【经典推荐】广州初中数学七年级下册期中典型试卷2
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2021-2022学年下学期广州初中数学七年级期中典型试卷2一.选择题(共10小题)
1.(2021春•增城区期中)有理数4的算术平方根是()
A.2B.﹣2C.±2D.4
2.(2021春•柳南区校级期末)在平面直角坐标系中,点A(2,﹣3)所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(2021春•天河区校级期中)的立方根是()
A.﹣B.C.D.
4.(2021春•天河区校级期中)下列计算正确的是()
A.=±3B.=﹣0.1
C.±=D.=﹣6
5.(2021春•柳南区校级期末)把方程4x﹣y=3改写成用含x的式子表示y的形式,正确的是()
A.y=4x﹣3B.y=4x+3C.x=D.x=
6.(2021春•越秀区校级期中)有下列四个命题:①对顶角相等;②同位角相等;③两点之间,直线最短;④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.其中是真命题的个数有()
A.0个B.1个C.2个D.3个
7.(2021春•南沙区期中)已知P(x,y)在第二象限,且x2=4,y=7,则点P的坐标是()
A.(2,﹣7)B.(﹣4,7)C.(4,﹣7)D.(﹣2,7)8.(2018春•宁晋县期末)用代入法解方程组时,将方程①代入②中,所得的方程正确的是()
A.3x+4y﹣6=8B.3x﹣4x+6=8C.3x+2y﹣3=8D.3x﹣2y﹣6=8 9.(2021春•越秀区校级期中)已知关于x,y的二元一次方程组的解,则2a﹣3b的值为()
A.﹣6B.4C.6D.﹣4
10.(2020春•岳池县期末)如图,在平面直角坐标系上有点A(1,0),点A第一次跳动至点A1(﹣1,1),第二次向右跳动3个单位至点A2(2,1),第三次跳动至点A3(﹣2,2),第四次向右跳动5个单位至点A4(3,2),…,以此规律跳动下去,点A第2020次跳动至点A2020的坐标是()
A.(1012,1011)B.(1009,1008)
C.(1010,1009)D.(1011,1010)
二.填空题(共6小题)
11.(2009•来宾)化简:=.
12.(2013秋•南安市期末)命题“对顶角相等”是命题(选填“真”或“假”).13.(2020春•海淀区校级期末)若是方程ax+2y=5的一个解,则a的值为.14.(2021春•天河区校级期中)如图,将三角形ABO沿着射线AD的方向平移10cm得到三角形DCE,连接OE,则OE=cm.
15.(2021春•增城区期末)已知x,y满足方程组,则x+y等于.16.(2021春•抚顺期末)将一块三角板ABC(∠BAC=90°,∠ABC=30°)按如图方式放置,使A,B两点分别落在直线m,n上,对于给出的五个条件:①∠1=25.5°,∠2=55°30′;②∠1+∠2=90°;③∠2=2∠1;④∠ACB=∠1+∠3;⑤∠ABC=∠2﹣∠1.能判断直线m∥n的有.(填序号)
三.解答题(共8小题)
17.(2021春•定西期末)解方程组.
18.(2021春•南沙区期中)计算:
(1)++()2;
(2)(﹣)2﹣﹣|1﹣|.
19.(2021春•越秀区校级期中)在平面直角坐标系中有三点A(﹣2,3),B(2,0),C(4,5).
(1)请在平面直角坐标系中描出A,B,C三点;
(2)点C可以由点B向平移个单位长度,再向平移个单位长度得到;
(3)求三角形ABC的面积.
20.(2021春•越秀区校级期中)某旅行社组织200人去中山纪念堂和白云山旅游,到中山纪念堂的人数比到白云山的人数的2倍少1,到两地旅游的人数各是多少?21.(2021春•增城区期中)一个正数的平方根分别是2a+5和2a﹣1,b﹣30的立方根是﹣3,
求a+b的算术平方根.
22.(2021春•增城区期中)如图.在平面直角坐标系中,三角形ABC的顶点都在格点上,每个小正方形的边长都为1个单位长度.
(1)写出点A、B、C的坐标;
(2)将三角形ABC先向右平移6个单位长度,再向下平移3个单位长度得到三角形A1B1C1,画出三角形A1B1C1;
(3)求三角形ABC的面积.
23.(2021春•天河区校级期中)如图,在平面直角坐标系中,已知点A,B,C的坐标分别为A(﹣1,0),B(3,﹣2),C(a,b),且+|2a﹣b+1|=0.
(1)求点C的坐标,并画出三角形ABC;
(2)若点D在x轴上,且三角形ABD的面积是角形ABC面积的一半,求点D的坐标.24.(2021春•天河区校级期中)先阅读下列一段文字,再解答问题.
已知在平面内有两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),其两点间的距离公式为P1P2=
,同时,当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时,两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|.
(1)已知点A(7,3),B(2,﹣9),试求A,B两点间的距离;
(2)已知点A,B在平行于x轴的直线上,点A的横坐标为6,点B的横坐标为﹣2,试求A,B两点间的距离;
(3)应用平面内两点间的距离公式,求代数式+的最小值.
2021-2022学年下学期广州初中数学七年级期中典型试卷2
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.(2021春•增城区期中)有理数4的算术平方根是()
A.2B.﹣2C.±2D.4
【考点】算术平方根.
【专题】实数;运算能力.
【分析】算术平方根的概念:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.记为.
【解答】解:∵2的平方为4,
∴4的算术平方根为2.
故选:A.
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义,算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误.
2.(2021春•柳南区校级期末)在平面直角坐标系中,点A(2,﹣3)所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【考点】点的坐标.
【专题】平面直角坐标系;符号意识.
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可.
【解答】解:点A(2,﹣3)所在的象限是第四象限.
故选:D.
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征,记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键,四个象限的符号特点分别是:第一象限(+,+);第二象限(﹣,+);第三象限(﹣,﹣);第四象限(+,﹣).
3.(2021春•天河区校级期中)的立方根是()
A.﹣B.C.D.
【考点】立方根;算术平方根.
【专题】实数;数感.
【分析】利用立方根定义计算即可得到结果.
【解答】解:实数的立方根为,
故选:C.
【点评】此题考查了立方根,熟练掌握立方根的定义是解本题的关键.
4.(2021春•天河区校级期中)下列计算正确的是()
A.=±3B.=﹣0.1
C.±=D.=﹣6
【考点】二次根式的性质与化简;平方根;立方根.
【专题】二次根式;符号意识.
【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案.
【解答】解:A、=3,故此选项错误;
B、=﹣0.1,故此选项正确;
C、±=±,故此选项错误;
D、=6,故此选项错误;
故选:B.
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及立方根的性质,正确化简各数是解题关键.5.(2021春•柳南区校级期末)把方程4x﹣y=3改写成用含x的式子表示y的形式,正确的是()
A.y=4x﹣3B.y=4x+3C.x=D.x=
【考点】解二元一次方程.
【专题】一次方程(组)及应用;运算能力.
【分析】要用x的代数式表示y,先移项,再将系数化为1即可.
【解答】解:4x﹣y=3,
y=4x﹣3.
故选:A.
【点评】此题考查了解二元一次方程的知识.解本题关键是把方程中含有x的项移到等号的右边,再把y的系数化为1.
6.(2021春•越秀区校级期中)有下列四个命题:①对顶角相等;②同位角相等;③两点之间,直线最短;④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.其中是真命题的个数有()
A.0个B.1个C.2个D.3个
【考点】命题与定理.
【专题】线段、角、相交线与平行线;推理能力.
【分析】根据对顶角的性质、线段的性质、平行线的性质、垂线段的性质进行解答即可.【解答】解:①对顶角相等,原命题是真命题;
②两直线平行,同位角相等,不是真命题;
③两点之间,线段最短,原命题不是真命题;
④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,原命题是真命题.
故选:C.
【点评】此题考查了命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
7.(2021春•南沙区期中)已知P(x,y)在第二象限,且x2=4,y=7,则点P的坐标是()
A.(2,﹣7)B.(﹣4,7)C.(4,﹣7)D.(﹣2,7)
【考点】点的坐标.
【专题】平面直角坐标系;符号意识.
【分析】直接利用第二象限内点的坐标特点得出答案.
【解答】解:∵P(x,y)在第二象限,且x2=4,y=7,
∴x=﹣2,y=7,
则点P的坐标是(﹣2,7).
故选:D.
【点评】此题主要考查了点的坐标,正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键.8.(2018春•宁晋县期末)用代入法解方程组时,将方程①代入②中,所得的方程正确的是()
A.3x+4y﹣6=8B.3x﹣4x+6=8C.3x+2y﹣3=8D.3x﹣2y﹣6=8【考点】解二元一次方程组.
【分析】直接把①代入②即可得出结论.
【解答】解:把①代入②得,3x﹣2(2x﹣3)=8,整理得,3x﹣4x+6=8.
故选:B.
【点评】本题考查的是解二元一次方程组,熟知解二元一次方程组的代入消元法是解答此题的关键.
9.(2021春•越秀区校级期中)已知关于x,y的二元一次方程组的解,则2a﹣3b的值为()
A.﹣6B.4C.6D.﹣4
【考点】二元一次方程组的解.
【专题】计算题;运算能力.
【分析】将x和y的值代入到方程组,原方程组变成关于a、b的方程组.再仔细观察未知数的系数,相同或者相反,可以运用加减消元解题.
【解答】解:∵的解是,
∴.
由①+②得a=,②﹣①得b=﹣1.
将a=,b=﹣1代入2a﹣3b,即2×﹣3×(﹣1)=3+3=6.
故选:C.
【点评】此题主要考查二元一次方程组的代入消元法,灵活运用代入消元或加减消元是解题的关键.
10.(2020春•岳池县期末)如图,在平面直角坐标系上有点A(1,0),点A第一次跳动至点A1(﹣1,1),第二次向右跳动3个单位至点A2(2,1),第三次跳动至点A3(﹣2,2),第四次向右跳动5个单位至点A4(3,2),…,以此规律跳动下去,点A第2020次跳动至点A2020的坐标是()
A.(1012,1011)B.(1009,1008)
C.(1010,1009)D.(1011,1010)
【考点】坐标与图形变化﹣平移;规律型:点的坐标.
【专题】规律型;平移、旋转与对称;数感.
【分析】根据点的坐标、坐标的平移寻找规律即可求解.
【解答】解:因为A1(﹣1,1),A2(2,1),A3(﹣2,2),A4(3,2),A5(﹣3,3),A6(4,3),A7(﹣4,4),A8(5,4)…A2n﹣1(﹣n,n)A2n(n+1,n)(n为正整数)所以2n=2020,
n=1010
所以A2020(1011,1010)
故选:D.
【点评】本题考查了点的坐标、坐标的平移,解决本题的关键是寻找点的变化规律.二.填空题(共6小题)
11.(2009•来宾)化简:=.
【考点】二次根式的加减法.
【分析】直接合并同类二次根式即可.
【解答】解:=5.
【点评】合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加,而根指数与被开方数都不变.
12.(2013秋•南安市期末)命题“对顶角相等”是真命题(选填“真”或“假”).【考点】命题与定理.
【分析】根据对顶角的性质进行判断.
【解答】解:命题“对顶角相等”是真命题.
故答案为真.
【点评】本题考查了命题与定理:判断事物的语句叫命题;正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题;经过推理论证的真命题称为定理.
13.(2020春•海淀区校级期末)若是方程ax+2y=5的一个解,则a的值为1.【考点】二元一次方程的解.
【专题】一次方程(组)及应用;运算能力.
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值.
【解答】解:把代入方程得:a+4=5,
解得:a=1,
故答案为:1.
【点评】此题考查了二元一次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.
14.(2021春•天河区校级期中)如图,将三角形ABO沿着射线AD的方向平移10cm得到三角形DCE,连接OE,则OE=10cm.
【考点】平移的性质.
【专题】平移、旋转与对称;应用意识.
【分析】根据平移的性质即可求解.
【解答】解:∵三角形ABO沿着AD的方向平移10cm得到三角形DCE.
∴AD=OE=10cm.
故答案为:10.
【点评】本题考查平移的性质,平移后的图形与原来的图形全等.关键在于找到平移的距离,即对应点之间的距离.
15.(2021春•增城区期末)已知x,y满足方程组,则x+y等于3.【考点】解二元一次方程组.
【专题】一次方程(组)及应用;运算能力.
【分析】方程组两方程左右两边相加,即可求出x+y的值.
【解答】解:,
①+②得:3(x+y)=9,
则x+y=3.
故答案为:3.
【点评】本题考查了解二元一次方程组,熟练掌握运算法则是解本题的关键.16.(2021春•抚顺期末)将一块三角板ABC(∠BAC=90°,∠ABC=30°)按如图方式放置,使A,B两点分别落在直线m,n上,对于给出的五个条件:①∠1=25.5°,∠2=55°30′;②∠1+∠2=90°;③∠2=2∠1;④∠ACB=∠1+∠3;⑤∠ABC=∠2﹣∠1.能判断直线m∥n的有①④⑤.(填序号)
【考点】平行线的判定;度分秒的换算.
【专题】线段、角、相交线与平行线;推理能力;应用意识.
【分析】根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件,可以判断是否可以得到m ∥n,从而可以解答本题.
【解答】解:∵∠1=25.5°,∠2=55°30′,∠ABC=30°,
∴∠ABC+∠1=55.5°=55°30′=∠2,
∴m∥n,故①符合题意;
∵∠1+∠2=90°,∠ABC=30°,
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2,
∴m和n不一定平行,故②不符合题意;
∵∠2=2∠1,∠ABC=30°,
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2,
∴m和n不一定平行,故③不符合题意;
过点C作CE∥m,
∴∠3=∠4,
∵∠ACB=∠1+∠3,∠ACB=∠4+∠5,
∴∠1=∠5,
∴EC∥n,
∴m∥n,故④符合题意;
∵∠ABC=∠2﹣∠1,
∴∠2=∠ABC+∠1,
∴m∥n,故⑤符合题意;
故答案为:①④⑤.
【点评】本题考查平行线的判定,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
三.解答题(共8小题)
17.(2021春•定西期末)解方程组.
【考点】解二元一次方程组.
【专题】一次方程(组)及应用;运算能力.
【分析】②﹣①得出2x=10,求出x,把x=5代入①得出5+2y=1,再求出y即可.【解答】解:,
②﹣①,得2x=10,
解得:x=5,
把x=5代入①,得5+2y=1,
解得:y=﹣2,
所以方程组的解是:.
【点评】本题考查了解二元一次方程组,能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键.
18.(2021春•南沙区期中)计算:
(1)++()2;
(2)(﹣)2﹣﹣|1﹣|.
【考点】实数的运算.
【专题】计算题.
【分析】(1)原式利用平方根及立方根定义计算即可;
(2)原式利用平方根,绝对值的代数意义化简即可.
【解答】解:(1)原式=﹣3+6+5=8;
(2)原式=3﹣4﹣+1=﹣.
【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
19.(2021春•越秀区校级期中)在平面直角坐标系中有三点A(﹣2,3),B(2,0),C(4,5).
(1)请在平面直角坐标系中描出A,B,C三点;
(2)点C可以由点B向右平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度得到;
(3)求三角形ABC的面积.
【考点】坐标与图形变化﹣平移;三角形的面积.
【专题】平面直角坐标系;平移、旋转与对称;应用意识.
【分析】(1)根据题意画出图形即可;
(2)根据题意即可得到结论;
(3)根据三角形的面积公式即可得到结论.
【解答】解:(1)如图所示;
(2)∵B(2,0),C(4,5),
∴点C可以由点B向右平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度得到;
(3)三角形ABC的面积为6×5﹣×4×3﹣×2×6﹣×2×5=13.
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移,三角形的面积的计算,正确的理解题意是解题的关键.
20.(2021春•越秀区校级期中)某旅行社组织200人去中山纪念堂和白云山旅游,到中山纪念堂的人数比到白云山的人数的2倍少1,到两地旅游的人数各是多少?
【考点】二元一次方程组的应用;一元一次方程的应用.
【专题】一次方程(组)及应用;运算能力;推理能力.
【分析】设到中山纪念堂旅游的为x人,到白云山旅游的为y人,由题意:200人去中山纪念堂和白云山旅游,到中山纪念堂的人数比到白云山的人数的2倍少1,列出方程组,求解即可.
【解答】解:设到中山纪念堂旅游的为x人,到白云山旅游的为y人,
由题意得:,
解得:,
答:到中山纪念堂旅游的为133人,到白云山旅游的为67人.
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用,由题意列出方程组是解题的关键.21.(2021春•增城区期中)一个正数的平方根分别是2a+5和2a﹣1,b﹣30的立方根是﹣3,求a+b的算术平方根.
【考点】立方根;平方根;算术平方根.
【专题】二次根式;运算能力.
【分析】根据一个正数的平方根有两个,这两个平方根互为相反数,和为0,列出方程求出a的值;根据立方根和立方的关系求出b的值,求出a+b,最后求出a+b的算术平方根.
【解答】解:∵一个正数的平方根分别是2a+5和2a﹣1,
∴2a+5+2a﹣1=0,
∴a=﹣1;
∵b﹣30的立方根是﹣3,
∴b﹣30=(﹣3)3,
∴b=3;
∴a+b=﹣1+3=2,
∴a+b的算术平方根为.
【点评】本题考查了平方根,立方根的定义,解题的关键是知道一个正数的两个平方根之间的关系.
22.(2021春•增城区期中)如图.在平面直角坐标系中,三角形ABC的顶点都在格点上,每个小正方形的边长都为1个单位长度.
(1)写出点A、B、C的坐标;
(2)将三角形ABC先向右平移6个单位长度,再向下平移3个单位长度得到三角形A1B1C1,画出三角形A1B1C1;
(3)求三角形ABC的面积.
【考点】作图﹣平移变换.
【专题】作图题;几何直观.
【分析】(1)根据点的坐标表示方法写出点A、B、C的坐标;
(2)利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标,然后描点即可;
(3)用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算三角形ABC的面积.
【解答】解:(1)A点坐标为(﹣5,1),B点坐标为(﹣2,5),C点坐标为(﹣1,﹣1);(2)如图,△A1B1C1为所作;
(3)三角形ABC的面积=4×6﹣×6×1﹣×4×2﹣×4×3=11.
【点评】本题考查了作图﹣平移变换:确定平移后图形的基本要素有两个:平移方向、
平移距离.作图时要先找到图形的关键点,分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后,再顺次连接对应点即可得到平移后的图形.
23.(2021春•天河区校级期中)如图,在平面直角坐标系中,已知点A,B,C的坐标分别为A(﹣1,0),B(3,﹣2),C(a,b),且+|2a﹣b+1|=0.
(1)求点C的坐标,并画出三角形ABC;
(2)若点D在x轴上,且三角形ABD的面积是角形ABC面积的一半,求点D的坐标.
【考点】作图—复杂作图;非负数的性质:绝对值;非负数的性质:算术平方根;解二元一次方程组;坐标与图形性质;三角形的面积.
【专题】作图题;几何直观.
【分析】(1)利用非负数的性质得到a+2b﹣7=0且2a﹣b+1=0,解方程组求出a、b得到C点坐标,然后描点即可;
(2)先计算出△ABC的面积得到S△ABD=4,设D(t,0),利用三角形面积公式得到×|t+1|×2=4,解方程得到D点坐标.
【解答】解:(1)∵+|2a﹣b+1|=0,
∴a+2b﹣7=0且2a﹣b+1=0,解得a=1,b=3,
∴C点坐标为(1,3);
如图,
(2)S△ABC=4×5﹣×4×2﹣×3×2﹣×2×5=8,
∵三角形ABD的面积是角形ABC面积的一半,
∴S△ABD=4,
设D(t,0),
∴×|t+1|×2=4,解得t1=3,t2=﹣4,
∴D点坐标为(3,0)或(﹣4,0).
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.24.(2021春•天河区校级期中)先阅读下列一段文字,再解答问题.
已知在平面内有两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),其两点间的距离公式为P1P2=
,同时,当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时,两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|.
(1)已知点A(7,3),B(2,﹣9),试求A,B两点间的距离;
(2)已知点A,B在平行于x轴的直线上,点A的横坐标为6,点B的横坐标为﹣2,试求A,B两点间的距离;
(3)应用平面内两点间的距离公式,求代数式+的最小值.
【考点】轴对称﹣最短路线问题;两点间的距离公式.
【专题】平面直角坐标系;平移、旋转与对称;应用意识.
【分析】(1)利用两点间距离公式计算即可.
(2)AB=两点横坐标差的绝对值.
(3)原式表示点(x,y)到(0,﹣1)和(﹣6,7)的距离之和.由两点之间线段最短,点(x,y)在以(0,﹣1)和(﹣6,7)为端点的线段上时,原式值最小.
【解答】解:(1)AB==13.
(2)由题意AB=6﹣(﹣2)=8.
(3)原式=+
故原式表示点(x,y)到(0,﹣1)和(﹣6,7)的距离之和.由两点之间线段最短,点(x,y)在以(0,﹣1)和(﹣6,7)为端点的线段上时,原式值最小.
最小值==10.
【点评】本题考查平面内点的坐标特点,两点间的距离公式;能够理解公式的含义,结合平面内点的坐标特点求解是关键.
考点卡片
1.非负数的性质:绝对值
在实数范围内,任意一个数的绝对值都是非负数,当几个数或式的绝对值相加和为0时,则其中的每一项都必须等于0.
根据上述的性质可列出方程求出未知数的值.
2.平方根
(1)定义:如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数,零的平方根是零,负数没有平方根.(2)求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.
一个正数a的正的平方根表示为“”,负的平方根表示为“﹣”.
正数a的正的平方根,叫做a的算术平方根,记作.零的算术平方根仍旧是零.
平方根和立方根的性质
1.平方根的性质:正数a有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.
2.立方根的性质:一个数的立方根只有一个,正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0.
3.算术平方根
(1)算术平方根的概念:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.记为.
(2)非负数a的算术平方根a有双重非负性:①被开方数a是非负数;②算术平方根a本身是非负数.
(3)求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算,在求一个非负数的算术平方根时,可以借助乘方运算来寻找.
4.非负数的性质:算术平方根
(1)非负数的性质:算术平方根具有非负性.
(2)利用算术平方根的非负性求值的问题,主要是根据被开方数是非负数,开方的结果也是非负数列出不等式求解.非负数之和等于0时,各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题.
5.立方根
(1)定义:如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说,如果x3=a,那么x叫做a的立方根.记作:.
(2)正数的立方根是正数,0的立方根是0,负数的立方根是负数.即任意数都有立方根.(3)求一个数a的立方根的运算叫开立方,其中a叫做被开方数.
注意:符号a3中的根指数“3”不能省略;对于立方根,被开方数没有限制,正数、零、负数都有唯一一个立方根.
【规律方法】平方根和立方根的性质
1.平方根的性质:正数a有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.
2.立方根的性质:一个数的立方根只有一个,正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0.
6.实数的运算
(1)实数的运算和在有理数范围内一样,值得一提的是,实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算,又可以进行开方运算,其中正实数可以开平方.
(2)在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外,有理数的运算律在实数范围内仍然适用.
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1.运算法则:乘方和开方运算、幂的运算、指数(特别是负整数指数,0指数)运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.
2.运算顺序:先乘方,再乘除,后加减,有括号的先算括号里面的,在同一级运算中要从左到右依次运算,无论何种运算,都要注意先定符号后运算.
3.运算律的使用:使用运算律可以简化运算,提高运算速度和准确度.
7.二次根式的性质与化简
(1)二次根式的基本性质:
①≥0;a≥0(双重非负性).
②()2=a(a≥0)(任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式).
③=|a|=(算术平方根的意义)
(2)二次根式的化简:
①利用二次根式的基本性质进行化简;
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简.
=•(a≥0,b≥0)=(a≥0,b>0)
(3)化简二次根式的步骤:①把被开方数分解因式;②利用积的算术平方根的性质,把被开方数中能开得尽方的因数(或因式)都开出来;③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2.
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1.常见题型:与分式的化简求值相结合.
2.解题方法:
(1)化简分式:按照分式的运算法则,将所给的分式进行化简.
(2)代入求值:将含有二次根式的值代入,求出结果.
(3)检验结果:所得结果为最简二次根式或整式.
8.二次根式的加减法
(1)法则:二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式进行合并,合并方法为系数相加减,根式不变.
(2)步骤:
①如果有括号,根据去括号法则去掉括号.
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简.
③合并被开方数相同的二次根式.
(3)合并被开方数相同的二次根式的方法:
二次根式化成最简二次根式,如果被开方数相同则可以进行合并.合并时,只合并根式外的因式,即系数相加减,被开方数和根指数不变.
9.一元一次方程的应用
(一)一元一次方程解应用题的类型有:
(1)探索规律型问题;
(2)数字问题;
(3)销售问题(利润=售价﹣进价,利润率=×100%);(4)工程问题(①工作量=人均效率×人数×时间;②如果一件工作分几个阶段完成,那么各阶段的工作量的和=工作总量);
(5)行程问题(路程=速度×时间);
(6)等值变换问题;
(7)和,差,倍,分问题;
(8)分配问题;
(9)比赛积分问题;
(10)水流航行问题(顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度=静水速度﹣水流速度).(二)利用方程解决实际问题的基本思路如下:首先审题找出题中的未知量和所有的已知量,直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x,然后用含x的式子表示相关的量,找出之间的相等关系列方程、求解、作答,即设、列、解、答.
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1.审:仔细审题,确定已知量和未知量,找出它们之间的等量关系.
2.设:设未知数(x),根据实际情况,可设直接未知数(问什么设什么),也可设间接未知数.
3.列:根据等量关系列出方程.
4.解:解方程,求得未知数的值.
5.答:检验未知数的值是否正确,是否符合题意,完整地写出答句.
10.二元一次方程的解
(1)定义:一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.
(2)在二元一次方程中,任意给出一个未知数的值,总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值,所以二元一次方程有无数解.
(3)在求一个二元一次方程的整数解时,往往采用“给一个,求一个”的方法,即先给出其中一个未知数(一般是系数绝对值较大的)的值,再依次求出另一个的对应值.
11.解二元一次方程
二元一次方程有无数解.求一个二元一次方程的整数解时,往往采用“给一个,求一个”的方法,即先给出其中一个未知数(一般是系数绝对值较大的)的值,再依次求出另一个的对。