两角和与差的正弦、余弦公式导学案

一、知识回顾 1、填表：（表一）
2、在单位圆中，设向量OA 、OB 与x 轴正半轴的夹角分别为α和β， 则点A （cos ,sin αα），点B （cos ,sin ββ）．因此向量(cos ,sin )OA αα=， 向量(cos ,sin )OB ββ=，且1OA =,1OB =．
于是 cos()cos()OA OB OA OB αβαβ⋅=⋅⋅-=-， 又∵cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=⋅+⋅，
∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=⋅+⋅ （1）
又 ∵ []cos()cos ()αβαβ+=-- cos cos()sin sin()αβαβ=⋅-+⋅- cos cos sin sin αβαβ=⋅-⋅． （2）
利用诱导公式可以证明，(1)、(2)两式对任意角都成立（证明略）．
由此得到两角和与差的余弦公式： cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=⋅-⋅ （1.1）
cos()cos cos sin sin ,αβαβαβ-=⋅+⋅ （1.2）
3、两角和与差的正余弦公式
（1）差角的正余弦：sin( = ；)cos(βα-= ； （2）和角的正余弦 ：sin(( = ；cos ( = ； 4、牛刀小试（不查表求下列式子的值）
（1）sin15； （2）cos 75； （3）sin 75
二、知识应用 1. 已知3cos 5α=-，(,)2παπ∈，求cos()4
π
α-的值。

2. 已知sin α＝23，α∈(π2，π)，cos β＝－34，β∈(π，3π
2)．求sin(α－β)，cos(α＋β)，tan(α＋β)．
3. 已知
4π＜α＜4π3，0＜β＜4π，cos （4
π+α）=－53，sin （4π3+β）=135，
求sin （α+β）的值． 4. 已知2
π
＜α＜β＜4π3，cos （α－β）=1312，sin （α+β）=－53，求sin2α的值．
1．cos(－15°)的值为( )
A.6＋22
B.6＋24
C.6－2
2
D.6－2
4
2．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于( )
A.12
B.33
C.22
D.
32
3．函数y ＝sin x ＋cos x 的最小值和最小正周期分别是( ) A ．－2，2π B ．－2,2π C ．－2，π
D ．－2，π
4．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝m ，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭
⎫x －π
3＝( ) A ．2m
B ．±2m C.3m
D ．±3m
5.已知向量a ＝(cos75°,sin75°)，b ＝(cos15°,sin15°),那么|a －b |等于( ) A.12 B.22 C.32
D ．1 6．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π
2
，则f (x )的最大值为( )
A ．1
B ．2 C.3＋1
D.3＋2
7．函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( )
A ．2π B.3π2 C ．π D.π
2
8．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋a sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的一条对称轴方程为x ＝π
2
，则a ＝( ) A ．1
B. 3 C ．2
D ．3
9.12sin75°＋3
2
sin15°的值等于__________． 10．已知sin θ＝－5
13
，θ∈⎝⎛⎭⎫π，32π，那么cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝__________. 11．已知cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝3
5，x ∈(0，π)，则sin x 的值为__________． 12.已知函数f(x)＝2sin(13x －π
6)，x ∈R.
(1)求f(5π
4
)的值；
(2)设α，β∈[0，π2]，f(3α＋π2)＝1013，f(3β＋2π)＝6
5，
求cos(α＋β)的值．。