2022-2023学年高一数学：两条直线的交点坐标

∵直线l 经过原点，
∴ 1 0 ，解得 =1.
∴直线l 的方程为(2 x 2 y 1) 1 (6 x 4 y 1) 0 ，即4 x 3 y 0.
当堂检测
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1.直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是(
A.(-9,-10)
B.(-9,10)
课本练习
1. 求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：
(1) l1 : 2 x 3 y 12 , l2 : x 2 y 4 ;
(2) l1 : x 2 ,
l1
l2 : 3 x 2 y 12 0.
36
4
2 x 3 y 12
x

,
y

.
，得
解: (1) 解方程组
过某一定点.
证 1：取 m=0 可得 x＋y－5＝0 ①，取 m=1 可得 y＝－4 ②.
联立①②解得 x＝9，y＝－4.
所以不论 m 为何实数，所给直线都过定点 P(9, －4)．
证 2：直线方程可化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0.
若对任意 m 都成立，
x＋2y－1＝0，
则有
x＋y－5＝0，
；
3 3
(3) l1 : ( 2 1) x y 3 , l2 : x ( 2 1) y 2.
(
15 13
, )
8
4
l1与l2重合
l1 // l 2
3.直线l经过原点, 且经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0
的交点, 求直线l的方程.
3
2 x 2 y 1 0
②特殊值法
取出直线系中的两条特殊直线，它们的交点就是所有直线都过的定点．
③方程法
将已知的直线方程整理成关于参数的方程，由于直线恒过定点，则关于
参数的方程应有无穷多解，进而求出定点．
练一练
过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和
3x＋19y＝0
原点的直线方程为____________．
l2
l1
y
M
2
1
-2
-1 O
-1
-2
1
2
x
练一练
求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过
坐标原点的直线l的方程.
解
方法一
3x＋4y－2＝0，

由方程组
2x＋y＋2＝0，

即l1与l2的交点坐标为(－2,2).
∵直线过坐标原点，
2
∴其斜率 k＝
＝－1.
－2
故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.
问题1 已知两条直线l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－3＝0，画出
两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？
提示
直线l1，l2的图象如图所示.点M既在直线l1上，
也在直线l2上.满足直线l1的方程x＋y－5＝0，也满足
直线l2的方程x－y－3＝0.
x＋y－5＝0，
即交点坐标是方程组
再利用其他条件求Fra Baidu bibliotek.
2.判断两直线位置
关系的方法
知识总结
已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0)，直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22
＋B22≠0)：
A1x＋B1y＋C1＝0，
方程组
的解
A
x＋B
y＋C
＝0
2
2
2
直线l1与l2的公共点的个数
直线l1与l2的位置关系
x＝9，
得
y＝－4.
所以不论 m 为何实数，所给直线都过定点 P(9，－4)．
4.过定点的直线
问题
典例4
求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与
直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．

3
x＝－
，
2x－3y－3＝0，

5
解 1：由方程组
解得
7
x＋y＋2＝0，

3 x 4 y 5 0，
(3) 解方程组
得此方程组有无穷多组解.
6
x

8
y

10

0
，

∴l1与l 2重合.
典例3
(例2改编)分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点坐标.
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
解
2x－y－7＝0，

方程组
3x＋2y－7＝0
解2：设直线l的方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0.
∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行，
∴2＋λ－3(λ－3)＝0，解得 λ＝
∴直线 l

11

的方程为2＋ 2


化简得 15x＋5y＋16＝0.
11
.
2
11


x＋ 2 －3

解析
5x＋4y＝2a＋1，

由
2x＋3y＝a，

2a＋3

7 >0，
由
a－2

<0，
7
3
所以－2<a<2.

3
a>－ ，
2
得

a<2.

2a＋3

x＝ 7 ，
得

a－2
y＝
7 ，

3.直线恒过定点
问题
典例4
求证: 不论m为何实数, 直线 (m－1)x＋(2m－1)y=m－5都恒
所以直线 l

3

的方程为2－4


即 5x－15y－18＝0.
3
.
4


3

x＋－4－3



3

y＋2×－4


－3＝0，
方法总结：
(1)求过两直线交点的直线方程的方法
①方程组法：一般是先解方程组求出两直线的交点坐标，再结
合其他条件求出直线方程．
②直线系法：先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件

C2＝0，即点P的坐标就是方程组 A2x＋B2y＋C2＝0
的解.
典例1
求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：
l1: 3x＋4y─2＝0，
l2: 2x＋y＋2＝0.
3 x 4 y 2 0，
解：解方程组
2 x y 2 0，
x 2，
得
y 2.
∴l1与l2的交点是M ( 2, 2).(图形如图示)

y＝－
．

5
因为直线l和直线3x＋y－1＝0平行，所以直线l的斜率k＝－3.
所以根据点斜式有

7

y－－5




3


＝－3x－－5



即所求直线 l 的方程为 15x＋5y＋16＝0.
，
典例4
求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与
直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．
，得 x ,y 2.
解1: 解方程组
2
6 x 4 y 1 0
3
直线2 x 2 y 1 0与6 x 4 y 1 0 的交点坐标为( , 2).
2
y0
x0
直线l 的方程为

，即4 x 3 y 0.
3
2 0
0
2
解2: 由已知可设直线l 的方程为(2 x 2 y 1) (6 x 4 y 1) 0 .
(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算
量较大，一般较少使用.
典例2
判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标.
(1) l1: x－y=0，
l2: 3x＋3y－10＝0；
(2) l1: 3x－y＋4＝0， l2: 6x－2y－1＝0；
(3) l1: 3x＋4y－5＝0，l2: 6x＋8y－10＝0.
解：过两直线交点的直线系方程为 x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，
4
代入原点坐标，求得 λ＝－ ，
5
故所求直线方程为 x－3y＋4－
4
(2x＋y＋5)＝0，即 3x＋19y＝0.
5
【方法总结】
解含有参数的直线恒过定点的问题
(1)法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验
证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
C.(9,10)
D.(9,-10)
解析:解方程组
得
2 + + 8 = 0,
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
解
4x＋2y＋4＝0，

方程组
y＝－2x＋3

无解，
这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
练一练
已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象

3

－ ，2
2
限，则a的取值范围是__________.
(2)法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为
A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中 λ 是参数，这就说明了它表示的直
A1x＋B1y＋C1＝0，
线必过定点，其定点可由方程组
A2x＋B2y＋C2＝0
解得．
若整理成 y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．
7
7
x 2y 4
∴两条直线的交点坐标为(
36 4
, ). 图形如图示.
7 7
x 2
(2) 解方程组
，得 x 2,y 3.
3 x 2 y 12 0
∴两条直线的交点坐标为(2, 3). 图形如图示.
y
4
3
2
1
-2 -1 O
-1
-2
l2 -3
-4
l2
y
6
5
4
3
2
x＝－2，

解得
y＝2，

方法二 ∵l2不过原点，
∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，
即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.
将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1，
∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.
求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下两种解法：
(1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再利用其他
条件求解.
(2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y
＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后

x＝3，

的解为
y＝－1.

因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1).
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
解
2x－6y＋4＝0，

解方程组
4x－12y＋8＝0，

①
②
①×2得4x－12y＋8＝0.
①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合.
利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．如过两条已知
直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为
A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0).
(2)含有参数的直线恒过定点问题的解法
①直接法
将已知的直线方程转化为点斜式、斜截式等形式的方程，进而得定点．


11
y＋2× －3＝0.
2
练一练
求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与
直线3x＋y－1＝0垂直的直线l的方程．
解：设直线l的方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0.
因为 l 与直线 3x＋y－1＝0 垂直，
所以 3(2＋λ)＋(λ－3)＝0，解得 λ＝－
的解.
x－y－3＝0

知识总结
已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这
两条直线的交点为P，则点P既在直线 l1 上，也在直线 l2 上.所以点P的坐
标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋
A1x＋B1y＋C1＝0，
x y 0，
5
5
5 5
解：(1) 解方程组
得x ,y . ∴l1与l2相交,交点是M ( ， ).
3
3
3 3
3 x 3 y 10 0，
3 x y 4 0，
(2) 解方程组
得此方程组无解.
6 x 2 y 1 0，
∴l1与l2无公共点,即l1 //l2 .
一组 无数组 _____
无解
一个 _______
无数个 零个
_____
相交
重合
_____
平行
注意点：
(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的
解的情况.
A1x＋B1y＋C1＝0，

有唯一解的等价条件是 A1B2－A2B1≠0，即两条直
A
x＋B
y＋C
＝0
2
2
2
线相交的等价条件是 A1B2－A2B1≠0.
人教A版2019选修第一册
第 2 章直线和圆的方程
2.3.1两条直线的交点坐标
目
录
01求相交直线的交点坐标
02判断两直线位置关系的方法
03直线恒过定点问题
04过定点的直线问题
学习目标
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标
2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系.
1.求相交直线的
交点坐标
1
-4 - -2 -1 O
-1
3
-2
M
1 2 3 4
5 6 x
l1
M
1 2 3 4
x
2. 判断下列各对直线的位置关系.如果相交,则求出交点.
(1) l1 : 2 x y 7 ,
l2 : 4 x 2 y 1 ;
(2) l1 : 2 x 6 y 4 0 ,
l2 : y
x 2