得x +2y +3z 2≤x 2+y 2+z 2 12+22+32 =14×14=196，所以x +2y +3z 的最大值为14，当且仅当x =1,y =2,z =3时取等号.故选：A5(23-24高二下·山东烟台·阶段练习)已知空间向量OA =1,12,0 ,OB =1,2,0 ,OC =0,1,12，OP =xOA +yOB +zOC ，且x +2y +z =2，则OP 的最小值为()A.2B.3C.2D.4【答案】B【分析】由空间向量的坐标表示计算OP =xOA +yOB +zOC ，然后由柯西不等式求解即可.【详解】因为OP =xOA +yOB +zOC =x 1,12,0 +y 1,2,0 +z 0,1,12 =x +y ,12x +2y +z ,12z ，所以OP 2=x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2=13x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2 1+1+1 ≥13x +y +12x +2y +z +12z2=1332x +3y +32z 2=34x +2y +z 2=3，当且仅当x +y =12x +2y +z =12z 时等号成立，即x =2,y =-1,z =2时等号成立.所以OP ≥3，所以OP 的最小值为 3.故选：B二、填空题6(2024·山西·二模)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=x 1,y 1 ，b =x 2,y 2 ，由a ⋅b ≤a b 得到x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0，b ≥0，a +b =9，则2a +4+b +1的最大值为.【答案】6【分析】令x 1=2,y 1=1,x 2=a +2,y 2=b +1，代入公式即可得解.【详解】令x 1=2,y 1=1,x 2=a +2,y 2=b +1，又a ≥0，b ≥0，a +b =9，所以2a +4+b +1 2≤2+1 a +2+b +1 =3×12=36，所以2a +4+b +1≤6，当且仅当2⋅b +1=a +2，即a =6,b =3时取等号，所以2a +4+b +1的最大值为6.故答案为：67(22-23高二下·浙江·阶段练习)已知x 2+y 2+z 2=1，a +3b +6c =16，则x -a 2+y -b 2+z -c 2的最小值为.【答案】9【分析】根据柯西不等式求解最小值即可.【详解】∵a +3b +6c =16≤12+32+6 2a 2+b 2+c 2=4a 2+b 2+c 2∴a 2+b 2+c 2≥4,当且仅当a 1=b 3=c6时等号成立，即a =1,b =3,c =6，∵x -a 2+y -b 2+z -c 2=1-2xa +by +cz +a 2+b 2+c 2≥1-2x 2+y 2+z 2a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+c 2=1-2a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+c 2=a 2+b 2+c 2-1 2≥9，当且仅当a x =b y =c z 时等号成立，可取x =14,y =34,z =64故答案为：98(22-23高一·全国·课堂例题)若不等式x +y ≤k 5x +y 对任意正实数x ，y 都成立，则实数k的最小值为.【答案】305/1530【分析】运用柯西不等式进行求解即可.【详解】由柯西不等式的变形可知5x +y =x 215+y21≥x +y15+1，整理得x +y5x +y≤305，当且仅当x15=y 1，即y =25x 时等号成立，则k 的最小值为305.故答案为：3059(22-23高三上·河北衡水·期末)若⊙C ：x -a 2+y -b 2=1，⊙D ：x -6 2+y -8 2=4，M ，N 分别为⊙C ，⊙D 上一动点，MN 最小值为4，则3a +4b 取值范围为．【答案】15,85【分析】先根据MN 的最小值求出CD =7，即a -6 2+b -8 2=49，再使用柯西不等式求出取值范围.【详解】由于MN 最小值为4，圆C 的半径为1，圆D 的半径为2，故两圆圆心距离CD =4+1+2=7，即a -6 2+b -8 2=49，由柯西不等式得：a -6 2+b -8 2 ⋅32+42 ≥3a -6 +4b -8 2，当且仅当a -63=b -84，即a =515,b =685时，等号成立，即3a +4b -50 2≤25×49，解得：15≤3a +4b ≤85.故答案为：15,8510已知正实数a ，b ，c ，d 满足a +b +c +d =1，则1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b的最小值是．【答案】163/513【分析】利用配凑法及柯西不等式即可求解.【详解】由题意可知，1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b=133a +b +c +d ×1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b=13a +b +c +b +c +d +c +d +a +d +a +b ×(1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b)≥131+1+1+1 2=163，当且仅当a =b =c =d =14时取“=”号．所以原式的最小值为163．故答案为：163.三、解答题11(2024·四川南充·三模)若a ，b 均为正实数，且满足a 2+b 2=2.(1)求2a +3b 的最大值；(2)求证：4≤a 3+b 3 a +b ≤92.【答案】(1)26(2)证明见解析【分析】(1)利用柯西不等式直接求解；(2)由分析法转化为求证4≤4+2ab -2a 2b 2≤92，换元后由函数单调性得证.【详解】(1)由柯西不等式得：a 2+b 2 22+32 ≥2a +3b 2，即2a +3b 2≤26，故2a +3b ≤26，当且仅当3a =2ba 2+b 2=2 ，即a =22613b =32613时取得等号，所以2a +3b 的最大值为26.(2)要证：4≤a 3+b 3 a +b ≤92，只需证：4≤a 4+b 4+ab a 2+b 2 ≤92，只需证：4≤a 2+b 2 2+ab a 2+b 2 -2a 2b 2≤92，即证：4≤4+2ab -2a 2b 2≤92，由a ，b 均为正实数，且满足a 2+b 2=2可得2=a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时等号成立，即0<ab ≤1，设ab =t ∈(0,1]，则设f t =-2t 2+2t +4,t ∈0,1 ，∵f (x )在0,12 上单调递增，在12,1 上单调递减，又f (0)=f (1)=4,f 12=94，∴4≤f t ≤92，即4≤a 3+b 3 a +b ≤92.12(2024·四川·模拟预测)已知a ,b ,c 均为正实数，且满足9a +4b +4c =4．(1)求1a +1100b-4c 的最小值；(2)求证：9a2+b2+c2≥1641.【答案】(1)12 5(2)证明见解析【分析】(1)结合已知等式，将1a+1100b-4c化为1a+9a+1100b+4b-4，利用基本不等式，即可求得答案；(2)利用柯西不等式，即可证明原不等式.【详解】(1)因为a,b,c均为正实数，9a+4b+4c=4，所以1a+1100b-4c=1a+1100b+9a+4b-4=1a+9a+1100b+4b-4≥21a×9a+21100b ×4b-4=125，当且仅当1a=9a1100b=4b，即a=13,b=120,c=15时等号成立．(2)证明：根据柯西不等式有9a2+b2+c232+42+42≥(9a+4b+4c)2=16，所以9a2+b2+c2≥16 41．当且仅当3a3=b4=c4，即a=441,b=c=1641时等号成立，即原命题得证.13(2024高三·全国·专题练习)已知实数a，b，c满足a+b+c=1．(1)若2a2+b2+c2=12，求证：0≤a≤2 5；(2)若a，b，c∈0,+∞，求证：a21-a +b21-b+c21-c≥12．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)由题意可得b+c=1-a，又12-2a2=b2+c2，结合基本不等式可得12-2a2≥1-a22，化简求得0≤a≤25，得证；(2)法一，由已知条件得a21-a +1-a4≥2a21-a⋅1-a4=a，同理可得b21-b+1-b4≥b，c21-c+1-c 4≥c，三式相加得证；法二，根据已知条件可得121-a+1-b+1-c=1，所以a21-a+b2 1-b +c21-c=121-a+1-b+1-ca21-a+b21-b+c21-c，利用柯西不等式求解证明.【详解】(1)因为a+b+c=1，所以b+c=1-a．因为2a2+b2+c2=1 2，所以12-2a2=b2+c2≥b+c22=1-a22，当且仅当b=c时等号成立，整理得5a2-2a≤0，所以0≤a≤2 5．(2)解法一：因为a+b+c=1，且a，b，c∈0,+∞，所以1-a>0，1-b>0，1-c>0，所以a21-a+1-a4≥2a21-a⋅1-a4=a，同理可得b21-b+1-b4≥b，c21-c+1-c4≥c，以上三式相加得a21-a+b21-b+c21-c≥54a+b+c-34=12，当且仅当a=b=c=13时等号成立．解法二：因为a+b+c=1，且a，b，c∈0,+∞，所以1-a>0，1-b>0，1-c>0，且121-a+1-b+1-c=1，所以a21-a+b21-b+c21-c=121-a+1-b+1-ca21-a+b21-b+c21-c≥121-a⋅a1-a+1-b⋅b1-b+1-c⋅c1-c2=12a+b+c2=12，当且仅当a=b=c=13时等号成立．2.权方和不等式一、填空题14已知x>-1，y>0且满足x+2y=1，则1x+1+2y的最小值为．【答案】9 2【分析】由x>-1知：x+1>0，为保证分母和为定值，对所求作适当的变形1x+1+2y=1x+1+42y，然后就可以使用权方和不等式了.【解析】1a-2b +4b=1a-2b+123b≥1+122a-2b+3b=14+46(等号成立条件，略).15已知x>0，y>0，且x+y=1则x2x+2+y2y+1的最小值是．【答案】1 4【解析】x2x+2+y2y+1≥x+y2x+y+3=14当xx+2=yy+1，即x=23,y=13时，等号成立．16已知a >0，b >0，且2a +2+1a +2b=1，则a +b 的最小值是．【答案】12+2【解析】1=2a +2+1a +2b ≥2+1 22a +2b +2当2a +2=1a +2b，即a =2,b =12时，等号成立，a +b min =12+2．17(23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ,b ,x ,y >0，则a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =b y 时等号成立.根据权方和不等式，函数f x =2x +91-2x 0<x <12的最小值．【答案】25【分析】由f x =2x +91-2x =42x +91-2x ，再利用权方和不等式即可得解.【详解】由0<x <12，得1-2x >0，由权方和不等式可得f x =2x +91-2x =42x +91-2x ≥2+3 22x +1-2x=25，当且仅当22x =31-2x ，即x =15时取等号，所以函数f x =2x +91-2x 0<x <12的最小值为25.故答案为：25.18(2023高三·全国·专题练习)已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =1，则x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y 的最小值为【答案】13【分析】根据权方和不等式可得解.【详解】因为正数x ，y 满足x +y +z =1，所以x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y ≥x +y +z 2y +2z +z +2x +x +2y =13，当且仅当x y +2z =y z +2x =z x +2y 即x =y =z =13时取等号.故答案为：13.19(2023高三·全国·专题练习)已知x +2y +3z +4u +5v =30，求x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2的最小值为【答案】60【分析】应用权方和不等式即可求解.【详解】x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2=x 21+2y 22+3z 23+4u 24+5v 25≥x +2y +3z +4u +5v 21+2+3+4+5=30215=60当且仅当x =y =z =u =v 时取等号故答案为：6020(2023高三·全国·专题练习)已知θ为锐角，则1sin θ+8cos θ的最小值为.【答案】55【分析】利用权方和不等式：b n +1a n +d n +1c n ≥b +d n +1a +cn求解.【详解】1sin θ+8cos θ=132sin 2θ12+432cos 2θ12≥1+432sin 2θ+cos 2θ12=532=55当且仅当1sin 2θ=4cos 2θ即sin θ=55，cos θ=255时取“=”.故答案为：5521(2023高三·全国·专题练习)已知正实数x 、y 且满足x +y =1，求1x 2+8y 2的最小值.【答案】27【分析】设x =cos 2α，y =sin 2α，α∈0,π2 ，由权方和不等式计算可得.【详解】设x =cos 2α，y =sin 2α，α∈0,π2，由权方和不等式，可知1x 2+8y 2=13cos 2α 2+23sin 2α 2≥1+2 3cos 2α+sin 2α2=27，当且仅当1cos 2α=2sin 2α，即x =13，y =23时取等号，所以1x 2+8y 2的最小值为27.故答案为：2722(2024高三·全国·专题练习)已知a >1,b >1，则a 2b -1+b 2a -1的最小值是．【答案】8【分析】利用权方和不等式求解最值即可.【详解】令a +b -2=t >0，则a 2b -1+b 2a -1≥a +b 2a +b -2=t +2 2t =t +4t +4≥24+4=8，当a +b -2=2a b -1=ba -1时，即a =2,b =2时，两个等号同时成立，原式取得最小值8．故答案为：823(2023高三·全国·专题练习)已知实数x ，y 满足x >y >0，且x +y =2，M =3x +2y +12x -y的最小值为.【答案】85/1.6【分析】巧妙运用权方和不等式求解和式的最小值问题，关键是找到所求式的两个分母与题设和式的内在联系.【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即：∀a >0,b >0,x >0,y >0,有a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,当且仅当a x =by时取等号.证明：利用柯西不等式：m ,n ,x ,y >0,(m 2+n 2)(x 2+y 2)≥(mx +ny )2，当且仅当m x =ny时取等号，要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,只须证(x +y )a 2x +b 2y≥(a +b )2，因a >0,b >0,x >0,y >0,则(x +y )a 2x +b 2y =[(x )2+(y )2]ax2+b y2≥x ⋅a x +y ⋅by2=(a +b )2,当且仅当xax=yby时，即a x =by时取等号.不妨令m (x +2y )+(2x -y )=n (x +y ),整理得(m +2)x +(2m -1)y =nx +ny ，则m +2=n 2m -1=n,解得m =3n =5 ,则M =3x +2y +12x -y =93x +6y +12x -y =93x +6y +12x -y=323x +6y +122x -y ≥(3+1)25(x +y )=85，当且仅当33x +6y =12x -y 时等式成立，由33x +6y =12x -y x +y =2解得：x =32y =12，即当x =32,y =12时，M =3x +2y +12x -y 的最小值为85.故答案为：85.24(2024高三·全国·专题练习)已知x ,y >0,1x +22y=1，则x 2+y 2的最小值是．【答案】33【分析】利用权方和不等式求解最值即可.【详解】由题意得，1=1x +22y=132x 212+232y 212≥1+232x 2+y 212=33x 2+y2．(权方和的一般形式为：a m +11b m 1+a m +12b m 2+a m +13b m 3+⋯+a m +1nb m n ≥a 1+a 2+a 3+⋯+a n m +1b 1+b 2+b 3+⋯+b nm,a i >0,b i >0,当且仅当a i =λb i 时等号成立)当1x 2=2y 21x +22y=1，即x =3,y =32时，x 2+y 2取得最小值33．故答案为：3325(2023高三·全国·专题练习)已知正数x ,y 满足4x +9y =1，则42x 2+x +9y 2+y的最小值为【答案】118【分析】运用权方和不等式求和式的最小值，关键在于找到所求和式的两个分母与题设和式之间的联系，满足条件则迅速求解.【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即：∀a >0,b >0,x >0,y >0,有a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,当且仅当ax =by时取等号.证明：利用柯西不等式：m ,n ,x ,y >0,(m 2+n 2)(x 2+y 2)≥(mx +ny )2，当且仅当m x =ny时取等号，要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,只须证(x +y )a 2x +b 2y≥(a +b )2，因a >0,b >0,x >0,y >0,则(x +y )a 2x +b 2y =[(x )2+(y )2]ax2+b y2≥x ⋅a x +y ⋅by2=(a +b )2,当且仅当xax=yby时，即a x =by时取等号.故由42x 2+x +9y 2+y =4242x 2+x +929y 2+y =42x 28+4x +92y 29+9y ≥4x +9y24x +9y+17=118当且仅当4x8+4x =9y9+9y 时取等号.由4x +9y =14x 8+4x =9y 9+9y,解得：x =172y =17 ，即当x =172,y =17时，42x 2+x +9y 2+y的最小值为118.故答案为：118.。

例谈柯西不等式的变式在竞赛中的应用

例谈柯西不等式的变式在竞赛中的应用

(«2+c2)2-4c2%q ' X°+ xb~xc
[(/ + c2)2 - 4c2Xq + b4”。
o
2(a2 + c2)(%q - a2)
沪储-/)% (/ a2 +, c2V)(%20 - a2)?-从血
_yB-yc_ _
+ c) -
XB ~XC
- c)
如X
i c(2x°m)]_ _____S__o__沪______ pb
切+陀二一―
+ 2+ 2
"
a +c + 2cx0
a +c - 2cx0
8a2c2x0 - 2(a2 + c2)x0
2b4x0
\/ a2 +- c2x)2 -4ac2x20
/(a2 +- c2)\2 - 4ac2%20 '
2b4.
M
加0 _ (XB + XC)=加0 + / 2 丄 2\2 a 2 2
例3 (2008年罗马尼亚数学奥赛试题)
设a,b,c>O,abc = &求证：竺三+生冷+ a+1 o+l
唁W0. c+ 1
解析:注意到
o 3 - 3(召 +占 a + JL o + l
+£)W0o斗+占+三严I.作齐次
c+1
a+1 o + l c + 1
分式代换a =互,b =红,c =互,则-4t +
62%2 + a2y2-a262 = 0
几气/ +b2c2 -4c2a = 0 .由 xA.xc =

妙用-柯西不等式-巧解题

妙用-柯西不等式-巧解题

解： 函数的定义域为 「 ， 」， 且 （ ） （
【 点评 ］ 此题利用柯西不等式， 结合 件， 实现快速解答 例 已知 的三边长分别为 、 ）


这一条
、 ， 其外接圆的半
） （
）
径为 ， 求证： （ 证明： 由正弦定理得
， ， ，
当且仅当 当


时， 等号成立， 即
所以 于是 （ （ · ） ）

妙用“ 柯西不霎贰” 巧解题
（ 山东省沂水县第一中学 ）
初等数学是高等数学的基础， 高等数学是初等数学的发展 在中学数学教材和教学中适当地渗透一些高等数学的知识是必 要的 《 普通高中课程标准实验教科书·数学 （ 选修 ）》 即 《 不等式选讲 》 中的“ 柯西不等式” 作为联系初等数学与高等数 学的重要桥梁， 在中学数学中的应用比较广泛， 它是异于“ 均 值不等式” 的另一个重要不等式， 灵活巧妙地运用它， 可以使 一些比较困难的问题迎刃而解 一、 柯西 （ 二维形式 若 、 、 、 当且仅当 都是实数， 则（ 时， 等号成立 都是实数， 则 时， 等号成立 · ） · ） （ ） （ ）， ） 不等式的几种形式 使 若 若 （ 故 （ （ ， 则 ， 则有 （ （ （） 当 （ · 因为 （） 所以判别式 · ） · ） ， ， ·， ）不全为零时， 则 ） （ · · · ） ） （ ） ） （ （ · （ 恒成立， （ ， ） （ ） ， 以上不等式取等号， 即存在唯一实数 ， ， ， ·， ）， （ ， ， ·， ）， 原不等式成立， ， ， ， ·， ）或 （ ， ， · ）· · · （ · ） ， ）
个定点呢？ 联立得 的横坐标成等差数列） 没 得 因为 、 所以 则 因为 所以 代入 所以 ， 为直线 的方程 恒过定点 （， 的方程为 ， 是上述方程的两根， ， ， 即为 （ ， 上任意一点， ， ， 得 ） （ ）上的动点，

利用柯西不等式的推广巧解一类高考试题

利用柯西不等式的推广巧解一类高考试题
［关键词］柯西不等式；推广；高考试题 ；解法 ［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2019）05-0025-02
笔者以近几年的高考真题为例，对柯西不等式的推
广在高考试题中的应用做一些粗浅的归纳与总结，以期
抛砖引玉 .
一、柯西不等式简介
( ) ( ) a1b1 + a2b2 + ⋯ + anbn
am an
=
bn bm
⇒
m
=
n
时取最小值
2.
推广 3：若 px + qy + rz = m（p、q、r、m 为常数），则（x2+
y2+z2）（p2+q2+r2）≥（px+qy+rz）（2 当且仅当
x p
=
y q
=
z r
时取
等号），（x2 +
r2 +
z2）min= p2
m2 + q2
+
r2
.
证明：（作差法）
（ac+bd）（bc+ad）≥ m2n（当且仅当 c = d 时取等号）.
证明：（作差法）
（ac + bd）（bc + ad）- cd（a + b）2 = abc2 + abd2 - 2 ≥ 0（当且仅当 c = d 时取等号）.
［例题 2］已知 a，b，m，n 均为正数，且 a+b =1，mn
=
a2 b2
=
⋯
=
an bn
时取等号 .
二、柯西不等式的推广应用
推广 1：若a2 + b2 = m,c2 + d2 = n ( m、n为常数 ),则ac +

巧用柯西不等式解题

巧用柯西不等式解题

z = 13 …(1), 4x2 + 9y2 + z2 − 2x +15y + 3z = 82
…(2)
解 可令: x1 = 2x, x2 = 3y + 3, x3 = z + 2 .则
x1
+
x2
+
x3
= 18
且
x2 1
+
x2 2
+
x2 3
= 108
,由此及
柯西不等式得:
182 = (x1 + x2 + x3 )2
所组成的方程组无解,故所求值不存在.
例 7(第 18 届全俄中学生数学奥林匹克试
题)求满足方程 x2 + (1− y)2 + ( y − x)2 = 1 / 3 的
一切实数解( x, y ).解设 x1= Nhomakorabeax, y 1
=1−
y, z1
=
y−
x, 则 x1
+
y1
+z1 = 1, x12 + y12 + z12 = 1 / 3 由柯西不等式得:
2
)
=(1 +
n i =1
1 ai
)2
≥(n2
+ 1)2
.
n
2
∑ 所以 (ai + (1/ ai )) ≥ (n2 +1)2 / n .
i =1
2 用于求解最值问题
利用柯西不等式的等号与最值的密切关
系来求最值问题. 例 4 (第七届美国数学奥林匹克试题)设
实数 a, b, c, d, e 满足 a + b + c + d + e = 8 ,且 a2

高中数学竞赛培训 几个重要不等式(二)柯西不等式 Word版 含答案

高中数学竞赛培训 几个重要不等式(二)柯西不等式 Word版 含答案
例3.已知a,b,cÎR+求证：
证明：不妨设a³b³c>0,则 >0且a12³b12³c12>0
则
例4.设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列，求证：
证明：设b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一个排列，且b1<b2<…<bn-1；
c1,c2,…,cn-1是a2,a3,…,an的一个排列,且c1<c2<…<cn-1
将以上式子相加得：
n(a1b1+a2b2+…+anbn)³a1(b1+b2+…+bn)+a2(b1+b2+…+bn)+…+an(b1+b2+…+bn)
∴
a1£a2£…£an且b1³b2³…³bn,则
证明：由排序不等式有：
a1b1+a2b2+…+anbn=a1b1+a2b2+…+anbn
a1b1+a2b2+…+anbn³a1b2+a2b3+…+anb1
a1b1+a2b2+…+anbn³a1b3+a2b4+…+anb2
…………………………………………
a1b1+a2b2#43;anbn-1
证明：左边=
例2.对实数a1,a2,…,an,求证：
证明：左边=
例3.在DABC中，设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R，求证：
证明：左边³
例4.设a,b,c为正数，且a+b+c=1,求证：
证明：左边=

柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式(十一大题型)(解析版)

柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式(十一大题型)(解析版)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~不等式柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式目录1方法技巧与总结 12题型归纳与总结 2题型一:柯西不等式之直接套公式型 2题型二:柯西不等式之根式下有正负型 3题型三:柯西不等式之高次定求低次型 4题型四:柯西不等式之低次定求高次型 5题型五:柯西不等式之整式与分式型 6题型六:柯西不等式之多变量型 7题型七:柯西不等式之三角函数型 8题型八:Aczel 不等式 9题型九:权方和不等式之整式与分式综合型 10题型十:权方和不等式之三角函数型 11题型十一:权方和不等式之杂合型 123过关测试 131方法技巧与总结1、柯西不等式(Cauchy 不等式)(1)二元柯西不等式：对于任意的a ,b ,c ,d ∈R ，都有(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2)．(2)n 元柯西不等式：(a 21+a 22+⋯+a 2n )(b 21+b 22+⋯+b 2n )≥(a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n )2，取等条件：a i =λb i 或b i =λa i (i =1,2,⋯,n )．2、Aczel 不等式(反柯西不等式)设a 1,a 2,⋯,a n ；b 1,b 2,⋯,b n 均为实数，a 21-a 22-⋯-a 2n >0或b 21-b 22-⋯-b 2n >0，则有(a 21-a 22-⋯-a 2n )(b 21-b 22-⋯-b 2n )≤(a 1b 1-a 2b 2-⋯-a n b n )2．当且仅当a k ，b k 成比例时取等．3、权方和不等式(1)二维形式的权方和不等式对于任意的a ,b ,x ,y >0，都有a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ．当且仅当a x =by时，等号成立．(2)一般形式的权方和不等式若a i >0，b i >0，m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+⋯+a m +1nb m n ≥(a 1+a 2+⋯a n )m +1(b 1+b 2+⋯b n )m，当a i =λb i 时等号成立．2题型归纳与总结题型一:柯西不等式之直接套公式型1已知x ,y ,z ∈R +且x +y +z =1则x 2+y 2+z 2的最小值是()A.1B.13C.23D.2【答案】B【解析】由柯西不等式可得：x 2+y 2+z 2 ×12+12+12 ≥x +y +z 2=1，即3x 2+y 2+z 2 ≥1所以x 2+y 2+z 2≥13，当且仅当x =y =z x +y +z =1 即x =y =z =13时取等号，故x 2+y 2+z 2的最小值为13，故选：B ．2若a 21+a 22+⋯+a 2n =8，则a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1的最小值为()A.25B.8C.-8D.-25【答案】C【解析】由柯西不等式，得(a 21+a 22+⋯+a 2n -1+a 2n )(a 22+a 23+⋯+a 2n +a 21)≥(a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n -1a n +a n a 1)2，∴(a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n -1a n +a n a 1)2≤8×8，∴-8≤a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1≤8，当a 1a 2=a 2a 3=a 3a 4=⋯=a n -1a n =a n a 1=-1且a 21+a 22+⋯+a 2n =8时，即a 1 =a 2 =a 3 =⋯=a n -1 =a n =22nn，且a 1,a 3,a 5,⋯与a 2,a 4,a 6,⋯异号时，a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1=-8，则a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1的最小值为-8.选：C .3已知a ，b ，c ∈R ，满足a +2 2+b 2+c +1 2=12，则a +b +c 的最大值为()A.2B.3C.4D.6【答案】B【解析】设a +2=w ，b =v ，c +1=u ，可得w 2+v 2+u 2=12，所以a +b +c =w +v +u -3．因为w +v +u 2≤12+12+12 w 2+v 2+u 2 =36，所以-6≤w +v +u ≤6，当且仅当w =v =u =2，w +v +u 取得最大值6，此时a +2=b =c +1=2，所以a +b +c 的最大值为6-3=3．故选：B4(2024·高三·山东青岛·期中)柯西不等式(Caulhy -Schwarz Lnequality )是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：a 2+b 2c 2+d 2≥ac +bd 2，当且仅当a c =b d时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数f x =34-3x +3x -2的最大值为()A.25 B.23 C.12 D.20【答案】A 【解析】由4-3x ≥03x -2≥0，解得23≤x ≤43，所以函数f x 的定义域为23,43，由柯西不等式得，f x =34-3x +3x -2≤32+12 4-3x +3x -2=25，当且仅当34-3x=13x -2，即x =1115时等号成立，所以f x 的最大值为25.故选：A .5柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量a =x 1,y 1 ,b =x 2,y 2 ,由a ⋅b≤a b 得到(x 1x 2+y 1y 2)2≤(x 21+y 21)(x 22+y 22),当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0,b ≥0,a +b =5,则2a +2+b +3的最大值为()A.18B.9C.23D.33【答案】D【解析】因为(x 1x 2+y 1y 2)2≤(x 21+y 21)(x 22+y 22),令x 1=2,y 1=1,x 2=a +1,y 2=b +3,又a ≥0,b ≥0,a +b =5,所以2a +2+b +3 2=2⋅a +1+1⋅b +3 2≤2 2+12 ⋅a +1+b +3 =27,当且仅当2⋅b +3=1⋅a +1即a =5,b =0时等号成立,即2a +2+b +3≤33,故选:D .6(2024·浙江·模拟预测)已知x >0，y ∈R ，且x 2+xy -x +5y =30，则2-x +30-3y 的最大值为()A.3 B.6C.26D.32【答案】C【解析】由x 2+xy -x +5y =30可得x 2-x -30+xy +5y =0，即x +5 x +y -6 =0.由x >0可知x +y =6，所以2-x +30-3y =2-x +12+3x =2-x +3⋅4+x .由x >0，2-x ≥0可得0<x ≤2，由柯西不等式得2-x +3⋅4+x 2≤12+3 2⋅2-x 2+4+x 2=24，所以2-x +3⋅4+x ≤26，当4+x3=2-x 1即x =12时，取等号.所以2-x +30-3y 的最大值为26.故选：C .7设a ，b ，c 为正数，且a 2+b 2+c 2=1，则a (a +b +c )的最大值为()A.3+12B.2+12C.32D.22【答案】A【解析】解法一根据题意，有a (a +b +c )≤a 2+λa 2+1λb 22+μa 2+1μc 22=1+λ2+μ2 a 2+12λb 2+12μc 2，其中λ,μ>0，令1+λ2+μ2=12λ=12μ，解得λ=μ=3-12，于是a (a +b +c )≤12λa 2+b 2+c 2 =3+12，等号当a :b :c =(3+1):2:2时取得，因此所求最大值为3+12．解法二令a =cos φ,b =sin φsin θ,c =sin φcos θ，其中0≤φ≤π,0≤θ<2π，则a (a +b +c )=cos 2φ+sin φcos φ(sin θ+cos θ)≤cos 2φ+2sin φcos φ=22sin2φ+12cos2φ+12≤3+12，等号当a :b :c =(3+1):2:2时取得，因此所求最大值为3+12．解法三根据题意，有a (a +b +c )≤a a +2b 2+c 2 =a 2+2a 21-a 2 =a 2-12 2+2⋅14-a 2-12 2+12≤3+12，等号当b 2=c 2，且14a 2-12 2=2a 2-12 2即a :b :c =(3+1):2:2时取得，因此所求最大值为3+12．故选：A .8(2024·全国·模拟预测)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 a 1,a 2,a 3 和 b 1,b 2,b 3 ，有a 21+a 22+a 23 b 21+b 22+b 23 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 2等号成立当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3已知 x 2+y 2+z 2=14 ，请你用柯西不等式，求出 x +2y +3z 的最大值是()A.14B.12C.10D.8【答案】A【解析】由题干中柯西不等式可得x +2y +3z 2≤x 2+y 2+z 2 12+22+32 =14×14=196，所以x +2y +3z 的最大值为14，当且仅当x =1,y =2,z =3时取等号.故选：A9已知实数a i i =1,2,3,4,5 满足(a 1-a 2)2+(a 2-a 3)2+(a 3-a 4)2+(a 4-a 5)2=1，则a 1-2a 2-a 3+2a 5的最大值是()A.22B.25C.5D.10【答案】D【解析】设c =a 1-a 2,b =a 2-a 3,c =a 3-a 4,d =a 4-a 5，则条件为a 2+b 2+c 2+d 2=1，所以a 1-2a 2-a 3+2a 5=a -b -2c -2d ≤12+-1 2+-2 2+-2 2⋅a 2+b 2+c 2+d 2=10，等号当a 1=b -1=c-2=d -2且a >0时取得，因此所求代数式的最大值为10．故选：D10若实数a ，b ，c ，d 满足ab +bc +cd +da =1，则a 2+2b 2+3c 2+4d 2的最小值为()A.1B.2C.3D.以上答案都不对【答案】B【解析】根据题意，有ab +bc +cd +da =1⇒(a +c )(b +d )=1，而a 2+3c 2 1+13 ≥a +c 2，当且仅从a =3c 时等号成立.同理2b 2+4d 2 12+14≥b +d 2，当且仅当2b =4d 式等号成立，记题中代数式为M ，于是M =a 2+3c 2 +2b 2+4d 2≥(a +c )21+13+(b +d )212+14=34(a +c )2+43(b +d )2≥2(a +c )(b +d )=2，等号当a c =3,b d =2,a +c b +d =43,⇒a :b :c :d =3:2:1:1时取得，因此所求代数式的最小值为2．故选：B .11已知空间向量OA =1,12,0 ,OB =1,2,0 ,OC =0,1,12，OP =xOA +yOB +zOC ，且x +2y +z =2，则OP的最小值为()A.2B.3C.2D.4【答案】B【解析】因为OP =xOA +yOB +zOC =x 1,12,0 +y 1,2,0 +z 0,1,12=x +y ,12x +2y +z ,12z ，所以OP 2=x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2=13x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2 1+1+1 ≥13x +y +12x +2y +z +12z 2=1332x +3y +32z 2=34x +2y +z 2=3，当且仅当x +y =12x +2y +z =12z 时等号成立，即x =2,y =-1,z =2时等号成立.所以OP ≥3，所以OP 的最小值为3.故选：B12已知a ，b ，c 为实数，且a +b +c =5，则a 2+2b 2+c 2的最小值为()A.5B.1C.2D.52【答案】C【解析】由三维柯西不等式：a 12+a 22+a 32b 12+b 22+b 32 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 2b 2 2当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3时取等,所以12+222+12 a 2+2b 2+c 2 ≥1×a +22×2b +c ×1 2=a +b +c 2=5所以a 2+2b 2+c 2≥552=2，当且仅当a 1=2b 22=c1时取等,所以a 2+2b 2+c 2的最小值为：2故选：C题型五:柯西不等式之整式与分式型13(2024·高三·浙江台州·期末)已知正实数a ,b 满足a +2b =1，则a 4b+32b 4a 的最小值为．【答案】12/0.5【解析】由柯西不等式a 4b +32b 4a =a 4b+32b 4a (2b +a )≥(2a 2+42b 2)2=2(a 2+4b 2)2而a 2+4b 2=12(a 2+4b 2)(1+1)≥12(a +2b )2=12，所以a 4b+32b 4a ≥2a 2+4b 2 2≥12，a =12,b =14时等号成立，故答案为：12.14已知a 、b 、c ∈R +，且满足a +2b +3c =1，则1a +12b+13c 的最小值为.【答案】9【解析】因为a 、b 、c ∈R +，且满足a +2b +3c =1，所以，1a +12b+13c =a +2b +3c 1a +12b +13c ≥a a +2b 2b +3c 3c 2=9，当且仅当a =2b =3c =13时，等号成立，故1a +12b+13c 的最小值为9.故答案为：9.15已知a ,b ,c ∈(0,1)，且ab +bc +ac =1，则11-a +11-b+11-c 的最小值为()A.3-32B.9-32C.6-32D.9+332【答案】D【解析】因为a ,b ,c ∈(0,1)且ab +bc +ac =1，∴(a +b +c )2≥3(ab +bc +ca )=3，∴a +b +c ≥3，因为11-a +11-b +11-c(1-a +1-b +1-c )≥1+1+1 2所以11-a +11-b +11-c ≥9(1-a +1-b +1-c )≥93-3=9+332，当且仅当a =b =c =33时，11-a +11-b+11-c 的最小值为9+332.故选：D .题型六:柯西不等式之多变量型16已知x ,y ,z >0且x +y +z =1，a ，b ，c 为常数，则a 2x +b 2y +c 2z的最小值为()A.a 2+b 2+c 2B.3a 2+b 2+c 2C.(a +b +c )3D.前三个答案都不对【答案】D【解析】根据柯西不等式，有a 2x +b 2y +c 2z ≥(a +b +c )2x +y +z=(a +b +c )2，等号当a x =b y =cz >0时取得，因此所求最小值为(a +b +c )2．故选：D .17已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a +b +c +d +e =8,a 2+b 2+c 2+d 2+e 2=16, 则e 的取值范围是()A.[-2,2]B.[0,1]C.[0,2)D.以上答案都不对【答案】D【解析】根据柯西不等式，有-4⋅a 2+b 2+c 2+d 2≤a +b +c +d ≤4⋅a 2+b 2+c 2+d 2，从而|8-e |≤216-e 2⇒0≤e ≤165，因此e 的取值范围是0,165．故选：D .18已知a ,b ,c ∈R +，且(a +b -c )1a +1b-1c =3，则a 4+b 4+c 4 1a 4+1b 4+1c4 的最小值是()A.417+2403B.417-2403C.417D.以上答案都不对【答案】A【解析】由(a +b -c )1a +1b-1c=3可得a 2+b 2ab ×1a +b =c ×1ab+1c ，由对称性可设ab =1，则条件即(a +b -c )a +b -1c =3即c +1c =a 2+b 2a +b，从而a 2+b 2a +b≥2⇒a +b ≥1+3，根据柯西不等式a 4+b 4+c 4 a 4+b 4+1c4 ≥a 4+b 4+1 2=(a +b )4-4(a +b )2+32≥417+2403，等号当c =1,a +b =1+3时取得．因此所求最小值为417+2403．故选：A .题型七:柯西不等式之三角函数型19函数3+23cosθ+cos2θ+5-23cosθ+cos2θ+4sin2θ的最大值为()A.2+3B.22+3C.2+23D.前三个答案都不对【答案】D【解析】题中代数式为3+cosθ+10-(3cos+1)2=3cosθ+13+10-(3cosθ+1)2+23≤13+1×10+23=210+23，等号当10-(3cosθ+1)23cosθ+1=3⇒cosθ=10-223时可以取得，因此所求最大值为210+23．故选：D.20(2024·浙江·一模)若sin x+cos y+sin x+y=2，则sin x的最小值是() A.0 B.2-3 C.3-7 D.12【答案】C【解析】由已知sin x+cos y+sin x cos y+cos x sin y=2整理得2-sin x=sin x+1cos y+cos x sin y，由柯西不等式得sin x+1cos y+cos x sin y≤1+sin x2+cos2x⋅cos2y+sin2y=2+2sin x，当sin x+1sin y=cos y cos x时取等号，所以2-sin x2≤2+2sin x，即sin2x-6sin x+2≤0，解得3-7≤sin x≤1，所以sin x的最小值为3-7.故选：C．21函数y=2cos x+31-cos2x的最大值为()A.22B.5C.4D.13【答案】A【解析】利用柯西不等式进行求最值.y=2cos x+31-cos2x=2cos x+32sin2x ≤cos2x+sin2x22+(32)2=22当且仅当cos xsin2x=232，即tan x=±322时，函数有最大值22.故选：A.题型八:Aczel 不等式22f (x )=5x -4-x -4的最小值为．【答案】855【解析】f (x )=5x -4-x -4=5⋅x -45-1⋅x -4≥(5-1)x -45 -(x -4)=4×165=85当且仅当x -45x -4=51即x =245时取等号，故f (x )=5x -4-x -4的最小值为855．23为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式(二维)；当向量a =x 1,y 1 ,b =x 2,y 2 时，有a ⋅b 2≤a 2b 2，即x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：x 1x 2-y 1y 2 2≥x 21-y 21 x 22-y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当x ∈R 时，12x 2+1-2x 2+1的最小值是．【答案】-1【解析】由题意得12x 2+1-2x 2+1=12x 2+1-42x 2+2，则12x 2+1-42x 2+22x 2+1 -2x 2+2 =12x 2+1 2-22x 2+222x 2+1 2-2x 2+2 2 ≤12x 2+1⋅2x 2+1-22x 2+2⋅2x 2+22=1，当且仅当12x 2+1⋅2x 2+2=22x 2+2⋅2x 2+1，即x =0时，等号成立，即12x 2+1-42x 2+22x 2+1 -2x 2+2 ≤1，则-12x 2+1-42x 2+2 ≤1，所以12x 2+1-2x 2+1=12x 2+1-42x 2+2≥-1，最小值为-1，此时x =0．故答案为：-1.题型九:权方和不等式之整式与分式综合型24已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =1，则x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y的最小值为【答案】13【解析】因为正数x ，y 满足x +y +z =1，所以x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y ≥x +y +z 2y +2z +z +2x +x +2y =13，当且仅当x y +2z =y z +2x =z x +2y 即x =y =z =13时取等号.故答案为：13.25权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =b y 时等号成立．根据权方和不等式，函数f (x )=2x+91-2x 0<x <12的最小值为()A.16 B.25 C.36 D.49【答案】B【解析】因a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时等号成立，又0<x <12，即1-2x >0，于是得f (x )=222x +321-2x ≥(2+3)22x +(1-2x )=25，当且仅当22x =31-2x ，即x =15时取“=”，所以函数f (x )=2x +91-2x 0<x <12的最小值为25.故选：B26已知a ，b ，c 为正实数，且满足a +4b +9c =4，则1a +1+1b +1+1c +1的最小值为.【答案】2【解析】由权方和不等式，可知1a +1+1b +1+1c +1=1a +1+44b +4+99c +9≥1+2+3 2a +1 +4+4b +9c +9=3618=2，当且仅当a =2,b =12,c =0时等号成立，所以1a +1+1b +1+1c +1的最小值为2.故答案为：2.27已知正实数x 、y 且满足x +y =1，求1x 2+8y2的最小值.【答案】27【解析】设x =cos 2α，y =sin 2α，α∈0,π2，由权方和不等式，可知1x 2+8y 2=13cos 2α 2+23sin 2α 2≥1+2 3cos 2α+sin 2α2=27，当且仅当1cos 2α=2sin 2α，即x =13，y =23时取等号，所以1x 2+8y2的最小值为27.故答案为：2728已知θ为锐角，则1sin θ+8cos θ的最小值为.【答案】55【解析】1sin θ+8cos θ=132sin2θ12+432cos2θ12≥1+4 32sin2θ+cos 2θ12=532=55当且仅当1sin 2θ=4cos 2θ即sin θ=55，cos θ=255时取“=”.故答案为：5529(2024·四川·模拟预测)“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设a n >0,b n >0,n ∈N *,m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+a m +13b m3+⋯+a m +1n b m n ≥a 1+a 2+a 3+⋯+a nm +1b 1+b 2+b 3+⋯+b n m，当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3=⋯=a n b n 时，等号成立．根据权方和不等式，若x ∈0,π2 ，当33sin x +1cos x取得最小值时，x 的值为()A.π12 B.π6 C.π3D.5π12【答案】C【解析】由题意得，sin x >0,cos x >0，则33sin x +1cos x=332sin 2x 12+132cos 2x 12≥(3+1)32sin 2x +cos 2x 12=432=8，当且仅当3sin 2x =1cos 2x ，即cos x =12时等号成立，所以x =π3．故选：C ．30已知x ,y >0,1x +22y=1，则x 2+y 2的最小值是．【答案】33【解析】由题意得，1=1x +22y =132x 2 12+232y 2 12≥1+2 32x 2+y 212=33x 2+y 2．(权方和的一般形式为：a m +11b m 1+a m +12b m 2+a m +13b m 3+⋯+a m +1nb m n ≥a 1+a 2+a 3+⋯+a n m +1b 1+b 2+b 3+⋯+b n m ,a i >0,b i >0,当且仅当a i =λb i 时等号成立)当1x 2=2y 21x +22y =1 ，即x =3,y =32时，x 2+y 2取得最小值33．故答案为：3331已知x +2y +3z +4u +5v =30，求x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2的最小值为【答案】60【解析】x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2=x 21+2y 22+3z 23+4u 24+5v 25≥x +2y +3z +4u +5v 21+2+3+4+5=30215=60当且仅当x =y =z =u =v 时取等号故答案为：6032求f x =x 2-3x +2+2+3x -x 2的最大值为【答案】22【解析】f (x )=x 2-3x +2+2+3x -x 2=x 2-3x +2 121-12+2+3x -x 2 121-12≤x 2-3x +2+2+3x -x 2 121+1-12=22当且仅当x 2-3x +2=2+3x -x 2，即x =0或x =3时取等号故答案为：2 2.3过关测试33(2024·吉林白山·一模)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a ，b ，x ，y ，满足a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时，等号成立．则函数f x =3x +161-3x 0<x <13的最小值为()A.16 B.25 C.36 D.49【答案】D【解析】因为a ，b ，x ，y ，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时等号成立，又0<x <13，即1-3x >0，于是得f x =323x +421-3x ≥3+4 23x +1-3x =49，当且仅当1x =41-3x ，即x =17时取“=”，所以函数的f x =3x +161-3x 0<x <13最小值为49．故选：D34已知a ，b ，c 均大于1，log a 3+log b 9+log c 27=12，则ab 2c 3的最小值为()A.243B.27C.81D.9【答案】B【解析】由log a 3+log b 9+log c 27=12得log a 3+2log b 3+3log c 3=12，所以log 3ab 2c 3 =log 3a +log 3b 2+log 3c 3=log 3a +2log 3b +3log 3c =112log 3a +2log 3b +3log 3c log a 3+2log b 3+3log c 3 ≥112log 3a ⋅log a 3+2log 3b ⋅2log b 3+3log 3c ⋅3log c 3 2=1121+2+3 2=3，当且仅当log 3a log a 3=log 3b log b 3=log 3clog c 3时取等，所以log 3ab 2c 3 ≥3=log 327，所以ab 2c 3≥27，即ab 2c 3的最小值为27，故选：B35(2024·福建·模拟预测)设p 、q ∈R +，x ∈0,π2，则psin x+qcos x的最小值是()A.p 35+q 3553B.p 45+q4554C.p 12+q 122 D.p 14+q144【答案】B 【解析】设f =psin x+q cos x，因为x ∈0,π2 ，则0<sin x <1且0<cos x <1，因为sin 2x +cos 2x =1，构造数字式5=1+4=1+4p f sin x +qf cos x=4p f sin x +sin 2x +4q f cos x+cos 2x≥55p f sin x4⋅sin 2x +55q f cos x4⋅cos 2x =5⋅5p 4+5q 45f4，所以，5f 4≥5p 4+5q 4=p 45+q 45，故f ≥p 45+q 4554，当且仅当p f sin x =sin 2x q f cos x =cos 2x ，即当tan x =pq25时，等号成立，因此，psin x+q cos x的最小值是p 45+q 45 54.故选：B .36由柯西不等式，当x +2y +z =4时，求x +y +z 的最大值为()A.10 B.4C.2D.10【答案】D【解析】由柯西不等式，得(x +2y +z )(4+2+4)≥(2x +2y +2z )2，当且仅当x 4=2y 2=z 4，即x =z =82,y =25时，等号成立.因为x +2y +z =4，所以(x +y +z )2≤10，则x +y +z ≤10，故x +y +z 的最大值为10.故选：D37已知3x +2y +z =3，则x 2+y 2+2z 2的取最小值时，xyz 为()A.7B.83C.3D.73【答案】B【解析】由柯西不等式得：3=3x +2y +z ≤32+22+122⋅x 2+y 2+2z 2则x 2+y 2+2z 2≥23．则根据等号成立条件知3x +2y +z =33x =2y =12z⇒x =23，y =49，z =19，所以xy z =23×4919=83故选：B38已知：a 2+b 2=1，x 2+y 2=1，则ax +by 的取值范围是()A.0,2B.-1,1C.-2,2D.0,1【答案】B【解析】利用柯西不等式，可得1≥ax +by 2,解不等式即可.解:利用柯西不等式，得a 2+b 2=1,1=a 2+b 2 x 2+y 2 ≥ax +by 2，解得-1≤ax +by ≤1.故选:B39实数x 、y 满足3x 2+4y 2=12，则z =2x +3y 的最小值是()A.-5B.-6C.3D.4【答案】A【解析】∵实数x 、y 满足3x 2+4y 2=12，∴x 24+y 23=1，∴x 24+y 2316+9 ≥2x +3y 2，-5≤2x +3y ≤5，当且仅当33x =8y 时取等号，∴z =2x +3y 的最小值是-5.故选：A .40已知a ，b >0，a +b =5，则a +1+b +3的最大值为()A.18B.9C.32D.23【答案】C【解析】由题意，a +1+b +3 2≤1+1 a +1+b +3 =18，当且仅当a +1=b +3时等号成立，∴当a =72，b =32时，故a +1+b +3的最大值为3 2.故选：C .41若实数x +2y +3z =1，则x 2+y 2+z 2的最小值为()A.14B.114C.29D.129【答案】B【解析】根据柯西不等式：x 2+y 2+z 2 1+4+9 ≥2+2y +3z =1，即x 2+y 2+z 2≥114，当且仅当x =114，y =17，z =314时等号成立.故选：B .42函数y =x 2-2x +3+x 2-6x +14的最小值是A.10B.10+1C.11+210D.210【答案】B【解析】y =x 2-2x +3+x 2-6x +14=(x -1)2+2+(3-x )2+5根据柯西不等式，得y 2=(x -1)2+2+(3-x )2+5+2(x -1)2+2 (3-x )2+5 ≥(x -1)2+2+(3-x )2+5+2[(x -1)(3-x )+10]=[(x -1)+(3-x )]2+2+5+210=11+210当且仅当x -13-x =25，即x =210-13时等号成立.此时，y min =11+210=10+1 2=10+1，故选：B .43若x 2+4y 2+9z 2=4，则x +y +3z 的最大值()A.3 B.6C.9D.27【答案】A【解析】根据柯西不等式可得：(x +2y +3z )2≤(x 2+4y 2+9z 2)12+122+12 =4×94=9∴x +y +3z ≤3，当且仅当x =4y =3z ，即x =43,y =13,z =49时，等号成立.故选:A .44函数y =x -5+26-x 的最大值是()A.3B.5C.3D.5【答案】B【解析】利用柯西不等式求解.因为y =x -5+26-x ≤x -5 2+6-x 212+22 =5当且仅当x -5=6-x 2，即x =265时，取等号.故选：B45已知a 21+a 22+⋯+a 2n =1，x 21+x 22+⋯+x 2n =1，则a 1x 1+a 2x 2+⋯+a n x n 的最大值是()A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】利用柯西不等式求解.a 1x 1+a 2x 2+⋯+a n x n 2≤a 21+a 22+⋯+a 2n x 21+x 22+⋯+x 2n =1×1=1，当且仅当x 1a 1=x 2a 2=⋯=xn a n=1时取等号.∴a 1x 1+a 2x 2+⋯+a n x n 的最大值是1故选：A46函数f x =1-cos2x +cos x ，则f x 的最大值是()A.3B.2C.1D.2【答案】A【解析】将f x 化为f x =2sin 2x +cos x ，利用柯西不等式即可得出答案.因为f x =1-cos2x +cos x所以f x =2sin 2x +cos x ≤2+1 sin 2x +cos 2x=3当且仅当cos x =33时取等号.故选：A47(2024·高三·河北衡水·期末)已知a ，b ，c >0，且a +b +c =1，则3a +1+3b +1+3c +1的最大值为()A.3B.32C.18D.9【答案】B【解析】由柯西不等式得：3a +1+3b +1+3c +1 2≤12+12+12 3a +1 2+3b +1 2+3c +1 2=3×3a +b +c +3 =18，所以3a +1+3b +1+3c +1≤32，当且仅当a =b =c =13时，等号成立，故选B .48已知x ，y 均为正数，且x +y =2，则x +4xy +4y 的最大值是()A.8 B.9C.10D.11【答案】C【解析】x +4xy +4y =x +2y 2≤x +2y 2+2x -y 2=5x +y =10当且仅当2x =y ，即x =25,y =85时，等式成立.故选：C49(2024·广西南宁·二模)设实数a ,b ,c ,d ,e 满足关系：a +b +c +d +e =8，a 2+b 2+c 2+d 2+e 2=16，则实数e 的最大值为A.2 B.165C.3D.25【答案】B【解析】根据柯西不等式知：4(a 2+b 2+c 2+d 2)=(1+1+1+1)(a 2+b 2+c 2+d 2)≥(a +b +c +d )2，当且仅当a =b =c =d 时等号成立，所以4(16-e 2)≥(8-e )2，即64-4e 2≥64-16e +e 2，所以5e 2-16e ≤0，解得0≤e ≤165，即实数e 的最大值为165.故选：B .50(2024·山西·二模)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=x 1,y 1 ，b =x 2,y 2 ，由a ⋅b ≤a b 得到x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0，b ≥0，a +b =9，则2a +4+b +1的最大值为.【答案】6【解析】令x 1=2,y 1=1,x 2=a +2,y 2=b +1，又a ≥0，b ≥0，a +b =9，所以2a +4+b +1 2≤2+1 a +2+b +1 =3×12=36，所以2a +4+b +1≤6，当且仅当2⋅b +1=a +2，即a =6,b =3时取等号，所以2a +4+b +1的最大值为6.故答案为：651若不等式x +y ≤k 5x +y 对任意正实数x ，y 都成立，则实数k 的最小值为.【答案】305/1530【解析】由柯西不等式的变形可知5x +y =x215+y21≥x +y15+1，整理得x +y5x +y≤305，当且仅当x15=y1，即y=25x时等号成立，则k的最小值为30 5.故答案为：30 552已知x，y，z>0，且x+y+z=9，则x2+4y2+z2的最小值为．【答案】36【解析】由柯西不等式可得x2+4y2+z212+122+12≥(x+y+z)2，所以94x2+4y2+z2≥81，即x2+4y2+z2≥36，当且仅当x1=2y12=z1即x=4y=z也即x=4,y=1,z=4时取得等号，故答案为:36.53(2024·高三·江苏苏州·开学考试)设角α、β均为锐角，则sinα+sinβ+cosα+β的范围是．【答案】1,3 2【解析】因为角α、β均为锐角，所以sinα,cosα,sinβ,cosβ的范围均为0,1，所以sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ<sinα+sinβ，所以sinα+sinβ+cosα+β>sinα+β+cosα+β=2sinα+β+π4因为0<α<π2,0<β<π2,π4<α+β+π4<3π4，所以2sinα+β+π4>2×22=1，sinα+sinβ+cosα+β=sinα+sinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=1-sinβsinα+cosαcosβ+sinβ≤1-sinβ2+cos2β+sinβ=21-sinβ+sinβ，当且仅当1-sinβcosα=sinαcosβ时取等，令1-sinβ=t，t∈0,1，sinβ=1-t2，所以=21-sinβ+sinβ=2t+1-t2=-t-2 22+32≤32.则sinα+sinβ+cosα+β的范围是：1,3 2.故答案为：1,3 254在锐角△ABC中，tan A tan B+2tan B tan C+3tan C tan A的最小值是．【答案】6+22+23+26【解析】记题中代数式为M，我们熟知三角形中的三角恒等式：cot A cot B+cot B cot C+cot C cot A= 1，于是M=tan A tan B+2tan B tan C+3tan C tan A≥(1+2+3)2cot A cot B+cot B cot C+cot C cot A=(1+2+3)2=6+22+23+26，等号当tan A tan B =2tan B tan C =3tan C tan A ⇒tan A :tan B :tan C =2:3:1时取得，因此所求最小值为6+22+23+26故答案为：6+22+23+2655函数f (x )=2020-x +x -2010的最大值与最小值之积为．【答案】102【解析】函数f (x )的定义域为[2010,2020]，一方面，2020-x +x -2010≥(2020-x )+(x -2010)=10，等号当x =2010,2020时取得；另一方面，2020-x +x -2010≤2⋅(2020-x )+(x -2010)=20，当且仅当x =2015时等号成立，于是最大值为20，最小值为10，所求乘积为102．故答案为：10 2.56(2024·高三·天津南开·期中)已知正实数a ，b 满足a +b =1，则1a +2a b +1的最小值为.【答案】52/2.5【解析】由题设，a =1-b ，则1a +2a b +1=1a +2-2b b +1=1a +4b +1-2，又(a +b +1)1a +4b +1 =a ⋅1a +b +1⋅2b +12=9，∴1a +4b +1≥92，当且仅当a =b +12时等号成立，∴1a +2a b +1≥92-2=52，当且仅当a =b +12=23时等号成立.∴1a +2a b +1的最小值为52.故答案为：52.57已知a >1,b >1，则a 2b -1+b 2a -1的最小值是．【答案】8【解析】令a +b -2=t >0，则a 2b -1+b 2a -1≥a +b 2a +b -2=t +2 2t =t +4t +4≥24+4=8，当a +b -2=2a b -1=b a -1时，即a =2,b =2时，两个等号同时成立，原式取得最小值8．故答案为：858已知x >0，y >0，且12x +y +1y +1=1，则x +2y 的最小值为.【答案】3+12【解析】解法一：设x +2y =λ1(2x +y )+λ2(y +1)+t ，可解得λ1=12,λ2=32,t =-32，从而x +2y =12(2x +y )+32(y +1)-32=12(2x +y )+32(y +1)12x +y +1y +1 -32≥3+12，当且仅当x =12+33,y =33时取等号.故答案为：3+12．解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y，1=12x +y +33y +3≥(1+3)22x +4y +3⇒2x +4y +3≥4+23，所以x +2y ≥3+12，当且仅当x =12+33,y =33时取等号.故答案为：3+12．。

权方和不等式(含柯西不等式的应用)(高阶拓展、竞赛适用)(教师版)备战2025年高考数学一轮复习学案

权方和不等式(含柯西不等式的应用)(高阶拓展、竞赛适用)(教师版)备战2025年高考数学一轮复习学案

第06讲 权方和不等式（含柯西不等式的应用）（高阶拓展、竞赛适用）本节内容为基本不等式的高阶拓展，熟练掌握后能快速解决基本不等式中的最值问题，常在高考及竞赛中做到类型题的秒解！一、柯西不等式1.二维形式的柯西不等式(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ∈R , 当且仅当 ad =bc 时，等号成立.)2.二维形式的柯西不等式的变式(1)≥|ac +bd |(a ,b ,c ,d ∈R , 当且仅当 ad =bc 时，等号成立.)(2)≥|ac |+|bd |(a ,b ,c ,d ∈R , 当且仅当 ad =bc 时，等号成立.)(3) (a +b )(c +d )≥(a ,b ,c ,d ≥0, 当且仅当 ad =bc 时，等号成立.)3.扩展： a 21+a 22+a 23+⋯+a 2n b 21+b 22+b 23+⋯+b 2n ≥(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n )2二、权方和不等式:若 ,,,0a b x y > 则 222()a b a b x y x y ++³+ 当且仅当 a bx y= 时取等.(注：熟练掌握这个足以应付高考中的这类型最值问题可以实现对一些问题的秒杀)广义上更为一般的权方和不等式:设 1212,,,,,,,n n x x x R y y y R ++ÎÎL L ,若 0m > 或 1m <-, 则 ()()111112121212m m m m n n m m m mn n x x x x x x y y y y y y ++++++++++³+++L L L ;若 10m -<<, 则 ()()111112121212m m m m n n m m m mn n x x x x x x y y y y y y ++++++++++£+++L L L ;上述两个不等式中的等号当且仅当312123n nx x x x y y y y ====L 时取等注意观察这个不等式的结构特征, 分子分母均为正数, 且始终要求分子的次数比分母的次数多 1, 出现定值是解题的关键, 特别的, 高考题中以 1m = 最为常见, 此时这个不等式是大家熟悉的柯西不等式.例1：若正数x ，y 满足111=+yx ，则y x 2+的最小值为______________解：21111212x y x yx +=+=+³，123x y£Þ+³+，当且仅当1x =时取等号，即1x =+，1y =+时取等号所以y x 2+的最小值为3+例2：若0>x ，0>y ，2321=+++yxy x ，则y x 56+的最小值为______________解：()21311212242x y x y x y x y x y +=+==+++++即2³，则13652x y +³+12x y =+例3：已知正数,x y 满足491x y +=，则22492x x y y+++的最小值为解：()()2222222222249944949149492184298917x yy x x x y y x x y y x y x yæö+ç÷èø+=+=+³=++++++++当且仅当944989y x x y =++时取等号.由49194,4989x y y x x y ì+=ïïïíï=ï++ïî解得：17217x y ì=ïíï=î，例4：若1>a ，0>b ，=+b ab2+的最小值为______________解：2121311a b a +=³+--，当且仅当11a =-例5：若1>a ，1>b ，则1122-+-a b b a 的最小值为______________解：()()22222448112a b t a b t b a a b t t+++³==++³--+-当且仅当1122ab b a a b ì=ï--íï+-=î时取等号，即2a b ==，所以2211a b b a +--的最小值为8例6：已知正数x ，y ，z 满足1=++z y x ，则yx zx z y z y x 222222+++++的最小值为______________解：()222212222223x y z x y z y z z x x y y z z x x y ++++³=++++++++当且仅当222x y zy z z x x y==+++时取等号例7：已知正数x ，y ，z 满足1=++z y x ，则zy x 941++的最小值为______________解：()222212314912336x y z x y z x y z++++=++³=++，当且仅当123x y z ==时取等号例8：已知正数x ，y 满足1=+y x ，则2281y x +的最小值为______________解：()()3332222212181227x y x y x y ++=+³=+当且仅当12x y=时取等号例9：求θθ22cos 4sin 1+的最小值为______________解：()()()()2221112222221214129sin cos sin cos sin cos θθθθθθ++=+³=+当且仅当2212sin cos θθ=时取等号例10：求6cos 583sin 25)(22+++=x x x f 的最小值为______________解：()()()()22222222254585481()2sin 35cos 63752sin 325cos 610sin cos 27f x x x x x x x +=+=+³=++++++当且仅当()()225452sin 325cos 6x x =++时取等号例11：权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设*0,0,,0n n a b n m >>Î>N ，则()()11111123123123123m m m m m n nm m m m m n n a a a a a a a a b b b b b b b b +++++++++++++³++++L L L ，当且仅当123123n n a a a a b b b b ====L 时，等号成立．根据权方和不等式，若π0,2x æöÎç÷èø1cos x 取得最小值时，x 的值为（ ）A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π12解：由题意得，sin 0,cos 0x x >>，()()()333322221112222222131(31)48cos sin cos sincos xx x x x ++=+³==+，当且仅当2231sin cos x x=，即1cos 2x =时等号成立，所以π3x =．例12：已知正数x ，y 满足194=+yx ，则y y x x +++22924的最小值为______________解：()()2222222222249944949149492184298917x y y x x x y y x x y y x y x yæö+ç÷èø+=+=+³=++++++++当且仅当944989y x x y=++时取等号例13：已知305432=++++v u z y x ，求222225432v u z y x ++++的最小值为______________解：()()()()()222222222222234523451234523453060123+4+515y z u v x x y z u v x y z u z ++++=++++++++³==++当且仅当x y z u v ====时取等号例14：已知0>a ，0>b ，5=+b a，求31+++b a 的最大值为______________()()()()111222111122221313311112a b a b ----++++++=+£==+当且仅当13a b+=+时取等号例15：求223223)(x x xx x f -+++-=的最大值为______________解：()()()()11222211221222123223()11322311x x x x f x xx x x----++-=+=+-+++-£=+当且仅当223223x x x x -+=+-时取等号例16：已知正数a ，b ，c 满足1=++c b a，求131313+++++c b a 的最大值为___________解：()()()()()1112221112221212313131111313131111a b ca b c ----+++=+++++++£=++当且仅当13a b c ===时取等号例1：用柯西不等式求函数y=的最大值为A B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】配凑目标函数，再利用柯西不等式即可求得结果.【详解】由柯西不等式可得，函数y=4£=2x =时等号成立，故该的最大值为4.故选：C.例2：由柯西不等式，当24x yz ++=）A ．10B ．4C．2D【答案】D【分析】利用柯西不等式可得2(2)(424)x y z ++++³，即求.【详解】解：由柯西不等式，得2(2)(424)x y z ++++³，当且仅当2424x y z==，即82,25x z y ===时，等号成立.因为24x y z++=，所以210£，£故选：D例3：已知,(0,)xy Î+¥k 的取值范围是．【答案】k >【详解】试题分析：由柯西不等式得22(13)()x y£++£k >.考点：柯西不等式例4：已知23612x y z ++=，求222x y z ++的最小值.（利用柯西不等式）【答案】14449【分析】利用柯西不等式进行求解．【详解】由柯西不等式可知：（222x y z ++）（4+9+36）2144(236)49x y z ³++³，22214449x y z \++³，当且仅当243672,,,23649494923612x y zx y z x y z ì==ï===íï++=î即【点睛】本题考查的是函数最值的求法，主要通过消元和配方解决问题，也可以是利用柯西不等式进行求解．考查学生的转化能力．例5：已知正实数a ，b ，c ，d 满足1a b c d +++=，则1111a b c b c d c d a d a b+++++++++++的最小值是 ．【答案】163/153【分析】利用配凑法及柯西不等式即可求解.【详解】由题意可知，1111a b c b c d c d a d a b+++++++++++()1111133a b c d a b c b c d c d a d a b æöéù=+++´+++ç÷ëû++++++++èø()()()()111113a b c b c d c d a d a b a b c b c d c d a d a b æöéù=+++++++++++´+++ç÷ëû++++++++èø()2116111133³+++=，当且仅当14a b c d ====时取“=”号．所以原式的最小值为163．故答案为：163.例6：已知非负实数a 、b 、c 、d 满足1ab bc cd da +++=，求证：33331.3a b c d b c d c d a d a b a b c +++³++++++++【答案】证明见解析【分析】利用切比雪夫不等式的推论、柯西不等式及均值不等式即可求解.【详解】不妨设0a b c d ££££，则22220a b c d ££££．记a b c d S +++=，则0S a S b S c S d -³-³-³->，1111S a S b S c S d£££----．依次运用切比雪夫不等式的推论1、柯西不等式、均值不等式得到3333a b c d b c d c d a d a b a b c+++++++++++()2222222221()4a ab bc cd c a b c d a b c d S a S b S c S d ××××=+++³+++×+++----1111S a S b S c S d æö×+++ç÷----èø()()()()()22221111148a b c d S a S b S c S d S a S b S c S d æöéù=+++×-+-+-+-×+++ç÷ëû----èø()222221448a b c d ³+++×()()()()2222222216a b b c c d d a éù=+++++++ëû1(2222)6ab bc cd da ³+++11()33ab bc cd da =+++=，故原不等式正确．一、单选题1．（2024·山西临汾·三模）若01x <<，则121x x+-的最小值是（ ）A ．1B ．4C ．2+D ．3+【答案】D【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可．【详解】因为01x <<，所以10x ->，则()121212133111x x x x x x x x x x -æö+=+×+-=++³+éùç÷ëû---èø，当且仅当121x xx x-=-，即1x =-时，等号成立，取得最小值3+故选：D ．2．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知0x >，0y >，且21x y +=，则x y yx +的最小值为（ ）A ．4B ．C ．6D ．3【答案】D【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为0x >，0y >，且21x y +=，所以()112231331x x y x y xy y x x y y x y æö=+=++=++³=çèø+÷，当且仅当2x yy x =，即x =1y =时取等号.故选：D3．（2024·江苏南通·二模）设0x >，0y >，122y x+=，则1x y+的最小值为（ ）A ．32B．C．32D ．3【答案】C【分析】由不等式“1”的代换求解即可.【详解】因为122y x+=，所以112+=y x，因为0x >，0y >，所以111111222x x y xy y y x xy æöæö+=++=+++ç÷ç÷èøèø31333222222xy xy =++³+=+=当且仅当12112xy xy y x ì=ïïíï+=ïî，即x y ì=ïíïî时取等.故选：C.4．（2024·四川成都·模拟预测）若,a b 是正实数，且111324a b a b+=++，则a b +的最小值为（ ）A ．45B ．23C ．1D ．2【答案】A【分析】观察等式分母可知()()()3245a b a b a b +++=+，利用基本不等式中“1”的妙用可得结果.【详解】因为()()()()()1111155324324555324a b a b a b a b a b a b a b a b æöéùéù+=+=+++=++++ç÷ëûëû++èø12431422532455a b a b a b a b æ++æö=++³+=çç÷ç++èøè，当且仅当31,55a b ==时取等号，所以a b +的最小值为45.故选：A5．（2024·河南·模拟预测）已知点(),P x y 在以原点O为圆心，半径r =221411x y +++的最小值为（ ）A ．49BC ．79D ．1【答案】D【分析】由题可得点P 满足的圆方程227x y +=，进而()()22119x y +++=，然后利用基本不等式结合条件即得.【详解】由题意可得点P 的坐标满足227x y +=，所以，()()22119x y +++=．因此，()()222222141141111911x y x y x y éùéù+=++++êúë++++ëû()2222411115519119x y x y ééù++êêú=++³+=ê++êúëûë.当且仅当()222241111x y x y ++=++时，即x y ==故选: D ．6．（2024·全国·模拟预测）设正实数a ，b 满足2a b +=，则1112+++a b 的最小值为（ ）A ．23B ．34C ．45D ．56【答案】C【分析】由已知可得125a b +++=，根据“1”的代换化简得出11121212512b a a b a b ++æö+=++ç÷++++èø.进而根据基本不等式，即可求得答案.【详解】因为2a b +=，所以125a b +++=，所以()111111212512a b a b a b æö+=++++ç÷++++èø1212512b a a b ++æö=++ç÷++èø14255æ³+=ççè，当且仅当12,2a b a b +=++=，即31,22a b ==时，等号成立，所以1112+++a b 的最小值为45．故选：C ．7．（2021·浙江·模拟预测）已知0x >，R y Î，且2530x xy x y +-+=的最大值为（ ）A B C ．D ．【答案】C【分析】依题意得6x y +==，进而由柯西不等式可得最大值.【详解】由2530x xy x y +-+=可得23050x x xy y --++=，即()()560x x y ++-=.由0x >可知6x y +===.由0x >，20x -³可得02x <£，由柯西不等式得22222124éùéù£+×+=êúêúëûëû，£=12x =时，取等号..故选：C.【点睛】关键点点睛：+=+之后，关键在于根据题目特点应用柯西不等式求最大值.8．（高三上·浙江宁波·期中）设a ，b 为正实数，且121322a b a b +++=，则12a b+的最大值和最小值之和为（ ）A ．2B ．92C ．132D ．9【答案】C【分析】根据题意可得2122113a b a b éùæö+++=ç÷êúèøëû，再由“1”与12a b +相乘利用基本不等式转化为221212913a b a b éùæö++£+êúç÷èøêúëû，解不等式即可求解.【详解】由121322a b a b +++=，则2122113a b a b éùæö+++=ç÷êúèøëû，所以1221212213a b a b a b a b éùæöæö+=++++ç÷ç÷êúèøèøëû 2222121413a b b a a b éùæö=+++++êúç÷èøêúëû22212212591313a b a b éùéùæöæö³++=++êúêúç÷ç÷èøèøêúêúëûëû，当且仅当22a b b a=时，即32a b ==或23时，等号成立，即221212913a b a béùæö++£+êúç÷èøêúëû，解得12922a b £+£所以12a b +的最大值为92；最小值为2；所以最大值和最小值之和为132.故选：C【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，运用基本不等式求最值需验证等号成立的条件，属于中档题.9．（2024·辽宁·一模）已知20m n >>，则 2m mm n n+-的最小值为（ ）A ．3+B ．3-C ．2+D ．2【答案】A【分析】根据题意，()22m m n n =-+，将所求式子变形，利用基本不等式求解.【详解】由20m n >>，20m n \->，()22m m n n =-+，()()22222233222m n n m n n m m n m nm n n m n n m n n-+-+-\+=+=++³+---当且仅当222n m nm n n-=-，即(2m n =时等号成立.故选：A.10．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数11,2x y >>，不等式()()222241211x y a y a x +³--恒成立，则实数a 的最大值（ ）A ．2B ．4CD ．【答案】D 【分析】首先不等式变形为2224211x y a y x £+--恒成立，再利用两次基本不等式求224211x y t y x =+--的最小值，即可求解a 的取值.【详解】不等式()()222241211x y a y a x +³--恒成立，可转化为2224211x y a y x £+--恒成立，其中11,2x y >>，令()()()()222212112122114211211x x y y x y t y x y x -+-+-+-+=+=+----，³，=8³=，第二次使用基本不等式，等号成立的条件是111x x -=-且12121y y -=-，得2x =且1y =，此时第一次使用基本不等式()()()()221211212211211x x y y y x -+-+-+-+=--，说明两次基本不等式能同时取得，所以224211x y y x +--的最小值为8，即28a £，则a -££所以实数a 的最大值为故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键是再求224211x y t y x =+--的最值时，需变形为()()()()222212112122114211211x x y y x y t y x y x -+-+-+-+=+=+----，再通过两次基本不等式求最值.二、填空题11．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知()0,m n Î+¥,，14n m+=，则9m n +的最小值为.【答案】4【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为(),0,m n ¥Î+，14n m+=，所以9191191044m m n mn n n m mn æöæöæö+=++=++ç÷ç÷ç÷èøèøèø11044æö³=ç÷ç÷èø，当且仅当9mn mn=，即1m =，3n =时取等号.故答案为：412．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数0,2a b >>，且121123a b +=+-，则2a b +的最小值是 ．【答案】24【分析】变形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值【详解】因为0,2a b >>，且121123a b +=+-，所以36112a b +=+-，所以()()()()32121362212661212b a a b a b a b a b -+éùéù+=++-+=+++ëûêú+-+-ëû1224³+=，当且仅当()()3212112b a a b -+=+-，即22(1)b a -=+，5,14a b ==时等号成立，故答案为：2413．（2024·河南·三模）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c ++=，则41a b c++的最小值为 ．【答案】92【分析】,,a b c 是ABC V 的边长，所以它们是正数，利用乘“1”法结合基本不等式即可求解.【详解】因为2a b c ++=，所以()411412a b c a b c a b c æöéù+=×+++ç÷ëû++èø141955222c a b a b c æ+æö=×++³×+=çç÷ç+èøè，当且仅当4c a b a b c +=+，即2a b c +=时等号成立，故41a b c ++的最小值为92．故答案为：92.14．（2024·广西河池·模拟预测）若实数10>>>a b ，且2222a b b a +=+，则111a b+-的最小值为 .【答案】4【分析】根据10>>>a b ，将2222a b b a +=+化简可得20a b +-=，再根据基本不等式“1”的巧用求解最值即可.【详解】由2222a b b a +=+可得()()20a b a b -+-=，因为10>>>a b ，所以0a b -¹，即20a b +-=，则11-+=a b ，则()111111224111b a a b a b a b a b -æö+=+-+=++³+=ç÷---èø，当且仅当11b a a b-=-，即31,22a b ==时等号成立，故111a b +-的最小值为4.故答案为：4.15．（2024·全国·模拟预测）已知1x >，0y >，且22x y +=，则11y x +-的最小值是 ．【答案】3+3．【分析】利用 “1”的巧用及基本不等式即可求解.【详解】由22x y +=，得211x y-+=，因为1x >，0y >，所以10,0x y ->>，所以121213(1)3311(1)y x y x y x y x x y æöæö+=-++=+-+³+=+ç÷ç÷---èøèø当且仅当2(1)(1)x y x y-=-，即x 2y =所以11y x +-的最小值是3+故答案为：3+16．（2024·全国·模拟预测）已知0x y >>，621x y x y+=+-，则2x y -的最小值为 ．【答案】12【分析】令2a x y =+，2b x y =-，从而可得11x a b =+，11y a b =-，再根据()1323x y a b a b æö-=++ç÷èø，结合基本不等式求解即可.【详解】令2a x y =+，2b x y =-，则2x y a+=，2x y b -=，且0a >，0b >，所以11x a b =+，11y a b=-．又31a b +=，所以()11111313223x y a b a b a b a b a b æöæöæö-=+--=+=++ç÷ç÷ç÷èøèøèø933612b a a b =+++³+=，当且仅当16a =，12b =，即8x =，4y =时，等号成立．故答案为：1217．（21-22高三上·天津南开·期中）已知正实数a ，b 满足1a b +=，则121a ab ++的最小值为 .【答案】52/2.5【分析】将目标式转化为1421a b +-+，应用柯西不等式求141a b ++的取值范围，进而可得目标式的最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，1a b =-，则12122142111a b a b a b a b -+=+=+-+++，又214(1)()91a b a b +++==+，∴14912a b +³+，当且仅当12b a +=时等号成立，∴12952122a a b +³-=+，当且仅当1223b a +==时等号成立.∴121a ab ++的最小值为52.故答案为：52.18．（2024·江西·一模）已知正数x ，y 满足6x y +=，若不等式2212x y a x y £+++恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【答案】(],4¥-【分析】将2212x y x y +++变形为1414122431212x y x y x y ++-+++-=++++++，利用均值不等式求1412x y +++的最小值即可求解.【详解】因为6x y +=，所以()()()()2222121124241212x x y y x y t x y x y +-+++-++=+=+++++1414122431212x y x y x y =++-+++-=++++++，所以1412143312912x y t x y x y æö+++=++=++ç÷++++èø()()()41322324991929x y x y ++=++³+=++，等号成立当且仅当4,2y x ==，所以22min 412x y x y æö+=ç÷++èø，4a £，故实数a 的取值范围是(],4¥-.故答案为：(],4-¥【点睛】关键点点睛：解题关键是先得到221431212x y x y x y +=++++++，再进一步结合乘“1”法即可顺利得解.19．（22-23高三上·山东·阶段练习）已知正实数x ，y 满足474x y +=，则2132x y x y+++的最小值为 .【答案】94【分析】由()()47232x y x y x y +=+++，结合基本不等式求解即可.【详解】因为474x y +=，所以()()2112123232432x y x y x y x y x y x y æöéù+=++++ç÷ëû++++èø，所以()()22211413242233x y x y x y x y x y x y éù++=+++êú++ë+++û，因为,x y 为正实数，所以()()220,02233x y yyx y x x +++>>+，所以()()4222233x y x y x yx y++++³=+，当且仅当32474x y x y x y +=+ìí+=î时等号成立，即84,1515x y ==时等号成立，所以()21194413244x y x y +³++=++，当且仅当84,1515x y ==时等号成立，所以2132x y x y +++的最小值为94，故答案为：94.20．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）已知1,1,10x y xy >>=，则12lg lg x y+的最小值为 .【答案】3+3【分析】依题意可得lg lg 1x y +=，再由基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】因为1,1,10x y xy >>=，所以lg lg lg 1x y xy +==，lg 0x >，lg 0>y ，所以1212lg 2lg ()(lg lg )33lg lg lg lg lg lg y x x y x y x y x y +=++=++³+3=+当且仅当lg 2lg lg lg y xx y=，即lg 2y x ==时，等号成立，显然此时,x y 有解，所以12lg lg x y+的最小值为3+.故答案为：3+21．（2024·江西宜春·三模）已知0x >，0y >，且满足2249630x y xy ++-=，则23x y +的最大值为．【答案】2【分析】解法1、根据题意，得到22491236x y xy xy ++=+，结合基本不等式求得23(23)34x y +£，进而求得23x y +的最大值；解法2、根据题意，得到222(96)33x y xy x +++=，利用权方和不等式得24(23)x y +≥，进而求得23x y +的最大值．【详解】解法1、由2249630x y xy ++-=，可得22491236x y xy xy ++=+，由基本不等式得2223(23)3233()2x y x y x y ++=+×£+，可得23(23)34x y +£，所以232x y +£，当且仅当23x y =时取等号，联立方程组222349630x y x y xy =ìí++-=î，解得12x =，13y =，故23x y +的最大值为2．解法2、由2249630x y xy ++-=，可得222(96)33x y xy x +++=，因为0,0x y >>，由权方和不等式得222(3)(3)111133x y x x y x +++++，即24(23)x y +≥，所以232x y +£，当且仅当3113x y x+=，即23x y =时取等号，联立方程组222349630x y x y xy =ìí++-=î，解得12x =，13y =，故23x y +的最大值为2．故答案为：2.22．（22-23高一上·福建福州·期中）若三个正数,,x y z 满足31224x y z ++=，则2123x y y z+++的最小值为 .【答案】22【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】依题意,,x y z 为正数，()()312232234x y z x y y z ++=+++=，所以2123x y y z +++()()2132232314x y y z x y y z æö++++++=éùç÷ëûèø()()433218423y zx y x y y z ++éù=++êú++ë1824é³+=êêë当且仅当()()()()224332,324323y z x y x y y z x y y z++=+=+++，)()223x y y z +=+，23x y y z ì+ïíï+=î.故答案为：223．（2024·上海嘉定·二模）已知()22sin cosf x x x =+，π0,2x æöÎç÷èø，则函数()y f x =的最小值为 ．【答案】【分析】令πsin cos )4t x x x =+=+，可求t 的范围，利用同角的基本关系对已知函数化简计算，结合函数的单调性即可求解.【详解】由题意知，222(sin cos )()sin cos sin cos x x f x x x x x+=+=，令πsin cos )4t x x x=+=+，由π02x <<，得ππ3π444x <+<，πsin()14x <+£，则1t <£由sin cos t x x =+，得22(sin cos )12sin cos t x x x x =+=+，所以21sin cos 2t x x -=，则原函数可化为22244()1112ttg t t t t t ===---，又函数1,y t yt ==-在上单调递增，所以1y t t=-在上单调递增，故当t =时，1y t t =-，此时()g t 取得最小值故答案为：24．（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数,a b满足112121a b a b a b +++=+++，则a b +的最小值为 .【分析】根据分离常量法可得112212121a b a b +=++++，结合权方和不等式计算可得(1)(1)1a b a b +-++³，即2()2a b +³，即可求解.【详解】0,0a b >>，112212121a b a b+++++，所以11a b =++，所以(1)(1)1a b a b +-++³，得2()2a b +³，所以a b +³a b +£，即a b +。

由均值不等式与柯西不等式联袂巧证竞赛不等式

由均值不等式与柯西不等式联袂巧证竞赛不等式

㊀㊀㊀由均值不等式与柯西不等式联袂巧证竞赛不等式◉甘肃省华池县第一中学㊀路李明均值不等式与柯西不等式是历年数学竞赛的热点内容,利用这两类不等式解题的关键是恰当创设应用公式的结构形式,通常需要转化㊁变形甚至构造,还需要很丰富的想象能力．对一些较为复杂的不等式问题,有时要把这两类不等式联袂方可达到事半功倍的效果!笔者通过近两年的几道数学期刊征解问题㊁国内外数学竞赛题的解析与各位读者共勉．例１㊀(«数学通讯»２０２０年第８期问题４６０)已知正实数a ,b ,c 满足a b c ＝１,求证:１＋a b ２c ２０２０＋１＋b c ２a ２０２０＋１＋c a ２b ２０２０ȡ１８３(a ４０４０＋b ４０４０＋c４０４０)．证明:由柯西不等式的变形公式,得１＋a b ２c ２０２０＋１＋b c ２a ２０２０＋１＋c a ２b ２０２０＝１c ２０２０＋１a ２０２０＋１b ２０２０æèçöø÷＋a b ２c ２０２０＋b c ２a ２０２０＋c a ２b ２０２０æèçöø÷ȡ(１＋１＋１)２c ２０２０＋a ２０２０＋b ２０２０＋(b a ＋cb ＋a b )２c ２０２０＋a ２０２０＋b ２０２０ȡ９c ２０２０＋a ２０２０＋b ２０２０＋(３３a b c a b c )２c ２０２０＋a ２０２０＋b２０２０＝１８c ２０２０＋a ２０２０＋b ２０２０＝１８(c２０２０＋a２０２０＋b２０２０)２ȡ１８３(a ４０４０＋b ４０４０＋c ４０４０)．例２㊀(«数学通报»２０２０年第９期数学问题２５６２)设a ,b ,c ＞０,且满足a ＋b ＋c ＝３,证明:１－a b １＋a b＋１－b c １＋b c ＋１－c a１＋c aȡ０．证明:㊀１－a b １＋a b ＋１－b c １＋b c ＋１－c a１＋c a＝２－(１＋a b )１＋a b ＋２－(１＋b c )１＋b c ＋２－(１＋c a )１＋c a ＝２１＋a b ＋２１＋b c ＋２１＋c a－３ȡ㊀２(１＋１＋１)２３＋a b ＋b c ＋c a－３ȡ㊀１８３＋a ＋b ＋c －３＝０．例３㊀(«数学通讯»２０２０年第７期问题４５５)已知正实数a ,b ,c 满足a ＋b ＋c ＝１,求证:a(a －１)(a －２)＋b(b －１)(b －２)＋c(c －１)(c －２)ȡ３１０１０．证明:显然a ,b ,c ɪ(０,１)．㊀a (a －１)(a －２)＝１０a１０(a －１)(a －２)＝１０a (５－５a )(４－２a )ȡ１０a(５－５a )＋(４－２a )２＝２１０a ９－７a ＝２１０a２a ＋９b ＋９c ．同理b (b －１)(b －２)ȡ２１０b９a ＋２b ＋９c ,c (c －１)(c －２)ȡ２１０c９a ＋９b ＋２c ．将上面三式相加,得a (a －１)(a －２)＋b (b －１)(b －２)＋c(c －１)(c －２)ȡ㊀２１０a ２a ＋９b ＋９c ＋２１０b ９a ＋２b ＋９c ＋２１０c ９a ＋９b ＋２c＝２１０a ２２a ２＋９a b ＋９a c ＋２１０b ２９a b ＋２b ２＋９b c ＋２１０c２９a c ＋９b c ＋２c２ȡ㊀２１０(a ＋b ＋c )２２(a ２＋b ２＋c ２)＋１８(a b ＋b c ＋c a )＝２１０２(a ＋b ＋c )２＋１４(a b ＋b c ＋c a )＝２１０２＋１４(a b ＋b c ＋c a )ȡ２１０２＋１４(a ＋b ＋c )３２７５２０２２年６月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀解法探究复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀＝３１０１０．例４㊀(２０２０年摩尔多瓦数学奥林匹克竞赛试题)设a,b,c＞０,证明:a７a２＋b２＋c２＋ba２＋７b２＋c２＋ca２＋b２＋７c２ɤ１．证明:由柯西不等式,得(７a２＋b２＋c２)(７＋１＋１)ȡ(７a＋b＋c)２⇒a７a２＋b２＋c２ɤ３a７a＋b＋c＝３７１－b＋c７a＋b＋cæèçöø÷．同理,㊀ba２＋７b２＋c２ɤ３７１－a＋ca＋７b＋cæèçöø÷,ca２＋b２＋７c２ɤ３７１－a＋ba＋b＋７cæèçöø÷．于是,只需证明:b＋c７a＋b＋c＋a＋ca＋７b＋c＋a＋ba＋b＋７cȡ２３．由柯西不等式和均值不等式,得b＋c７a＋b＋c＋a＋ca＋７b＋c＋a＋ba＋b＋７c＝b７a＋b＋c＋ca＋７b＋c＋aa＋b＋７cæèçöø÷＋c７a＋b＋c＋aa＋７b＋c＋ba＋b＋７cæèçöø÷＝b２７a b＋b３＋b c＋c２a c＋７b c＋c２＋a２a２＋a b＋７a cæèçöø÷＋c２７a c＋b c＋c２＋a２a２＋７a b＋a c＋b２a b＋b２＋７b cæèçöø÷ȡ２(a＋b＋c)２８(a b＋b c＋c a)＋a２＋b２＋c２＝２(a＋b＋c)２６(a b＋b c＋c a)＋(a＋b＋c)２ȡ２(a＋b＋c)２６(a＋b＋c)２３＋(a＋b＋c)２＝２３．例５㊀(«数学通讯»２０２０年第２期问题４３８)已知正实数a,b,c,dɪ０,１２æèçùûúú,求证:１a２＋１b２＋１c２＋１d２ȡ６＋２０a＋b＋c＋d．证明:由条件可知aɪ０,１２æèçùûúú⇒a２ɤ１２aɤ１４．同理,b２ɤ１２bɤ１４,c２ɤ１２cɤ１４,d２ɤ１２dɤ１４．从而a２＋b２＋c２＋d２ɤ１２(a＋b＋c＋d)ɤ１４＋１４＋１４＋１４＝１⇒a＋b＋c＋dɤ２．由均值不等式和柯西不等式知道１a２＋１b２＋１c２＋１d２ȡ(１＋１＋１＋１)２a２＋b２＋c２＋d２ȡ１６１２(a＋b＋c＋d)＝３２a＋b＋c＋d＝１２a＋b＋c＋d＋２０a＋b＋c＋dȡ６＋２０a＋b＋c＋d．例６㊀(«数学通讯»２０２０年第６期问题４４９)已知正实数a,b,c,d满足a b c d＝１,求证:１a２－a＋４＋１b２－b＋４＋１c２－c＋４＋１d２－d＋４ɤ１．证明:由均值不等式得１a２－a＋４＝１a２＋１－a＋３ɤ１２a－a＋３＝１a＋３．同理,１b２－b＋４ɤ１b＋３,１c２－c＋４ɤ１c＋３,１d２－d＋４ɤ１d＋３．将上面的四个式子相加,得１a２－a＋４＋１b２－b＋４＋１c２－c＋４＋１d２－d＋４ɤ１a＋３＋１b＋３＋１c＋３＋１d＋３．故只需要证明１a＋３＋１b＋３＋１c＋３＋１d＋３ɤ１．而１a＋３＋１b＋３＋１c＋３＋１d＋３ɤ１⇔a a＋３＋b b＋３＋c c＋３＋d d＋３ȡ１．由柯西不等式和均值不等式,得aa＋３＋bb＋３＋cc＋３＋dd＋３ȡ㊀(a＋b＋c＋d)２a＋b＋c＋d＋１２ȡ㊀a＋b＋c＋d＋２ˑ６６(a b c d)３a＋b＋c＋d＋１２＝１．在不等式的大家庭中,均值不等式和柯西不等式是高中数学中基本而又重要的不等式,对求解一些不等式问题起到举足轻重的作用,直接用简洁明快 ,联袂用更是 威力无穷 ,让人深深感受到数学的无穷奥妙和神奇魅力!F８５复习备考解法探究㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年６月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

应用柯西不等式的两个变式巧解竞赛题

应用柯西不等式的两个变式巧解竞赛题
１
２一（ ｂ＋ｃ 一 １＋ａ ）
４ ４
（ ） 根 式 形 式 ： ｌ ＋ ａ ＋ …ａ ≤ ２ 血 ２
１
ｒ ＋
≥ ２ 一 ｆ ＋ ａ 一 １ ＋ｂ Ｃ ）
￣ （ ； ／ ０ ＋ｎ ＋… ＋ ２（ ∈Ｒ ，＝１ ， ｎ ｎ ｎ）ｎ ｉ ， …，） ２
２４ ０ ７ ００ห้องสมุดไป่ตู้
李佑 东
ａ ｂ Ｃ∈Ｒ 且 ａ＋ｂ＋ｃ＝ １ 证 明 ： ，， ， ，
＋ ＋ ≥ ＋ ＋ ’ ．
ｎ ＋ （ ；＋…６）ａ， ・ ａ）ｂ ＋ｂ （ ｂ ∈Ｒ ） ．
应 用该 不 等 式 ， 容 易 得 到 特殊 情 形 下柯 西 不 很 分析 左 边 是 三项 分 式 ， 边 也 是三 项 分 式 ， 右
例 ６ 设 口＋ｂ＝ １ 求 证 ： ＋ｂ １ ， ０ ≥ ．
＋
≥
≥
分 析 由于次数 较 高 ， 考虑 反复 利用 上述 不 可
２ —２ ｙ — ｌ —ｘ ’ ｘ ｙ
等 式． 解 Ⅱ ＋ ｂ ≤ ／２ ０ ＋ ） ≤ ￣（（ ｂ）
例 ３ （ ２ 俄 罗斯 数 学 奥林 匹 克 竞赛 ）设 第 ９届
把这 两 个 不 等式 作 为柯 西不 等 式 的 变式 ， 用 应
将 以上三式 相 加得证 ． 例 ４ （ 学 通 报 ２ ０ ３数 学 问题 与解 答 第 数 ０ ８，
１２ ７ ４题 ） 已知 ： ， ， ａ ｂ Ｃ∈Ｒ 且 ａ＋ｂ＋Ｃ＝ １ ， ，
这 两个 变式 可 以简单 的解 决竞赛 中的很 多不 等式 或
解 由 。＋ｂ＋ｃ＋ｄ ＝８一 又因为 ｔ４ｂ＋ ， ｔ－ ｌ‘ ｃ＋ｄ≤ ／ （ ＋６ ４ ＋ｃ ＋ｄ ）＝ ／（６一ｅ） 。 ２ ４１ 。

利用柯西不等式解数学竞赛题举例

利用柯西不等式解数学竞赛题举例

,
、
一
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1
护歌
a
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之 启 直
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·
( 4 )
2
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…
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,
最小 者 不 能 小于
次 小 者 不能 小 于
最 大 者不 能 小 于
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,
故有
( 肠 )
k= 1
由 (
4
)
、
( 5 )
所以
.
卜 艺
,
万
K=
l
爱
3
( 3 ) ) 中 等 号 当 且仅 当
x
: ,
且 由 ( 1 ) 中等 号 成 立 条件 知 (
DOI : 10. 13698 /j . cnki . cn36 1037 /c . 1987. s3. 011
维重厄范 尝院兰宜 旦二 皇丝毯 堂立 )
1 9 8 7
年增 刊
利 用 柯 西 不 等 式 解数 学竞 赛题 举 例
.
苏
化
明
.
( 合 肥 工 业 大 学 数 学 力学 系 )
设
a;
,
b
l a = l b
—
X
n
对》
X 1
x :
x : +
…
+ 二
( 7 )
一
义
X ”
,
’
, _
2
欠2
X 3
;二
…
二 二
X
n
_
-
一
11
卜 孙
X
亦
协 日
盆. = 义盆 =

柯西不等式习题

柯西不等式习题

一、二维形式的柯西不等式 二、二维形式的柯西不等式的变式 三、二维形式的柯西不等式的向量形式借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。

比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。

基本方法 （1）巧拆常数：例1：设a 、b 、c 为正数且各不相等。

求证：cb a ac c b b a ++>+++++9222 （2）重新安排某些项的次序：例2：a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++ （3）改变结构：例3、若a >b >c 求证：ca cb b a -≥-+-411 （4）添项：例4：+∈R c b a ,,求证：23≥+++++b a c a c b c b a 【1】、设6 ),2,1,2(=-=b a，则b a ⋅之最小值为________；此时=b ________。

答案：-18; )4,2,4(-- 解析：b a b a ≤⋅ ∴18≤⋅b a∴1818≤⋅≤-b ab a⋅之最小值为-18，此时)4,2,4(2--=-=a b 【2】 设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若x 2 + y 2 + z 2= 16，则a b 的最大值为 。

【解】∵ a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z) ∴ a ．b= x - 2z由柯西不等式[12 + 0 + (- 2)2](x 2 + y 2 + z 2) ≥ (x + 0 - 2z)2⇒ 5 ⨯ 16 ≥ (x - 2z)2 ⇒ - 45≤ x ≤ 45⇒ - 45≤ a ．b ≤ 45，故a ．b的最大值为45【3】空间二向量(1,2,3)a =，(,,)b x y z =，已知56b =，则(1)a b ⋅的最大值为多少？(2)此时b =？ Ans ：(1) 28：(2) (2,4,6)【4】设a 、b 、c 为正数，求4936()()a b c a b c++++的最小值。

高考数学柯西不等式教学题库大全

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一、二维形式的柯西不等式.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++二、二维形式的柯西不等式的变式bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.),0,,,()())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++三、二维形式的柯西不等式的向量形式.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当ββk k =≤借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。

比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。

基本方法（1）巧拆常数：例1：设a 、b 、c 为正数且各不相等。

求证：cb a ac c b b a ++>+++++9222 （2）重新安排某些项的次序：例2：a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++（3）改变结构：例3、若a >b >c 求证：c a c b b a -≥-+-411 （4）添项：例4：+∈R c b a ,,求证：23≥+++++b a c a c b c b a 【1】、设6 ),2,1,2(=-=b a ，则b a ⋅之最小值为________；此时=b ________。

【2】 设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若x 2 + y 2 + z 2 = 16，则a b 的最大值为 。

柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式(解析版)

柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式(解析版)

柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式目录01 方法技巧与总结02 题型归纳与总结题型一：柯西不等式之直接套公式型题型二：柯西不等式之根式下有正负型题型三：柯西不等式之高次定求低次型题型四：柯西不等式之低次定求高次型题型五：柯西不等式之整式与分式型题型六：柯西不等式之多变量型题型七：柯西不等式之三角函数型题型八：Aczel不等式题型九：权方和不等式之整式与分式综合型题型十：权方和不等式之三角函数型题型十一：权方和不等式之杂合型03 过关测试1.柯西不等式(Cauchy不等式)(1)二元柯西不等式：对于任意的a,b,c,d∈R，都有(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)．(2)n元柯西不等式：(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≥(a1b1+a2b2+⋯+a n b n)2，取等条件：a i=λb i或b i=λa i(i=1,2,⋯,n)．2.Aczel不等式(反柯西不等式)设a1,a2,⋯,a n；b1,b2,⋯,b n均为实数，a21-a22-⋯-a2n>0或b21-b22-⋯-b2n>0，则有(a21-a22-⋯-a2n)(b21-b22 -⋯-b2n)≤(a1b1-a2b2-⋯-a n b n)2．当且仅当a k，b k 成比例时取等．3.权方和不等式(1)二维形式的权方和不等式对于任意的a ,b ,x ,y >0，都有a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ．当且仅当a x =by时，等号成立．(2)一般形式的权方和不等式若a i >0，b i >0，m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+⋯+a m +1nb m n ≥(a 1+a 2+⋯a n )m +1(b 1+b 2+⋯b n )m，当a i =λb i 时等号成立．题型一：柯西不等式之直接套公式型1已知x ,y ,z ∈R +且x +y +z =1则x 2+y 2+z 2的最小值是()A.1B.13C.23D.2【答案】B【解析】由柯西不等式可得：x 2+y 2+z 2 ×12+12+12 ≥x +y +z 2=1，即3x 2+y 2+z 2 ≥1所以x 2+y 2+z 2≥13，当且仅当x =y =z x +y +z =1 即x =y =z =13时取等号，故x 2+y 2+z 2的最小值为13，故选：B ．2若a 21+a 22+⋯+a 2n =8，则a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1的最小值为()A.25B.8C.-8D.-25【答案】C【解析】由柯西不等式，得(a 21+a 22+⋯+a 2n -1+a 2n )(a 22+a 23+⋯+a 2n +a 21)≥(a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n -1a n +a n a 1)2，∴(a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n -1a n +a n a 1)2≤8×8，∴-8≤a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1≤8，当a 1a 2=a 2a 3=a 3a 4=⋯=a n -1a n =a n a 1=-1且a 21+a 22+⋯+a 2n =8时，即a 1 =a 2 =a 3 =⋯=a n -1 =a n =22nn，且a 1,a 3,a 5,⋯与a 2,a 4,a 6,⋯异号时，a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1=-8，则a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1的最小值为-8.选：C .3已知a ，b ，c ∈R ，满足a +2 2+b 2+c +1 2=12，则a +b +c 的最大值为()A.2B.3C.4D.6【答案】B【解析】设a +2=w ，b =v ，c +1=u ，可得w 2+v 2+u 2=12，所以a +b +c =w +v +u -3．因为w +v +u 2≤12+12+12 w 2+v 2+u 2 =36，所以-6≤w +v +u ≤6，当且仅当w =v =u =2，w +v +u 取得最大值6，此时a +2=b =c +1=2，所以a +b +c 的最大值为6-3=3．故选：B .题型二：柯西不等式之根式下有正负型1(2024·高三·山东青岛·期中)柯西不等式(Caulhy -Schwarz Lnequality )是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：a 2+b 2c 2+d 2 ≥ac +bd 2，当且仅当a c =b d时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数f x =34-3x +3x -2的最大值为()A.25 B.23 C.12 D.20【答案】A 【解析】由4-3x ≥03x -2≥0，解得23≤x ≤43，所以函数f x 的定义域为23,43，由柯西不等式得，f x =34-3x +3x -2≤32+12 4-3x +3x -2 =25，当且仅当34-3x =13x -2，即x =1115时等号成立，所以f x 的最大值为2 5.故选：A .2柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量a =x 1,y 1 ,b =x 2,y 2 ,由a ⋅b≤a b 得到(x 1x 2+y 1y 2)2≤(x 21+y 21)(x 22+y 22),当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0,b ≥0,a +b =5,则2a +2+b +3的最大值为()A.18B.9C.23D.33【答案】D【解析】因为(x 1x 2+y 1y 2)2≤(x 21+y 21)(x 22+y 22),令x 1=2,y 1=1,x 2=a +1,y 2=b +3,又a ≥0,b ≥0,a +b =5,所以2a +2+b +3 2=2⋅a +1+1⋅b +3 2≤2 2+12 ⋅a +1+b +3 =27,当且仅当2⋅b +3=1⋅a +1即a =5,b =0时等号成立,即2a +2+b +3≤33,故选:D .3(2024·浙江·模拟预测)已知x >0，y ∈R ，且x 2+xy -x +5y =30，则2-x +30-3y 的最大值为()A.3B.6C.26D.32【答案】C【解析】由x 2+xy -x +5y =30可得x 2-x -30+xy +5y =0，即x +5 x +y -6 =0.由x >0可知x +y =6，所以2-x +30-3y =2-x +12+3x =2-x +3⋅4+x .由x >0，2-x ≥0可得0<x ≤2，由柯西不等式得2-x +3⋅4+x 2≤12+3 2 ⋅2-x 2+4+x 2=24，所以2-x +3⋅4+x ≤26，当4+x3=2-x 1即x =12时，取等号.所以2-x +30-3y 的最大值为2 6.故选：C .题型三：柯西不等式之高次定求低次型1设a ，b ，c 为正数，且a 2+b 2+c 2=1，则a (a +b +c )的最大值为()A.3+12B.2+12C.32D.22【答案】A 【解析】解法一根据题意，有a (a +b +c )≤a 2+λa 2+1λb 22+μa 2+1μc22=1+λ2+μ2 a 2+12λb 2+12μc 2，其中λ,μ>0，令1+λ2+μ2=12λ=12μ，解得λ=μ=3-12，于是a (a +b +c )≤12λa 2+b 2+c 2 =3+12，等号当a :b :c =(3+1):2:2时取得，因此所求最大值为3+12．解法二令a =cos φ,b =sin φsin θ,c =sin φcos θ，其中0≤φ≤π,0≤θ<2π，则a (a +b +c )=cos 2φ+sin φcos φ(sin θ+cos θ)≤cos 2φ+2sin φcos φ=22sin2φ+12cos2φ+12≤3+12，等号当a :b :c =(3+1):2:2时取得，因此所求最大值为3+12．解法三根据题意，有a (a +b +c )≤a a +2b 2+c 2=a 2+2a 21-a 2=a 2-122+2⋅14-a 2-12 2+12≤3+12，等号当b 2=c 2，且14a 2-12 2=2a 2-12 2即a :b :c =(3+1):2:2时取得，因此所求最大值为3+12．故选：A .2(2024·全国·模拟预测)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 a 1,a 2,a 3 和 b 1,b 2,b 3 ，有a 21+a 22+a 23b 21+b 22+b 23 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 2等号成立当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3已知 x 2+y 2+z 2=14 ，请你用柯西不等式，求出 x +2y +3z 的最大值是()A.14 B.12C.10D.8【答案】A【解析】由题干中柯西不等式可得x +2y +3z 2≤x 2+y 2+z 2 12+22+32 =14×14=196，所以x +2y +3z 的最大值为14，当且仅当x =1,y =2,z =3时取等号.故选：A3已知实数a i i =1,2,3,4,5 满足(a 1-a 2)2+(a 2-a 3)2+(a 3-a 4)2+(a 4-a 5)2=1，则a 1-2a 2-a 3+2a 5的最大值是()A.22B.25C.5D.10【答案】D【解析】设c =a 1-a 2,b =a 2-a 3,c =a 3-a 4,d =a 4-a 5，则条件为a 2+b 2+c 2+d 2=1，所以a 1-2a 2-a 3+2a 5=a -b -2c -2d≤12+-1 2+-2 2+-2 2⋅a 2+b 2+c 2+d 2=10，等号当a 1=b -1=c -2=d-2且a >0时取得，因此所求代数式的最大值为10．故选：D题型四：柯西不等式之低次定求高次型1若实数a ，b ，c ，d 满足ab +bc +cd +da =1，则a 2+2b 2+3c 2+4d 2的最小值为()A.1B.2C.3D.以上答案都不对【答案】B【解析】根据题意，有ab +bc +cd +da =1⇒(a +c )(b +d )=1，而a 2+3c 2 1+13 ≥a +c 2，当且仅从a =3c 时等号成立.同理2b 2+4d 2 12+14≥b +d 2，当且仅当2b =4d 式等号成立，记题中代数式为M ，于是M =a 2+3c 2+2b 2+4d 2≥(a +c )21+13+(b +d )212+14=34(a +c )2+43(b +d )2≥2(a +c )(b +d )=2，等号当ac =3,bd =2,⇒a :b :c :d =3:2:1:1a +c b +d =43,时取得，因此所求代数式的最小值为2．故选：B .2已知空间向量OA =1,12,0 ,OB =1,2,0 ,OC =0,1,12，OP=xOA +yOB +zOC ，且x +2y +z =2，则OP的最小值为()A.2B.3C.2D.4【答案】B【解析】因为OP =xOA +yOB +zOC =x 1,12,0 +y 1,2,0 +z 0,1,12 =x +y ,12x +2y +z ,12z ，所以OP 2=x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2=13x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2 1+1+1 ≥13x +y +12x +2y +z +12z 2=1332x +3y +32z 2=34x +2y +z 2=3，当且仅当x +y =12x +2y +z =12z 时等号成立，即x =2,y =-1,z =2时等号成立.所以OP ≥3，所以OP 的最小值为 3.故选：B3已知a ，b ，c 为实数，且a +b +c =5，则a 2+2b 2+c 2的最小值为()A.5B.1C.2D.52【答案】C【解析】由三维柯西不等式：a 12+a 22+a 32 b 12+b 22+b 32 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 2b 22当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a3b 3时取等,所以12+22 2+12 a 2+2b 2+c 2 ≥1×a +22×2b +c ×1 2=a +b +c 2=5所以a 2+2b 2+c 2≥552=2，当且仅当a 1=2b 22=c1时取等,所以a 2+2b 2+c 2的最小值为：2故选：C题型五：柯西不等式之整式与分式型1(2024·高三·浙江台州·期末)已知正实数a ,b 满足a +2b =1，则a 4b+32b 4a 的最小值为．【答案】12/0.5【解析】由柯西不等式a 4b +32b 4a =a 4b+32b 4a(2b +a )≥(2a 2+42b 2)2=2(a 2+4b 2)2而a 2+4b 2=12(a 2+4b 2)(1+1)≥12(a +2b )2=12，所以a 4b+32b 4a ≥2a 2+4b 2 2≥12，a =12,b =14时等号成立，故答案为：12.2已知a 、b 、c ∈R +，且满足a +2b +3c =1，则1a +12b+13c 的最小值为.【答案】9【解析】因为a 、b 、c ∈R +，且满足a +2b +3c =1，所以，1a +12b +13c =a +2b +3c 1a +12b+13c ≥a a +2b 2b +3c 3c2=9，当且仅当a =2b =3c =13时，等号成立，故1a +12b+13c 的最小值为9.故答案为：9.3已知a ,b ,c ∈(0,1)，且ab +bc +ac =1，则11-a +11-b +11-c 的最小值为()A.3-32B.9-32C.6-32D.9+332【答案】D【解析】因为a ,b ,c ∈(0,1)且ab +bc +ac =1，∴(a +b +c )2≥3(ab +bc +ca )=3，∴a +b +c ≥3，因为11-a +11-b +11-c (1-a +1-b +1-c )≥1+1+12所以11-a +11-b +11-c ≥9(1-a +1-b +1-c )≥93-3=9+332，当且仅当a =b =c =33时，11-a +11-b+11-c 的最小值为9+332.故选：D .题型六：柯西不等式之多变量型1已知x ,y ,z >0且x +y +z =1，a ，b ，c 为常数，则a 2x +b 2y +c 2z 的最小值为()A.a 2+b 2+c 2B.3a 2+b 2+c 2C.(a +b +c )3D.前三个答案都不对【答案】D【解析】根据柯西不等式，有a 2x +b 2y +c 2z ≥(a +b +c )2x +y +z=(a +b +c )2，等号当a x =b y =cz >0时取得，因此所求最小值为(a +b +c )2．故选：D .2已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a +b +c +d +e =8,a 2+b 2+c 2+d 2+e 2=16, 则e 的取值范围是()A.[-2,2]B.[0,1]C.[0,2)D.以上答案都不对【答案】D【解析】根据柯西不等式，有-4⋅a 2+b 2+c 2+d 2≤a +b +c +d ≤4⋅a 2+b 2+c 2+d 2，从而|8-e |≤216-e 2⇒0≤e ≤165，因此e 的取值范围是0,165．故选：D .3已知a ,b ,c ∈R +，且(a +b -c )1a +1b -1c =3，则a 4+b 4+c 4 1a 4+1b 4+1c4的最小值是()A.417+2403B.417-2403C.417D.以上答案都不对【答案】A【解析】由(a +b -c )1a +1b -1c =3可得a 2+b 2ab ×1a +b =c ×1ab+1c ，由对称性可设ab =1，则条件即(a +b -c )a +b -1c =3即c +1c =a 2+b 2a +b，从而a 2+b 2a +b≥2⇒a +b ≥1+3，根据柯西不等式a 4+b 4+c 4 a 4+b 4+1c4≥a 4+b 4+1 2=(a +b )4-4(a +b )2+32≥417+2403，等号当c =1,a +b =1+3时取得．因此所求最小值为417+2403．故选：A .题型七：柯西不等式之三角函数型1函数3+23cos θ+cos 2θ+5-23cos θ+cos 2θ+4sin 2θ的最大值为()A.2+3B.22+3C.2+23D.前三个答案都不对【答案】D【解析】题中代数式为3+cos θ+10-(3cos +1)2=3cos θ+13+10-(3cos θ+1)2+23≤13+1×10+23=210+23，等号当10-(3cos θ+1)23cos θ+1=3⇒cos θ=10-223时可以取得，因此所求最大值为210+23．故选：D .2(2024·浙江·一模)若sin x +cos y +sin x +y =2，则sin x 的最小值是()A.0 B.2-3 C.3-7 D.12【答案】C【解析】由已知sin x +cos y +sin x cos y +cos x sin y =2整理得2-sin x =sin x +1 cos y +cos x sin y ，由柯西不等式得sin x +1 cos y +cos x sin y ≤1+sin x2+cos 2x ⋅cos 2y +sin 2y =2+2sin x ，当sin x +1 sin y =cos y cos x 时取等号，所以2-sin x 2≤2+2sin x ，即sin 2x -6sin x +2≤0，解得3-7≤sin x ≤1，所以sin x 的最小值为3-7.故选：C ．3函数y =2cos x +31-cos2x 的最大值为()A.22B.5C.4D.13【答案】A【解析】利用柯西不等式进行求最值.y =2cos x +31-cos2x =2cos x +32sin 2x ≤cos 2x +sin 2x 22+(32)2=22当且仅当cos x sin 2x=232，即tan x =±322时，函数有最大值22.故选：A .题型八：Aczel 不等式1f (x )=5x -4-x -4的最小值为．【答案】855【解析】f (x )=5x -4-x -4=5⋅x -45-1⋅x -4≥(5-1)x -45-(x -4) =4×165=85当且仅当x -45x -4=51即x =245时取等号，故f (x )=5x -4-x -4的最小值为855．2为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式(二维)；当向量a =x 1,y 1 ,b =x 2,y 2 时，有a ⋅b 2≤a 2b 2，即x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：x 1x 2-y 1y 2 2≥x 21-y 21 x 22-y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当x∈R 时，12x 2+1-2x 2+1的最小值是．【答案】-1【解析】由题意得12x 2+1-2x 2+1=12x 2+1-42x 2+2，则12x 2+1-42x 2+22x 2+1 -2x 2+2 =12x 2+1 2-22x 2+222x 2+1 2-2x 2+2 2 ≤12x 2+1⋅2x 2+1-22x 2+2⋅2x 2+22=1，当且仅当12x 2+1⋅2x 2+2=22x 2+2⋅2x 2+1，即x =0时，等号成立，即12x 2+1-42x 2+2 2x 2+1 -2x 2+2≤1，则-12x 2+1-42x 2+2≤1，所以12x 2+1-2x 2+1=12x 2+1-42x 2+2≥-1，最小值为-1，此时x =0．故答案为：-1.题型九：权方和不等式之整式与分式综合型1已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =1，则x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y的最小值为【答案】13【解析】因为正数x ，y 满足x +y +z =1，所以x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y ≥x +y +z 2y +2z +z +2x +x +2y =13，当且仅当x y +2z =y z +2x =z x +2y 即x =y =z =13时取等号.故答案为：13.2权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =b y 时等号成立．根据权方和不等式，函数f (x )=2x+91-2x 0<x <12 的最小值为()A.16 B.25 C.36 D.49【答案】B【解析】因a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时等号成立，又0<x <12，即1-2x >0，于是得f (x )=222x +321-2x ≥(2+3)22x +(1-2x )=25，当且仅当22x =31-2x ，即x =15时取“=”，所以函数f (x )=2x +91-2x 0<x <12的最小值为25.故选：B3已知a ，b ，c 为正实数，且满足a +4b +9c =4，则1a +1+1b +1+1c +1的最小值为.【答案】2【解析】由权方和不等式，可知1a +1+1b +1+1c +1=1a +1+44b +4+99c +9≥1+2+3 2a +1 +4+4b +9c +9=3618=2，当且仅当a =2,b =12,c =0时等号成立，所以1a +1+1b +1+1c +1的最小值为2.故答案为：2.题型十：权方和不等式之三角函数型1已知正实数x 、y 且满足x +y =1，求1x 2+8y2的最小值.【答案】27【解析】设x =cos 2α，y =sin 2α，α∈0,π2，由权方和不等式，可知1x 2+8y 2=13cos 2α 2+23sin 2α 2≥1+2 3cos 2α+sin 2α2=27，当且仅当1cos 2α=2sin 2α，即x =13，y =23时取等号，所以1x 2+8y2的最小值为27.故答案为：272已知θ为锐角，则1sin θ+8cos θ的最小值为.【答案】55【解析】1sin θ+8cos θ=132sin 2θ12+432cos 2θ12≥1+432sin 2θ+cos 2θ12=532=55当且仅当1sin 2θ=4cos 2θ即sin θ=55，cos θ=255时取“=”.故答案为：553(2024·四川·模拟预测)“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设a n >0,b n >0,n ∈N *,m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+a m +13b m 3+⋯+a m +1n b m n≥a 1+a 2+a 3+⋯+a nm +1b 1+b 2+b 3+⋯+b nm，当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3=⋯=a n b n 时，等号成立．根据权方和不等式，若x ∈0,π2 ，当33sin x +1cos x 取得最小值时，x 的值为()A.π12B.π6C.π3D.5π12【答案】C【解析】由题意得，sin x >0,cos x >0，则33sin x +1cos x =332sin 2x12+132cos 2x12≥(3+1)32sin 2x +cos 2x12=432=8，当且仅当3sin 2x =1cos 2x，即cos x =12时等号成立，所以x =π3．故选：C ．题型十一：权方和不等式之杂合型1已知x ,y >0,1x +22y =1，则x 2+y 2的最小值是．【答案】33【解析】由题意得，1=1x +22y=132x 212+232y 212≥1+232x 2+y 212=33x 2+y 2．(权方和的一般形式为：a m +11b m 1+a m +12b m 2+a m +13b m 3+⋯+a m +1nb m n ≥a 1+a 2+a 3+⋯+a n m +1b 1+b 2+b 3+⋯+b nm,a i >0,b i >0,当且仅当a i =λb i 时等号成立)当1x 2=2y 21x+22y =1，即x =3,y =32时，x 2+y 2取得最小值33．故答案为：332已知x +2y +3z +4u +5v =30，求x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2的最小值为【答案】60【解析】x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2=x 21+2y 22+3z 23+4u 24+5v 25≥x +2y +3z +4u +5v 21+2+3+4+5=30215=60当且仅当x =y =z =u =v 时取等号故答案为：603求f x =x 2-3x +2+2+3x -x 2的最大值为【答案】22【解析】f (x )=x 2-3x +2+2+3x -x 2=x 2-3x +2121-12+2+3x -x 2121-12≤x 2-3x +2+2+3x -x 2 121+1-12=22当且仅当x 2-3x +2=2+3x -x 2，即x =0或x =3时取等号故答案为：2 2.1(2024·吉林白山·一模)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a ，b ，x ，y ，满足a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时，等号成立．则函数f x =3x +161-3x 0<x <13 的最小值为()A.16 B.25 C.36 D.49【答案】D【解析】因为a ，b ，x ，y ，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时等号成立，又0<x <13，即1-3x >0，于是得f x =323x +421-3x ≥3+4 23x +1-3x =49，当且仅当1x =41-3x ，即x =17时取“=”，所以函数的f x =3x +161-3x 0<x <13最小值为49．故选：D2已知a ，b ，c 均大于1，log a 3+log b 9+log c 27=12，则ab 2c 3的最小值为()A.243B.27C.81D.9【答案】B【解析】由log a 3+log b 9+log c 27=12得log a 3+2log b 3+3log c 3=12，所以log 3ab 2c 3 =log 3a +log 3b 2+log 3c 3=log 3a +2log 3b +3log 3c =112log 3a +2log 3b +3log 3c log a 3+2log b 3+3log c 3 ≥112log 3a ⋅log a 3+2log 3b ⋅2log b 3+3log 3c ⋅3log c 3 2=1121+2+3 2=3，当且仅当log 3a log a 3=log 3b log b 3=log 3clog c 3时取等，所以log 3ab 2c 3 ≥3=log 327，所以ab 2c 3≥27，即ab 2c 3的最小值为27，故选：B3(2024·福建·模拟预测)设p 、q ∈R +，x ∈0,π2，则psin x+qcos x的最小值是()A.p 35+q 3553B.p 45+q4554C.p 12+q 122D.p 14+q144【答案】B【解析】设f =psin x+q cos x，因为x ∈0,π2 ，则0<sin x <1且0<cos x <1，因为sin 2x +cos 2x =1，构造数字式5=1+4=1+4p f sin x +qf cos x=4pf sin x+sin 2x+4qf cos x+cos 2x≥55p f sin x4⋅sin 2x +55q f cos x4⋅cos 2x =5⋅5p 4+5q 45f4，所以，5f 4≥5p 4+5q 4=p 45+q 45，故f ≥p 45+q 4554，当且仅当p f sin x =sin 2xq f cos x=cos 2x，即当tan x =pq25时，等号成立，因此，psin x+q cos x的最小值是p 45+q 45 54.故选：B .4由柯西不等式，当x +2y +z =4时，求x +y +z 的最大值为()A.10 B.4C.2D.10【答案】D【解析】由柯西不等式，得(x +2y +z )(4+2+4)≥(2x +2y +2z )2，当且仅当x 4=2y 2=z 4，即x =z =82,y =25时，等号成立.因为x +2y +z =4，所以(x +y +z )2≤10，则x +y +z ≤10，故x +y +z 的最大值为10.故选：D5已知3x +2y +z =3，则x 2+y 2+2z 2的取最小值时，xyz 为()A.7B.83C.3D.73【答案】B【解析】由柯西不等式得：3=3x +2y +z ≤32+22+122⋅x 2+y 2+2z 2则x 2+y 2+2z 2≥23．则根据等号成立条件知3x +2y +z =33x =2y =12z⇒x =23，y =49，z =19，所以xy z =23×4919=83故选：B6已知：a 2+b 2=1，x 2+y 2=1，则ax +by 的取值范围是()A.0,2B.-1,1C.-2,2D.0,1【答案】B【解析】利用柯西不等式，可得1≥ax +by 2,解不等式即可.解:利用柯西不等式，得a 2+b 2=1,1=a 2+b 2 x 2+y 2 ≥ax +by 2，解得-1≤ax +by ≤1.故选:B7实数x 、y 满足3x 2+4y 2=12，则z =2x +3y 的最小值是()A.-5B.-6C.3D.4【答案】A【解析】∵实数x 、y 满足3x 2+4y 2=12，∴x 24+y 23=1，∴x 24+y 2316+9 ≥2x +3y 2，-5≤2x +3y ≤5，当且仅当33x =8y 时取等号，∴z =2x +3y 的最小值是-5.故选：A .8已知a ，b >0，a +b =5，则a +1+b +3的最大值为()A.18B.9C.32D.23【答案】C【解析】由题意，a +1+b +3 2≤1+1 a +1+b +3 =18，当且仅当a +1=b +3时等号成立，∴当a =72，b =32时，故a +1+b +3的最大值为3 2.故选：C .9若实数x +2y +3z =1，则x 2+y 2+z 2的最小值为()A.14B.114C.29D.129【答案】B【解析】根据柯西不等式：x 2+y 2+z 2 1+4+9 ≥2+2y +3z =1，即x 2+y 2+z 2≥114，当且仅当x =114，y =17，z =314时等号成立.故选：B .10函数y =x 2-2x +3+x 2-6x +14的最小值是A.10B.10+1C.11+210D.210【答案】B【解析】y =x 2-2x +3+x 2-6x +14=(x -1)2+2+(3-x )2+5根据柯西不等式，得y 2=(x -1)2+2+(3-x )2+5+2(x -1)2+2 (3-x )2+5 ≥(x -1)2+2+(3-x )2+5+2[(x -1)(3-x )+10]=[(x -1)+(3-x )]2+2+5+210=11+210当且仅当x -13-x =25，即x =210-13时等号成立.此时，y min =11+210=10+1 2=10+1，故选：B .11若x 2+4y 2+9z 2=4，则x +y +3z 的最大值()A.3B.6C.9D.27【答案】A【解析】根据柯西不等式可得：(x +2y +3z )2≤(x 2+4y 2+9z 2)12+12 2+12=4×94=9∴x +y +3z ≤3，当且仅当x =4y =3z ，即x =43,y =13,z =49时，等号成立.故选:A .12函数y =x -5+26-x 的最大值是()A.3B.5C.3D.5【答案】B【解析】利用柯西不等式求解.因为y =x -5+26-x ≤x -52+6-x 2 12+22 =5当且仅当x -5=6-x 2，即x =265时，取等号.故选：B13已知a 21+a 22+⋯+a 2n =1，x 21+x 22+⋯+x 2n =1，则a 1x 1+a 2x 2+⋯+a n x n 的最大值是()A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】利用柯西不等式求解.a 1x 1+a 2x 2+⋯+a n x n 2≤a 21+a 22+⋯+a 2n x 21+x 22+⋯+x 2n =1×1=1，当且仅当x 1a 1=x 2a 2=⋯=xn a n=1时取等号.∴a 1x 1+a 2x 2+⋯+a n x n 的最大值是1故选：A14函数f x =1-cos2x +cos x ，则f x 的最大值是()A.3B.2C.1D.2【答案】A【解析】将f x 化为f x =2sin 2x +cos x ，利用柯西不等式即可得出答案.因为f x =1-cos2x +cos x所以f x =2sin 2x +cos x ≤2+1 sin2x +cos 2x =3当且仅当cos x =33时取等号.故选：A15(2024·高三·河北衡水·期末)已知a ，b ，c >0，且a +b +c =1，则3a +1+3b +1+3c +1的最大值为()A.3B.32C.18D.9【答案】B【解析】由柯西不等式得：3a +1+3b +1+3c +1 2≤12+12+12 3a +1 2+3b +1 2+3c +1 2=3×3a +b +c +3 =18，所以3a +1+3b +1+3c +1≤32，当且仅当a =b =c =13时，等号成立，故选B .16已知x ，y 均为正数，且x +y =2，则x +4xy +4y 的最大值是()A.8 B.9 C.10D.11【答案】C【解析】x +4xy +4y =x +2y 2≤x +2y 2+2x -y 2=5x +y =10当且仅当2x =y ，即x =25,y =85时，等式成立.故选：C17(2024·广西南宁·二模)设实数a ,b ,c ,d ,e 满足关系：a +b +c +d +e =8，a 2+b 2+c 2+d 2+e 2=16，则实数e 的最大值为A.2 B.165C.3D.25【答案】B【解析】根据柯西不等式知：4(a 2+b 2+c 2+d 2)=(1+1+1+1)(a 2+b 2+c 2+d 2)≥(a +b +c +d )2，当且仅当a =b =c =d 时等号成立，所以4(16-e 2)≥(8-e )2，即64-4e 2≥64-16e +e 2，所以5e 2-16e ≤0，解得0≤e ≤165，即实数e 的最大值为165.故选：B .18(2024·山西·二模)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=x 1,y 1 ，b =x 2,y 2 ，由a ⋅b ≤a b 得到x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0，b ≥0，a +b =9，则2a +4+b +1的最大值为.【答案】6【解析】令x 1=2,y 1=1,x 2=a +2,y 2=b +1，又a ≥0，b ≥0，a +b =9，所以2a +4+b +1 2≤2+1 a +2+b +1 =3×12=36，所以2a +4+b +1≤6，当且仅当2⋅b +1=a +2，即a =6,b =3时取等号，所以2a +4+b +1的最大值为6.故答案为：619若不等式x +y ≤k 5x +y 对任意正实数x ，y 都成立，则实数k 的最小值为.【答案】305/1530【解析】由柯西不等式的变形可知5x +y =x 215+y21≥x +y 15+1，整理得x +y 5x +y ≤305，当且仅当x15=y1，即y=25x时等号成立，则k的最小值为30 5.故答案为：30 520已知x，y，z>0，且x+y+z=9，则x2+4y2+z2的最小值为．【答案】36【解析】由柯西不等式可得x2+4y2+z212+122+12≥(x+y+z)2，所以94x2+4y2+z2≥81，即x2+4y2+z2≥36，当且仅当x1=2y12=z1即x=4y=z也即x=4,y=1,z=4时取得等号，故答案为:36.21(2024·高三·江苏苏州·开学考试)设角α、β均为锐角，则sinα+sinβ+cosα+β的范围是．【答案】1,3 2【解析】因为角α、β均为锐角，所以sinα,cosα,sinβ,cosβ的范围均为0,1，所以sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ<sinα+sinβ，所以sinα+sinβ+cosα+β>sinα+β+cosα+β=2sinα+β+π4因为0<α<π2,0<β<π2,π4<α+β+π4<3π4，所以2sinα+β+π4>2×22=1，sinα+sinβ+cosα+β=sinα+sinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=1-sinβsinα+cosαcosβ+sinβ≤1-sinβ2+cos2β+sinβ=21-sinβ+sinβ，当且仅当1-sinβcosα=sinαcosβ时取等，令1-sinβ=t，t∈0,1，sinβ=1-t2，所以=21-sinβ+sinβ=2t+1-t2=-t-2 22+32≤32.则sinα+sinβ+cosα+β的范围是：1,3 2.故答案为：1,3 222在锐角△ABC中，tan A tan B+2tan B tan C+3tan C tan A的最小值是．【答案】6+22+23+26【解析】记题中代数式为M，我们熟知三角形中的三角恒等式：cot A cot B+cot B cot C+cot C cot A=1，于是M=tan A tan B+2tan B tan C+3tan C tan A≥(1+2+3)2cot A cot B+cot B cot C+cot C cot A=(1+2+3)2=6+22+23+26，等号当tan A tan B=2tan B tan C=3tan C tan A⇒tan A:tan B:tan C=2:3:1时取得，因此所求最小值为6+22+23+26故答案为：6+22+23+2623函数f (x )=2020-x +x -2010的最大值与最小值之积为．【答案】102【解析】函数f (x )的定义域为[2010,2020]，一方面，2020-x +x -2010≥(2020-x )+(x -2010)=10，等号当x =2010,2020时取得；另一方面，2020-x +x -2010≤2⋅(2020-x )+(x -2010)=20，当且仅当x =2015时等号成立，于是最大值为20，最小值为10，所求乘积为102．故答案为：10 2.24(2024·高三·天津南开·期中)已知正实数a ，b 满足a +b =1，则1a +2a b +1的最小值为.【答案】52/2.5【解析】由题设，a =1-b ，则1a +2a b +1=1a +2-2b b +1=1a +4b +1-2，又(a +b +1)1a +4b +1 =a ⋅1a +b +1⋅2b +12=9，∴1a +4b +1≥92，当且仅当a =b +12时等号成立，∴1a +2a b +1≥92-2=52，当且仅当a =b +12=23时等号成立.∴1a +2a b +1的最小值为52.故答案为：52.25已知a >1,b >1，则a 2b -1+b 2a -1的最小值是．【答案】8【解析】令a +b -2=t >0，则a 2b -1+b 2a -1≥a +b 2a +b -2=t +2 2t =t +4t +4≥24+4=8，当a +b -2=2a b -1=ba -1时，即a =2,b =2时，两个等号同时成立，原式取得最小值8．故答案为：826已知x >0，y >0，且12x +y +1y +1=1，则x +2y 的最小值为.【答案】3+12【解析】解法一：设x +2y =λ1(2x +y )+λ2(y +1)+t ，可解得λ1=12,λ2=32,t =-32，从而x +2y =12(2x +y )+32(y +1)-32=12(2x +y )+32(y +1) 12x +y +1y +1-32≥3+12，当且仅当x =12+33,y =33时取等号.故答案为：3+12．解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y，1=12x +y +33y +3≥(1+3)22x +4y +3⇒2x +4y +3≥4+23，所以x +2y ≥3+12，当且仅当x =12+33,y =33时取等号.故答案为：3+12．。

用柯西不等式解几道2023年不等式竞赛题

用柯西不等式解几道2023年不等式竞赛题

用柯西不等式解几道2023年不等式竞赛题OP =a ，sin ∠POF 1=sin ∠POF 2=2c,tan ∠PF 1O=tan ∠POF 2=2a .因为∠POF 2=∠OPF 1+∠PF 1O ，所以有tan ∠POF 2=tan(∠OPF 1+∠PF 1O )，即2a=tan ∠OPF 1412∠OPF 1，化简得tan ∠OPF 1=2.从而有sin ∠OPF 1=2cos ∠OPF 1∠F 1PF 2=sin ()∠OPF 1+90°=cos ∠OPF 1=2在△OPF 1中使用正弦定理，有PF 1sin ∠POF 1=OF 1sin ∠OPF 1，得PF 1.对F 1,O ,F 2应用张角定理，有sin 1PF 2OP =∠OPF 1PF 2+sin ∠OPF 2PF 1，即+.消去c ，并解方程得a =2.所以，双曲线的方程为x 22-y 24=1.正确答案为D.张角定理为我们提供了一种求解含有图1所示模型的平面几何问题的思路.当然，在利用张角定理解决问题时，往往还需适当地将其与正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等结论相结合.参考文献［1］沈文选,张垚,冷岗松.奥林匹克数学中的几何问题［M ］.长沙:湖南师范大学出版社,2014.（山西省太原市第三实验中学校董立伟030031）柯西不等式是指：设正实数a 1,a 2,⋯,a n ,b 1,b 2,⋯,b n ,则(a 21+a 22+⋯+a 2n )(b 21+b 22+⋯+b 2n ) (a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n )2,当且仅当a 1b 1=a 2b 2=⋯=a n b n 时等号成立.其中的一个变形：设a 1,a 2,⋯,a n ,b 1,b 2,⋯,b n 为正实数，则有a 21b 1+a 22b 2+⋯+a 2n b n (a 1+a 2+⋯+a n )2b 1+b 2+⋯+b n,是权方和不等式的一个特例.本文用柯西不等式及其变式权方和不等式，给出几道2023年竞赛不等式试题的证明.例1（2023江西预赛）若锐角A ,B ,C 满足sin 2A +sin 2B +sin 2C =2，则1sin 2A cos 4B+1sin 2B cos 4C +1sin 2C cos 4A的最小值是.解：由柯西不等式及权方和不等式，有1sin 2A cos 4B +1sin 2B cos 4C +1sin 2C cos 4A =12æèçöø÷1sin 2A cos 4B +1sin 2B cos 4C +1sin 2C cos 4A ·(sin 2A +sin 2B +sin 2C ) 12(1cos 2B +1cos 2C +)1cos 2A =12æèçöø÷12cos 2B +12cos 2C +12cos 2A 212⋅éëêêùûúú()1+1+12cos 2A +cos 2B +cos 2C 2=12⋅æèöø912=812.所以1sin 2A cos 4B +1sin 2B cos 4C +1sin 2C cos 4A 的最小值是812.例2（2023北京大学优秀大学生寒假学堂数学试题）设x ,y ∈æèöø0,π2，则1cos 2x+1sin 2x sin 2y cos 2y的最小值为（）.··48A.8B.10C.9D.其他三个答案都不对解：由权方和不等式，有1cos 2x+1sin 2x sin 2y cos 2y =1cos 2x +4sin 2x sin 22y1cos 2x +4sin 2x ()1+22cos 2x +sin 2x=9，故选B.例3（2023南京大学强基计划第4题）已知sin 4αsin 2β+cos 4αcos 2β=1，则sin 4βsin 2α+cos 4βcos 2α=.解：由权方和不等式，有1=sin 4αsin 2β+cos 4αcos 2β=(sin 2α)2sin 2β+(cos 2α)2cos 2β (sin 2α+cos 2α)2sin 2β+cos 2β=1，由等号成立的条件知sin 2αsin 2β=cos 2αcos 2β=sin 2α+cos 2αsin 2β+cos 2β=1,所以sin 2α=sin 2β，所以sin 4βsin 2α+cos 4βcos 2α=()sin 2α2sin 2α+()cos 2α2cos 2α=sin 2α+cos 2α=1.例4（2023广东东莞数学竞赛试题）已知正数a ,b ,c ,d 满足a +b +c +d =1，求++的最小值.解：当a =b =c =d =14+++=3，下证+ 3.证明：由柯西不等式，有a+，于是有++ 13æèça ++b++c ++d +13æèç1+ 13æèç1+=3.例5（2023福建数学竞赛预赛试题）若不等式 对所有正实数a ,b 都成立，求λ的最大值.解：当a =b 时，有λ20a +23b，下证.证明：由权方和不等式，有120a +23b +123a +20b =13220a +23b +13223a +20b ()1+13220a +23b +23a +20b =43()a +b a +b故λ最大值为例6（2023中美洲和加勒比海数学奥林匹克）已知a ,b ,c 为正实数，满足ab +bc +ca =1，求证：a 3a 2+3b 2+3ab +2bc+b 3b 2+3c 2+3bc +2ca +c 3c 2+3a 2+3ca +2ab>16()a 2+b 2+c 2.证明：由平均值不等式，有a 2+b 2+c 213(a +b +c )2,a 2+b 2+c 2 ab +bc +ca ，所以(a 2+b 2+c 2)3 19(a +b +c )4(ab +bc +ca )=19(a +b +c )3(a +b +c ) 19(a +b +c )3⋅3()ab +bc +ca ,由权方和不等式的变式，有··49a 3a 2+3b 2+3ab +2bc +b 3b 2+3c 2+3bc +2ca+c 3c 2+3a 2+3ca +2ab =a 4a 3+3ab 2+3a 2b +2abc+b 4b 3+3bc 2+3b 2c +2abc +c 4c 3+3a 2c +3c 2a +2abc(a 2+b 2+c 2)2a 3+b 3+c 3+3(ab 2+a 2b +bc 2+b 2c +a 2c +c 2a )+6abc=(a 2+b 2+c 2)2(a +b +c )3=(a 2+b 2+c 2)3(a +b +c )3(a 2+b 2+c 2)>16(a 2+b 2+c 2).（安徽省南陵县城东实验学校邹守文241300）问题：（2023年高考数学全国甲卷理科第16题）在 ABC 中，∠BAC =60°,AB =2,BC =6，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD =.[1]解析1（面积法）：如图1所示，记AB =c ,AC =b ,BC =a ，由余弦定理可得22+b 2-2×2×b ×cos 60°=6，因为b >0，解得b =1+3，由S ABC =S ABD +S ACD 可得12×2×b×sin 60°=12×2×AD ×sin 30°+12×AD ×b ×sin 30°，解得AD =b 2=23(1+3)3+3=2，故答案为2．点评：面积法比较适合本题，它很好地将已知与所求紧密联系起来，只不过用面积法之前必须用余弦定理求出AC 的长度.解析2（正余弦定理）：由余弦定理可得22+b 2-2×2×b ×cos 60°=6，因为b >0，解得b =1+3，由正弦定理可得=b sin B =2sin C ，解得sinB =sin C =，因为1+3>6>2，所以C =45°，B =180°-60°-45°=75°，又∠BAD =30°，所以∠ADB =75°，即AD =AB =2，故答案为2．点评：很多学生会像上面这样做，但若利用正弦定理BC sin ∠BAC =AB sin C，得C =45°,不用求b ，只需利用内角和定理求出所有的角，同样可以求出AD 的长度，这样做会更快.解析3（张角定理）：如图1所示，记AB =c ,AC =b ,BC =a ，由余弦定理可得22+b 2-2×2×b ×cos 60°=6，因为b >0，解得b =1+3，由张角定理得sin ∠BAD AC +sin ∠CAD AB =sin ∠BAC AD,即AD =2，故答案为2．点评：张角定理是数学竞赛常用的一个几何定理，若用在这里事半功倍.如图2所示，在ABC 中，点D 为边BC 上任意一点，设∠BAD=α,∠CAD =β,则sin αAC +sin βAB =sin(α+β)AD.解析4（角平分线定理）：如图1所示，记AB =c ,AC =b ,BC =a ，由余弦定理可得22+b 2-2×2×b ×cos 60°=6，因为b >0，解得b =1+3，由角平分线定理得AB AC=BD DC,即探究一道解三角形小题的多种解法AB DC 230°30°6图1CA B D αβ图2··50。

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式优化练习新人教A版选修4-5(2021年

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式优化练习新人教A版选修4-5(2021年

2017-2018学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式优化练习新人教A版选修4-5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式优化练习新人教A版选修4-5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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一二维形式的柯西不等式[课时作业］［A组基础巩固]1．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a＋b的取值范围是( )A．［－25,2错误! ]B．［－2错误!，2错误!］C．［－错误!，错误!］D．（－错误!,错误!］解析：∵a2＋b2＝10,∴(a2＋b2）（12＋12)≥（a＋b)2，即20≥（a＋b）2，∴－2 5 ≤a＋b≤2错误!.答案：A2．函数y＝2错误!＋错误!的最大值是( )A．3 B．错误!C。

错误!D．4解析：y2＝错误!2≤［22＋(错误!）2]错误!＝6×错误!＝3，当且仅当2错误!＝错误!·错误!，即x＝错误!时等号成立．∴y的最大值为3。

答案：C3．如果实数m，n，x，y满足m2＋n2＝a，x2＋y2＝b,其中a，b为常数，那么mx＋ny的最大值为( )A。

错误!B．错误!C。

a2＋b22D．错误!解析：由柯西不等式,得（mx＋ny)2≤（m2＋n2）（x2＋y2）＝ab，当m＝n＝错误!，x＝y＝错误!时，(mx＋ny）max＝错误!.答案：B4．若a＋b＝1，则错误!2＋错误!2的最小值为( )A．1 B．2 C。

第10讲：不等式(二)柯西不等式 作业

第10讲：不等式(二)柯西不等式 作业

第十讲 不等式（二）柯西不等式课后作业【1】已知R ,a b ∈，且2226a b +=，求a b +的最小值【2】若,a b满足关系1=，求22a b +。

【3】已知0,2,αβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求证：222211cos sin sin s 9co ααββ≥+【4】P 为ABC 内一点，它到,,BC CA AB 三边的距离分别为123,,d d d ，S 为ABC 的面积。

求证：1232()2a b c d d d a b c S++≥++ 这里,,a b c 表示,,BC CA AB 三边的边长【5】利用柯西不等式证明点到直线距离公式：点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =。

第十讲 不等式（二）柯西不等式参考答案【1】已知R ,a b ∈，且2226a b +=，求a b +的最小值【解析】由柯西不等式，13a b a +=⋅+≤=当且仅当11a =，即2a b =，即2,1a b ==时，a b +取得最小值3【2】若,a b满足关系1=，求22a b +。

【解析】由柯西不等式，≤于是有2222()2)1(a b a b ⎡⎤+-+⎦≥⎣ 另一方面，2222222()()2111)(a b a b a b ⎡⎤=⎡-+-+≤⎣⎦⎤+-+⎣⎦ 故必有221a b +=【3】已知0,2,αβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求证：222211cos sin sin s 9co ααββ≥+ 【解析】由于2221sin cos s 1in 244βββ≤=。

（当且仅当4πβ=时取等号） 故2222221114cos sin sin cos cos sin ααββαα++≥。

（当且仅当4πβ=时取等号） 由柯西不等式，()222221412cos sin cos sin cos sin cos sin 9αααααααα≥⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎝⎭+=⎭【4】P 为ABC 内一点，它到,,BC CA AB 三边的距离分别为123,,d d d ，S 为ABC 的面积。

巧用柯西不等式证(解)几道新题

巧用柯西不等式证(解)几道新题

巧用柯西不等式证(解)几道新题
胡榴宝
【期刊名称】《中学数学教学》
【年(卷),期】2005(000)006
【摘要】柯西不等式（a12＋a22＋…an2）（b12＋b22…bn2）≥（a1b1＋
a2b2＋…anbn）2及其变式a12/b1＋a22/b2＋…an2/bn≥（a1＋a2＋…an）2/b1＋b2＋…bn（a1,a2,…an；b1,b2,…bn∈R＋）,在证（解）不等式中有重要应用，这是众所周知的．然而在使用柯西不等式时：（1）怎样更直接、更有效地使用它，使证（解）过程更简洁；（2）如何在证（解）那些形式上与柯西不等式相差甚远的不等式时使用它．这些却是常被忽视的问题．以下通过几例具体说明．【总页数】2页(P25-26)
【作者】胡榴宝
【作者单位】安徽教育学院,230061
【正文语种】中文
【中图分类】G623.502
【相关文献】
1.巧用柯西不等式的变式解竞赛题 [J], 李歆
2.解评几道中考电学创新题 [J], 陈世平
3.巧用函数思想解证不等式 [J], 魏昌华;
4.巧用最值定义妙解几道题目 [J], 杨春波;程汉波
5.巧用向量投影妙解几道题目 [J], 杨春波
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应用柯西不等式的两个变式巧解竞赛题
作者：李佑东
来源：《中学数学杂志(高中版)》2009年第05期
柯西不等式是竞赛中一个非常重要的不等式,其基本形式是:
∈
应用该不等式,很容易得到特殊情形下柯西不等式的分式形式和根式形式:
(1) 分式形式∈
(2) 根式形式
∈
把这两个不等式作为柯西不等式的变式,应用这两个变式可以简单的解决竞赛中的很多不等式或最值问题.
1 变式(1)的运用
例1 (2003年全国高中数学联赛) 已知x,y∈(-2,2)且xy=-1,则函数μ=
44--的最小值是多少参考答案是由xy=-1消去y,通分化简,最后利用基本不等式求解,较为麻烦.
解
μ=44--
11--
42-
42-
例2 (第19届莫斯科数学竞赛) 设|x|
11---xy.
该题在一些竞赛辅导书上也出现过,往往都是通过构造两个无穷递缩等比数列来证.思路不是很自然,其实用上述变式(1)非常简单可以得到结论.
解 11--
42--2xy=21-xy.
例3 (第29届俄罗斯数学奥林匹克竞赛) 设a,b,c∈且a+b+c=1,证明:
11-a+11-b+11-c≥21+a+21+b+21+c.
分析左边是三项分式,右边也是三项分式,可考虑对左边两两运用上述不等式.
解
11-a+11-b≥42-
11-b+11-c≥42-
11-c+11-a≥42-(c+a)=41+b
将以上三式相加得证.
例4 (数学通报2008,3数学问题与解答第1724题
已知:a,b,c∈且a+b+c=1,
求证:1a+bc+1b+ca+1c+ab≥274 .
问题提供者提供的解答比较繁琐,且思路很不自然,不易想到.应用变式(1),该题就很简单
证明由
即ab+bc+ca≤13.
所以1a+bc+1b+ca+1c+ab≥9a+b+c+ab+bc+ca≥274.
2 变式(2)的运用
例5(2005年全国高中数学联赛) 使不等式x-3+6-x≥k有解的实数的最大值是什么.
解由上述不等式k≤x-3+6-x≤2(x-3+6-x)=6.
例6 设a+b=1,求证
分析由于次数较高,可考虑反复利用上述不等式.
解
即
例7 (2003年全国高中数学联赛) 设32≤x≤5,证明不等式:
2x+1+2x-3+15-3x
证明 2x+1+2x-3+15-3x=x+1+x+1+2x-3+15-3x≤4(x+1+x+1+2x-3+15-3x)=2x+14≤219.
由x+1,3x-3,15-3x不可能同时相等,所以上式等号取不到,即
2x+1+2x-3+15-3x
3 两个变式综合运用
例8 设a,b,c∈且a+b+c=1,证明:
1a+1b+1c≥33.
分析该题在竞赛教辅上,往往利用柯西不等式去证,需要构造两组合适的数,技巧性较强,利用以上两个不等式很容易得证.
证明1a+1b+1c≥
9a+b+c≥93(a+b+c)=33.
例9 (第18届全俄中学生数学竞赛题) 已知:x,y∈求证:
14x+14x≥
证明
14x+14y≥
42(x+y)
4 应用变式加强或推广一些问题
例10 设a,b,c∈且a>b>c,则1a-b+1b-c+1c-a>0.
分析由不等式易知,1a-b+1b-c≥4a-c
,即原不等式可推广为1a-b+1b-c+4a-c≥0.
另外,设由不等式(1)可得
----
即----a
例11 已知:a,b,c,d,e∈且满足试确定e 的最大值.
这也是一道在很多竞赛书上都能见到的问题,解法也是各种各样,有的书上用构造二次函数,然后反复利用判别式三次,把简单问题复杂化,利用不等式很容易得出结果.
解由a+b+c+d=8-e,又因为-
即:8-e≤216-由条件知e≤4,解上述不等式即得:0≤e≤165.
由上面的解答可知: 因为a,b,c,d,e位置对称,所以0≤a,b,c,d,e≤165.因此,原问题可加强
为:a,b,c,d,e∈且满足求证: 0≤a,b,c,d,e≤165.
利用该方法可以很容易将问题推广为:
(1988年四川高中联赛试题) 已知∈满足
且-1(n≥2,n∈求
证
证明由a------1-
所以:(a--(n-
得
由的对称性,有
参考文献
[1] 周沛耕.数学奥林匹克竞赛标准教材北京:北京教育出版社,2005.
[2] 开明出版社编辑部.全国高中数学联赛历届真题北京:开明出版社,2005.
[3] 宋庆.数学问题与解答数学通报,2008,(3).。

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