专题六 数列 第十七讲 递推数列与数列求和

专题六数列
第十七讲 递推数列与数列求和
一、选择题
1．（2013大纲）已知数列{}n a 满足124
30,3
n n a a a ++==-
，则{}n a 的前10项和等于 A ．10
6(13
)--- B ．101
(13)9- C ．103(13)-- D ．103(13)-+
2．(2012上海)设25
sin 1π
n n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个
数是
A ．25
B ．50
C ．75
D ．100 二、填空题
3．(2018全国卷Ⅰ)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____． 4．（2017新课标Ⅱ）等差数列{}n a 的前n n 项和为n S ，33a =，410S =，则11
n
k k
S ==∑ ． 5．（2015新课标Ⅱ）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且111
1,n n n a a S S ++=-=，
则n S =__．
6．（2015江苏）数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1
{
n
a 前10项的和为 ．
7．（2013新课标Ⅰ）若数列{n a }的前n 项和为n S ＝
21
33
n a +，则数列{n a }的通项公式是n a =______.
8．（2013湖南）设n S 为数列{}
n a 的前n 项和，1(1),,2
n n n n S a n N *
=--∈则 （1）3a =_____；
（2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________．
9．（2012新课标）数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n
n ，则}{n a 的前60项和为
．
10．（2012福建）数列{}n a 的通项公式cos
12
n n a n π
=+，前n 项和为n S ，则 2012S =___________．
三、解答题
11．（2018浙江）已知等比数列1{}a 的公比1q >，且34528a a a ++=，42a +是3a ，5
a 的等差中项．数列{}n
b 满足11b =，数列1{()}n n n b b a +-的前n 项和为2
2n n +．
(1)求q 的值；
(2)求数列{}n b 的通项公式．
12．(2018天津)设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为n S ()n *
∈N ，{}n b 是等差
数列．已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+． (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；
(2)设数列{}n S 的前n 项和为n T ()n *
∈N ，
(i)求n T ；
(ii)证明2
21()22(1)(2)
2n n
k k k k T b b k k n ++=+=-+++∑
()n *∈N ． 13．（2017江苏）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足
对任意正整数n ()n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；
（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列． 14．（2016年全国II ）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，
其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=． （Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；
（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．
15．（2015新课标Ⅰ）n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，2
243n n n a a S +=+
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式： （Ⅱ）设1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和．
16．（2015广东）数列{}n a 满足：121
2242
n n n a a na -+++⋅⋅⋅+=-
，*
N n ∈． （1）求3a 的值；
（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ； （3）令11b a =，1111
(1)23n n n T b a n n
-=
++++⋅⋅⋅+(2)n ≥ 证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足22ln n S n <+．
17．（2014广东）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足
()()
*∈=+--+-N n n n S n n S n n ,033222
．
（Ⅰ）求1a 的值；
（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）证明：对一切正整数n ，有
()()().3
1
1111112211<+++++n n a a a a a a
18．（2013湖南）设n S 为数列{n a }的前项和，已知01≠a ，2n n S S a a •=-11，∈n N *
(Ⅰ)求1a ，2a ，并求数列｛n a ｝的通项公式； (Ⅱ)求数列｛n na ｝的前n 项和．
19．（2011广东）设0b >，数列{}n a 满足1a b =，1
1(2)22
n n n nba a n a n --=
≥+-．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n ，1
1 1.2
n n n b a ++≤+。