数学高考中图表信息题

数学高考中图表信息题
图表信息题是通过图像、图形及表格等形式给出信息的一种新题型.由于这类题立意新颖、构思精巧、解法灵活，能突出对考生的阅读理解能力、获取信息与处理信息能力的考查，因而备受各级各类考试命题者的青睐，频频出现在各级各类考试卷中.下面从有关省市高考题及高考模拟题中精选出部分典型试题并予以分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.
一、函数图像信息题
函数图像能反映函数定义域、值域、单调性、奇偶性（对称性）、特殊点（交点、边界点、最值点）等性态，在解答时应从这些方面入手加以分析，充分挖掘图像信息，并注意与方程、不等式联合起来正确求解.
例1设f＇(x)是函数f(x)的导函数，y= f＇(x)的图像如
图1所示，则y= f(x)的图像最有可能的是
解析观察所给导函数f＇(x)的图像，可知x<0时，f＇(x)>0，则f(x)为增函数；当0<x<2时，f＇(x)<0，则f(x)为减函数；当x>2时，f＇(x)>0，则f(x)为增函数.选项中只有C选项符合上述f(x)的单调性，故应选C.
点评解决图像类型的题目关键是抓住图像中所提供的信息，抓住主要数学特征和图
形特征，然后再定量分析.本题主要涉及导函数、函数图像、函数的单调性等基本知识，
解题过程中运用了数形结合的思想方法.
例2一水池有2个进水口，1个出水口，每个水口进出水速度如图2甲、乙所示.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图2丙所示.（至少打开一个水口）
给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水.则一定不确定的论断是 .
解析 由图甲知，一个进水口在1小时内可进1单位水，所以由0点到3点两个进水口只进水，出水口不出水；由图乙知，出水口在1小时内可出2单位水，在3点到4点只出水1单位，所以从3点到4点开一个进水口，一个出水口；由图丙知，从4点到6点可同时开两个进水口，一个出水口，此时进水与出水也可保持平衡.
综上所述，一定不确定的论断是②③.
点评 读图、识图、用图是解题的开窍点.通过观察（观者看也，观察者思也），寻找图像中的关键点、一些能够引起质的飞跃的地方，方能快速实现图像语言向文字语言的转化.图像试题是近年高考数学命题的一道亮丽的风景，这正迎合了我们现在所处的读图时代.
二、几何图形信息题
几何图形具有多样化、直观化的特征，图形信息题是一类极富思考性、挑战性和趣味性的问题.充分挖掘图形内涵，全方位地审视图形，全面掌握图形所提供的信息，以形助数是解决图形信息题的关键.
例3 如图3，小正六边形沿着大正六边形的边，按顺时针方向滚动.小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半，如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中向量OA 围绕着点O 旋转了θ角，其中O 为小正六边形的中心，则sin
6
cos 6θ
θ
+= .
分析 本题要仔细阅读题意，分析图形，把握图形与题意的联系，可从简单情形，特殊位置入手，找到变化规律来解决问题.
解析 从第一图的开始位置变化到第二图时，向量OA 绕点O 旋转了-3
π
（注意OA 绕点O 是顺时针方向旋转），从第二图位置变化到第三图时，向量OA 绕点O 旋转了-
3
2π，则从第一图的位置变化到第三图位置时，正好小正六边形滚过大正六边形的一条边，向量OA 绕点O 旋转了-π.则小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，向量OA 绕点O 共旋转了-6π，即
θ= -6π，因而sin
6
cos 6θ
θ
+=cos(-π)+sin(-π)= -1. 点评 本题主要考查读图能力，向量的概念，及其有关向量、三角的基本运算能力. 例4 如图4，甲、乙两人分别位于方格中A 、B 两处，从某一时刻开始，两人同时以每分钟一格的速度向东或西或南或北方向行走，已知甲向东、西行走的概率均为4
1
，向南、北行走的概率分别为
3
1
和p ；乙向东、西、南、北行走的概率均为q .
（1）求p 和q 的值；
（2）试判断最少几分钟，甲、乙两人可以相遇，并求出最短时间内可以相遇的概率. 解析 （1）甲向四个方向行走是一个必然事件， ∴
41+41+3
1
+p =1，∴p =
61. 同理4q =1，∴q =4
1. （2）甲、乙两人最
少需要2分钟可以相遇.
如图5，设甲、乙两人在C 、D 、E 处相遇的概率分别为p C 、p D 、p E .
则p C =（
61×61）×（41×41）=5761，p D =2（61×41）×2（41×41）=96
1，
p E =（41×41）×（41×41）=256
1.
∴p C +p D +p E =5761+961
+2561=2304
37.
即所求的概率为2304
37
.
点评 本题主要考查相互独立事件同时发生和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力.
三、统计图信息题
条形统计图能直观反映各种数据，具有可比较性、规律性.理解图形内容，找出变化趋势和规律，是解答条形图信息题的关键.
例5 甲、乙两射击运动员进行射击训练比赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数稳定在7，8，9，10环.他们的这次成绩画成频率分布直方图如图6所示.
（1）根据这次训练比赛的成绩频率分布直方图，推断乙击中8环的概率P （ξ乙=8），并求甲，乙同时击中9环以上（包括9环）的概率；
（2）根据这次训练比赛的成绩估计甲，乙谁的水平更高（即平均每次射击的环数谁大）.
解析 （1）由图乙可知
P（ξ乙=7）=0.2，P（ξ乙=9）=0.2，P（ξ乙=10）=0.35，
∴P（ξ乙=8）=1-0.2-0.2-0.5=0.25.
由图甲可知
P（ξ甲=7）=0.2，P（ξ甲=8）=0.15，P（ξ甲=9）=0.3，
∴P（ξ甲=10）=1-0.2-0.15-0.3=0.35.
∵P（ξ甲≥9）=0.3+0.35=0.65，P（ξ乙≥9）=0.2+0.35=0.55，
∴甲，乙同时击中9环以上（包括9环）的概率为：
P=P（ξ甲≥9）×P（ξ乙≥9）=0.65×0.35=0.3575.
（2）∵Eξ甲=7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8，
Eξ乙=7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35=8.7，
∴Eξ甲>Eξ乙，所以估计甲的水平更高.
点评本题以频率分布直方图为载体，考查概率的计算和期望的意义及计算，富有时代气息和生活气息，具有较高的实用价值.
四、表格信息题
表格能集中给出解题信息，简洁明了.理解表中内容，根据数据特征找出数量关系进行计算或推理，是求解表格信息题的关键.
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则函数y=lg f(x)的定义域为.
分析观察表中有三个x值使y=0，联想二次函数的零点解析式y=a(x-x1)(x-x2)，因而不难设出f(x)的解析式，进而求之，再解高次不等式即可求出函数y=lg f(x)的定义域.
解析设f(x)=a(x+1)(x-1)(x-2)，而f(0)=4，∴a=2，
∴f(x)=2(x+1)(x-1)(x-2).
要使y=lg f(x)有意义，则有f(x)=2(x+1)(x-1)(x-2)>0，
由数轴标根法解得-1<x<1或x>2.
∴函数y=lg f(x)的定义域为（-1，1）∪（2，+∞）.
点评本题把求函数解析式与高次不等式的解法巧妙地结合在一起，而且给出了多余的条件信息，属开放问题，这些正是题目命制的创新之处.解答这类信息过剩的问题时，要注意从众多的信息中，观察、分析、筛选，放弃无用的信息，挑选出与解题有关的信息，找到解题的突破口，这种能力正是在当今“信息大爆炸”的社会所需要的能力.解答
这类背景新颖的创新试题，要善于观察分析，挖掘问题的本质特征，联想类似的熟悉问题（如本例中联想二次函数的零点解析式），通过类比迁移使问题得到解决，这种联想、类比、迁移的能力是继续学习和发明创造的需要，因而也是现在的高考考查的热点.。