2023年北京海淀区高三一模数学试题及答案

海淀区2022—2023学年第二学期期中练习
高三数学
参考答案
一、选择题
二、填空题 （11）(,2)(1,)−∞−+∞（12）2
（13）2π （答案不唯一，[,]62ϕππ∈） （14）1；(,0][2,)
−∞+∞（15）①③
三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）
解：（Ⅰ）由直三棱柱111−ABC A B C 可知1BC CC ⊥，又因为AC BC ⊥，且1AC
CC C =,
所以BC ⊥平面11CC A A .
由1C D ⊂平面11CC A A ，所以1BC C D ⊥.
在矩形11CC A A 中，111,2AD DA CC ===，所以1DC DC ==.
可得22211C C C D CD =+，所以1C D CD ⊥.
又因为BC CD C =， 所以1C D ⊥平面BCD .
（Ⅱ）由题意可知，1,,CA CB CC 两两垂直，如图建立空间直角坐标系C xyz −，
则(0,0,0)C ，(1,0,1)D ，(0,1,0)B ，1(0,0,2)C ，
(1,1,1)BD =−，1(0,1,2)BC =−,(1,0,1)CD =. 设平面1BC D 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则
10,0,BD BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,
20.x y z y z −+=⎧⎨−+=⎩
令1z =，则2y =，1x =， 得(1,2,1)=n . 设直线CD 与平面1BC D 所成角为θ，
则sin |cos ,|θ⋅=<>==CD CD CD n n n ，
所以直线
CD 与平面1BC D 所成角的正弦值为3.
（17）（本小题14分）
解：（Ⅰ）由sin 23sin b A a B 及正弦定理，得sin sin 23sin sin B A A B .
由倍角公式得2sin sin cos 3sin sin B A A A B .
在ABC △中，sin 0,sin 0A B ， 得3
cos 2A .
因为π
(0,)2A ，
所以π
6A .
（Ⅱ）记ABC △的面积为ABC S △.
选条件②：
由（Ⅰ）知π
6A ，又由题知33ABC S △， 可得1
sin 2△ABC S bc A 得123bc . 又由条件②，即334b c ，解得33,4b c .
由余弦定理，得
2222cos 32716
233427
a b c bc A
，
所以7.a
选条件③：
又由条件③，即cos C =(0,π)C ∈，可得sin C =. 所以sin sin()sin cos cos
sin B A C A
C A C =+=
+12=
+= 由（Ⅰ）知π6A
， 又由题知33ABC
S △，可得1sin 2△ABC S bc A . 得123bc .
由正弦定理得::sin :sin :sin 7:a b
c A B C =
=.
可设7,,
a k
b
c ===.
由bc =k =
.
得a =
（18）（本小题14分） 解：（Ⅰ）设该户网购生鲜蔬菜次数超过20次为事件C ，在A 组10户中超过20次的有3户，由
样本频率估计总体概率，则3()10P C =.
（Ⅱ）由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20
次概率为310，二单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为710. X 的取值范围为{}0,1,2.
3721(0)(1)(1)1010100P X ==−
⨯−=， 373729(1)(1)(1)1010101050P X ==
⨯−+−⨯=， 3721(2)1010100P X ==
⨯=. 212921()012110050100
E X =⨯+⨯+⨯=.
（Ⅲ）12()()D D ξξ=.
19. （本小题14分）
解：（Ⅰ）依题意可得：
22,b =⎧⎪⎨=⎪⎩
解得 1.a b ⎧⎪⎨=⎪⎩
椭圆E 的方程为2
215x y +=.
（Ⅱ）依题意, 可设直线l 方程为(0)y kx m km =+≠，1122(,),(,)M x y N x y . 联立方程2
21,5.x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得222(51)10550k x kmx m +++−=.
22222(10)4(51)(55)10020200km k m k m ∆=−⋅+−=−+>，即2251k m >−.
1221051km x x k +=−+，21225551
m x x k −=+. 在直线l 方程y kx m =+中，令0y =，得m x k
=−，得(,0)m P k −.
依题意得11'(,)M x y −，得直线'M N 方程为211121()y y y x x y x x −=+++. 令0x =，得122112Q x y x y y x x +=+.
所以△OPQ 的面积为1221121122OPQ P Q x y x y m S x y k x x ∆+=⋅=⋅+. 122112211212()()2()x y x y x kx m x kx m kx x m x x +=+++=++
222225510102515151m km k k k k k −−=⋅−=+++. 即1102210OPQ m k S k km
=⋅=△，解得14k =±，经检验符合题意. 所以k 的值为14±
.
解：（Ⅰ）当1a =时，()e x f x x =−.
则(0)1f =.
求导得'()e 1x f x =−，
得'(0)0f =.
所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为1y =. （Ⅱ）求导得'()e 1ax f x a =−.
当0a ≤时，'()0f x <恒成立，此时()f x 在R 上单调递减.
当0a >时，令'()0f x =，解得ln =a x a −.
()f x 与()f x '的变化情况如下：
由上表可知，()f x 的减区间为ln (,)a a −∞−，增区间为ln (,)a a
−+∞. 综上，当0a ≤时，()f x 的减区间为(,)−∞+∞，无增区间； 当0a >时，()f x 的减区间为ln (,)a a −∞−，增区间为ln (,)a a −+∞. （Ⅲ）将()f x 在区间[1,1]−上的最大值记为max ()f x ，最小值记为min ()f x .
由题意，若[1,1]x ∃∈−，使得|()|3f x ≥成立，即max ()3f x ≥或min ()3f x ≤−. 当[1,1]x ∈−时，()e 1ax f x x x =−>−≥−.
所以若[1,1]x ∃∈−，使得|()|3f x ≥成立，只需max ()3f x ≥. 由（Ⅱ）可知()f x 在区间[1,1]−上单调或先减后增，故max ()f x 为(1)f −与(1)f 中的较大者， 所以只需当(1)3f −≥或(1)3f ≥即可满足题意.
即(1)e 13a f −−=+≥或(1)e 13a f =−≥.
解得ln2a ≤−或ln 4a ≥.
综上所述，a 的取值范围是(,ln 2][ln 4,)−∞−+∞.
解：（Ⅰ）（ⅰ）不满足.令3i j ==，16i j a a =不是数列{}n a 中的项.
（ⅱ）满足. 对于任意()i j b b i j ,≥，(21)(21)2(21)1i j b b i j ij i j =−−=−−+−.
由于211ij i j −−+≥，故令21k ij i j =−−+即可.
（Ⅱ）（1）对于有穷数列{}n a 记其非零项中，绝对值最大的一项为p a ，绝对值最小的一项为q a .
故令i j p ==时，存在一项2||||k i j p a a a a ==.
又p a 是数列{}n a 非零项中绝对值最大的，所以2||p p a a ≥，即0||1p a <≤. 再令i j q ==时，存在一项2||||k i j q a a a a ==.
又q a 是数列{}n a 非零项中绝对值最小的，所以2||q q a a ≤，即||1q a ≥. 又1||||1q p a a ≤≤≤,
所以数列所有非零项的绝对值均为1.
又数列{}n a 的各项均不相等，所以其至多有0,1,1−共3项.
所以3m ≤.
（2）构造数列{}:0,1,1n a −.
其任意两项乘积均为0,1,1−之一，满足性质①. 其连续三项满足0(1)10−−−=，满足性质②. 又其各项均不相等，所以该数列满足条件，此时3m =.
（3）由（1）（2），m 的最大值为3.
（Ⅲ）（1）首先证明：当120,1a a ><−时，数列满足2120,0,t t a a −><且2||||,1,2,3,
t t a a t +<=.（*）
因为对于任意数列的连续三项12,,n n n a a a ++，总有12121()()02n n n n n n a a a a a a ++++−−−−=. 即21n n n a a a ++=−或2112
n n n a a a ++=−. 不论是哪种情形，均有 当10n n a a +>>时，21102
n n n n a a a a ++≥−>>，即2||||n n a a +>. 当10n n a a +<<时，21102
n n n n a a a a ++≤−<<，亦有2||||n n a a +>. 又1201a a >>−>，故性质（*）得证.
（2）考虑123,,a a a 三项，有312a a a =−或31212
a a a =−. 若312a a a =−, 则1321a a a =+<，此时令1i j ==，有211a a <，由性质（*）知不存在k 使得0k a >，且211k a a a =<.
高三数学参考答案 第7页（共7页） 故只有31212a a a =−，此时1321322
a a a =+<. 因为534323311155()22242
a a a a a a a ≥−≥−−>=, 所以令1i j ==时，21594
a a <<. 由性质（*）知，只有211a a =或213a a =. 当213a a =
时，12132()4a a a a ==−=，此时令2,1i j ==
，214a a =−
但423152
a a a ≤−=，即421||||a a a >，由性质（*）知不存在k 使得21k a a a =. 所以211a a =，即11a =，从而22a =−.
（3）经验证，数列{}n a ：1222,2,n
n n n a n −⎧⎪=⎨⎪−⎩
是奇数，是偶数满足条件，下面证这是唯一满足条件的数列. 假设s a 是第一个不满足上述通项公式的项，4s ≥.
当21,2s t t =+≥时，只能为11212122(2)32t t t t t t a a a −−+−=−=−−=⋅. 令21,3i t j =−=，则2t i j a a =.
但21212t t t a a −+<<，由性质（*），不存在k 使得i j k a a a =.
当2,2s t t =≥时，只能为11222221112232222
t t t t t t t a a a −−−−−=−=−−=−⋅>−. 则2222122122211115119()222224216
t t t t t t t t t t a a a a a a a a ++−−≤−≤−−=−=−⋅<−. 令22,3i t j =−=，则2t i j a a =−，但2222t t t a a +>−>，由性质（*），不存在k 使得i j k a a a =. 故不存在不满足上述通项公式的项.
综上，数列{}n a 的通项公式为1222,2,n
n n n a n −⎧⎪=⎨⎪−⎩
是奇数,是偶数.。