《直线与平面的夹角》第一课时示范公开课教学设计【高中数学】

《直线与平面的夹角》教学设计
第一课时
◆教学目标
1、掌握直线在平面内的射影及斜线与平面所成角的概念，提升学生的数学抽象素养.
2、理解最小角定理及公式cos θ=cos θ1cos θ2,并能利用这一公式解决相关问题．提高逻辑推理、数学运算的数学素养．
◆教学重难点
◆
教学重点：求直线与平面所成的角问题．
教学难点：线面角的概念．
◆课前准备
PPT课件．
◆教学过程
一、整体概览
问题1：阅读课本第42-45页，回答下列问题：
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？
师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.
预设的答案：（1）本节主要学习直线与平面的夹角第一课时直线与平面的夹角．（2）学生在学习了异面直线所成角的概念，对空间角的问题有了一定的经验，线面角的问题，依然按照将空间问题化为平面问题、将立体几何问题化为空间向量运算问题的基本思路展开．为培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养提供舞台．
计意图：通过对本节知识内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.
二、探索新知
形成定义
问题2：日常生活中，很多场景中都有直线与平面成一定角度的形象，例如如图1所示，握笔写字时，如果把笔抽象成直线，把纸抽象成平面，则直线与平面呈一定角度；如图2所示，地球仪的地轴（即旋转轴）与赤道所在的平面垂直，并且与水平桌面呈一定角度，那么怎样来刻画直线与平面所成的角呢？
师生活动：学生在教师的指导下写出答案．
预设的答案：如果α是空间中的一个平面,n 是空间中的一个非零向量,且表示n 的有向线段所在的直线与平面α垂直,则称n 为平面α的一个法向量.此时,也称n 与平面α垂直,记作n ⊥α.
追问：如图所示的长方体1111ABCD -A B C D 中,平面ABCD 的法向量是什么？平面1111D C B A 的法向量是什么？平面11A ADD 、平面11B BCC 的法向量又是什么？
师生活动：学生在教师的指导下写出答案．
预设的答案：第一个情境中将笔抽象为直线,纸抽象为平面,学生较容易画出图形;第二个情境中对于如何刻画赤道线所在的平面和旋转轴线,部分学生可能会画出不恰当的图形,例如,将赤道所在的平面画成圆,旋转轴线与桌面成不恰当的角度,画出的直线与平面不相交,等等.教师可以对学生进行合理引导.如运动员扔标枪、比萨斜塔等.所有这些例子都说
明,研究直线和平面所成角不仅是数学知识体系的要求,而且是具有现实意义的.然后再以其中的个具体实例为依托,引出直线与平面夹角的定义及度量的探究.比如可以以握笔写
字为例,如果把笔抽象成直线,把纸抽象成平面,教师可以让学生思考,直线与平面所成角到底是哪一个?如果给你一个量角器测量直线与平面的夹角,应该量哪个角度呢?怎样来刻画直线与平面所成的角呢?
设计意图：通过“情境与问题”,让学生再次感受数学既源于生活,又服务于生活,这样更适合学生的思维能力,契合学生的思维习惯,从具体到抽象,降低了难度．培养学生数学抽象的核心素养．
这就是本节课要学习的内容（板书：直线与平面的夹角第一课时）
先从特殊情况入手，如果一条直线与一个平面垂直,则称这条直线与这个平面所成的角90;如果一条直线与一个平面平行,或直线在平面内,则称这条直线与这个平面所成的角为
为 0
问题3：如图所示，设l是平面α的一条斜线，m是平面α内的任意一条直线. 能否将m与l成的角定义为直线l与平面α所成的角？如果不能，该怎样规定直线l与平面α所成的角？
师生活动：学生在教师的指导下写出答案．
教师讲解:当m的位置不同时,m与l所成角的大小可能也不同,因此不能将其定义为直线l与平面α所成的角．注意到平面的一条斜线在平面内的射影是唯一确定的,因此,平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角,称为这条斜线与平面所成的角．
A'是直线AB在平面例如,如图所示,如果直线AB是平面α的一条斜线,B为斜足,B
α内的射影,则∠ABA就是直线AB与平面α所成的角.
设计意图：引导学生先摆放实物,或是结合多媒体技术动态展示直线m 在平面内的位置,最后将实物抽象为图形画出来,积累分析图形的经验.要注重对数学知识本质的理解和把握,培养学生逻辑推理的数学素养．
问题4：如图所示，设AO 是平面α的一条斜线段，O 为斜足， 为A 在平面内的射影，而OM 是平面内的一条射线， OM M A ⊥',记θθθ=∠=∠=∠AOM OM A AOA ,','21，
（1）从直观上判断θ与1θ的大小关系；
（2）说明OM AM ⊥是否成立，探究1θ、2θ、θ三者之间的等量关系．
师生活动：学生在教师的指导下写出答案．
教师讲解:因为α⊥'AA ,所以△O AA ',△M AA '都是直角三角形,而且M A '是AM 在平面α内的射影,因此,根据OM M A ⊥'与三垂线定理可知OM AM ⊥,所以△AMO 也是直角三角形.
如果设OA =1,则在Rt △O AA '中,11cos cos 'θθ==OA OA ,
因此在Rt △'OMA 中,;cos cos cos '212θθθ==OA OM
另一方面,在Rt △AMO 中,有;cos cos θθ==OA OM 因此，;cos cos cos 21θθθ= 一般地,因为;1cos 02≤≤θ,所以由上式可知;cos cos 1θθ≤,因为1θ和θ都是锐角,所以可得;1θθ≤.这就是说,平面的斜线与平面所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角．
引进了平面的斜线与平面所成的角之后,空间中任意一条直线与任意个平面所成的角的
大小都是确定的,直线与平面所成的角也称为它们的夹角．
设计意图：此处体现直观观察与逻辑推理的结合.教师可以结合多媒体技术动态展示OM 在平面内的不同位置,帮助学生形成良好的直观认识,是数学运算能力与素养的重要体现．
三、初步应用
例1:如图所示,已知∠BAC 在平面α内,过该角的顶点A 引平面α的斜线AP,且使∠PAB=∠PAC,求证:斜线AP 在平面α内的射影平分∠BAC
师生活动：学生根据最小角定理，由老师指定学生给出答案．
预设的答案：证明:设点P 在平面α内的射影为点M,则AM 为AP 在平面α内的射影 根据前面的结论有
;cos cos cos BAM PAM PAB ∠∠=∠
;cos cos cos CAM PAM PAC ∠∠=∠
由∠PAB=∠PAC 可得:;cos cos CAM BAM ∠=∠
因此;CAM BAM =∠即AM 平分∠BAC .
设计意图：例1是对关系式;cos cos cos 21θθθ=的应用,是最为简捷的方法教师也可以引导学生用向量方法或综合几何方法进行证明.
问题5:如图1-25所示,P 是平面α外一点,P 在平面α内的射影为'P ,过P 作平面α的斜线段1PA ，2PA ,且1A ，2A 均为斜足,设1PA ，2PA 与平面α所成角分别为1θ，2θ,试判断1PA ，2PA 是1θ=2θ的什么条件,1'A P ，2'A P 是1θ=2θ的什么条件.
师生活动：学生根据所学尝试做出答案，由老师指定学生给出答案．
预设的答案：注意到α⊥'PP ,所以△1'A PP 与△2'A PP 都是直角三角形,从而
2211sin sin 'θθPA PA PP ==,再根据1θ,2θ都是锐角可知1PA =2PA 是1θ=2θ的充要条件;类似地,因为2211tan 'tan ''θθA P A P PP ==,
所以1'A P ,2'A P 是1θ=2θ的充要条件
教师讲解:这一结果可以总结为,经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中,斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角,只要有一个相等,则另外两个也对应相等．从上面还可以看出，当线段AB 所在的直线与平面α所成的角为θ，且AB 在平面α的射影为''B A ,则有θcos ''AB B A =．
设计意图：在学生明确一条直线与平面的相应关系后,探索过平面外一点的两条斜线的相应关系.研究对象是平面的两条斜线及其与平面所成的角,将斜线段的关系转化为斜线与平面所成的角的关系,体现数学中常用的转化的思想方法．
四、归纳小结，布置作业
问题6：（1）什么是斜线与平面所成的角？
（2）最小角公式是什么？
师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.
预设的答案：
（1）当m 的位置不同时,m 与l 所成角的大小可能也不同,因此不能将其定义为直线l 与平面α所成的角．注意到平面的一条斜线在平面内的射影是唯一确定的,因此,平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角,称为这条斜线与平面所成的角．
（2）;cos cos cos 21θθθ= 设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确最小角定理应用．
布置作业：教科书第46页练习A1,2题．
五、目标检测设计
1．若直线l 与平面α所成角为π3，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l 与直
线a 所成角的取值范围是( )
A ．⎣⎡⎦⎤0，2π3
B ．⎣⎡⎦⎤π2，2π3
C ．⎣⎡⎦⎤π3，2π3
D ．⎣⎡⎦⎤π3，π2
设计意图：考查学生对最小角定理的应用．
2在正方形ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，CB 1与平面AA 1C 1C 所成角的大小为________． 设计意图：考查学生对空间法向量简单应用．
3．如图所示，在四棱锥P ­ABCD 中，ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ．若∠PBC ＝60°，求直线PB 与平面ABCD 所成的角θ．
设计意图：考查法最小角定理的综合应用．
参考答案：
1．D [由最小角定理知直线l 与直线a 所成的最小角为π3，又l ，a 为异面直线，则所
成角的最大值为π2．]
2．30° [如图，连接B 1D 1交A 1C 1于O ，连接OC ，因为几何体是正方体，所以OB 1⊥平面AA 1C 1C ，
所以∠B 1CO 是CB 1与平面AA 1C 1C 所成角，
设正方体的棱长为1，则OB 1＝22，CB 1＝2，
sin ∠B 1CO ＝222＝12，可得∠B 1CO ＝30°．
即CB 1与平面AA 1C 1C 所成角的大小为30°．]
3．[解] 由题意得∠CBD ＝45°，
∠PBD
即为直线
PB 与平面ABCD 所成的角θ．
∵cos∠PBC＝cos θ·cos∠CBD，∠PBC＝60°．
即cos 60°＝cos θ·cos 45°，∴cos θ＝
2
2，θ＝45°．
∴直线l与平面α的位置关系是平行或直线在平面内．]。