2021中考数学 一轮复习：二次函数及其性质(含答案)

2021中考数学 一轮复习：二次函数及其性质
一、选择题
1. 抛物线y=-3x 2+6x+2的对称轴是 ( ) A .直线x=2 B .直线x=-2 C .直线x=1
D .直线x=-1
2. (2019•哈尔滨)将抛物线22y x =向上平移
3个单位长度，再向右平移2个单位长
度，所得到的抛物线为 A ．22(2)3y x =++ B ．22(2)3y x =-+ C ．22(2)3y x =-- D ．22(2)3y x =+-
3. 二次函数
y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论:①abc<0;
②3a+c>0;③(a+c )2-b 2<0;④a+b ≤m (am+b )(m 为实数).其中结论正确的个数为
( )
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
4. 如图，抛物线的函数解析式是(
)
A ．y ＝x 2－x ＋2
B ．y ＝x 2＋x ＋2
C ．y ＝－x 2－x ＋2
D ．y ＝－x 2＋x ＋2
5. 如图，△ABC
是等腰直角三角形，∠A ＝90°，BC ＝4，点P 是△ABC 边上一动
点，沿B →A →C 的路径移动．过点P 作PD △BC 于点D ，设BD ＝x ，△BDP 的面积为y ，则下列能大致反映y 与x 函数关系的图象是( )
6. 若
A (2，y 1)，
B (－3，y 2)，
C (－1，y 3)三点在抛物线y ＝x 2－4x －m 上，则y 1，
y 2，y 3的大小关系是( ) A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 2＞y 1＞y 3
C ．y 2＞y 3＞y 1
D ．y 3＞y 1＞y 2
7. 2019·资阳
如图是函数y ＝x 2－2x －3(0≤x ≤4)的图象，直线l △x 轴且过点(0，m )，
将该函数在直线l 上方的图象沿直线l 向下翻折，在直线l 下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m 的取值范围是( )
A ．m ≥1
B ．m ≤0
C ．0≤m ≤1
D ．m ≥1或m ≤0
8. (2019•随州)如图所示，已知二次函数2y
ax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两
点，与y 轴交于点C ，OA OC =，对称轴为直线1x =，则下列结论：①0abc <；
②11
024
a b c ++=；③10ac b -+=；④2c +是关于x 的一元二次方程
20ax bx c ++=的一个根．其中正确的有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
9. 若二次函数y=ax 2+bx 的图象开口向下，则a 0(填“=”或“>”或“<”).
10. 将抛物线
y ＝－(x ＋2)2向________平移________个单位长度，得到抛物线y
＝－(x －1)2.
11. 某抛物线的形状、开口方向与抛物线
y ＝1
2x 2－4x ＋3相同，顶点坐标为(－2，
1)，则该抛物线的函数解析式为________________．
12. 如图，抛物线
y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点分别为A (－2，4)，B (1，1)，
则方程ax 2＝bx ＋c 的解是____________．
13. 已知函数y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x （x >0），－x （x ≤0）的图象如图所示，若直线y ＝x ＋m 与该图象
恰有三个不同的交点，则m 的取值范围为________．
14. 如图，平行于x 轴的直线AC 与函数y 1＝x 2(x ≥0)，y 2＝13
x 2(x ≥0)的图象分别交于B ，C 两
点，过点C 作y 轴的平行线交y 1的图象于点D ，直线DE △AC 交y 2的图象于点E ，则DE
AB ＝
________．
三、解答题
15. 在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函
数的解析式．
16. 如图，抛物线
y ＝ax 2＋2ax ＋1与x 轴仅有一个公共点A ，经过点A 的直线交
该抛物线于点B ，交y 轴于点C ，且点C 是线段AB 的中点． (1)求这条抛物线对应的函数解析式； (2)求直线AB 对应的函数解析式．
17. 已知抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 与x 轴有两个不同的交点．
(1)求c 的取值范围；
(2)若抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m 与n 的大小，并说明理由．
18. 2019·天门
在平面直角坐标系中，已知抛物线C ：y ＝ax 2＋2x －1和直线l ：y
＝kx ＋b ，点A (－3，－3)，B (1，－1)均在直线l 上．
(1)若抛物线C 与直线l 有交点，求a 的取值范围；
(2)当a ＝－1，二次函数y ＝ax 2＋2x －1的自变量x 满足m ≤x ≤m ＋2时，函数y 的最大值为－4，求m 的值；
(3)若抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点，请直接写出a 的取值范围．
2021中考数学 一轮复习：二次函数及其性质-答案
一、选择题 1. 【答案】C
2. 【答案】B
【解析】将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为()2
223y x =-+， 故选B ．
3. 【答案】C
[解析]①∵抛物线开口向上，∴a>0.
∵抛物线的对称轴在y 轴右侧，∴->0， ∴b<0.
∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c<0，∴abc>0，∴①错误; ②当x=-1时，y>0，∴a -b +c>0.
∵-=1，∴b=-2a.把b=-2a 代入a -b +c>0中得3a +c>0，∴②正确; ③当x=1时，y<0，∴a +b +c<0，∴a +c<-b. ∵a +c>b ，∴|a +c|<|b|，即(a +c )2-b 2<0， ∴③正确;
④∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴x=1时，函数的最小值为a +b +c ， ∴a +b +c ≤am 2+mb +c ，即a +b ≤m (am +b )，∴④正确.故选C .
4. 【答案】D [解析] 先设出函数解析式，然后把(0，2)，(－1，0)，(2，0)分别
代入函数解析式，列出方程组，求出各系数即可．
5. 【答案】B 【解析】△△ABC
是等腰直角三角形，∴∠A ＝90°，∠B ＝△C ＝45°.(1)当0≤x ≤2时，点P 在AB 边上，△BDP 是等腰直角三角形，∴PD ＝BD ＝x ，y ＝12x 2
(0≤x ≤2)，其图象是抛物线的一部分； (2)当2＜x ≤4时，点P 在AC 边上，△
CDP 是等腰直角三角形，∴PD ＝CD ＝4－x ，△y ＝12BD ·PD ＝1
2x (4－x ) (2＜x ≤4)，其图象也是抛物线的一部分．综上所述，两段图象均是抛物线的一部分，因此选项B 的图象能大致反映y 与x 之间的函数关系．
6. 【答案】C [解析] △二次函数y ＝x 2－4x －m 中a ＝1＞0，△其图象开口向上，对称轴为直线x ＝－b
2a ＝2.△点A(2，y 1)的横坐标为2，△y 1最小．又△B(－3，y 2)，
C(－1，y 3)都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，故y 2＞y 3.△y 2＞y 3＞y 1.
7. 【答案】C
8. 【答案】B
【解析】∵抛物线开口向下，∴0a <， ∵抛物线的对称轴为直线12b
x a
=-
=，∴20b a =->， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴0c >，∴0abc <，所以①正确；
∵2b a =-，∴1
02a b a a +=-=，
∵0c >，∴11
024a b c ++>，所以②错误；
∵(0,)C c ，OA OC =，∴(,0)A c -，
把(,0)A c -代入2y ax bx c =++得20ac bc c -+=，∴10ac b -+=，所以③错误； ∵(,0)A c -，对称轴为直线1x =，∴(2,0)B c +，
∴2c +是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的一个根，所以④正确， 综上正确的有2个， 故选B ．
二、填空题
9. 【答案】<
10. 【答案】右
3
11. 【答案】y ＝
12
(x ＋2)2＋1 [解析] 已知抛物线的顶点坐标，可以设顶点式y ＝a(x －h)2＋k.又因为该抛物线的形状、开口方向与抛物线y ＝1
2x 2－4x ＋3相同，所以a ＝12，所以该抛物线的函数解析式是y ＝1
2(x ＋2)2＋1.
12. 【答案】x 1＝－2，x 2＝1
[解析] 方程ax 2＝bx ＋c 的解即抛物线y ＝ax 2与直线
y ＝bx ＋c 交点的横坐标．∵交点是A(－2，4)，B(1，1)，∴方程ax 2＝bx ＋c 的解是x 1＝－2，x 2＝1.
13. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫23，00<m<14 [解析] 联立y ＝x ＋m 与y ＝－x 2＋2x ，得x ＋m ＝－x
2
＋2x ，整理得x 2－x ＋m ＝0，当有两个交点时，b 2－4ac ＝(－1)2－4m>0，解得m<1
4.当直线y ＝x ＋m 经过原点时，与函数y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x （x>0）x （x≤0）的图象有两个不
同的交点，再向上平移，有三个交点，∴m>0， ∴m 的取值范围为0<m<14.故答案为0<m<1
4.
14. 【答案】3－3 [解析] 设点A 的坐标为(0，b)，则B(b ，b)，C(3b ，b)，D(3b ，3b)，
E(3 b ，3b)．所以AB ＝b ，DE ＝3 b －3b ＝(3－3) b.所以DE AB ＝（3－3）b
b
＝3－ 3.
三、解答题
15. 【答案】
解：∵二次函数图象的顶点为A(1，－4)，
∴设该二次函数的解析式为y ＝a(x －1)2－4.将(3，0)代入解析式，得a ＝1， 故y ＝(x －1)2－4，
即该二次函数的解析式为y ＝x2－2x －3.
16. 【答案】
解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋1与x 轴仅有一个交点，
∴b 2－4ac ＝(2a)2－4a ＝0，解得a ＝1，a ＝0(舍去)，
∴抛物线的解析式：y ＝x 2＋2x ＋1.(3分)
(2)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ， ∵抛物线解析式y ＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2， ∴A(－1，0)，(4分)
过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，如解图， ∵OC ⊥x 轴， ∴OC ∥BD ，
∵C 是AB 中点， ∴O 是AD 中点， ∴AO ＝OD ＝1，(6分) ∴点B 的横坐标为1，
把x ＝1代入抛物线中，得y ＝(x ＋1)2＝(1＋1)2＝4， ∴B 的坐标为(1，4)．(7分)
把点A(－1，0) ，B(1，4)代入y ＝kx ＋b ， 得⎩⎨⎧0＝－k ＋b 4＝k ＋b ， 解得⎩
⎨⎧k ＝2b ＝2，
∴直线AB 的解析式为： y ＝2x ＋2.(8分)
17. 【答案】
解：(1)∵抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 与x 轴有两个不同的交点， ∴Δ＝b 2－4ac ＝16－8c ＞0，∴c ＜2.
(2)m<n.理由：∵抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 的对称轴为直线x ＝1， ∴点A(2，m)和点B(3，n)都在对称轴的右侧． 又∵当x≥1时，y 随x 的增大而增大， ∴m ＜n.
18. 【答案】
解：(1)∵点A (－3，－3)，B (1，－1)在直线y ＝kx ＋b 上， ∴⎩⎨⎧k ＋b ＝－1，－3k ＋b ＝－3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝－3
2，
∴直线l 的解析式为y ＝12x －32.
联立y ＝ax 2＋2x －1与y ＝12x －3
2，则有2ax 2＋3x ＋1＝0， ∵抛物线C 与直线l 有交点， ∴Δ＝9－8a ≥0且a ≠0， ∴a ≤9
8且a ≠0.
(2)根据题意可得y ＝－x 2＋2x －1. ∵a <0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x ＝1. ∵m ≤x ≤m ＋2时，y 有最大值－4， ∴当y ＝－4时，有－x 2＋2x －1＝－4， ∴x ＝－1或x ＝3.
①在x ＝1左侧，y 随x 的增大而增大，
∴x ＝m ＋2＝－1时，y 有最大值－4，∴m ＝－3； ②在对称轴x ＝1右侧，y 随x 的增大而减小， ∴x ＝m ＝3时，y 有最大值－4. 综上所述，m ＝－3或m ＝3. (3)①若a <0，当x ＝1时，y ≤－1， 即a ＋1≤－1，∴a ≤－2； ②若a >0，当x ＝－3时，y ≥－3， 即9a －7≥－3， ∴a ≥49.
联立y ＝ax 2＋2x －1与y ＝12x －3
2， 则有ax 2＋32x ＋1
2＝0，
由题意得Δ＝9
4－2a >0， ∴a <98，
∴a 的取值范围为49≤a <9
8或a ≤－2.。