【精品】概率与数理统计作业

概率论与数理统计作业1（§1.1～§1.2）
一、填空题
1．设A、B、C表示三个随机事件，试将下列事件用A、B、C表示出来：
（1）仅A发生；
（2）A、B、C都不发生；
（3）A、B、C不都发生；
（4）A不发生，且B、C中至少有一个事件发生；
（5）A、B、C中至少有两个事件发生；
（6）A、B、C中最多有一个事件发生。

2．对飞机进行两次射击，每次射一弹，设事件A={第一次击中飞机}，B={第二次击中飞机}，试用A、B表示下列事件：
（1）恰有一弹击中飞机；
（2）至少有一弹击中飞机；
（3）两弹都击中飞机。

3．设A、B、C是任意的三个随机事件，写出以下概率的计算公式：（1）=
B
P
(A
B
)
A
P；
)
(
P；（2）=
(A
=
-)
（3）=
B
P。

A
⋃
⋃)
(C
4．某市有50％住户订日报，65％住户订晚报，85％住户至少订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的住户所占的百分比是。

5．设A、B、C是三个随机事件，且25
P
B
=C
P，
=
A
P
)
.0
(=
)
(
)
(
(=
)
=BC
P，则：
(
AB
P
P，0
)
125
)
.0
AC
(=
（1）A、B、C中都发生的概率为；
（2）A、B、C中至少有一个发生的概率为；
（3）A、B、C都不发生的概率为。

6.设()()P AB P AB =，且()P A p =，则()P B ＝ ．
二、单项选择题
1．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为[]。

（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B ）“甲、乙两种产品均畅销”；
（C ）“甲种产品滞销”；（D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。

2．对于事件A 、B 有A B ⊂，则下述结论正确的是[]。

（A ）A 与B 必同时发生；（B ）A 发生，B 必发生；
（C ）B 发生，A 必发生；（D ）B 不发生，A 必不发生。

3．对于任意两事件A 、B ，与B B A =⋃不等价的是[]。

（A ）B A ⊂；（B ）A B ⊂；（C ）φ=B A ；（D ）φ=B A 。

4．设A 、B 是任意二事件，则下列各选项中错误的选项．．．．．
是[]。

（A ）若φ=AB ，则B A ,可能不相容；
（B ）若φ≠AB ，则B A ,也可能相容；
（C ）若φ=AB ，则B A ,也可能相容；
（D ）若φ≠B A ，则B A ,一定不相容。

三、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数，设事件A 表示“出现偶数点”，事件B 表示“出现的点数能被3整除”。

（1）写出试验的样本点及样本空间；
（2）把事件A 和B 分别表示为样本点的集合；
（3）事件B A AB B A B A ⋃⋃,,,,分别表示什么事件？并把它们表示为样本
点的集合。

四、写出下面随机试验的样本空间：
（1）袋中有5只球，其中3只白球2只黑球，从袋中任意取一球，观察其颜色；
（2）从（1）的袋中不放回任意取两次球（每次取出一个）观察其颜色；
（3）从（1）的袋中不放回任意取3只球，记录取到的黑球个数；
（4）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；
五、设0
P
A
P，将下列四个数：
(>
>B
(
,0
)
)
P
A
B
P
AB
P
⋃按由小到大的顺序排列，用符号≤联接P+
A
A
)
),
(
(
).
P
(
(B
),
),
(
它们，并指出在什么情况下可能有等式成立。

六、向指定目标射击三枪，分别用1A 、2A 、3A 表示第一、第二、第三枪击中目标，试用1A 、2A 、3A 表示以下事件：
（1）只有第一枪击中；
（2）至少有一枪击中；
（3）至少有两枪击中；
（4）三枪都未击中.
七、用作图法说明下列命题成立：
(1)()A B A AB B =-，且右边两事件互斥；
(2)()()()A B A B B A AB =--，且右边三事件两两互斥.
八、用作图法说明下列各命题成立：
(1)若A B ⊂，则AB A =；(2)若A B ⊂，则A B B =；
(3)若A B ⊂，则B A ⊂；(4)若AB ϕ=，C B ⊂，则AC ϕ=.
九、计算下列各题：
(1)设()0.5,()0.3,()0.6
===，求() P A P B P A B
P AB；
(2)设()0.8,()0.4
=-=，求()
P A P A B
P AB；
概率论与数理统计作业2（§1.3～§1.4）
一、电话号码由7个数字组成，每个数字可以是0、1、2、…、9中的任一个（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不相同的数字组成的概率。

二、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率。

三、将C、C、E、E、I、N、S等7个字母随机的排成一行，求恰好排成英文单词SCIENCE的概率。

四、为减少比赛场次，把20个球队任意分成两组（每组10队）进行比赛，
求最强的两队被分在不同组内的概率。

五、掷3枚硬币,求出现3个正面的概率.
六、10把钥匙中有3把能打开门,今任取两把,求能打开门的概率.
七、两封信随机地投入四个邮筒,求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮
筒内只有一封信的概率.
八、袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随
机地从袋中各取一球，取后不放回，求第二个人取到黄球的概率.
九、随机地向半圆220x ax y -<<（a 为正常数）内掷一点，点落在半圆内
任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4
π的概率.
十、设A、B为随机事件，并且5.0
|
)
A
P，
B
P，8.0
(=
(=
)
A
P，6.0
(=
)
B
计算)
P⋃。

(AB
A
P和)
(B
十一、袋中有a个白球与b个黑球，每次从袋中任取一个球，取出后不再放回。

求第二次取出的球与第一次取出的球颜色相同的概率。

十二、为防止意外,在矿内同时设有两种报警系统A与B,每种系统单独使用
时,其有效的概率系统A为0.92，系统B为0.93,在A失灵的条件下,B有效的概率为0.85,求
(1)发生意外时,这两个报警系统至少有一个有效的概率；
(2)B失灵的条件下,A有效的概率.
十三、两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，加工出来的零件放在一起，求任意取出的零件是合格品的概率。

十四、发报台分别以0.6及0.4发出信号“.”及“-”。

由于通信系统受干扰，当发出“.”时，收报台以概率0.8及0.2收到信号“.”和“-”；当发出“-”时，收报台以概率0.9及0.1收到信号“-”和“.”。

求:
(1)当收报台收到信号“.”时，发报台确系发出信号“.”的概率；
(2)当收报台收到信号“-”时，发报台确系发出信号“-”的概率。

十五、有两个口袋,甲袋中盛有两个白球,一个黑球,乙袋中盛有一个白球两个黑球.由甲袋中任取一个球放入乙袋,再从乙袋中取出一个球,求取到白球的概率.若发现从乙袋中取出的是白球,问从甲袋中取出放入乙袋的球,黑白哪种颜色可能性大?
概率论与数理统计作业3（§1.5）
一、填空题
1．一个工人看管n台同一类型的机器，在一段时间内每台机器需要工人维修的概率为)1
p，则：（1）n台机器都不需要维修的概率是；
0(<
<p
（2）恰有一台机器需要维修的概率是；
（3）至少有一台机器需要维修的概率是。

2．三个人独立地猜一谜语，他们能够猜破的概率都是0.25，则此谜语被猜破的概率是。

二、单项选择题
1．设8.0
|
(=
)
P，8.0
P，则下列式子中正确的是
A
B
(=
A
)
B
P，7.0
)
(=
( )。

(A)事件A与B相互独立；(B)事件A与B互不相容；
(C)A
B⊃；(D))
A
P
=
+。

A
P+
B
)
(
(
)
(B
P
2．设A、B、C三个事件两两独立，则A、B、C相互独立的充分必要条件是( )。

(A)A与BC独立；(B)AB与C
A⋃独立；
(C)AB与AC独立；(D)B
A⋃独立。

A⋃与C
3.设随机事件A与B互不相容，且有0
(>
B
P，则下列关系成立
)
)
P，0
(>
A
的是( ).
(A)A与B相互独立(B) A与B不相互独立
(C)A与B互为对立事件(D) A与B不互为对立事件
4．对于任意二事件A和B，则有( )。

(A)若φ
≠
AB，则A与B有可能独立；
≠
AB，则A与B一定独立；(B)若φ
(C)若φ
AB，则A与B一定不独立。

=
=
AB，则A与B一定独立；(D)若φ
三、证明：如果)
P
B
A
P ，则事件A与B相互独立。

A
(B
|
(
)
|
四、计算题
电路由电子器件a与两个并联的电子器件b及c串联而成。

设电子器件a、b、c损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路发生间断的概率。

2．甲、乙两人各自向同一目标射击，已知甲命中目标的概率为0.7，乙命中目标的概率为0.8求：
(1)甲、乙两人同时命中目标的概率；
(2)恰有一人命中目标的概率；
(3)目标被命中的概率.
3.电灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2,求3个灯泡在使用1000小时后,最多只有一个坏了的概率.
4.面对试卷上的10道4选1的选择题，某考生心存侥幸，试图用抽签的方法答题.试求下列事件的概率：
（1）恰好有2题回答正确；
（2）至少有2题回答正确；
（3）无一题回答正确；
（4）全部回答正确.
第一章自测题
一、填空题
1．将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为。

2．一间宿舍内住有6个同学，则他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率为；没有任何人的生日在同一个月份的概率为。

3．有γ个球，随机地放在n 个盒子中)(n ≤γ，则某指定的γ个盒子中各有一球的概率为。

4．设3.0)(=A P ，8.0)(=⋃B A P ，若A 与B 互斥，则=)(B P ；
若A 与B 独立，则=)(B P ；若B A ⊂，则=)(B A P 。

5．若事件A 与B 相互独立，且5.0)(=A P ，25.0)(=B P ，则=-)(B A P _________； =⋃)(B A P ___________。

6．已知92.0)(=A P ，93.0)(=B P ，85.0)|(=A B P ，则=)|(B A P 。

=⋃)(B A P 。

7．设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为91，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为：。

8.设随机事件A ,B 互不相容，且3.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则=)(A B P . 二、选择题
1.已知30.)(=A P ，50.)(=B P ，60.)(=B A P ，则()=AB P ( ).
(A) 0.15 (B) 0.2(C) 0.8(D) 1
2．同时掷3枚均匀的硬币，恰好有两枚正面向上的概率为( )
(A)0.125 (B)0.25(C)0.325 (D)0.375
3.一批零件10个，其中有8个合格品，2个次品，每次任取一个零件装配机器，若第2次取到的是合格品的概率为2p ，第3次取到的合格品的概率为3p ，则（）
(A)23p p >(B)23p p =(C)23p p <(D)2p 与3p 的大小不能确定
4．10颗骰子同时掷出，共掷5次，则至少有一次全部出现一个点的概率是（）． (A)510516⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(B)105516⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(C)5101116⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(D)1051116⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
5.设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行n 次试验取得)1(n r r ≤≤次成功的概率为（）.
(A)r n r r n p p C ----)1(11；(B)r n r r n p p C --)1(；
(C)1111)1(+-----r n r r n p p
C ；(D)r n r p p --)1(. 6.有10张奖券中含3张中奖的奖券，每人只能购买1张，则前3个购买者都中奖的概率为（ ）.
A 、3.07.02310⨯⨯C ；
B 、0.3；
C 、407；
D 、120
1. 7．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以0.7为概率的事件是（）．
A ．都不是一等品
B ．恰有1件一等品
C ．至少有1件一等品
D ．至多有1件一等品
8.设A B ⊂，则下面正确的等式是（）。

A 、)(1)(A P A
B P -=；B 、)()()(A P B P A B P -=-；
C 、)()|(B P A B P =；
D 、)
()|(A P B A P =
三、计算题
1．假设雷达站对甲、乙、丙三个独立飞行的目标进行跟踪，而雷达发现三个目标的概率相应为321,,p p p 。

记A ={无一目标被发现}，B ={至少一个目标被发现}，C ={最多一个目标被发现}．试求事件A 、B 、C 的概率。

2。

根据以往的临床记录，知道癌症患者对某种试验呈阳性反应的概率为0.95，非癌症患者对这试验呈阳性反应的概率为0.01.设被试验者患有癌症的概率为0.005，若某人对试验呈阳性反应，求此人患有癌症的概率.
3．考虑一元二次方程02
=++C Bx x ，其中C B ,分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数，求方程有实根的概率p 和有重根的概率q ．
4.甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.
概率论与数理统计作业4（§2.1～§2.2）
一、填空题
1.常数____b =时，(1)k b p k k =
+（其中1,2,...k =）可以作为离散型随机变量的概率分布.
2.同时掷3枚质地均匀的硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率为___________
3.)2(~P X ，则=≥)2(X P ．
二、选择题
1.设随机变量X 是离散型的，则（）可以成为X 的分布律
(A)101p p ⎛⎫ ⎪-⎝⎭（p 是任意实数）;(B)123450.10.30.30.20.2x x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
; (C)33{}!n e P X n n -==(1,2,.....n =);(D)33{}!
n
e P X n n -==(0,1,2,...n =). 2.设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，为使12()()()F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取
（A ）52,53-==b a ；（B ）3
2,32==b a ； （C ）23,21=-
=b a ；（D ）23,21-==b a 三、计算题
1.进行某种试验，已知试验成功的概率为3/4，失败的概率为1/4，以X 表示首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算出X 取偶数的概率.
2．将一颗骰子抛掷两次，以1X 表示两次所得点数之和，以2X 表示两次中得到的较小的点数，试分别求1X 和2X 的分布律.
3.一批零件中有9个合格品与3个废品。

安装机器时从中任取1个。

如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布和分布函数，并作出分布函数的图像。

4．20个产品中有4个次品，
（1）不放回抽样，抽取6个产品，求样品中次品数的概率分布；
（2）放回抽样，抽取6个产品，求样品中次品数的概率分布。

5.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试后以概率0.80可以出厂，以概率0.20定为不合格不能出厂。

现该厂新生产了n （2≥n ）台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求
（1） 全部能出厂的的概率α；
（2） 其中恰好有两件不能出厂的概率β；
（3） 其中至少有两件不能出厂的概率θ.
6.设离散型随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=3
1
317
.0114.010)(x x x x x F ，求X 的分布列
7．已知随机变量X 只能取-1，0，1，2四个值，相应概率依次为
c
c c c 167,85,43,21 1）确定常数c ；
2）计算(1|0)P X X <≠；
3）求X 的分布函数
概率论与数理统计作业5（§2.3）
一、填空题
1.设随机变量X 的密度函数01()2120x
x f x x x ≤≤⎧⎪
=-≤≤⎨⎪⎩
其它，则()1.5P X <= ；
()1.5P X == .
2.设随机变量X 的密度函数为
()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫
⎝⎛-=其它0
21112x x k x f 则=k ________．
3.设随机变量X 的概率密度为其他1
2)(<<⎩⎨
⎧=x x x f ，以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件}2
1
{≤X 出现的次数，则==}2{Y P . 二、判断题 函数
2
11
x +可否是连续随机变量X 的分布函数，如果X 的可能值充满区间：
（1）()+∞∞-,；
（2）()0,∞-
三、计算题
1.随机变量X 的概率密度为(
)101
x f x x ⎧<⎪
=⎨⎪≥⎩
当当,
求：（1）系数A ；
（2）随机变量X 落在区间⎪⎭⎫
⎝
⎛-21,21内的概率；
（3）随机变量X 的分布函数。

2.（拉普拉斯分布）随机变量X 的概率密度为()+∞<<-∞=-x Ae x f x
,,
求：（1）系数A ；
（2）随机变量X 落在区间()1,0内的概率；
（3）随机变量X 的分布函数。

3.设连续型随机变量X 的分布函数为:⎪⎩
⎪⎨⎧≥<≤<=1
11000)(2
x x Ax
x x F 求系数A ;
(0.30.7)P X <<;
概率密度函数()f x .
4)四次独立试验中有三次恰好在区间(0.3,0.7)内取值的概率.
4．设X ~),(U 60,求方程2
2540x Xx X ++-=有实根的概率
5.某种元件的寿命X (以小时计)的概率密度函数
()f x =.1000,1000
,
0,10002≤>⎩⎨
⎧x x x 某仪器装有3只这种元件，问仪器在使用的最初15小时内没有一只元件损坏和只有一只元件损坏的概率各是多少？（100改1000，150改15）
概率论与数理统计作业6（§2.4～§2.5）
一、填空题
1.随机变量X 的概率分布为2
.02.02.04.04
321p X ，则X Y 25-=的概率分布
为 ．
2.随机变量X 的概率密度为()X f x ，若32Y X =-+，则Y 的密度函数为．
3.设X 的分布函数为()x F ，则13+=X Y 的分布函数()y G 为． 二、计算题
1．设随机变量X 服从二项分布(3,0.4)B ，求()
32
X X Y -=的概率分布：
2．已知随机变量X 的分布律为
求随机变量sin Y X =的分布律.
3.设随机变量X 的概率密度为()()
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤>+=0
001
22x x x x f 当当π，求随机变量函数
X Y ln =的概率密度。

4.设随机变量X 服从[0，2]上的均匀分布，求：2
X Y =的概率密度函数。

5.一批产品中有a件合格品与b件次品，每次从这批产品中任取一件，取两次，方式为：
（1）放回抽样；（2）不放回抽样。

设随机变量X及Y分别表示第一次及第二次取
X,）的概率分布。

出的次品数，写出上述两种情况下二维随机变量（Y
6.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数，求(,)
X Y的联合分布律.
7.设二维随机变量（Y X ,）在矩形域d y c b x a ≤≤≤≤,上服从均匀分布，求（Y X ,）的概率密度。

8.设随机变量(,)X Y 的联合密度函数
()(6), 02, 24,
,0, k x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩
其它.试求：(1)常数k ；
(2)( 1.5)P X ≤；
(3)(4)P X Y +≤.
(4)分布函数(,)F x y .
概率论与数理统计作业7（§2.6～§2.8）
1.随机地掷一颗骰子两次.设随机变量X 表示第一次出现的点数，Y 表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量()Y X ,的概率分布及Y 的边缘分布.
2.已知随机向量()Y X ,的联合分布为
试问βα,取何值时，Y X ,才相互独立.
3.设二维随机变量()Y X ,的分布函数为()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=32y C x B A y x F arctan arctan ,. 求：（1）系数C B A ,,
（2）()Y X ,的概率密度
（3）边缘分布函数及边缘概率密度
（4）X 、Y 是否独立
()22, 1,0, cx y x y f x y ⎧≤≤⎪
=⎨
⎪⎩其它.
试求：(1)常数c ；(2)X 与Y 的边缘密度函数；(3)X 与Y 是否相互独立？
5.设(X ,Y )服从单位圆上的均匀分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其它,
01
,1
),(22y x y x f π，求
)
|(|x y f X Y
()1, ||, 01,
,0, y x x f x y <<<⎧=⎨⎩
其它.求条件密度函数|(|)X Y f x y ，|(|)Y X f y x .
7.设随机变量X 与Y 相互独立，其密度函数分别为
(), 0,0, 0.x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩(), 0,
0, 0.y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩
求(,)X Y 的联合密度函数),(y x f 以
及条件密度函数|(|)X Y f x y 和|(|)Y X f y x .
概率论与数理统计作业8（§2.9）
1.设随机变量(,)X Y 的分布律为
试求：(1)(1|0)P X Y ==；
(2)在1=Y 的条件下，X 的分布律；
(3)),max(1Y X Z =和2min(,)Z X Y =的分布律；
(4)W X Y =+的分布律.
(X,Y)只取下列数组中的值：
1
(0,0), (1,1), (1,), (2,0)
3
--且相应的概率依次为
1
6
，
1 3，
1
12
，
5
12
，列出(X,Y)的概率分布表,并求出X Y
-的分布律
电子仪器由六个相互独立的部件
ij
L（3,2,1
;2,1=
=j
i）组成，如图，设各个部件
的使用寿命
ij
X服从相同的指数分布()λe，求仪器使用寿命的概率密度。

第二章自测题
一、 填空题
1.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k
P X k A k ===⋅⋅⋅，则
A =____________
2.已知随机变量X 的密度为()f x =, 01
0, ax b x +<<⎧⎨
⎩其它
,且{1/2}5/8P x >=,则
a =________
b =________
3.一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80
81
，则该射手的命中率为_________
4.若随机变量X 在（1，6）上服从均匀分布，则方程2
10x Xx ++=有实根的概率 是 二、选择题
1.设X 的密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ，且)()(x f x f -=。

那么对任意给定的a 都有
A ）0
()1()a f a f x dx -=-
⎰
B ）01
()()2
a F a f x dx -=
-⎰ C ）)()(a F a F -=D ）1)(2)(-=-a F a F 2.下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是 A ）2
1()1F x x =+
B ）x x F arctan 1
21)(π
+= C ）=)(x F 1(1),0
20,0x
e x x -⎧->⎪⎨⎪≤⎩
D ）()()x F x f t dt -∞=⎰，其中()1f t dt +∞-∞
=⎰
3.假设随机变量X 的分布函数为()F x ，密度函数为()f x .若X 与X -有相同的分布函数，则下列各式中正确的是
A ）()()F x F x =-;B)()()F x F x =--;
C)()()f x f x =-;D)()()f x f x =--.
4.已知随机变量X 的密度函数()f x =,0,x x Ae x λ
λ
-≥⎧⎨<⎩(λ>0,A 为常数)，则概率
()P X a λλ<<+（0a >）的值
A ）与a 无关，随λ的增大而增大
B ）与a 无关，随λ的增大而减小
C ）与λ无关，随a 的增大而增大
D ）与λ无关，随a 的增大而减小 三、解答题
1.从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所求抽取次数的分布率。

（1）放回（2）不放回
2.随机变量X 的概率密度⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤+<≤-=其它0211
0 ,1)(x x A x x x f ，
(1)确定常数A ； (2)求X 的分布函数()x F ； (3)求概率⎪⎭
⎫ ⎝⎛
<23X P ．
3.对球的直径作测量，设其值均匀地分布在[b a ,]内。

求体积的密度函数。

4.设在独立重复实验中，每次实验成功概率为0.5，问需要进行多少次实验，才能使至少成功一次的概率不小于0.9。

5.设随机变量X 的分布函数为：()arctan F x A B x =+(x -∞<<+∞).求： （1）系数A 与B ；（2）X 落在(1,1)-内的概率；（3）x 的分布密度。

6.随机变量X的概率密度为
()
⎩
⎨
⎧<
<
-
=
其它
，
，
1
1
6
)
(
x
x
x
x
f，求随机变量1
2+
=X
Y的
概率密度．
7.二维随机变量（X，Y）的概率密度为
201,01 (,)
kxy x y
f x y
⎧<<<<
=⎨
⎩其它
求：（1）常数k（2）X，Y的边缘密度函数（3）问X，Y是否独立。

概率论与数理统计作业9（§3.1）
一、填空题 1.Y X ,独立同分布
3
/23/11
0P X ，则(1)_______,()________.P X Y E XY +≤==
2.设X 的密度函数为2(1)01
()0
x x f x -<<⎧=⎨
⎩其它，则()E X =，
2()E X =．
3.随机变量X 的分布率为
3
.03.04.02
02P X
-，则()E X =，
2(35)E X +=。

4.已知随机变量X 的分布列为P （X m =）＝
10
1
， m ＝2,4,…,18,20,，则 ()E X =5.对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为1p ，第二台仪
器发生故障的概率为2p ．令X 表示测试中发生故障的仪器数，则()=X E 二、计算题
1.连续型随机变量X 的概率密度为01(,0)()0
a
kx x k a f x ⎧<<>=⎨
⎩其它
又知
()0.75E X =，求k 和a 的值。

2.对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。

如果发现次品，则立即停止检查而认为这批产品不合格；如果连续检查5个产品，都是合格品，则也停止检查而认为这批产品合格。

设每批产品的次品率为p ，求每批产品抽查样品的平均数。

3．设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为
()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它，0
1
42122
y x y x y x f 1）求()X E ，()Y E 及()XY E ；
2）求X 与Y 的边缘密度函数；。