原子的位形卢瑟福模型

第一章原子的组成与结构
“原子”一词最早来源于古希腊语，意思为“不可分割”。

当时认为原子是构成物质的基本单元。

19世纪，人们开始确切地认识到，原子只不过是物质结构的一个层次。

导致这一结论的重要发现有：
1806年，法国普鲁斯特(J.L.Prust)发现化合物分子的定组成定律：一种化合物，不论是天然存在的还是人工合成的，不论是用哪种方法制备的，它的化学组成总是确定的。

1807年，英国道尔顿(J.Dalton)发现倍比定律，并第一次明确提出原子论。

如果甲、乙两元素能相互化合生成几种不同的化合物，则与一定量甲元素相化合的乙元素的质量互成简单整数比。

这是人们承认原子学说的重要依据。

1808年，法国盖·吕萨克(J.L.Gay-Lussac)发现气体化合时，各气体的体积成简比的定律，并由之认为元素气体在相等体积中的重量应正比于它的原子量。

1811年，意大利化学家阿伏伽德罗(A.Avogadro)提出阿佛伽德罗假说：同体积气体在同温同压下含有同数目的分子。

进而指出阿伏伽德罗数是1摩尔物质所含的分子数，其数值是 6.0221367×1023，是自然科学的重要的基本常数之一。

1833年，英国法拉第(M.Faraday)提出电解定律，是基本电荷存在的有力证据。

电解第一定律：在电极上析出（或溶解）的物质的质量同通过电解液的总电量（即电流强度与通电时间的乘积）成正比。

电解第二定律：当通过各电解液的总电量相同时，在电极上析出（或溶解）的物质的质量同各物质的化学当量（即原子量与原子价之比值）成正比。

电解第二定律也可表述为物质的电化学当量同其化学当量成正比。

1869年，俄国门捷列夫提出元素周期律。

指明元素的化学和物理性质随原子序数周期性变化, 原子表现为电中性，最小的原子为氢原子。

1.1原子的质量和大小
由于原子的质量非常小，一般在10-23克量级，故化学和物理学上都采用它们质量的相对值：即把碳在自然界中含量最丰富的一种同位素(C12)的质量定为12个单位作为原子量的标准，其他原子的质量同碳12比较，定出质量值，称为原子量。

原子的绝对质量可以用质谱仪精确测定。

原子的大小可以从下述几个方法加以估计：
(1)在晶体中原子是按一定的规律排列的。

从晶体的密度和一个原子的质量，可以求出单位体积中的原子数。

假设晶体中的原子是互相接触的球体、并已知共排列情况，就可以算出每个原子的大小。

即使不知排列情况、也可以求得原于大小的数量级。

(2)从气体分子运动论也可以估计原于的大小。

关于气体分子的平均自由程，即：2241
r N πλ= (1)
式中λ是分子平均自由路程，N 是单位体积中分子数，r 是分子的半径(假定为球形)。

如果λ和N 由实验求得，r 可以由上式算出。

(3)从范德瓦尔斯方程也可以测定原子的大小。

在方程
()RT b V V a p =-⎪⎭⎫ ⎝⎛+2 (2)
中，b 值按理论应等于分子所占体积的四倍。

由实验定出b ，就可以算出分子的半径，其数量级和原子半径相同。

从不同方法求一种原子的半径，所得数值是有些出入的，但数量级是相同的，都近似为十几埃（10-9米）。

各种原于的半径是不同的，但都具有刚才所说的数量级。

1.2原子的组成与结构
英国物理学家汤姆孙对阴极射线进行了深入研究，他观测了阴极射线在磁场和静电场作用下的偏转，测定了阴极射线中粒子的荷质比(电荷与质量之比)。

1897年，他做出结论：阴极射线是由比氢原子小得多的带负电的粒子所组成。

由于一系列成功的实验，他被科学界公认是电子的发现者。

“电子”这个名词，是1881年斯托尼(G ..J.Stony)提出来的。

他依据法拉第电解定律，认为任何电荷都由基元电荷组成，并给该电荷基元取名为电子。

电子的发现揭示了原子具有内部结构，打破了千百年来认为原子是组成物质的最小单元的学说。

1909年前后，密立根(likan)和他的学生对单个电子的电荷进行了精密的测量，被称为密立根油滴实验。

目前最精密的实验给出电子的电荷和质量分别为：
e =1.60217733(49)×10-19C；m e =9.1093897(54) ×10-31kg
由于电子的发现，使人们认识到，电中性的原子内部还存在带正电的部分，因而，人们不禁要问原子中带正电和带负电的部分在大小为埃的范围内是如何分布的、有怎样运动呢？
在汤姆逊发现电子之后，对原子中正、负电荷如何分布的问题，出现了许多见解。

其中比较引人注意的是汤姆孙本人提出的枣糕模型，它出现于1898年，后在1903、1907年又进一步被完善。

汤姆逊认为，原子中的正电荷均匀分布在整个原子球体内，而电子则嵌在其中。

1903年，林纳(P.Lenard)在研究阴极射线被物质吸收的实验里发现“原子是十分空虚的”。

在此实验基础上，长冈半太郎(Hantaro Nagaoka)于1904年提出原子的行星模型，认为原子内的正电荷集中于中心，电子绕中心运动，但他没有深入下去。

直到1909年，卢瑟福的学生盖革(H.Geiger)和马斯顿(E.Marsden)在用α粒子轰击Au 膜的实验中，发现α粒子在轰击原子时有大约八千分之一的几率被反射回来了。

对于这样的实验事实，卢瑟福感到很惊奇，他说：“就象一枚15英寸的炮弹打在一张纸上又被反射回来一样”，简直不可理解。

按照汤姆逊模型，绝对得不出这样的实验结果。

1.2.1汤姆孙模型对粒子的散射
由汤姆孙模型，最大的作用力发生于掠射，其作用力为：
2042R eZe F πε= (3)
α粒子由于散射引起的动量变化等于作用力乘上粒子在原子附近的度过时间，故：
rad E Z v m R Ze v m v FR P P αααπε52
0210321)4/(2/2-⨯≈==∆ (4)
对于电子的贡献，只有当对头碰撞时最大：
rad m m P P e 410~4000
1~2-≈∆α (5) 由(4)和(5)结合近似估计，粒子的偏角为：
rad E Z αθ410-< (6)
对于5MeV 的α粒子对金（Au ，Z=79）膜的散射，每次碰撞的最大偏角小于10-3rad 。

故，发生1/8000的反射是不可思议的。

由于该模型和实验结果相矛盾，很快就被放弃了。

为了解释实验现象，卢瑟福经过严谨的理论推理之后，于1911年提出了“核式结构模型”，对盖革(H.Geiger)和马斯顿(E.Marsden)的实验结果给与了很好的描述。

1.2.2卢瑟福模型对粒子散射的解释
在推导卢瑟福散射公式前我们作下列假设：(1)只发生单次散射；(2)只有库仑相互作用；(3)核外电子的影响忽略不计；(4)靶核静止。

则两体问题便简化为单
体问题（详细参见《理论力学》蒋德瀚编p115-195）。

有牛顿第二定律，散射过程可表示为：
a m F = (7)
把力和加速度的具体形式带入后得：
dt v d m r r e Z Z =0202214πε (8)
由于中心力满足角动量守恒，即：
)(2const L dt
d mr =Φ (9) 把9式代入8式中消去时间因子得：
Φ=ΦΦ=d v d r L dt d d v d m r r e Z Z 202
02214πε (10) 即：
002214r d L e Z Z v d Φ=πε (11)
对(11)是两边积分，左边为：
u i f e v v v v d ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=⎰2sin 2θ (12)
对(11)是右边积分时，将单位矢量r 变换为单位矢量i ，j 后再进行，即：
()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΦΦ+Φ=Φ⎰⎰-2cos 2sin 2cos 2sin cos 00θθθθπj i d j i d r (13) 由于：u e j i =+2
cos 2sin θθ (14)
故，由(11)-(14)式可得： 2cos 412sin 2210θπεθmvb e Z Z v = (15)
化简的：
E e Z Z a ctg a b 2
2104122πεθ==其中 (16)
考虑到靶核并非静止，则上式修正后转换成质心系形式为：
L c c c
E m M M E E e Z Z a ctg a b +===2
2104122πεθ其中 (17)
由(17)式可以看出，θ与b 的对应关系：b 大θ就小；b 小，θ就大；对某已确定的b ，就有一确定的θ。

由此可知，瞄准距离在b 到b+db 范围内的粒子，经散射后比定向θ到θ+d θ之间的角度出射。

当入射粒子束的束斑面积为A ，膜厚
为t ，则粒子打到环b+db 上的几率为：
⎪⎭⎫ ⎝⎛=2sin 16sin 2242c c c A d a A bdb θθθππ (18)
由于空心锥的立体角与θc 的关系为：c c c c c d r rd r d θθπθθπsin 2sin 22==
Ω 代入(18)，便有：⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω=2sin 16242c c A d a A bdb θπ (19)
在束斑大小的范围内，膜上的粒子数为（设膜单位体积内的原子数为n ）nAt ，假设粒子前后不遮挡，粒子的散射几率为：
nAt A d a dp c c c ⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω=2sin 16)(42θθ (20)
若N 个粒子打到膜上，则在d Ωc 上记录到的散射粒子数为：
nAt A d a N dN c c ⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω=2sin 1642θ (21)
定义质心系微分截面：()()c
c c Nnt
d dN d d Ω=Ω=θσθσ他代表单位面积每个靶核，单位入射粒子，单位立体角内散射的粒子数。

()⎪⎭⎫ ⎝⎛=2sin 144142210c c c c E e Z Z θπεθσ (22)
在实验室系，卢瑟福截面公式可改写为：
()() +++⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=422122221012sin 441γγθπεθσb b E e Z Z L L L L (23)
简化为：
()()
sr m b b b b E Z Z L L L L /12sin 295.16342212221 ++++⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=γγγθθσ (24) 其中，γ=m/M ，b i 是角度的函数。

对于179度，b 1= -1.9997；b 2=0.9993；b 3=0.0003(取
自文献NIMB2(1984)307)，这就是著名的卢瑟福散射截面公式。

从该公式(22-24)中可得出如下关系：(1)在同一离子源和同一散射物的情况下，(dN/d Ω)sin 4(θ/2)=常数；(2) 同一离子源和同一散射物，在同一散射角，(dN/d
Ω)与散射体厚度t 成正比；(3) 同一散射物，在同一散射角，(dN/d Ω)E 2=常数；
(4) 同一离子源和同一散射物，在同一散射角，(dN/d Ω)与Z 22成正比。

1913年，盖革和马斯顿有进行了α离子的散射实验，所得结果完全证实了前三项关系，由于实验的精度，第四项为能测定，但在稍后的几年也证实了。

卢瑟福依据实验事实并从经典力学概念出发提出的原子的核式结构模型，已由无数的实验证明了其正确性，甚至经受住了量子力学的考验，即纯粹量子力学的计算与卢瑟福散射公式完全相同。

1.3.3核式结构模型的意义及困难
(1)意义：在理论上，核式结构模型把原子分为核内和核外两个部分，并大胆承认高密度原子核的存在。

该模型为原子物理的进一步发展奠定了基础，并使人们为进一步研究亚原子结构提供了理论上的指导。

在应用上，卢瑟福散射已成为材料分析的一种重要手段，即卢瑟福背散射分析(RBS)，直接推动了材料科学和微电子科学的发展。

(2)困难：①无法解释原子的稳定性。

任何带电粒子在作加速运动的过程中都要以发射电磁波的方式放出能量。

这样，电子就不能永远绕着原子核转下去。

因为电子绕核转动的运动是加速运动，电子本身带有负电荷，在加速运动中应不断向外发射电磁波而不断失去自己的能量，以致绕转的轨道半径越来越小，形成电子向着核作螺旋形的运动。

最后在非常短的时间内(10-9s 的数量级)掉到核内去，从而使正负电荷中和，原子全部崩溃(原子坍缩)。

然而，在现实世界中原子相当稳定，金历经亿万年仍旧是金；②无法解释原子的同一性。

来自美国的、英国的铁、甚至在月球上的铁，同中国的铁在原子结构上并没有丝毫差异。

这种原子的同一性按经典的核式结构模型是无法理解的；③无法解释原子的再生性。

一个原子在同外来粒子相互作用后，一旦这外来客体远离，这个原子便马上又恢复到原来的状态，就像未曾发生过任何事情一样。

原子的这种再生性，又是卢瑟福模型所无法说明的。

1.4原子核大小的估计
在两体中心力作用下的碰撞中，假设为对头碰撞，当入射离子最接近靶核时，动能全部转化为势能，即：
a E e Z Z r r e Z Z mv E ≡=⇒==2
210min min 22102414121πεπε (25)
由上式可得，210Po 的α粒子（5.3MeV ）对29Cu 散射，则a=15.8fm ，故铜的原子核半径应小于该值，从而可知，原子核的半径一般在十几费米量级。

1.5综述
通过本章的学习，我们知道原子的质量（~10-23克）、大小（十几埃的量级）、结构（核式结构）；以及原子由带负电的电子和带正电的原子核组成。

原子几乎所有的质量都集中于原子核（半径为十几费米量级），而原子核在原子中所占据的体积却相当的小（~1/1012）。

以上对原子的认识，仅仅局限于经典物理学的范畴，可以说大部分是定性的，但他却能给我们一个简单而又清楚的物理图像。

同样，这种认识还存在一定的缺陷，这需要进一步的理论（即量子力学）介入才能得以解决。