中考复习线段和差的最大值与最小值(拔高)

中考二轮复习之线段和（差）的最值问题
一、两条线段和的最小值。

填空题：
1．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是．
2．如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则P A+PC的最小值是．
3．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．
4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．
5．已知A(－2，3)，B(3，1)，P点在x轴上，若P A＋PB长度最小，则最小值为．若P A—PB长度最大，则最大值为．
6．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为．
7、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为
8、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD 和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．
综合题：
1．如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．
第1题第2题
第3题第4题
2．如图，已知平面直角坐标系，A ，B 两点的坐标分别为A (2，－3），B (4，－1）
设M ，N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M (m ，0），N (0，n ),使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m ＝______，n ＝ ______（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．
中考赏析：
1．著名的恩施大峡谷（A ）和世界级自然保护区星斗山（B ）位
于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB =50km 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和S 1＝P A ＋PB ，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A'，连接BA'交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和S 2＝P A ＋PB ． （1）求S 1、S 2，并比较它们的大小； （2）请你说明S 2＝P A ＋PB 的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
2．如图，抛物线y ＝35x 2－18
5x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，
若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点
E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点
F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．
3、在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC 绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；
（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．
4．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．
5、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x
轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.
（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；
（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.
二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)
1.直线2x-y-4=0上有一点P ，它与两定点A （4，-1）、B （3，4）的距离之差最大，则P 点的坐标是 .
2.已知A 、B 两个村庄的坐标分别为（2，2），（7，4），一辆汽车（看成点P ）在x 轴上行驶．试确定下列情况下汽车（点P ）的位置：
（1）求直线AB 的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到A 、B 两村距离之差最大？ （2）汽车行驶到什么点时，到A 、B 两村距离相等？
3. 如图，抛物线y ＝－14x 2
－x ＋2的顶点为A ，与y 轴交于点B ．
(1)求点A 、点B 的坐标；
(2)若点P 是x 轴上任意一点，求证：P A －PB ≤AB ； (3)当P A －PB 最大时，求点P 的坐标.
4. 如图，已知直线y ＝
21x ＋1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y ＝2
1x 2
＋bx ＋c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B （1）求该抛物线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |大，求出点M 的坐标．
5. 如图，直线y ＝－3x ＋2与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，点A 为y 轴正半轴上的一点，⊙A 经过点B 和点O ，直线BC 交⊙A 于点D ． （1）求点D 的坐标；
（2）过O ，C ，D 三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使线段PO 与PD 之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P 的坐标．若不存在，请说明理由．
好题赏析：
原型：已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求P A ＋PB ＋PC 的最小值．
例题：如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意
一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ． （1）求证：△AMB ≌△ENB ；
（2）①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；
②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； （3）当AM ＋BM ＋CM 的最小值为3＋1时，求正方形的边长．
变式：如图四边形ABCD 是菱形，且∠ABC ＝60，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ，则下列五个结论中正确的是（ ）
①若菱形ABCD 的边长为1，则AM ＋CM 的最小值1； ②△AMB ≌△ENB ；
③S 四边形AMBE =S 四边形ADCM ；④连接AN ，则AN ⊥BE ；
⑤当AM ＋BM ＋CM 的最小值为23时，菱形ABCD 的边长为2． A ．①②③ B ．②④⑤ C ．①②⑤
三、其它非基本图形类线段和差最值问题
1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。

2、在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。

3、线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。

1、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x 轴、
y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是（ ） A ． 222 B ．52 C 。

62 D ． 6
2、在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，tan ∠BAC =
1
2
. 点D 在边AC 上（不与A ，
C 重合），连结B
D ，F 为BD 中点. （1）若过点D 作D
E ⊥AB 于E ，连结C
F 、EF 、CE ，如图1． 设CF kEF ，则k = ； （2）若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2所示．求证：BE -DE =2CF ；
（3）若BC =6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD
中点，求线段CF 长度的最大值．
3、如图，二次函数y=-x 2+bx+c 与x 轴交于点B 和点A （-1，0），与y 轴交于点C ，与一次函数y=x+a 交于点A 和点D ． （1）求出a 、b 、c 的值；
（2）若直线AD 上方的抛物线存在点E ，可使得△EAD
面积
最大，求点E 的坐标；
（3）点F 为线段AD 上的一个动点，点F 到（2）中的点E 的距离与到y 轴的距离之和记为d ，求d 的最小值及此时点F 的坐标．
B C
A
D E F B D E
A F C
B A
C 1图2图备图
中考二轮复习之线段和（差）的最值问题
一、两条线段和的最小值。

基本图形解析：
一）、已知两个定点：
1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：
（2）点A 、B 在直线同侧：
A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。

2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。

（1）两个点都在直线外侧：
（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
（3）两个点都在内侧：
m
m
B m
A B
m
n m n
n m n
n
m
1．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是．
2．如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则P A+PC的最小值
是．
3．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．
4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，
BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为
__________．
5．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，
B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值
为．
6．已知A(－2，3)，B(3，1)，P点在x轴上，若P A＋PB长度最小，则最小值为．若P A—PB长度最大，则最大值为．
（4）、台球两次碰壁模型
变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.
填空：最短周长=________________
变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA 周长最短.
n
第1题第2题第3题第4题
1．如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．
2．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）
设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M(m，0），N(0，n),使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m＝______，n＝______（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．
中考赏析：
1．著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1＝P A＋PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2＝P A＋PB．
（1）求S1、S2，并比较它们的大小；
（2）请你说明S2＝P A＋PB的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
2．如图，抛物线y ＝35x 2－18
5x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自
M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上
的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．
二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：
点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：
2、两点在直线同侧：
m n
m
n
m
n
m
（二）动点在圆上运动
点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：
2、点与圆在直线同侧：
三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。

(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：
过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。

（2）点A 、B 在直线m 同侧：
练习题
m
m
m
m
Q Q
2、如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．
3、如图，在锐角三角形ABC中，AB=BAC=45，BAC的平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少？
4、如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是
AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.
7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC
上的一个动点，则PE+PB的最小值为．
10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线
段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为
11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则
PB+PE的最小值是
12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．
13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点
P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．
14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值
为cm．（结果不取近似值）．
15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则P A+PC的最小值是．
16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )
(A)2 (B) (C)1 (D)2
解答题
1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A
点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.
2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，
x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个
交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设此抛物线的顶点为P ，对称轴与AC 相交于点Q ，求点P 和点Q 的坐标； （3）在x 轴上有一动点M ，当MQ+MA 取得最小值时，求M 点的坐标．
3、如图10，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，
） ，△AOB 的面积是
.
（1）求点B 的坐标；
（2）求过点A 、O 、B 的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△AOC 的周长最小？若存在，求出点C 的 坐标；若不存在，请说明理由；
4．如图，抛物线y ＝35x 2－18
5
x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA
的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的
某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．
5．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =AB =2，OC =3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；
（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长； （3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标．
6．如图，已知平面直角坐标系，A ，B 两点的坐标分别为A (2，－3），B (4，－1）若C (a ，0)，D (a +3，0)是x 轴上的两个动点，则当a 为何值时，四边形ABDC 的周长最短．
7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形
的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x
轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边OB 的中点.
（1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；
（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.
二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：
1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：
B
m
解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。

（2）点A 、B 在直线m 异侧：
解析：过B 作关于直线m 的对称点
B ’,连接AB ’
交点直线m
于P,此时PB=PB ’，PA-PB 最大值为AB ’ 练习题
2.直线2x-y-4=0上有一点P ，它与两定点A （4，-1）、B （3，4）的距离之差最大，则P 点的坐标是 .
2.已知A 、B 两个村庄的坐标分别为（2，2），（7，4），一辆汽车（看成点P ）在x 轴上行驶．试确定下列情况下汽车（点P ）的位置：
（1）求直线AB 的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到A 、B 两村距离之差最大？ （2）汽车行驶到什么点时，到A 、B 两村距离相等？
1. 如图，抛物线y ＝－14x 2
－x ＋2的顶点为A ，与y 轴交于点B ．
(1)求点A 、点B 的坐标；
(2)若点P 是x 轴上任意一点，求证：P A －PB ≤AB ； (3)当P A －PB 最大时，求点P 的坐标.
2. 如图，已知直线y ＝2
1
x ＋1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ， 抛物线y ＝
2
1x 2
＋bx ＋c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为(1，A
m
0)．
（1）求该抛物线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |的值最大，求出点M 的坐标．
4，－1）和（－2，－5）；点P 是y 轴上的一个动点，⑴点P 在何处时，PA ＋PB 的和为最小？并求最小值。

⑵点P 在何处时，∣PA —PB ∣最大？并求最大值。

4. 如图，直线y ＝－3x ＋2与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，点A 为y 轴正半轴上的一点，⊙A 经过点B 和点O ，直线BC 交⊙A 于点D ．
（1）求点D 的坐标；
（2）过O ，C ，D 三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使线段PO 与PD 之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P 的坐标．若不存在，请说明理由．
5、抛物线的解析式为2
23y x x =-++，交x 轴与A 与B,交y 轴于C ， ⑴在其对称轴上是否存在一点P ，使⊿APC ⑵在其对称轴上是否存在一点Q ，使∣QB —QC ∣的值最大，若存在求其坐标。

6、已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取AB的中点M，连接MC，把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO．
（1）试直接写出点D的坐标；
（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内
的该抛物线上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连接OP．
①若以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，试求出点P的坐
标；
②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得|TO-TB|的值最
大？
7、如图，已知抛物线C1的解析式为y=-x2+2x+8，图象与y轴交于
D点，并且顶点A在双曲线上．
（1）求过顶点A的双曲线解析式；
（2）若开口向上的抛物线C2与C1的形状、大小完全相同，并且C2的顶点P始终在C1上，证明：抛物线C2一定经过A点；
（3）设（2）中的抛物线C2的对称轴PF与x轴交于F点，且与双曲线交于E点，当D、O、E、F四点组成的四边形的面积为16.5时，先求出P点坐标，并在直线y=x上求一点M，使|MD-MP|的值最大．
8、如图,已知抛物线经过A(3，0)，B(0，4)，
（1）.求此抛物线解析式
（2）若抛物线与x轴的另一交点为C，求点C关于直线AB的对称点C’的坐标
（3）若点D是第二象限内点，以D为圆心的圆分别与x轴、y轴、直线AB相切于点E、
F、H，问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P，使得|PH－P A|的值最大？若存在，求
出该最大值；若不存在，请说明理由。

好题赏析：
原型：已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求P A ＋PB ＋PC 的最小值．
例题：如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意
一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ． （1）求证：△AMB ≌△ENB ；
（2）①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；
②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；
（3）当AM ＋BM ＋CM 的最小值为3＋1时，求正方形的边长．
变式：如图四边形ABCD 是菱形，且∠ABC ＝60，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ，则下列五个结论中正确的是（ ）
①若菱形ABCD 的边长为1，则AM ＋CM 的最小值1； ②△AMB ≌△ENB ；
③S 四边形AMBE =S 四边形ADCM ；④连接AN ，则AN ⊥BE ；
⑤当AM ＋BM ＋CM 的最小值为23时，菱形ABCD 的边长为2． A ．①②③ B ．②④⑤ C ．①②⑤
三、其它非基本图形类线段和差最值问题
1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。

D C
B A A B C
D A B
C D 2、在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。

3、线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。

1、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x 轴、
y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是（ ） A ． 222+ B ．52 C 。

62 D ． 6
2、已知:在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:
（1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ；
（2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ；
（3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.
图1 图2 图3
3、在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，tan ∠BAC =
1
2
. 点D 在边AC 上（不与A ，C 重合），连结BD ，F 为BD 中点. （1）若过点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CF 、EF 、CE ，如图1． 设CF kEF =，则k = ； （2）若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2所示．求证：BE -DE =2CF ；
（3）若BC =6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD
中点，求线段CF 长度的最大值．
B C
A D
E F
B D E
A F
C
B
A C
1
图2
图备图
4、如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM.⑴ 求证：△AMB≌△ENB； ⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；
②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；
⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13 时，求正方形的边长.
5、如图，二次函数y=-x 2+bx+c 与x 轴交于点B 和点A （-1，0），与y 轴交于点C ，与一次函数y=x+a 交于点A 和点D ．
（1）求出a 、b 、c 的值；
（2）若直线AD 上方的抛物线存在点E ，可使得△EAD 面积最大，求点E 的坐标；
（3）点F 为线段AD 上的一个动点，点F 到（2）中的点E 的距离与到y 轴的距离之和记为
d
，求d 的最小值及此时点F 的坐标．
6. 如图，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A ，C 间的一个动点(含端点)，过点P 作PF ⊥BC 于点F .点D ，E 的坐标分别为(0,6)，(－4,0)，连接PD ，PE ，DE .
(1)请直接写出抛物线的解析式；
(2)小明探究点P 的位置发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值. 进
B C
而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值. 请你判断该猜想是否正确，并说明理由；
(3)小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标．。