湖北省武汉市2021年中考数学试题真题(Word版+答案+解析)

湖北省武汉市2021年中考数学试卷
一、单选题
1.（2019·朝阳）3的相反数是（ ）
A. 3
B. -3
C. 1
3 D. −1
3 2.（2021·武汉）下列事件中是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B. 随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数 C. 打开电视机，正在播放广告
D. 从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级
3.（2021·武汉）下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A.
B.
C.
D.
4.（2021·武汉）计算 (−a 2)3 的结果是（ ）
A. −a 6
B. a 6
C. −a 5
D. a 5
5.（2021·武汉）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
6.（2021·武汉）学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（ ）
A. 1
3 B. 1
2 C. 2
3 D. 3
4
7.（2021·武汉）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱.多出3钱；每人出7钱，差4钱.问人数，物价各是多少？若设共有 x 人，物价是 y 钱，则下列方程正确的是（ ） A. 8(x −3)=7(x +4) B. 8x +3=7x −4 C.
y−38
=
y+47
D.
y+38
=
y−47
8.（2021·武汉）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返同，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离 y （单位： km ）与慢车行驶时间 t （单位： h ）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（ ）
A. 53
h B. 32h C. 75h D. 4
3h 9.（2021·武汉）如图， AB 是 ⊙O 的直径， BC 是 ⊙O 的弦，先将 BC ⌢ 沿 BC 翻折交 AB 于点 D .再将 BD
⌢ 沿 AB 翻折交 BC 于点 E .若 BE ⌢=DE ⌢ ，设 ∠ABC =α ，则 α 所在的范围是（ ）
A. 21.9°<α<22.3°
B. 22.3°<α<22.7°
C. 22.7°<α<23.1°
D. 23.1°<α<23.5°
10.（2021·武汉）已知 a ， b 是方程 x 2−3x −5=0 的两根，则代数式 2a 3−6a 2+b 2+7b +1 的值是（ ）
A. -25
B. -24
C. 35
D. 36
二、填空题
11.（2018八下·兴义期中）计算 √(−5)2 的结果是________
12.（2021·武汉）我国是一个人口资源大国，第七次全国人口普查结果显示，北京等五大城市的常住人口数如下表，这组数据的中位数是________.
13.（2021·武汉）已知点 A(a,y 1) ， B(a +1,y 2) 在反比例函数 y =m 2+1x
（ m 是常数）的图象上，且
y 1<y 2 ，则 a 的取值范围是________.
14.（2021·武汉）如图，海中有一个小岛 A ，一艘轮船由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60° 方向上；航行 12n mile 到达 C 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30° 方向上.小岛 A 到航线 BC 的距离是________ n mile （ √3≈1.73 ，结果用四舍五入法精确到0.1）.
15.（2021·武汉）已知抛物线 y =ax 2+bx +c （ a ， b ， c 是常数）， a +b +c =0 ，下列四个结论：
①若抛物线经过点 (−3,0) ，则 b =2a ；
②若b=c，则方程cx2+bx+a=0一定有根x=−2；
③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
④点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线上，若0<a<c，则当x1<x2<1时，y1>y2.
其中正确的是________（填写序号）.
16.（2021·武汉）如图（1），在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，边AB上的点D从顶点A 出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x=AD，y=AE+CD，y关于x的函数图象如图（2），图象过点(0,2)，则图象最低点的横坐标是________.
三、解答题
17.（2021·武汉）解不等式组{2x≥x−1 ①
4x+10>x+1 ②
请按下列步骤完成解答.
（1）解不等式①，得________；
（2）解不等式②，得________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是________.
18.（2021·武汉）如图，AB//CD，∠B=∠D，直线EF与AD，BC的延长线分别交于点E，
F.求证：∠DEF=∠F.
19.（2021·武汉）为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），按劳动时间分为四组：A 组“ t<5”，B组“ 5≤t<7”，C组“ 7≤t<9”，D组“ t≥9”.将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是________，C组所在扇形的圆心角的大小是________；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数.
20.（2021·武汉）如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.
（1）在图（1）中，先在边AB上画点E，使AE=2BE，再过点E画直线EF，使EF平分矩形ABCD的面积；
（2）在图（2）中，先画△BCD的高CG，再在边AB上画点H，使BH=DH.
⌢的中点，过点C作AD 21.（2021·武汉）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O上两点，C是BD
的垂线，垂足是E.连接AC交BD于点F.
（1）求证：CE是⊙O的切线；
=√6，求cos∠ABD的值.
（2）若DC
DF
22.（2021·武汉）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg.生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元.市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒.
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润. 23.（2021·武汉）问题提出如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=AC，EC=DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F，线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？
（1）问题探究：先将问题特殊化.如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；
（2）再探究一般情形.如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立.
（3）问题拓展如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=kAC，EC= kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F，直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系.
24.（2021·武汉）抛物线y=x2−1交x轴于A，B两点（A在B的左边）.
（1）▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上.
①如图（1），若点C的坐标是(0,3)，点E的横坐标是3
，直接写出点A，D的坐标；
2
②如图（2），若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12，求点E的坐标；
（2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF （不含端点）于G，H两点，若直线l与抛物线只有一个公共点，求证FG+FH的值是定值.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
【考点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：根据相反数的定义知：3的相反数是-3，
故答案为：B.
【分析】只有符号不同的两个数叫作互为相反数，根据定义即可直接得出答案.
2.【答案】D
【考点】随机事件
【解析】【解答】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件；
B、随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数，是随机事件；
C、打开电视机，正在播放广告，是随机事件；
D、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件.
故答案为：D.
【分析】必然事件是指一定会发生或一定不会发生的事件。

随机事件是指可能发生也可能不发生的事件.根据定义并结合各选项即可判断求解.
3.【答案】A
【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项正确；
B选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不正确；
C选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不正确；
D选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确；
故答案为：A.
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；
在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.
4.【答案】A
【考点】幂的乘方
【解析】【解答】解：(−a2)3=(−1)3·(a2)3=−a6.
故答案为：A.
【分析】根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解.
5.【答案】C
【考点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】∵的主视图是，
故答案为：C.
【分析】主视图是从物体正面看所得到的图形，其中看得到的棱长用实线表示，看不到的棱长用虚线的表示，结合已知的几何体可求解．
6.【答案】C
【考点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好选出是一男一女两位选手的结果有8种，俗好选出是一男一女两位选手的
概率为8
12=2
3
.
故答案为：C.
【分析】由题意画出树状图，由树状图的信息可知共有12种等可能的结果，恰好选出是一男一女两位选手的结果有8种，然后根据概率公式可求解.
7.【答案】D
【考点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设共有x人，则有8x-3=7x+4
设物价是y钱，则根据可得：
y+3 8=
y−4
7
故答案为：D.
【分析】若设共有x人，根据物价不变可列方程，即8x-3=7x+4；若设物价是y钱，根据人数不变可列方程.
8.【答案】B
【考点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：设慢车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系为y=kt过（6，a），
代入得a=6k，解得k=a
6
，
∴慢车解析式为：y=a
6
x，
设快车从甲地到乙地的解析式y=k1x+b1，
过（2，0），（4，a）两点，代入解析式的{2k1+b1=0
4k1+b1=a，
解得 {
k 1=
a
2b 1=−a
， 快车从甲地到乙地的解析式 y =a
2x −a ， 设快车从乙地到甲地的解析式 y =k 2x +b 2 ，
过（4， a ），（6，0）两点，代入解析式的 {6k 2
+b 2=0
4k 2+b 2=a ， 解得 {k 2
=−
a
2b 2=3a
， 快车从乙地到甲地的解析式 y =−a
2x +3a ， 快车从甲地到乙地与慢车相遇 {y =a
6x
y =a
2x −a
， 解得 {x =3
y =a 2
，
快车从乙地到甲地与慢车相遇 {y =a
6x
y =−a
2
x +3a
， 解得 {x =
9
2
y =3a 4
，
两车先后两次相遇的间隔时间是 92 -3= 3
2 h. 故答案为：B.
【分析】设慢车离甲地的距离y （单位： km ）与慢车行驶时间（单位： h ）的函数关系为y=kt 过（6， a ），代入解析式可将k 用含a 的代数式表示，由题意用的待定系数法可求得快车从甲地到乙地的解析式；同理可求得快车从乙地到甲地的解析式；分别把慢车解析式和快车从甲地到乙地的解析式、慢车解析式和快车从乙地到甲地的解析式联立解方程组可求解. 9.【答案】 B
【考点】圆心角、弧、弦的关系，翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：将⊙O 沿BC 翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD 翻折得到⊙O″，则⊙O 、⊙O′、⊙O″为等圆.
∵⊙O 与⊙O′为等圆，劣弧AC 与劣弧CD 所对的角均为∠ABC ， ∴ AC
⌢=CD ⌢ . 同理： DE
⌢=CD ⌢ .
又∵F是劣弧BD的中点，
∴DE⌢=BE⌢.
∴AC⌢=DC⌢=DE⌢=EB⌢.
∴弧AC的度数=180°÷4=45°.
∴∠B= 1
×45°=22.5°.
2
∴α所在的范围是22.3°<α<22.7°；
故答案为：B.
【分析】如图，连接AC，CD，DE．证明∠CAB＝3α，利用三角形内角和定理求出α即可求解．
10.【答案】D
【考点】一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵已知a，b是方程x2−3x−5=0的两根
∴a2−3a−5=0，b2−3b=5，a+b=3
∴2a3−6a2+b2+7b+1=2a(a2−3a−5)+(b2−3b)+10(a+b)+1=0+5+30+1=36.
故答案为：D.
【分析】由一元二次方程的根的定义和根与系数的关系可得：a2-3a-5=0，b2-3b-5=0，a+b=3，然后用整体的代换计算即可求解.
二、填空题
11.【答案】5
【考点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式=|-5|=5
故答案为：5
【分析】根据二次根式的性质，一个数的平方的算术平方根，等于这个数的绝对值，即可得出答案。

12.【答案】2189
【考点】中位数
【解析】【解答】解：∵这组数据按照从小到大的顺序排列为：1868，2094，2189，2487，3205
∴中位数为：48.
故答案为：填：2189.
【分析】中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；根据定义并结合表格中的信息计算即可求解. 13.【答案】-1＜a＜0
【考点】反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵m2+1>0，
∴图象经过第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小，
∵点A(a,y1)，B(a+1,y2)在反比例函数y=m2+1
（m是常数）的图象上，且y1<y2，a<a+
x
1，
∴{a<0
a+1>0，
∴−1<a<0，
故答案为：-1＜a＜0.
【分析】由平方的非负性可得m2+1＞0，根据反比例函数的性质“图象经过第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小”并结合题意“y1＜y2”可得a＜a+1，于是可得关于b的不等式组a＜0，a+1＞0，解不等式组可求解.
14.【答案】10.4
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意，得∠ABC=30°，∠ACD=60°，
∴∠ABC=∠CAB=30°，
∴AC=BC=12，
∵sin60°= AD
，
AC
∴AD=AC sin60°=12 ×√3
=6 √3≈1.73×6=10.38≈10.4
2
故答案为：10.4.
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，由已知条件易得∠ABC=30°，∠ACD=60°，根据锐角三角函数
sin60°=AD
可求解.
AC
15.【答案】①②④
【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax^2+bx+c的性质，二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线经过点(−3,0)
∴0=(−3)2a−3b+c，即9a-3b+c=0
∵a+b+c=0
∴b=2a
故①正确；
∵b=c，a+b+c=0
∴a=-2c，
∵cx2+bx+a=0
∴cx2+cx-2c=0，即x2+x-2=0
∴一定有根x=-2
故②正确；
当b2-4ac≤0时，图象与x轴少于两个公共点，只有一个关于a、b、c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0，故③错误；
若0<a<c，则有b<0且|b|>|c|>|a|，|b|>2|a|，所以对称轴−b
2a
>1，因为a>0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当x1<x2<1时，y1>y2，故④正确.
故填：①②④.
【分析】①由题意把点（-3，0）的代入抛物线的解析式可得关于a、b、c的等式，并结合已知的等式可求解；
②由题意把b=c代入已知的等式a+b+c=0可得a=-2c，代入方程cx2+bx+a=0计算可求解；
③计算b2-4ac的值即可判断求解；
④根据二次函数的性质可求解.
16.【答案】√2−1
【考点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由图可知，当x=0时，AE+CD=AB+AC=2
∴AB=AC=1，BC= √2，图象最低点函数值即为AE+CD的最小值
由题意可得：CD= √x2+1，AE= (√2
2(√2 2
)
∴AE+CD= √x2+1+ √(√2
2−x)2+(√2
2
)2，即点（x，0）到（0，-1）与（√2
2
，√2
2
）的距离之和
∴当这三点共线时，AE+CD最小设该直线的解析式为y=kx+b
{−1=b
√2 2=√2
2
k+b解得{
k=√2+1
b=−1
∴y=(√2+1)x−1
当y=0时，x= √2−1.
故填√2−1.
【分析】观察函数图象，根据图象经过点（0，2）即可得AB和AC的长，用勾股定理可求得BC的值，图象最低点函数值即为AE+CD的最小值，用勾股定理可将CD、AE用含x的代数式表示，则AE+CD可用含x的代数式表示，当A、E、N三点共线时，y取得最小值，由y=0可知直线与x轴相交可求解.
三、解答题
17.【答案】（1）x≥-1
（2）x＞-3
（3）解：如下图所示
（4）x≥-1
【考点】在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）2x≥x−1
2x−x≥−1
x≥−1
（2）4x+10>x+1 
4x−x>1 −10
3x> −9
x> −3
（4）取x≥−1和x>−3的公共部分，即x≥−1.
【分析】根据解一元一次不等式的解题步骤“移项、合并同类项、系数化为1”可先求得每一个不等式的解集，再把各不等式的解集在数轴上表示出来，公共部分即为不等式组的解集.
18.【答案】证明：∵AB//CD，
∴∠DCF=∠B.
∵∠B=∠D，
∴∠DCF=∠D.
∴AD//BC.
∴∠DEF=∠F
【考点】平行四边形的性质
【解析】【分析】由平行线的性质“两直线平行同位角相等”可得∠DCF=∠B，结合已知得∠DCF=∠D，由内错角相等两直线平行可得AD∥BC，再根据“两直线平行内错角相等”可求解.
19.【答案】（1）100；108°
（2）解：B组的学生有：100-15-30-10=45（人），
补充完整的条形统计图如图所示：
=600（人）.
（3）解：1500×40
100
∴估计该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数大约有600人
【考点】用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图
【解析】【解答】解：（1）这次调查活动共抽取10÷10%=100（人），
C组所在扇形的圆心角为360°× 30
100
=108°，
故答案为：100，108°；
【分析】（1）观察条形图和扇形图可知D组的频数和百分数，根据样本容量=频数÷百分数可求得样本容量；根据C组的百分数×360°可求得C组的圆心角；
（2）根据各小组的频数之和等于样本容量可求得B组的频数，于是可将条形图补充完整；
（3）用样本估计整体可求解.
20.【答案】（1）解：画图如图（1）
过点B沿CB方向取一点M，使得MB=1，△MBE∽△DAE得BE
EA =BM
AD
=1
2
找到点E，再连
接矩形的对角线交点即可.
（2）解：画图如图（2）
画△BCD的高CG，步骤如下：
如图，连接M，N(M，N都是格点上的点)交网格线于I，则MI=IN，
∴Rt△IQC中IQ=2.5，QC=1
∵在Rt△FPB中，BP=1,FP=2.5
∴Rt△IQC≌Rt△FPB
∴∠BFP=∠CIQ
∵∠CIQ=∠ICB，
∠ICB+∠CBF=∠CIQ+∠CBF=∠BFP+∠CBF=90°
∴∠BGC=90°即CG⊥BD
在边AB上画点H，使BH=DH，
步骤如下：如图，方法同上，找△XYF≌ΔPBF
可得：FY//CG，
∵CG⊥BD，F为BD的中点，所以FY⊥BD，即FY为BD的垂直平分线，FY交AB边于H，即为所求点.
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）如图取格点M,连接DM交AB于点E,连接BD,取BD的中点F,作直线EF即可求解；（2）画△BCD的高CG，连接M，N(M，N都是格点上的点)交网格线于I，由题意易证
Rt△IQC≌Rt△FPB，结合已知易得CG⊥BD；在边AB上画点H，使BH=DH，同理可求解.
21.【答案】（1）证明：连接OC交BD于点G.
∵点C是BD⌢的中点，
∴BC⌢=CD⌢，BD为弦，OC为半径，
∴OC⊥BD.DG=BG，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠EDB=90°.
∵CE⊥AE，
∴∠E=90°.
∴四边形EDGC是矩形，
∴∠ECG=90°.
∴EC⊥OC，
又∵OC为半径，
∴CE是⊙O的切线
（2）解：连接BC，设FG=x，OB=r.
∵DC
=√6，
DF
设DF=t，
∴DC=√6t.
由（1）得，BC=CD=√6t，BG=GD=x+t. ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∴∠BCG+∠FCG=90°，∠CFB+∠FCG=90°，∴∠BCG=∠CFB，
∴Rt△BCG∽Rt△BFC.
∴BC
BF =BG
BC
，
∴BC2=BG⋅BF，
∴(√6t)2=(x+t)(2x+t).
解得，x1=t，x2=−5
2
t（不符合题意，舍去）.
∴CG=√BC2−BG2=√(√6t)2−(2t)2=√2t，OG=r−√2t. 在Rt△OBG中，由勾股定理得OG2+BG2=OB2.
∴(r−√2t)2+(2t)2=r2，
解得，r=3√2
2
t.
∴cos∠ABD=BG
OB =
3√2t
2
=2√2
3
【考点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OC交BD于点G，易证明四边形EDGC是矩形，可求得∠ECG＝90°，由圆的切线的判定可得CE是⊙O的切线；
（2）连接BC，设FG＝x，OB＝r，根据已知条件DC
DF
=√6可设DF＝t，DC＝√6t，由Rt△BCG∽Rt△BFC的
性质可得比例式BC
BF =BG
BC
，于是可得关于t的方程，解方程可求得t的值，然后用勾股定理可将CG，OG
用含t的代数式表示出来，在直角三角形中OBG中，利用勾股定理可将半径用含t的代数式表示出来，则
cos∠ABD=BG
OB
可求解．
22.【答案】（1）解：设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元.
依题意，得900
m −900
1.5m
=100.
解得，m=3，1.5m=4.5.
经检验，m=3是原方程的根.
∴每盒产品的成本为：4.5×2+4×3+9=30（元）.
答：每盒产品的成本为30元
（2）解：w=(x−30)[500−10(x−60)]
=−10x2+1400x−33000
（3）解：∵抛物线w=−10x2+1400x−33000的对称轴为w=70，开口向下
∴当a≥70时，a=70时有最大利润，此时w=16000，即每天的最大利润为16000元；
当60<a<70时，每天的最大利润为(−10a2+1400a−33000)元
【考点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意列分式方程可求出两种原料的单价，再根据成本＝原料费＋其他成本计算每盒产品的成本即可求解；
（2）根据利润等于售价-成本即可列出函数关系式；
（3）根据（2）中的函数关系式，由函数的性质即可求解．
23.【答案】（1）解：BF−AF=√2CF.理由如下：如图（2），
∵∠BCA=∠ECF=90°，
∴∠BCE=∠ACF，
∵BC=AC，EC=CF，
△BCE≌△ACF，
∴BE=AF，
∴BF-BE=BF-AF=EF= √2CF
（2）证明：过点C作CG⊥CF交BE于点G，则∠FCG=∠ACB=90°，
∴∠BCG=∠ACF.
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCE=∠ACD.
又∵AC=BC，DC=EC，
∴△ACD≅△BCE，
∴∠CAF=∠CBG.
∴△ACF≅△BCG.
∴AF=BG，CF=CG，
∴ △CGF 是等腰直角三角形.
∴ GF =√2CF .
∴ BF −AF =BF −BG =GF =√2CF
（3）解：BF −k ⋅AF =√1+k 2CF .理由如下：
∵∠BCA=∠ECD=90°，
∴∠BCE=∠ACD ，
∵BC=kAC ，EC=kCD ，
∴△BCE ∽△ACD ，
∴∠EBC=∠FAC ，
过点 C 作 CM ⊥CF 交 BE 于点M ，则 ∠FCM =∠ACB =90° ，
∴ ∠BCM =∠ACF .
∴△BCM ∽△ACF ，
∴BM:AF=BC:AC=MC:CF=k ，
∴BM=kAF ，MC=kCF ，
∴BF-BM=MF ，MF= √MC 2+CF 2=√k 2CF 2+CF 2 = √1+k 2CF
∴BF- kAF = √1+k 2CF
【考点】三角形的综合
【解析】【分析】（1）由题意用边角边明△ACD ≌△BCE ，则BE=AF ，根据BF-BE=BF-AF=EF 可求解； （2） 过点C 作CG ⊥CF 交BE 于点G ， 由（1）知，△ACD ≌△BCE ，易证明△BCG ≌△ACF ，所以AF=BG ，CF=CG ，可得△GCF 为等腰直角三角形，则GF ＝√2CF ，根据BF-AF=BF-BG=GF 可求解； （3）由题意易得△BCE ∽△CAD 和△BGC ∽△AFC ，于是可得比例式 BM:AF=BC:AC=MC:CF=k ， 则 BM=kAF ，MC=kCF ， 用勾股定理可将MF 用含CF 的代数式表示出来，于是BF-kAF=MF 可求解．
24.【答案】 （1）解：①∵抛物线 y =x 2−1 交 x 轴于 A ， B 两点（ A 在 B 的左边）， ∴令 y =x 2−1 =0，解得： x 1=−1,x 2=1 ， AF =BF =√5 ，
∴ A(−1,0) ，
∵点E 在抛物线上，点 E 的横坐标是 32 ，
∴ y =(32)2−1=54 ，
∵四边形ACDE 是平行四边形，
∴ D(32+1,54+3)
∴ D(52,174) ； ②设点 C 坐标为 (0,n) ，点 E 坐标为 (m,m 2−1) .
∵四边形 ACDE 是平行四边形，
∴将 AC 沿 AE 平移可与 ED 重合，点 D 坐标为 (m +1,m 2−1+n) . ∵点 D 在抛物线上，∴ m 2−1+n =(m +1)2−1 .
解得， n =2m +1 ，所以 C(0,2m +1) .
连 CE ，过点 E 作 x 轴垂线，垂足为 M ，过点 C 作 CN ⊥EM ，垂足为 N .
则 S △ACE =S 梯形AMNC −S △AME −S △CNE ，
∵ S ▱ACDE =12 ， A(−1,0) ，
∴ 6=12(m +m +1)(2m +1)−12(m +1)(m 2−1)−12m[2m +1−(m 2−1)] . ∴ m 2+3m −10=0 ，解得 m 1=2 ， m 2=−5 （不合题意，舍去）. ∴点 E 的坐标是 (2,3)
（2）解：方法一：证明：依题意，得 B(1,0) ， F(0,−2) ，∴
设直线 BF 解析式为 y =kx +b ，则 {k +b =0b =−2 ，解得 {k =2b =−2
. ∴直线 BF 的解析式为 y =2x −2 .
同理，直线 AF 的解析式为 y =−2x −2 .
设直线 l 的解析式为 y =tx +n .
联立 {y =tx +n y =x 2−1
，消去 y 得 x 2−tx −n −1=0 . ∵直线 l 与抛物线只有一个公共点，
∴ △=(−t)2−4(−n −1)=0 ， n =−
t 24−1 . 联立 {y =2x −2y =tx −t 24−1 ，且 t ≠2 ，解得， x H =t+24 ，
同理，得 x G =t−24 .
∵ A ， B 两点关于 y 轴对称，∴ ∠AFO =∠BFO .
∴ FG +FH =−x G sin ∠AFO +x H sin ∠BFO =1sin ∠AFO (x H −x G )=√5 . ∴ FG +FH 的值为 √5 .
方法二：证明：同方法一得直线 BF 的解析式为 y =2x −2 .
设直线 l 的解析式为 y =px +q ， l 与抛物线唯一公共点为 (m,m 2−1) .
联立 {y =px +q y =x 2−1
，消去 y 得 x 2−px −q −1=0 ，∴ {m +m =p mm =−q −1 . 解得 {p =2m q =−m 2−1
.∴直线 l 的解析式为 y =2mx −m 2−1 . 联立 {y =2mx −m 2−1y =2x −2 ，且 m ≠1 ，解得 {x =m+12y =m −1
. ∴点 H 坐标为 (m+12,m −1) .同理，点 G 坐标为 (m−12,−m −1) .
∵ −1<m <1 ，∴ FG +FH =√54(1−m)2+√54(1+m)2=√52(1−m)+√52(1+m)=√5 . ∴ FG +FH 的值为 √5
【考点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】。