5-1线性代数

矩阵的合同： 设Ａ、Ｂ为两个n阶方阵，如果存在n阶可逆
矩阵Ｃ，使ＣＴＡＣ＝Ｂ，则称Ａ与Ｂ合同。 矩阵的合同关系也具有反身性，对称性，传递性。
矩阵的等价、相似、合同之间的关系
相似是一种特殊的等价，合同也是一种特殊的等价 思考：两个同阶的方阵，会不会即相似又合同？
如果存在，请举例说明 对称矩阵和它的对角阵即相似又合同
现将X=CY代入二次型，得
X CY
f ( X ) X T AX (CY )T A(CY ) Y T (CE5T 5A5CF )Y
B
二次型经过线性变换之后仍然是二次型。
二次型xT Ax经过线性变换x Cy后,关于y的二次型的 矩阵为CT AC
二次型经过可逆线性变换后，其秩不变，即R(A)=R(B)
n
aij xi x j i, j1
f ( x1 , x2 ,L , xn ) ax111(xa1211x1a12 ax12xx22L aa1n1nxx1nx)n ax221(xa22x1 x1 1aa222x2 x22 2L aa2n2xn x2 xn )n
L
axnn1(xannx1 x1 1aan2nx2 xn x2 2 Laannnxn xn )n2
2
3
2 2
2
6
令
P
1,2 ,3
1 3
0
2 2
3
2 3
2 2
2 6
则通过正交变换
2
x1 x2 x3
3 1 3 2
3
2 2 0
2 2
2
2
6 2 3 2 6
y1 y2 y3
将二次型 f (x1, x2 , x3 ) 化为标准形式
f 2 y12 7 y22 7 y32
x2c21 y1 c22 y2 c2n yn 或记作 X=CY.
xncn1 y1 cn2 y2 cnn yn
称为x1, x2 ,L xn到y1, y2 ,L yn的一个线性变换
若Ｃ为一般矩阵[可逆矩阵/正交矩阵]，则上述线性变换 称为线性变换[可逆变换/正交变换]。 可以验证，正交变换保持向量的长度不变。
二、利用正交变换化二次型为标准形
由前面的讨论知道：（1）二次型和对称矩阵是一一对应的； （2）二次型的标准型对应着对角矩阵
由上一节的内容知道，对称矩阵一定可以对角化，即：
当Ａ为对称矩阵时，一定存在正交矩阵Ｐ，使 P-1AP= PTAP=Λ＝diag(λ1, λ2, …， λn)，
其中λ1, λ2, …,λn为Ａ的特征值。 因此二次型也一定可以化为标准型。
a11 x1 a12 x2 L a1n xn
( x1 , x2 ,L
,
xn
)
a21
x1
a22 x2 L M
a2n xn
对称阵
an1 x1 an2 x2 L ann xn
a11 a12 L
( x1 ,
x2 ,L
,
xn
)
a21 M
a22 M
L
xT Ax
an1 an2 L
f (x1, x2 , , xn ) a11x12 a22 x22 ann xn2
令 aij = aji，则 2 aij xi xj = aij xi xj + aji xi xj ，于是
f ( x1 , x2 ,L , xn ) a11 x12 a22 x22 L ann xn2 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 L 2an1,n xn1 xn a11 x12 a12 x1 x2 L a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 L a2n x2 xn L an1 xn x1 an2 xn x2 L ann xn2
第六章 二次型及其标准形
二次型的定义：
定义１ 含有n个变量的二次齐次函数
f (x1, x2,L , xn ) a11x12 2a12x1x2 2a13x1x3 L 2a1nx1xn a22x22 2a23x2x3 L 2a2n x2xn L
叫做（ n元）二次型。
ann xn2
定义２ 只含有平方项的二次型称为标准形
定理10 对于n元二次型 f (Ｘ)=XＴＡＸ，总存在正交变换
Ｘ＝ＰＹ，使用此变换可将 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2
其中λ1, λ2, …,λn 是Ａ的全部特征值。
利用正交变换化二次型为标准形的步骤：
(1) 写出二次型对应的对称矩阵； (2) 求出Ａ的全部特征值λ1, λ2, …,λn ； (3) 对每一个特征值λi , 解方程(λiE-A)X=O, 求出基础解系，
A
a21 M
a22 M
L
an1 an2 L
a1n
之间存在着一一对应关系. 对称阵 A 的秩也叫做二次型 f 的秩．
例1.写出下列二次型的系数矩阵
（１） f (x1, x2 , x3 ) 3x12 6x22 3x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
解:二次型 f 的系数矩阵为
3 2 4 A 2 6 2
4 2 3
矩阵Ａ的特征方程为：
3 2 4
E A 2 6 2
4 2 3
3 2
0
c3 2c2
2 6 2( 7)
4 2 7
3 2 0 ( 7) 2 6 2
4 21
3 2 0
r2 2r3
( 7) 10 2 0
对于λ1=-2 ，解(-2E-A)X=0
5
2E
A
2 4
2 8 2
4 2 5
1 0 0
0 1 0
1
1
2
0
2 (1,0,1)T ，3 (1, 2, 0)T 。
将其正交化得：
2
(1,0,1)T
3
(
1 2
,
2,
1 )T 2
得属于特征值 1 2 的一个特征向量 将其单位化得：
1 (2,1,2)T 对于 2 3 7 ，解(7E-A)X=0
利用施密特正交化方法将基础解系正交化，再单位化； (4) 将标准正交化后的特征向量作为列向量排成一个矩阵，
就得到了正交矩阵P； (5) 所求的正交变换为Ｘ＝ＰＹ；
(6) 所求二次型的标准形为 f 1 y12 2 y22 n yn2
例3. 用正交变换化下列二次型为标准形．
f (x1, x2 , x3 ) 3x12 6x22 3x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
（２） f ( y1, y2 , y3 ) y22 4 y32
解：（１）对应的对称矩阵为
A
3 2
2 6
4 2 ;
4 2 3
（２）对应的对称矩阵为B
0 0
0 1
0 0 .
0 0 4
下页
二次型在线性变换下的变化
定义：若变量y1, y2,…， yn和x1, x2,…， xn满足
x1c11 y1 c12 y2 c1n yn
a1n x1
a2n
x2
M M
ann xn
a11 a12 L
f ( x1 , x2 ,L
, xn )
( x1, x2 ,L
,
xn
)
a21 M
a22 M
L
对称阵的
an1 an2 L
二次型
a1n x1
a2n
x2
M M
ann xn
二次型 的矩阵
a11 a12 L
4 21
3 2 ( 7)
10 2
( 2)( 7)2 0 故A的特征值为λ1=-2， λ2= λ3=7．
例3. 用正交变换化下列二次型为标准形．
f (x1, x2 , x3 ) 3x12 6x22 3x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
故A的特征值为λ1=-2，λ2= λ3=7． 得基础解系
1
(
2 3
,
1 3
,
2 )T 3
2
(
2 ,0, 2
2 )T 2
4
7E
A
2
2 1
4
1
2
0
1 2 0
1
0
4 2 4
0 0 0
3 (
2 ,2 2 , 63
2 )T 6
例3. 用正交变换化下列二次型为标准形．
f (x1, x2 , x3 ) 3x12 6x22 3x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3