证明三点共线问题的方法之欧阳理创编

欧阳阳理创编 证明三点共线问题的方法
1、利用梅涅劳斯定理的逆定理 例1、如图1，圆内接ΔABC 为不等边三角形，过点A 、B 、C 分别作圆的切线依次交直线BC 、CA 、AB 于1A 、1B 、1C ，求证：1A 、1B 、1C 三点共线。

解：记
,,BC a CA b AB c
===，易知
1111AC C
CC B
S AC C B S ∆∆=
又易证11
AC C CC B ∆∆.则112
22
AC C CC B S AC b S CB a ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭.
同
理
1212
1
212,BA c CB a A C b B A c
==.
故
111222
111222
1AC BA CB b c a C B A C B A a b c ⋅⋅=⋅⋅=. 由梅涅劳斯定理的逆定理，知1A 、1B 、1C 三点共线。

2、利用四点共圆（在圆内，主要由角相等或
A
B
C
C 1
B 1
A 1
欧阳阳理创编 互补得到共线）
例2 、如图，以锐角ΔABC 的一边BC 为直径作⊙O ，过点A 作⊙O
为M 、N ，点H 是ΔABC 的垂心.求证：M H 、N 三点共线。

(96中国奥数)
证明：射线AH 交BC 于D ，显然AD 为高。

记AB 与⊙O 的交点为E ，易知C 、H 、E 三点共线。

联结OM 、ON 、DM 、DN 、MH 、NH ， 易知090AMO ANO ADO ∠=∠=∠=，
∴A 、M 、O 、D 、N 五点共圆，更有A 、M 、D 、N 四点共圆， 此时，0+180AND ∠∠=AMD
因为2AM AE AB AH AD =⋅=⋅（B 、D 、H 、E 四点共圆）， 即
AM AD
AH AM
=；又MAH DAM ∠=∠，所以
AMH
ADM ∆∆，故AHM AMD ∠=∠
欧阳阳理创编 同理，AHN AND ∠=∠。

因为0180AHM AHN AMD AND ∠+∠=∠+∠=，所以，M 、H 、N 三点共线。

3、利用面积法 如果S S EMN
FMN
=∆∆，点E 、F 位于直线MN 的
异侧，则直线MN 平分线段EF ，即M 、N 与EF 的中点三点共线。

例3 、如图，延长凸四边形
ABCD 的边AB 、
DC 交于点E ，延长边AD 、BC 交于点F ，又
M 、N 、L 分别是AC 、BD 、EF 的中点，求证：M 、N 、L 三点共线。

证明：设BC 的中点为O
图所示，
由//,//OM AE ON DE 可知， 点O 必在EMN ∆内，此时， 同理，1
4
FMN S S ∆=
四边形ABCD 。

因此S S
EMN
FMN
=∆∆。

此时，直线MN 平分EF ，
E
即M、N、L三点共线。

注：利用梅涅劳斯定理的逆定理也可证明此题。

4、利用同一法
尽管同一法是一种间接证法，但它却是一各很有用的证法，观察例4后，你会感到，同一法在证明三点共线问题时，也有其用武之地。

例4、如图4(a)，凸四边形ABCD的四边皆与⊙O相切，切点分别为P、M、Q、N，设PQ与
MN交于S，证明：A
C三点共线。

证明：如图4(b)，令PQ与
AC交于/S，
易证//
APS CQS
∠∠
与互补。

而//
AS P CS Q
∠=∠，则
(b)
(a)
B
欧阳阳理创编
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//////
sin sin sin sin AS APS CQS S C
AP AS P CS Q CQ ∠∠===∠∠，
故//AS AP S C CQ
=。

再令MN 与AC 交于//S 。

同理可
得////AS AM
S C CN =
但
AP AM
CQ CN
=，所以///
///AS AS S C S C
=。

利用合比性质得，
///
AS AS AC AC
=。

因此，///AS AS =，可断定/S 与//S 必重合于点S ，故A 、S 、C 三点共线。

注：观察本题图形,显然还可证得B 、S 、D 三点共线；换言之，AC 、BD 、PQ 、MN 四线共点。

5、利用位似形的性质
如果ABC ∆与///A B C ∆是两个位似三角形，点O 为位似中心，那么不仅A 、/A 、O ；B 、
/B 、O ；C 、/C 、O 分别三点共线，而且ABC ∆、
///A B C ∆的两个对应点与位似中心
O 也三点共
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线，位似形的这种性质，对于证明三点共线，颇为有用。

例5、如图,ABC ∆内部的三个等圆⊙1O 、⊙2O 、⊙3O 两两相交且都经过点P ，其中每两个圆都与ABC ∆的一边相切,已知O 、I 分别是ABC ∆的外心、内心，证明：I 、P 、O 三点共线。

证明：联结12O O 、1
O 知得
12//O O AB
、
23//O O 13//O O CA 。

可断定ABC ∆与12O O ∆是一对位似三角形，
且易知ABC ∆的内心I 是两者的位似中心。

因为⊙1O 、⊙2O 、⊙3O 为等圆， 即123PO PO PO ==,
所以点P 是123O O O ∆的外心。

又点O 是ABC ∆的外心，故P 、O 两点是两个位似三角形的对应
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点，利用位似形的性质，即得I 、P 、O 三点共线。

6、 利用反证法
有的几何题利用直接证法很难，而用反证法却能很快达到预期目的。

例6、如图，梯形ABCD 中、DC//AB ，对形内的三点1P 、2P 、3P ，如果到四边距离之和皆相等，那么，1P
2P 、3P 证明：先看12P P 、两点，
设直线12PP 分别交AD 、BC 于M 、N ，
11PE BC ⊥于1E ，22P E BC ⊥于2E ， 11PF AD ⊥于1F ，22P F AD ⊥于2F 。

因为DC//AB ，则点1P 到AB 、CD 的距离之和等于点2P 到AB 、CD 的距离之和。

由已知可得11112222PE PF P E P F +=+。

过点1P 作AD 的平行线、过点2P 作BC 的平行线得交点P （由于AD 与BC 不平行）。

记1P P 交22P F 于G ，2P P 交
/
B
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11PE 于
H 。

观察上式有
11222211
PE P E P F PF -=-。

所以，
1
2PH P G =。

因为12PPP ∆有两条高12PH P G =，所以，12PPP ∆是
等腰三角形，则1221PPP PP P ∠=∠。

故1221DMN PPP PP P CNM ∠=∠=∠=∠。

再用反证法证明点3P 一定在12PP 上：假设点3P 不在12PP 上，联结13P P 并延长分别交AD 、BC 于//M N 、，易知点//M N 、在MN 的异侧；因为点1P 到AD 、BC 的距离之和等于点3P 到AD 、BC 的距离之和，由上述证明过程知必有
////DM N CN M ∠=∠。

事实上，观察图形只能得到
////DM N DMN CNM CN M ∠>∠=∠>∠，矛盾，这说
明点3P 必在12PP 上，即MN 上，因此1P 、2P 、3P 三点共线。

7、 用塞瓦定量的逆定理
变三点共线为三线共点，利用塞瓦定理的
欧阳阳理创编 逆定理，在圆内接凸六边形ABCDEF 中，若
AB CD EF BC DE FA ⋅⋅=⋅⋅，则
AD 、BE 、CF 三线
共点；反之亦然，利用这个结果来证明某些三点共线问题，可立竿见影。

例7、如图7，凸四边形ABCD 内接于圆，延长AD 、BC 交于点P ，作PE 、PF 切圆于
F ，又AC 与BD 交于K ，证明：E 、K 、F 三点共线。

解：联结AE 、ED 、CF 、FB 得凸六边形ABFCDE 。

欲证E 、K 、F 三点共线，即AC 、BD 、EF 三线共点，
只须证AB FC DE BF CD EA ⋅⋅=⋅⋅。

注意到,,PAB PCD PFC
PBF PDE
PEA ∆∆∆∆∆∆。

则
,,AB PA FC PC DE PE
CD PC BF PF EA PA ===。

又PE=PF ，
则1AB FC DE PA PC PE
CD BF EA PC PF PA
⋅⋅
=⋅⋅=。

故AB FC DE BF CD EA ⋅⋅=⋅⋅。

欧阳阳理创编
因此，AC 、BD 、EF 三线共点，即E 、K 、F 三点共线。

练 习 题
1、 在ABC ∆中，AB BC CA >>，它的内切圆切
BC 、CA 、AB 于D 、E 、F 。

设FE 与BC 交
于/A ，FD 与AC 交于/B ，DE 与BA 交于/C 。

求证：/A 、/B 、/C 三点共线。

（提示：方法1）
2、 证明：圆外切凸四边形对角线的中点及圆
心三点共线。

（提示：利用面积法）
3、 凸四边形
ABCD 内接于圆，AC 与BD 交
于P ，过点A 、D 分别作BD 、AC 的垂线交于点K ，
过AB 、CD 的中点分别作BD 、AC 的垂线交于点L.证明：P 、K 、L 三点共线。

（提示：设第一组垂线的垂足为M 、N ，第二组垂线的垂足为X 、Y ，寻证MN//XY ，得
欧阳阳理创编 2021.03.04
欧阳阳理创编 2021.03.04 出KMN ∆与LXY ∆位似。

）
4、 图8，凸四边形ABCD 的0120A B ∠+∠=，以AC 、BD 、CD 为一边分别作三个正三角形： ACP BQD CDR ∆∆∆、、。

证明：P 、Q 、R 三点共线。

（提示：延长AD 、BC 交于点E ，显然C
D 、R 、
E 四点共圆，
再寻找其他的四点共圆，利用方法2） 5、 ⊙O 的弦AC 、BD 交于点S ，过点A 、B 分别作⊙O 的切线得交点P ，延长AD 、BC 得交
点Q ，求证：P 、S 、Q 三点共线。

（提示：设射线QS 交AB 于点K ，设线段PQ 交AB 于点/K ，利用同一法，设法证明点K 与/K 重合）。