四川省成都市外国语学校2017-2018学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析

成都外国语学校2017-2018学年上期半期考试高一
数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分
1. 设集合，集合，则=( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以，故选D.
2. 已知，则的大小关系（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，故选B.
【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间
）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
3. 若函数，则的值（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
，上式中令，可得，故选C.
4. 函数的零点所在的区间（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数在单调递减，又可得
，函数的零点在，故选A.
5. 下列四种说法正确的个数有（）
①若为三个集合，满足，则一定有；
②函数的图像与垂直于轴的直线的交点有且仅有一个；
③若,则；
④若函数在和都为增函数，则在为增函数.
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
【答案】C
【解析】①若为三个集合，满足，则一定有，正确；②根据函数的定义知函数的图象与垂直于轴的直线的交点至多有一个，正确；③若,则
，正确；④对于函数，可知函数在
和都为增函数，则在不是增函数，函数在和都为增函数，则在
为增函数错误，故选C.
6. 设全集，集合，若，则这样的集合的个数共有( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】全集，且，的子集有
，可以为，
，，
，，共个，故选D.
7. 为了得到函数的图像，只需把函数图像上所有的点（）
A. 向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度；
B. 向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度；
C. 向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度；
D. 向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度；
【答案】C
【解析】函数，只需要把函数的图
象上所有的向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，故选C.
8. 函数的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，当时，等号成立，即函数的最小值为，故选B.
【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
9. 如图，在中，点，点在射线上自开始移动，设，过作
的垂线，记在直线左边部分的面积，则函数的图象是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当0⩽x⩽2时,△OEF的高，
∴；
当2<x⩽3时，△BEF的高EF=3−x，
∴；
当x>3时,.则：
，
结合函数的解析式可得函数图形如D选项所示.
本题选择D选项.
10. 已知函数，若任意且都有，则实数
的取值范围（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】不妨设，，任意可得，可得在上递增，的对称轴，得，故选A.
11. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：）
A. B. C. D.
【答案】B
...............
12. 若函数有零点,则实数的取值范围（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】有零点，等价于有根，
，由，得，在上递增，由，得，
在上递减，，，故选A.
【方法点睛】本题主要考查函数的零点、利用导数求函数的最值，属于难题. 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .
第Ⅱ卷
二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分
13. 集合用列举法表示为_________.
【答案】
【解析】因为，所以可取，分别列方程解出的值，结合
，可得，即，故答案为.
14. 若函数的定义域是，则的定义域是__________.
【答案】
【解析】的定义域是，，的定义域是，令
，解得，又因为,，所以故答案为.
【方法点晴】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.
15. 若函数在上是减函数，则实数的取值范围
____________.
【答案】
【解析】设，则在定义域上单调递减，要使函数
，在上单调递减，则有在定义域上单调递增，则须
有，即，解得，故实数的取值范围是，故答案为.
16. 已知函数,若存在实数且，使得成立，则实数的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤
17. （1）；
（2）已知求的值.
【答案】（1）; （2）.
【解析】
试题分析：（1）直接利用对数运算法则以及幂指数的运算法则求解即可；
（2）由可得，
从而可得的值，进而可得结果.
试题解析：（1）
.
(2),,
,.
18. 设全集，集合，，. （1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【解析】试题分析：（1）先化简，再求出与，根据集合交集的定义求解即可；（2）由交集的运算求出，由和子集的定义列出不等式组，求出的取值范围.
试题解析：（1）集合，，且
或，或，或. （2）集合，，由得，
，，解得实数的取值范围是.
19. 设函数,．
（1）若,求取值范围；
（2）求的最值，并给出最值时对应的的值.
【答案】（1）；（2）当时，；当时，.
【解析】试题分析：（1）由，利用对数函数的单调性可得的取值范围；（2）
由（1）可得，利用二次函数的单调性即可得出.
试题解析：（1）.
（2）由（1）可得，
，可得，解得时，，当即时，. 20. 某医药研究所开发的一种药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升中的含药量（微克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线.（当时，）.
（1）写出第一次服药后与之间的函数关系式；
（2）据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效时间.
【答案】（1）；（2）小时.
【解析】试题分析：（1）由函数图象我们不难得到这是一个分段数，第一段是正比例函数的一段,第二段是指数型函数的一段,由于两段函数均过,故我们可将点代入函数的解
析式，求出参数值后,即可得到函数的解析式；（2）由（1）的结论我们将函数值代入函数解析式，构造不等式，可以求出每毫升血液中含药量不少于微克的起始时刻和结束时刻，他们之间的差值即为服药一次治疗疾病有效的时间.
试题解析：（1）由图象，设，当时，由得；由得，
.
(2)由得或，解得，因此服药一次后治疗疾病有效的时间是（小时）.
【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).
21. 已知函数在上有意义，且对任意满足.
（1）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（2）若时，，则能否确定在的单调性？若能，请确定，并证明你的结论，若不能说明理由.
【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）单调减函数.
【解析】试题分析：（1）先令，得，再令，可得，运用函数的奇偶性的定义可得结果；（2）令，可得，只需证明
即可得结论.
试题解析：（1）令，则，
令，则，
则，
所以奇函数，
（2）单调性的定义证明：设任意，
令，则，
即：，
易证明：，所以由已知条件：，
故：，
所以，
所以在上单调减函数.
【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性及函数的单调性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，
（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，（为偶函数，
为奇函数） .
22. 已知函数定义在上的奇函数，的最大值为. （1）求函数的解析式；
（2）关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
（3）若存在，不等式成立，请同学们探究实数的所有可能取值. 【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】试题分析：（1）根据,利用的最大值为，可得，再根据
即可确定的解析式；(2) 关于的方程在上有解，即
在上有解，根据函数单调性的求出的值域，即可得结果；(3)利用函数奇偶性和单调性之间的关系，可得不等式成立等价于
成立，即存在使得成立，求出的最小值即可得结果.
（1）定义在上的奇函数，所以，试题解析：
又易得，从而，，所以，. 故. （2）关于的方程在上有解，即在上有解
令：，则在上单调性递增函数，
所以在上的值域为，
从而，实数的取值范围.
（3）因为是奇函数且在为单调递增函数，
所以由有，
即：存在使得成立，分别由以及在上的图像可知，
在上是增函数，所以，所以
又即，所以，综上：.。