2020-2021学年江苏省南京市高二上学期期中调研测试数学试题 Word版

南京市2020－2021学年度第一学期期中调研测试
高 二 数 学
2020.11
注意事项：
1．本试卷共6页，包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置． 3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线x 2＝2y 的焦点为F ，准线为l ，则点F 到直线l 的距离为
A ．1
2
B ．1
C ．2
D ．4
2．已知向量a ＝(－2，3，－1)，b ＝(4，m ，n )，且a ∥b ，其中m ，n ∈R ，则m ＋n ＝ A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2 3．若sin θ＝2cos(π－θ)，则tan(θ＋π
4
)的值为 A ．3 B ．1
3
C ．－3
D ．－1
3
4．在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆C ：x 29＋y 2m ＝1与双曲线T ：x 2－y 2
m ＝1有相同的焦点，
则双曲线T 的渐近线方程为 A ．y ＝±14x B ．y ＝±1
2
x
C ．y ＝±4x
D ．y ＝±2x
5．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －4＝0与两坐标轴分别交于点A ，B ，圆C 经过A ，B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为
A ．x 2＋y 2＋6y －16＝0
B ．x 2＋y 2－6y －16＝0
C ．x 2＋y 2＋8y －9＝0
D ．x 2＋y 2－8y －9＝0
6．如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成60°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为
A ．2 2
B ．2 3
C ．42
D ．43
7．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC 1与B 1C 相交于点O ，∠A 1AB ＝∠A 1AC ＝60°， ∠BAC ＝90°，A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2，则线段AO 的长度为 A ．29
2
B ．29
C ．
23
2
D ．23 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，点M ，
N 在双曲线C 上．若四边形OFMN 为菱形，则双曲线C 的离心率为 A ．3－1 B ．5－1 C ．3＋1 D ．5＋1
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．
9．已知两个不重合的平面α，β及直线m ，下列说法正确的是
A ．若α⊥β，m ⊥α，则m ∥β
B ．若α∥β，m ⊥α，则m ⊥β
C ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥β
D ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β
10．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆 x 24＋y 2
2
＝1的左、右焦点，点A 在椭圆
上．若△AF 1F 2为直角三角形，则AF 1的长度可以为 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．如图，直线l 1，l 2相交于点O ，点P 是平面内的任意一点，若x ，y 分别表示点P 到l 1，
l 2的距离，则称(x ，y )为点P 的“距离坐标”．下列说法正确的是 A ．距离坐标为(0，0)的点有1
个 B ．距离坐标为(0，1)的点有2个
N
P l 1
（第6题）
C 1
（第7题）
A
B
C
B 1
O
C ．距离坐标为(1，2)的点有4个
D ．距离坐标为(x ，x )的点在一条直线上
12．20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金
属反应可以人工合成金刚石．人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及它们的过渡形态．其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点、14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体．已知一个立方八面体的棱长为1，则
A ．它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2
B ．它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直
C ．它的体积为523
D ．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：x ＋ay ＝0和直线l 2：2x －(a －3)y －4＝0，
a ∈R ．若l 1与 l 2平行，则l 1与 l 2之间的距离为▲________．
14．在空间直角坐标系中，若三点A (1，－1，a )，B (2，a ，0)，C (1，a ，－2)满足
(AB →－2AC →)⊥BC →
，则实数a 的值为▲________．
15．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出自中国数学名著《九章算术·商功》，是古代人对一
些特殊锥体的称呼．在《九章算术·商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体P ABC ，其中P A ⊥平面ABC ，P A ＝AC ＝1，BC ＝2，则四面体P ABC 的外接球的表面积为▲________．
16．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的
冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，根据图上尺寸，溢流孔ABC 所在抛物线的方程为▲________，溢流孔与桥拱交点A 的横坐标．．．
为▲________．
（第12题）
A
B
C P
（第15题）
第16题
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要
的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）
在 ①sin(A －B )＝sin B ＋sin C ；②2a cos C ＝2b ＋c ；③△ABC 的面积S ＝34
(a 2－b 2－c 2
) 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．
已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，__________，D 是边BC 上的一点，∠BAD ＝π
2
，且b ＝4，c ＝2，求线段AD 的长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知圆F ：(x －2)2＋y 2＝1，动圆M 与直线l ：x ＝－1相切且与圆F 外切．
（1）记圆心M 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；
（2）已知A (－2，0)，曲线C 上一点P 满足P A ＝2PF ，求∠P AF 的大小．
19．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 中点． （1）求证：B 1A ∥平面C 1BD ；
（2）若AA 1＝AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ，求三棱锥B －B 1C 1D 的体积．
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点A ，B 是直线x －y ＋m ＝0(m ∈R )与圆O 的两个公共点，点C 在圆O 上．
（1）若△ABC 为正三角形，求直线AB 的方程；
（2）若直线x －y －3＝0上存在点P 满足AP →·BP →
＝0，求实数m 的取值范围．
D
B
B 1
A 1
（第19题）
C 1
A
C
21．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥AB ，P A ＝AD ＝4， BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝2，→PE ＝λ→
PC (0≤λ＜1)． （1）若λ＝1
2，求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；
（2）设二面角B -AE -C 的大小为θ，若|cos θ|＝234
17
，求λ的值．
22．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0) 的左顶点与上顶点的距离
为23，且经过点(2，2)．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，M 是PQ 的中点．若椭圆上存在点N 满足 ON →＝3MO →
，求证：△PQN 的面积S 为定值．
（第21题）
P
A
B
C
D
E
（第22题图）
南京市2020－2021学年度第一学期期中调研测试
高二数学参考答案 2020.11
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．B 2．B 3．D 4．D 5．A 6．D 7．A 8．C 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 9．BC 10．ABC 11．ABC 12．ACD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 2 14．－92 15．4π 16．y ＝－5
36
(x －14)2，14013
四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（本小题满分10分） 解：选①．
由条件① sin(A －B )＝sin B ＋sin C ，
在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A －B )＝sin B ＋sin(A ＋B )，
即 sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， ……………… 2分 从而sin B ＝－2cos A sin B ．
因为B 为三角形内角，所以sin B ≠0，所以cos A ＝－
1
2
．
因为A 为三角形内角，所以A ＝2π
3． ……………… 4分
在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2， 故由正弦定理
b sin B ＝
c sin C
得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π
3
－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．
由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝3
2． ……………… 8分
因为∠BAD ＝π
2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分
选②．
由条件②2a cos C ＝2b ＋c ，结合余弦定理得2a ×b 2＋a 2－c 2
2ab
＝2b ＋c ，
即 a 2＝b 2＋c 2＋bc ， ……………… 2分 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ＝－1
2
，
因为A 为三角形内角，所以A ＝2π
3
． ……………… 4分
在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2， 故由正弦定理
b sin B ＝
c sin C
得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π
3
－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．
由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝3
2． ……………… 8分
因为∠BAD ＝π
2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分
选③．
由条件③，△ABC 的面积S ＝
34
(a 2－b 2－c 2
)， 得12bc sin A ＝3
4(－2bc cos A )，即sin A ＝－3cos A ， ……………… 2分 因为A 为三角形内角，所以sin A ≠0，从而cos A ≠0，
所以tan A ＝sin A cos A ＝－3，所以A ＝2π3． ……………… 4分
在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2， 故由正弦定理
b sin B ＝c
sin C
得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π
3
－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．
由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝3
2． ……………… 8分
因为∠BAD ＝π
2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分
另解：A ＝2π
3
（略）
……………… 4分
在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2，
由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝42＋22－2×4×2×cos 2π
3＝28，
所以a ＝27．
……………… 6分 由正弦定理得a sin A ＝b
sin B ，则sin B ＝b sin A a ＝4×sin
2π327＝217，
又B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝277，则tan B ＝sin B cos B ＝3
2
．……… 8分 在△ABD 中，因为∠BAD ＝π
2，
所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分
18．（本小题满分12分）
解：（1）设M (x ，y )，圆M 的半径为r ．
由题意知，MF ＝r ＋1，M 到直线l 的距离为r ．
方法一：点M 到点F (2，0)的距离等于M 到定直线x ＝－2的距离，
根据抛物线的定义知，曲线C 是以F (2，0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线． 故曲线C 的方程为y 2＝8x ． ……………………6分 方法二：因为MF ＝(x －2)2＋y 2＝r ＋1，|x ＋1|＝r ，x ＞－1， 所以(x －2)2＋y 2＝x ＋2，化简得y 2＝8x ，
故曲线C 的方程为y 2＝8x ． ……………………6分 （2）方法一：设P (x 0，y 0)，由P A ＝2PF ，
得(x 0＋2)2＋y 02＝2[(x 0－2)2＋y 02]， ……………………8分 又y 02＝8x 0，解得x 0＝2，故P (2，±4)， ……………………10分 所以k P A ＝±1，从而∠P AF ＝π
4． …………………12分
方法二：过点P 向直线x ＝－2作垂线，垂足为Q ．
由抛物线定义知，PQ ＝PF ，所以P A ＝2PQ ， ……………………8分 在△APQ 中，因为∠PQA ＝π
2
，
所以sin ∠QAP ＝PQ P A ＝ 2
2， ……………………10分
从而∠QAP ＝π4，故∠P AF ＝π
4． …………………12分
19．（本小题满分12分）
（1）证明：连结B 1C 交BC 1于点O ，连结OD ． 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ＝B 1C 1，BC ∥B 1C 1，
所以四边形B 1BCC 1为平行四边形，
所以O 为B 1C 中点． 又因为D 为AC 中点， 所以OD 为△CB 1A 的中位线，
所以B 1A ∥OD ． …………………3分 又因为B 1A ⊄平面C 1BD ，OD ⊂平面C 1BD ，
所以B 1A ∥平面C 1BD ． …………………5分 （2）解：方法一：三棱锥B －B 1C 1D 的体积就是三棱锥D －BB 1C 1的体积． …7分
过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ．
在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面ABC ．
B 1
（第19题）
A 1
C 1
B
D
A
C O
E
因为DE ⊂平面ABC ， 所以B 1B ⊥DE ．
又因为DE ⊥BC ，且B 1B ，BC ⊂平面B 1BCC 1，B 1B ∩BC ＝B ， 所以DE ⊥平面B 1BCC 1，即DE 为三棱锥D －BB 1C 1的高． ………9分
在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ， 所以AC ＝32＋42＝5，sin C ＝3
5
，
在Rt △DEC 中，DC ＝12AC ＝52，所以DE ＝DC ×sin C ＝3
2．
又△BB 1C 1的面积S ＝12×BB 1×B 1C 1＝1
2
×3×4＝6，
所以三棱锥D －BB 1C 1的体积V ＝1
3×S ×DE ＝3，
故三棱锥B －B 1C 1D 的体积等于3．
………12分
方法二：三棱锥B －B 1C 1D 的体积就是三棱锥B 1－BDC 1的体积． ………7分 因为（1）中已证B 1A ∥平面C 1BD ，
所以B 1到平面BDC 1的距离等于A 到平面BDC 1的距离． 因此三棱锥B 1－BDC 1的体积等于三棱锥A －BDC 1的体积， 即等于三棱锥C 1－ABD 的体积．
在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，C 1C ⊥平面ABC ， 所以C 1C 为三棱锥C 1－ABD 的高．
………10分
因为AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ，S △ABC ＝1
2×AB ×BC ＝6．
因为D 是AC 的中点，所以△ABD 的面积S ＝1
2S △ABC ＝3．
故三棱锥C 1－ABD 的体积V ＝1
3×S ×C 1C ＝3，
即三棱锥B －B 1C 1D 的体积等于3．
………12分
20．（本小题满分12分）
解：（1）由△ABC 为正三角形，得∠AOB ＝2∠ACB ＝2π3，所以∠ABO ＝∠BAO ＝π6
，
所以原点O 到直线AB 的距离d ＝1×sin π6＝1
2． ………3分
由点到直线的距离公式得
|m |2＝12
，解得m ＝22或－22．
所以直线AB 的方程为2x －2y ＋2＝0或2x －2y －2＝0． ………5分 （2）方法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )． 因为AP →·BP →
＝0，所以点P 在以AB 为直径的圆上．
记该圆圆心为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x ＝x 0，y ＝y 0是方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＋m ＝0的解，解得⎩
⎨⎧x 0＝－m 2
，
y 0＝m 2
．
故以AB 为直径的圆的方程为(x ＋m 2)2＋(y －m 2)2＝1－m 2
2，其中－2＜m ＜2． …9分
又点P 在直线x －y － 3 ＝0上，即直线与圆有公共点， 所以|m ＋3|
2≤
1－m 2
2
，即2m 2＋23m ＋1≤0．
解得－
3＋12≤m ≤1－3
2
． 综上，实数m 的取值范围是[－
3＋12，1－3
2
]． ………12分
方法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
联立直线AB 与圆O 方程，得⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，
x －y ＋m ＝0，
消去y 得2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0． ①
所以x 1，x 2是①的两个解，
判别式△＝(2m )2－4×2×(m 2－1)＞0，即－2＜m ＜2， 且x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－1
2
．
………7分
设点P (x ，y )，则AP →＝(x －x 1，y －y 1)，BP →
＝(x －x 2，y －y 2)． 由AP →·BP →
＝0，得(x －x 1) (x －x 2)＋(y －y 1) (y －y 2)＝0， ②
将y ＝x －3，y 1＝x 1＋m ，y 2＝x 2＋m 代入②，
整理得2x 2－2(x 1＋x 2＋m ＋3)x ＋2x 1x 2＋(m ＋3)(x 1＋x 2)＋(m ＋3)2＝0． 又x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－1
2，所以2x 2－23x ＋m 2＋3m ＋2＝0，
关于x 的方程2x 2－23x ＋m 2＋3m ＋2＝0有实数解， ………10分
因此(－23)2－4×2×(m 2＋3m ＋2)≥0，即2m 2＋23m ＋1≤0， 解得－
3＋12≤m ≤1－3
2
． 综上，实数m 的取值范围是[－3＋12，1－3
2
]． ………12分 21．（本小题满分12分）
解：因为平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥AB ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，P A ⊂平面P AB ，
所以P A ⊥平面ABCD ．
因为AD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AD ．
又AB ⊥AD ，所以P A ，AB ，AD 两两互相垂直．
以{AB →，AD →，AP →
}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ．…………2分 因为P A ＝AD ＝4，AB ＝BC ＝2，
所以A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，
D (0，4，0)，P (0，0，4)．
（1）若λ＝1
2
，即E 为PC 中点，则E ()1，1，2，
所以DE →＝()1，－3，2，AB →＝()2，0，0，AE →
＝()1，1，2． 设平面ABE 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
m ·AB →＝0，m ·AE →＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
2x 1＝0，x 1＋y 1＋2z 1＝0．令z 1＝1，得y 1＝－2，
所以平面ABE 的一个法向量为m ＝(0，－2，1)． …………………4分 设直线DE 与平面ABE 所成角为α，
则sin α＝|cos ＜DE →，m ＞|＝|6＋214×5|＝470
35． …………………6分
（2）因为PE →＝λPC →
(0≤λ＜1)，则E (2λ，2λ，4－4λ)．
设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·AB →＝0，n ·AE →＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
2x 2＝0，2λx 2+2λy 2+(4－4λ)z 2＝0．令y 2＝2，得z 2＝λλ－1，
所以平面ABE 的一个法向量为n ＝(0，2，λ
λ－1)．
设平面AEC 的一个法向量为l ＝(x 3，y 3，z 3)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
l ·AC →＝0，l ·AP →＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
2x 3＋2y 3＝0，4z 3＝0．令x 3＝1，得y 3＝－1，
所以平面AEC 的一个向量为l ＝(1，－1，0)． ……………………9分 （或证明CD ⊥平面P AC ，从而CD →
为平面P AC 的一个法向量） 因为二面角B -AE -C 的大小为θ，且|cos θ|＝234
17，
得|cos ＜n ，l ＞|＝|
－24＋(λλ－1
)2
×2
|＝234
17，整理得3λ2＋2λ－1＝0，
解得λ＝13，或λ＝－1(舍)．所以λ＝1
3
． ……………12分
22．（本小题满分12分）
解：（1）椭圆C 的左顶点(－a ，0)，上顶点(0，b )．
因为左顶点与上顶点的距离为23，所以a 2＋b 2＝23，化简得a 2＋b 2＝12． ① 因为椭圆经过点(2，2)，所以4a 2＋2
b 2＝1，② …………2分
由①②解得a 2＝8，b 2＝4或a 2＝6，b 2＝6（舍去），
所以椭圆C 的方程为x 28＋y 2
4＝1． …………4分
（2）当PQ 斜率不存在时，N 为(±22，0)，PQ 方程为x ＝±223，易得PQ ＝82
3
，
此时S ＝12×MN ×PQ ＝12×823×823＝64
9． …………5分
当PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)， 联立⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝
kx ＋m ，x 28＋y 24＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－4)＝0，
由△＝(4km )2－8(1＋2k 2)(m 2－4)＞0，得0＜m 2＜8k 2＋4． （*） 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2
＝2(m 2－4)1＋2k 2， 因此PQ 的中点M 为(－2km 1＋2k 2
，m
1＋2k 2)． 又因为ON →＝3MO →
，所以N (6km 1＋2k 2，－3m 1＋2k 2)，
将点M 代入椭圆方程，得
18k 2m 24(1＋2k 2)2＋9m 2
4(1＋2k 2)2
＝1，
化简得2k 2＋1＝9
4m 2，符合（*）式． ……………9分
记点O 到直线l 的距离为d ，
则S ＝4S △OPQ ＝2PQ ×d ＝21＋k 2|x 1－x 2|×d
＝21＋k 2×
22×8k 2＋4－m 21＋2k 2×|m |
1＋k
2＝42|m |×8k 2＋4－m 21＋2k 2， 将2k 2＋1＝
94m 2代入，得S ＝42|m |×9m 2－m 294
m 2＝64
9
． 综上，△PQN 的面积S 为定值64
9． …………12分。